Ciąg Fibonacciego i złota liczba Ciągiem

Ciąg Fibonacciego i złota liczba
Ciągiem Fibonacciego nazywamy ciąg ( ) określony następująco:
0. Pewien zestaw liczb utworzono według następującej reguły: "Jeżeli weźmiemy dwie kolejne
liczby , tego zestawu, to następną liczbę otrzymamy dzieląc iloczyn liczb i przez ich sumę”. Wiedząc, że pierwszą liczbą tego zestawu jest
, a drugą liczbą jest
, znajdź -tą liczbę
tego zestawu.
1. a) Na ile sposobów można pokryć kostkami domina prostokąt
x ?
b) Możemy po schodach wchodzić po jednym stopniu lub (przeskakując jeden) po dwa stopnie. Na ile sposobów możemy wejść na schody o stopniach?
c) Ile różnych -elementowych ciągów można otrzymać z
stępujące nie są dozwolone?
i , jeśli żadne dwa po sobie na-
d) osób ponumerowanych od do stoi w szeregu tak, że osoba o numerze stoi na -tej
pozycji. Na ile sposobów możemy poprzestawiać osoby tak, aby w nowym ustawieniu każda osoba stała albo na tej samej pozycji, na której stała na początku, albo na jednej z sąsiednich pozycji?
2. Wykaż, że dla dowolnego
:
a) ∑
f)
b) ∑
g) ∑
c) ∑
h)
d)
i)
e)
j)
∑
( )
(
(
)
)
(
)
(
)
3. a) Uzasadnij że ostatnie cyfry ciągu Fibonacciego tworzą ciąg okresowy, Znajdź ten okres.
b) Znajdź długość okresu dla liczb utworzonych z dwóch ostatnich cyfr.
4. Wyznacz resztę z dzielenia przez
5. Wykaż, że
liczby
.
.
6. Kod Morse’a zbudowany jest ze skończonych ciągów kropek i kresek, które odpowiadają znakom alfanumerycznym. Długością kodu dla ustalonego znaku nazywa się liczbę całkowita otrzymana przez zsumowanie wag poszczególnych elementów kodu, gdzie kropka ma wagę , a kreska
ma wagę . Niech
oznacza liczbę kodów Morse’a długości . Udowodnić, ze liczba takich
kodów długości tworzy ciąg Fibonacciego i na tej podstawie wyznaczyć .
7. Wykaż, że w ciągu Fibonacciego istnieje liczba kończąca się tysiącem zer.
© Bartosz Kostka, 2011
v. 1.1
8. Wykaż, że dla każdego
9. Wykaż, że jeżeli
istnieje liczba w ciągu Fibonacciego podzielna przez .
jest także liczbą pierwszą.
jest pierwsze, to
10. Wykaż, że każda liczba naturalna może być przedstawiona jako skończona suma elementów
ciągu Fibonacciego, w której każdy element występuje nie więcej niż jeden raz.
∑
11. Wykaż wzór Lucasa:
(
).
12. Wykaż, że przekątne w trójkącie Pascala dają kolejne liczby ciągu Fibonacciego.
zachodzi: ∑
13. Udowodnij, że dla każdego
(
14. Wykaż, że
)
15. Wykaż, że jeżeli
(
, gdzie
16. Znajdź
),
dla
.
.
to
.
.
Granicę ciągu Fibonacciego nazywamy złotą liczbą i oznaczamy .
17. a) Znajdź liczbę, której kwadrat jest od niej o 1 większy.
b) Znajdź liczbę, której odwrotność jest od niej o 1 mniejsza.
c) Oblicz √
√
d) Oblicz
√
.
18. Złoty podział odcinka, to taki podział na dwie części, ze stosunek długości całego odcinka
do jego dłuższej części jest równy stosunkowi długości dłuższej części odcinka do jego krótszej części. Wyznacz ten stosunek.
19. Wykaż, że przekątne w pięciokącie foremnym przecinają się w stosunku równym złotej
liczbie.
20. W pięciokącie foremnym przeprowadzono wszystkie przekątne, które wyznaczyły kolejny
pięciokąt foremny. Wyznacz skalę podobieństwa tych figur.
21. Wyznacz, że w pięciokącie foremnym długość przekątnej jest
boku wielokąta.
razy większa od długości
22. Roztargniony uczeń źle przepisał z tablicy wzór Pitagorasa. Czy może istnieć trójkąt prostokątny, w którym
, gdzie
– długości przyprostokątnych, a
- przeciwpro-
stokątnej?
© Bartosz Kostka, 2011
v. 1.1
23. Złoty trójkąt, to trójkąt równoramienny, w którym stosunek podstawy do ramion wynosi .
Wykaż, że dwusieczna wychodząca z wierzchołka przy podstawie dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty przystające do siebie i do wyjściowego trójkąta.
24. Wyprowadź wzór jawny na -ty wyraz ciągu Fibonacciego.
25. Ufoludek zaatakował dom składający się z piwnicy, parteru, piętra i poddasza. między sąsiednimi kondygnacjami domu są schody po których się porusza. Gdy dochodzi do piwnicy pije wino
z jednej z dwóch znajdujących się w niej beczek (są bardzo duże więc wina nie zabraknie), a gdy
wchodzi na poddasze wysyła sygnał na Marsa za pomocą jednego ze swoich dwóch nadajników.
Ufoludek startuje z parteru i razy przechodzi między kondygnacjami (kiedy dojdzie na skrajne
wykonuje co trzeba na jeden z dwóch sposobów). łażenie po domu nie jest zbyt pasjonujące, więc
aby urozmaicić sobie misję ufoludek zastanawia się na ile sposobów może sobie połazić. Pomóż
mu!
26. Niech
ale
będzie liczba pierwsza postaci
.
© Bartosz Kostka, 2011
, gdzie
. Wykaż, że
,
v. 1.1