Statystyka Astronomiczna – zajęcia 7/9 ESTYMACJA

Statystyka Astronomiczna – zajęcia 7/9
ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA
1. Znaleźć przedział ufności dla nieznanej wartości przeciętnej m populacji, w której badana cecha
ma rozkład N (m, σ 2 ), w przypadku, gdy σ 2 jest znane, na podstawie n-elementowej próby
X1 , ..., Xn .
a) Podać przedział ufności dla wartości m, przyjmując α1 = 0, α2 = α, naszkicować otrzymany
przedział ufności.
b) Podać przedział ufności dla wartości m, przyjmując α1 = α, α2 = 0, naszkicować otrzymany
przedział ufności.
c) Podać przedział ufności dla wartości m, przyjmując α1 = α2 =
przedział ufności.
α
2,
naszkicować otrzymany
d) Na podstawie próbki o liczności n = 16 wyznaczono x̄ = 34,1 ze znaną wariancją σ 2 = 4.
Jaki jest symetryczny przedział ufności1 dla nieznanej wartości przeciętnej m przy poziomie
ufności 1 − α: d1 ) 0,95, d2 ) 0,9, d3 ) 0,99?
2. W celu wyznaczenia ładunku elektronu wykonano 26 pomiarów tego ładunku metodą Milikana,
otrzymując (w C)
x̄ = 1,574 · 10−19 , s = 0,043 · 10−19 .
Zakładając, że wartość przeciętna mY błędu Y przyrządu pomiarowego jest równa zeru oraz
błędy pomiarów przy wyznaczaniu ładunku elektronu mają rozkład normalny o nieznanej wariancji, wyznaczyć na podstawie otrzymanych danych 99-procentowy przedział ufności dla prawdziwej wartości wielkości ładunku elektronu.
3. Próbka 100 osób została zbadana pod kątem ilorazu inteligencji IQ. Wyniki przedstawiają się
następująco:
Przedział punktów IQ
51-70
71-90
91-110
111-130
131-150
Liczba osób
6
22
48
19
5
Znaleźć 95-procentową realizację przedziału ufności dla nieznanej wartości przeciętnego IQ.
4. Próba losowa zawiera 31 wartości badanej cechy statystycznej X o rozkładzie normalnym x: 62,
63, 61, 65, 58, 67, 43, 61, 61, 62, 48, 59, 56, 57, 58, 56, 54, 47, 58, 59, 61, 69, 61, 60, 65, 55,
60, 55, 60, 53, 54. Wyznaczyć 90-procentowe przedziały ufności dla wartości oczekiwanej m i
wariancji σ 2 zmiennej losowej X.
5. Przeprowadzono 10 niezależnych pomiarów wartości przyspieszenia ziemskiego w pewnym punkcie, otrzymując wartości (w cm/s2 ): 980,1, 978,9, 977,3, 979,2, 978,2, 981,0, 980,5, 976,9, 979,3,
978,5. Zakładając, że przy wyznaczaniu wartości przyspieszenia ziemskiego nie popełniono błędów systematycznych tylko losowe, na podstawie tych wyników znaleźć:
a) średnią wartość przyspieszenia ziemskiego w tym punkcie,
b) nieobciążony estymator wariancji przyspieszenia ziemskiego w tym punkcie,
c) 90-procentowe przedziały ufności dla wartości oczekiwanej przyspieszenia ziemskiego i jej
wariancji.
1
W każdym kolejnym zadaniu „przedział ufności” rozumiany jest jako symetryczny przedział ufności.
1
Statystyka Astronomiczna – zajęcia 7/9
6. W pewnym doświadczeniu zmierzono czas występowania określonego efektu świetlnego. Przeprowadzono 1000 niezależnych pomiarów i uzyskano wyniki:
Czas [s]
0,0 – 0,2
0,2 – 0,4
0,4 – 0,6
0,6 – 0,8
0,8 – 1,0
1,0 – 1,2
1,2 – 1,4
Liczba doświadczeń
50
128
245
286
134
90
67
Przyjmując współczynnik ufności 1 − α = 0,95, wyznaczyć przedziały ufności dla wartości oczekiwanej m i wariancji σ 2 .
WYZNACZANIE LICZNOŚCI PRÓBKI
7. Wykonuje się pomiary głębokości morza w pewnym określonym miejscu. Ile niezależnych pomiarów należy dokonać, aby przedział ufności dla wartości oczekiwanej głębokości morza miał
długość nie większą niż 10 m? Rozkład błędów pomiarów jest normalny o wariancji σ 2 = 180 m2
oraz 1 − α = 95%.
8. Wiadomo, że współczynnik zmienności wysokości drzew lasów sosnowych wynosi 0,08, natomiast lasów brzozowych 0,10. Zakładając, że wysokości drzew mają rozkład normalny, wyznaczyć liczbę drzew, jaką należy wylosować do badania, aby dla 99-procentowego poziomu ufności
otrzymać przedział ufności dla wartości oczekiwanej wysokości drzewa: a) lasu sosnowego, b)
lasu brzozowego, o długości nie przekraczającej 5% wartości oczekiwanej.
9. Zmierzono czas wyładowania ośmiu losowo wybranych baterii z całej partii baterii. Otrzymano
dane (w min): 211, 214, 207, 213, 215, 211, 210, 214. Zakładając, że czas wyładowania baterii ma
rozkład normalny, zbadać, czy liczba 8 dokonanych pomiarów jest wystarczająca do wyznaczenia
95-procentowego przedziału ufności dla nieznanej wartości przeciętnej czasu wyładowania baterii
o długości nie większej niż 4 m. W przypadku, gdy próba okaże się niewystarczająca, obliczyć
ile jeszcze należy dokonać pomiarów.
10. W celu wyznaczenia wartości przeciętnej długości drogi hamowania samochodu na asfalcie przeprowadzono przy prędkości 40 km/h 12 prób i otrzymano wyniki w metrach: 17,8, 19,2, 22,0,
20,4, 19,8, 21,2, 20,7, 18,7, 21,1, 17,9, 20,6, 19,6. Czy liczba prób jest wystarczająca do wyznaczenia 95-procentowego przedziału ufności dla tej wartości przeciętnej o długości nie większej
niż 0,5 m? Jeśli nie, jaką liczbę prób należy jeszcze przeprowadzić?
2