Metody dowodzenia twierdzen i automatyzacja rozumowan Na

Metody dowodzenia twierdzeń
i automatyzacja rozumowań
Na początek: teoria dowodu, Hilbert, Gödel
Mariusz Urbański
Instytut Psychologii UAM
[email protected]
OSTRZEŻENIE
Niniejszy plik nie zawiera wykładu z Metod dowodzenia... w przyzwoitym
znaczeniu terminu „wykład”. Zawiera natomiast dużymi literami spisane
notatki prowadzącego, służące utrzymaniu dyscypliny wypowiedzi. Stąd
też proszę nie wyciągać zbyt daleko idących wniosków na podstawie
tego, co dalej napisane, tylko posłuchać.
amu
kognitywistyka, rok V (IP UAM)
MDTiAR
2 / 14
Czym zajmuje się teoria dowodu?
Teoria dowodu jest dyscypliną logiki (i matematyki), której przedmiotem
zainteresowania są pojęcia dowodu i dowodliwości.
Jej zasadnicze zadania są cztery [Buss, 1998]:
1
badanie teoriodowodowej mocy systemów formalnych;
2
badanie struktury dowodów formalnych;
3
badanie informacji, jakiej dostarczają dowody formalne (nt.
prawdziwości, złożoności obliczeniowej itd.);
4
badanie metod optymalizacji konstruowania dowodów formalnych
(np. celem ich automatyzacji).
amu
kognitywistyka, rok V (IP UAM)
MDTiAR
3 / 14
Skąd się wzięła teoria dowodu?
Ze zmiany paradygmatu w matematyce, z euklidesowego na
logiczno-teoriomnogościowy1 [Batóg, 1996] i z towarzyszącego owej
zmianie matematycznemu zwrotowi w logice [Gabbay i Woods, 2004].
Niektóre cechy nowego paradygmatu:
precyzja języka teorii matematycznych;
ścisłe reguły definiowania;
wyraźna aksjomatyzacja teorii;
wyraźne odróżnienie języka przedmiotowego i metajęzyka;
precyzyjne definicje pojęć wynikania i dowodu.
1
Z interesującego nas punktu widzenia nie jest to co prawda
nazwa zbyt szczęśliwa.
kognitywistyka, rok V (IP UAM)
MDTiAR
amu
4 / 14
Tymczasem, w nieodległej galaktyce...
Czy podstawy, na których ufundowana jest matematyka są godne
zaufania?
Wątpliwości:
status obiektów abstrakcyjnych;
problemy z aktualną nieskończonością;
paradoksy naiwnej teorii mnogości.
Próby ich rozwiania: np. poprzez ograniczenie dziedziny przedmiotowej
matematyki i logiki oraz dopuszczalnych na ich gruncie metod (vide
L. E. J. Brouwer i intuicjonizm).
amu
kognitywistyka, rok V (IP UAM)
MDTiAR
5 / 14
Drugi problem Hilberta
(spośród 23 zagadnień przedstawionych przez Davida Hilberta jako
najistotniejsze problemy współczesnej matematyki, na Międzynarodowym
Kongresie Matematyków w Paryżu w 1900 roku):
Udowodnić niesprzeczność aksjomatów arytmetyki (udowodnić, że
arytmetyka jest systemem formalnym, w którym nie jest możliwy dowód
dwóch sprzecznych ze sobą twierdzeń)
(a także udowodnić niezależność aksjomatów arytmetyki).
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/problems.html
amu
kognitywistyka, rok V (IP UAM)
MDTiAR
6 / 14
Program Hilberta
Program Hilberta (ugruntowania klasycznej matematyki) zmierzał do
rozwiązania owego kryzysu w podstawach matematyki za pomocą takich
środków, których zastosowanie nie zmusi matematyków do opuszczenia
„raju, stworzonego przez Cantora”.
Zadania (m. in.):
udowodnić (za pomocą finitystycznych metod) niesprzeczność
podstaw matematyki;
udowodnić pełność aksjomatycznego systemu tychże podstaw;
rozwiązać problem pełności logiki I-go rzędu.
Hilbert był przekonany, że każdą „finitystyczną” prawdę można
udowodnić za pomocą finitystycznych metod. Jeśli posługujemy się
nieskończonościami, to tylko dlatego, że umożliwia nam to formułowanie
dowodów krótszych, prostszych i bardziej eleganckich, które jednak mogą
zostać zastąpione dowodami, wykorzystującymi jedynie finitystyczne
środki [Murawski, 2003].
kognitywistyka, rok V (IP UAM)
MDTiAR
amu
7 / 14
Ważne pytania
O niesprzeczność teorii sformalizowanych
Teoria T jest niesprzeczna wtw nie istnieje formuła A języka tej teorii,
taka że A oraz ¬A są tezami T .
