Dynamika ruchu obrotowego

Dynamika ruchu obrotowego
1. Po włączeniu prądu łopatki wentylatora po 10s osiągnęły prędkość 20 rad/s. Oblicz
przyspieszenie łopatek wentylatora. Ile obrotów wykonały łopatki w ciągu tych 10s?
(2 rad/s2, 15.92).
2. Średnica przedniego koła roweru jest o d mniejsza od średnicy koła tylnego. Prędkość
kątowa koła przedniego jest równa ω1, tylnego - ω2. Jaka jest prędkość liniowa roweru?
ω 1ω 2d
(v =
).
2(ω1 − ω 2 )
3. Na walec o masie M = 5 kg i promieniu r = 0.1 m osadzony na poziomej osi, nawinięto
sznur, na którego końcu zawieszono ciężarek o masie m = 2 kg. Na jaką odległość musi
opuścić się ciężarek pod wpływem własnego ciężaru, aby walec uzyskał prędkość
obrotową ω = 20 obr/ s ? (18.1 m)
4. Koło o momencie bezwładności względem osi przechodzącej przez środek koła I = 0.16
kgm2 wykonuje 240 obrotów na minutę względem osi prostopadłej do płaszczyzny koła i
przechodzącej przez jego środek. Jaka jest prędkość kątowa koła, jeśli moment siły o
wartości 0.93 Nm i zwrocie przeciwnym do wektora prędkości kątowej działa przez 2 s?
O jaki kąt obróci się koło w czasie działania tego momentu siły? (13.5 rad/s, 38.6 rad).
5. Listwę o długości l = 1 m i zaniedbywalnej masie, leżącą poziomo, podparto na obu
końcach. Na listwie zawieszono 3 odważniki o masach m1 = 3 kg, m2 = 2 kg, m3 = 1 kg w
odległościach r1 = 0.3 m, r2 = 0.5 m, r3 = 0.9 m od lewego końca. Jaką siłą działa listwa w
punktach swojego podparcia? (28 N, 32 N)
6. Dwa ciężarki m1 = 2 kg i m2 = 1 kg połączono nieważką nicią przerzuconą przez ruchomy
blok o masie M = 3 kg. Wyznaczyć przyspieszenie ciężarków, napięcie nici i nacisk na oś
bloku. (2.22 m/s2, 15.6 N, 12.2 N, 27.8 N)
7. Z jakim przyspieszeniem liniowym będzie staczać się bez poślizgu z równi pochyłej o
kącie nachylenia α = 30° : a) cienkościenna obręcz, b) pełna kula, c) powłoka kulista?
(a) 2.5 m/s2, b) 3.57 m/s2, c = 3.33 m/s2
m1
m2
8. Masa m2 = 1.15 kg połączona jest z kulą o masie m1 = 6.75
kg i promieniu R = 5 cm nieważką nicią nawiniętą na kuli
wzdłuż koła wielkiego. Nić przechodzi przez krążek o
znikomej masie. Oblicz: a) przyspieszenie masy m2, b)
przyspieszenie kątowe kuli, c) drogę, którą przebędzie
masa m2 w ciągu 3.25 s od początku ruchu. (a) 2.93 m/s2,
b) 58 rad/s2, c) 15.4 m).
9. Bryła w kształcie litery H, o
masie całkowitej M = 3 kg obraca się z przyspieszeniem
kątowym ε = 0.2 rad/s2 wokół osi obrotu zaznaczonej na
rysunku. Jaki moment siły działa na tę bryłę, jeżeli l = 1 m.
(0.12 Nm).
l
10. Jednorodny pręt o długości l jest jednym końcem zaczepiony
do ściany zawiasem, który może poruszać się bez tarcia. Pręt
został ustawiony prostopadle do ściany i swobodnie puszczony.

