Teoria grafów Lista 2 1. Które z poniższych grafów są eulerowskie

Teoria grafów
Lista 2
1. Które z poniższych grafów są eulerowskie?
t
t t
@
@t
t
@
t @t
t
t
'$
t
t t t t
tt
t @t
&%
t
t
t t
@
t @t
t
t
2. Kiedy pełny graf dwudzielny Kn,m jest eulerowski?
3. Kiedy graf pełny jest grafem eulerowskim?
4. Ile razy trzeba oderwać ołówek od papieru, rysując poniższy graf, jeżeli żadnej linii nie można
rysować dwukrotnie?
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
5. W grafie spójnym G, 2k wierzchołków ma stopień nieparzysty, a pozostałe wierzchołki są stopnia parzystego. Pokaż, że w G istnieje k krawędziowo rozłącznych dróg, które pokrywają wszystkie krawędzie G. (Rozkład grafu na tzw. drogi jednobieżne.)
D
E
6. Dopełnieniem grafu G = hV, Ei jest graf G = V, E , który ma ten sam zbiór wierzchołków
i zawiera dokładnie te krawędzie, które nie występują w G. Znajdź przykład grafu o możliwie
małej liczbie wierzchołków, który jest eulerowski i którego dopełnienie jest też eulerowskie.
7. Niech r bȩdzie liczba̧ naturalna̧ parzysta̧. Czy istnieje graf regularny stopnia r (tzn. każdy jego
wierzchołek ma ten sam stopień r) mający 2r + 1 wierzchołków, który jest eulerowski?
8. Przyjmijmy, że wierzchołkami grafu są permutacje zbioru n-elementowego, a dwie permutacje
uznajemy za sąsiednie, gdy jedna z nich może być otrzymana przez pojedynczą tranpozycję z
drugiej.
a) Ile wierzchołków i ile krawędzi ma ten graf?
b) Znajdź stopnie wierzchołków.
c) Czy graf jest eulerowski?
9. Przyjmijmy, że wierzchołkami grafu są permutacje zbioru n-elementowego. Niech π0 bȩdzie
pewna̧ ustalona̧ permutacja̧ zbioru n-elementowego. a dwie permutacje τ, η uznajemy za sąsiednie, gdy τ η −1 = π0 lub ητ −1 = π0 . Czy taki graf może być spójny? Podać warunek na to,
aby wszystkie składowe takiego grafu był grafami eulerowskimi.
10. Pokazać, że jeśli graf o n wierzchołkach jest eulerowski, to ma trzy wierzchołki o tym samym
stopniu. Czy dla n > 3 teza może być mocniejsza?
11. Liczby 2, 3, . . . , n−1, n sa̧ wierzchołkami grafu. Liczby i, j uważamy za incydentne (tzn. poła̧czone krawȩdzia̧), jeśli sa̧ wzglȩdnie pierwsze. Czy tak utworzony graf jest spójny? Czy tak utworzony graf może być eulerowski?