O zupełność teorii sformalizowanych
Teoria jest zupełna wtw dla dowolnego zdania A języka tej teorii, A lub
¬A jest tezą T .
O rozstrzygalność teorii sformalizowanych
Teoria jest rozstrzygalna wtw istnieje dla niej metoda rozstrzygania, czyli
gdy dla każdej formuły A języka tej teorii można określić, czy A jest czy
nie jest tezą T .
amu
kognitywistyka, rok V (IP UAM)
MDTiAR
8 / 14
Nadchodzi Gödel
I twierdzenie Gödla
Jeśli Arytmetyka Peany PA jest ω-niesprzeczna, to:
1 Istnieje zdanie A języka PA, takie, że:
1
2
A jest niedowodliwe w PA.
¬A jest niedowodliwe w PA.
2
PA jest nierozstrzygalna.
3
PA jest niezupełna.
Z grubsza rzecz ujmując teoria T jest ω-niesprzeczna wtw dla dowolnej formuły
ϕ(x) jej języka:
jeśli T ` ϕ(0), T ` ϕ(1), T ` ϕ(2) . . . , T ` ϕ(n) . . . (n ∈ N)
to T 0 ∃x¬ϕ(x)
amu
kognitywistyka, rok V (IP UAM)
MDTiAR
9 / 14
Nadchodzi Gödel
Twierdzenie Rossera
Niech T będzie dowolną teorią (pierwszego rzędu) o rekurencyjnym
zbiorze aksjomatów zawierającą Arytmetykę Peany PA. Jeśli T jest
niesprzeczna, to:
1 Istnieje zdanie A języka teorii T , takie, że:
1
2
A jest niedowodliwe w T .
¬A jest niedowodliwe w T .
2
T jest nierozstrzygalna.
3
T jest niezupełna.
amu
kognitywistyka, rok V (IP UAM)
MDTiAR
10 / 14
Naprawianie
Z przykrymi konsekwencjami I twierdzenia Gödla można sobie poradzić,
wprowadzając jako nową regułę inferencyjną ω-regułę:
T ` ϕ(0), T ` ϕ(1), T ` ϕ(2) . . . , T ` ϕ(n) . . . (n ∈ N)
∀xϕ(x)
Ale cena . . .
amu
kognitywistyka, rok V (IP UAM)
MDTiAR
11 / 14
Nadchodzi Gödel, raz jeszcze
II twierdzenie Gödla
Jeśli Arytmetyka Peany PA jest niesprzeczna, to faktu tego nie można
udowodnić w PA.
amu
kognitywistyka, rok V (IP UAM)
MDTiAR
12 / 14
Konsekwencje
Z oboma twierdzeniami Gödla trzeba jakoś żyć. Oba mają zresztą istotne
implikacje nie tylko dla teorii dowodu, ale także konsekwencje natury
filozoficznej. W dość oczywisty sposób są to wyniki ważne również dla
badań nad sztuczną inteligencją.
Jednakowoż nie należy popadać w nihilizm. Wedle słów samego Gödla:
Na podstawie tego, co zostało udowodnione do tej pory, pozostaje
możliwe, iż może istnieć maszyna do dowodzenia twierdzeń (którą może
nawet da się odkryć empirycznie), która faktycznie jest równoważna
intuicji matematycznej, ale nie da się dowieść tego, że tak jest, ani tego,
że dostarcza ona tylko poprawnych [prawdziwych, correct] twierdzeń
finitystycznej teorii liczb. (za: [Krajewski, 2003])
Por. także [Wójtowicz, 1996].
amu
kognitywistyka, rok V (IP UAM)
MDTiAR
13 / 14
Literatura
Batóg, T. [1996]. Dwa paradygmaty matematyki. Poznań: Wyd.
Naukowe UAM
Buss, S. (red.) [1998]. Handbook of Proof Theory. Amsterdam:
Elsevier.
Gabbay, D. M., Woods, J. (red.) [2004]. The Rise of Modern Logic:
from Leibniz to Frege, tom 3 z serii Handbook of the History of
Logic. Elsevier.
Krajewski, S. [2003]. Twierdzenie Gödla i jego implikacje filozoficzne.
Warszawa: Wyd. IFiS PAN.
Murawski, R. [2000]. Funkcje rekurencyjne i elementy
metamatematyki. Problemy zupełności, rozstrzygalności, twierdzenia
Gödla. Poznań: Wyd. Naukowe UAM (3 wyd).
Troelstra, A. S., Schwichtenberg, H. [2000]. Basic Proof Theory.
Cambridge: Cambridge University Press (2 wyd.).
Wójtowicz, K. [1996]. „O nadużywaniu twierdzenia Gödla w sporach
filozoficznych” Zagadnienia Filozoficzne w Nauce, XIX, 24–45.
kognitywistyka, rok V (IP UAM)
MDTiAR
amu
14 / 14