3g 
.
Jaka jest prędkość pręta w momencie, gdy uderzy on o ścianę?  ω =
l 

l
M
11. Klocek o masie m = 4.75 kg zsuwa się z równi o kącie
nachylenia α = 55° i jest przytrzymywany nieważką linką
nawiniętą na walec o masie M = 12 kg i promieniu R = 5 cm.
Współczynnik tarcia kinetycznego miedzy masą m a równią
wynosi µ = 0.4. Oblicz: a) przyspieszenie masy m,
b) przyspieszenie kątowe walca, c) naprężenie linki.
(a) 2.6 m/s2, b) 51 rad/s2, c) 15.3 N).
m
55o
12. Do jednorodnego pręta o masie 6.4 kg i długości 1.2 m przyczepiono z obydwu końców
jednakowe masy punktowe 1.06 kg. Pręt obraca się w płaszczyźnie poziomej, wokół
pionowej osi przechodzącej przez jego środek. W pewnej chwili pręt wykonuje 39 obr/s,
ale ze względu na występowanie tarcia zatrzymuje się po 32 s. Zakładając, że hamujący
moment siły jest stały, oblicz: a) opóźnienie kątowe, b) moment siły hamującej, c) liczbę
obrotów wykonanych przez pręt do chwili zatrzymania.
(a) 7.7 rad/s2, b) 11.7 Nm, c) 624).
13. Robotnik podnosi jeden koniec belki o masie m=26 kg i długości l=1.8 m przykładając
stałą siłę F=135 N zawsze prostopadłą do belki. Drugi koniec belki leży na ziemi i
pozostaje w spoczynku. Jakie jest przyspieszenie kątowe belki, gdy tworzy ona z
rad
poziomem kąt 20 o ? ( 0.98 2 ).
s
14. Wyznacz przyspieszenie środka walca (obręczy) o masie M i promieniu R oraz jego (jej)
przyspieszenie kątowe w chwili dokładnie takiej jak na rys. a, b, c, e, f.
15. Wyznacz prędkość środka walca i prędkość kątową po zjechaniu z wys. h na rys. a i b,
lub po przetoczeniu się obręczy tak, żeby masa m znalazła się na samym dole na rys d, e, f.
M
walec
walec
R
M
M
walec
m
m1
m2
m
a.
M
b.
m
M
c.
m
M
m
obręcz
d.
obręcz
e.
obręcz
f.
( m2 − m1 ) g , N = m1 ( 0.5M + 2m2 ) g , N = m2 ( 0.5M + 2m1 ) g
Odp 14: a) a =
1
2
0.5M + m2 + m1
0.5M + m2 + m1
0.5M + m2 + m1
b) a =
( M + m) g ,
1.5M + m
( M + 2m ) g
N1 =
0.5M ( M + m ) g
, N2 =
1.5M + m
0.5M ( M + 3m ) g
0.5Mmg
1.5M + m
, N=
(bo środek masy nie leży w środku walca)
1.5M + 4m
1.5M + 4m
2mg
e) a =
(uwaga: środek masy nie leży w środku obręczy)
4  M + m(1 + 2 / 2) 
mg
f) a =
, siła tarcia T = 0.5mg, (uwaga: środek masy nie leży w środku obręczy)
2 [ M + m]
c) a =
Odp. 15: a) v =
2(m2 − m1 ) gh
m1 + m2 + 0.5M
2( M + m) gh
2mgr
mgr
f) v =
d) v =
1.5M + m
M
M
b) v =
16. Obliczyć prędkość środka obręczy po przetoczeniu się z położenia d. do położenia f.
mgr
na powyższym rysunku. Odp: v =
M +m
17. Obręcz z masą punktową przetacza się
tak, jak pokazano na rysunku. Obliczyć
prędkość środka obręczy u w drugiej
chwili.
M
m
v
u
2mgr + (2m + M )v 2
M
Odp.: u =
18. W pręt osadzony na obrotowej osi
uderza doskonale niesprężyście ciało
punktowe. Wyznaczyć prędkość
kątową pręta po uderzeniu, a w
przypadku b. – dodatkowo
maksymalny kąt odchylenia.
oś
M, l
m
oś
v
M, l
v
m
a.
Odp.: a) ω =
mv
( 6 M + 12 m)l
1
b.
2 2
b) ω =
mv
mv
, cos α = 1 −
1
( 3 M + m)l
( 3 M + m)( M + 2m) gl
1
19. Wyznaczyć prędkości liniowe i kątowe pręta tuż po zderzeniu lub wybuchu oraz
wydzieloną energię. Pręty są niezamocowane.
a. zderzenie doskonale sprężyste, b. zderzenie doskonale niesprężyste
c. na skutek wybuchu masa m odlatuje z prędkością v.
M, l
v
m
a.
M, l
v
m
b.
m
3m
v
v, ω =
, u=
1 M +m
1
( 4 M + m) l
4
1
Odp.: a) V =
m
2
M, l
c.
1
1
M −m
v , Ec = 0
4M +m
4
m
v
b) V =
m
m
v
v, ω =
, Ec =
1
M + 2m
( 6 M + m) l
c) V =
m
6m v
mv 2 
m
v, ω =
, Ech =
1 + 4 
M
M l
2 
M
1
2
mv 2 − 1 2 ( 112 M + 1 2 m ) l 2ω 2 − 1 2 ( M + 2m ) V 2
20. Dwa pręty, w sytuacji pokazanej na rysunku, po zbliżeniu się w pewnej chwili ich
końców, zostają sztywno połączone w jeden pręt (za pomocą łącznika o znikomej masie).
Wyznaczyć prędkości liniowe i kątowe prętów tuż po zderzeniu oraz wydzieloną energię.
Pręty są niezamocowane.
ω1
ω2
v
m, l
m, l
a.
m, l
m, l
b.
v
Odp.: a) V = 12 v , ω = 34 , Ec = 161 mv 2
l
1
b) V = 0, ω = 8 (ω1 + ω2 ) , Ec = 241 ml 2 ω12 + ω22 − 81 (ω1 + ω2 )2 