XVIII Krajowa Konferencja SNM

Transkrypt

MATERIAŁY POKONFERENCYJNE
XVIII KRAJOWA
KONFERENCJA SNM
Redaktorzy
Krystyna Dałek
Henryk Kąkol
1
Bielsko-Biała 2009
STOWARZYSZENIE NAUCZYCIELI MATEMATYKI
Książka wydana przy wsparciu finansowym
Fundacji Rodziny Maciejko
Redakcja techniczna: Henryk Kąkol
Projekt okładki: Izabela Kruźlak
Książkę można zamawiać telefonicznie lub mailowo.
Biuro Stowarzyszenia Nauczycieli Matematyki
ul. Legionów 25
43-300 Bielsko-Biała
tel./fax 033 816 45 42
http://snm.edu.pl/
e-mail: [email protected]
c Copyright by Stowarzyszenie Nauczycieli Matematyki
ISBN 978-83-921943-2-3
SPIS TREŚCI
Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Krystyna Dałek
Wywiad z Ministerem Edukacji Narodowej,
profesorem dr. hab. Zbigniewem Marciniakiem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Tomasz Szemberg
Od geometrii euklidesowej do komputerowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Władysława Paczesna
Praca z uczniem mającym trudności w nauce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Agata Hoffmann
Pomoce dydaktyczne – konieczność, możliwość czy balast? . . . . . . . . . . . . . . . 29
Bożena Prystupa
Pomóż swojemu uczniowi lepiej napisać sprawdzian
i egzamin gimnazjalny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Wacław Zawadowski
Rozszyfrujmy skrót PDTR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Anna Rybak
Kształćmy z komputerem – razem i efektywnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Zofia Majerska, Katarzyna Sikora
Informacja o projekcie Calibrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Witold Pająk
Rola programu CABRI w rozwiązywaniu problemów matematycznych . . . 61
Małgorzata Zbińkowska
Od 2D do 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Magdalena Kucio
Przykłady wykorzystania oprogramowania DGS w pracy nad zadaniami
z geometrii płaskiej w gimnazjum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Wacław Zawadowski
Co dobrego można powiedzieć o nowej podstawie programowej . . . . . . . . . 101
Krystyna Dałek
Kalkulatory w szkole podstawowej. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Anna Rybak, István Lénárt
A może różne geometrie? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Krzysztof Mostowski
Z kartką papieru w przestrzeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Krystyna Burczyk
Pracownia origami. Mozaiki z czworokątów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Krystyna Burczyk
Zadania zadawane i rozwiązywane za pomocą origami . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Grażyna Cyran
Kilka pomysłów na ciekawe lekcje geometrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Zofia Miczek, Anna Ząbkowska-Petka
Możliwości współpracy pomiędzy nauczycielami pierwszego
i drugiego etapu kształcenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Justyna Błaszczyk, Jolanta Hajda, Zofia Miczek
Aleksandra Wielgus
Pojęcie – Oś liczbowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Jolanta Hajda, Bożena Kocurem, Grażyna Koruszowic,
Zofia Miczek, Anna Moj, Grażyna Olearczyk, Ewa Sękała,
Jolanta Solga, Aleksandra Wielgus, Jadwiga Zioło
Pojęcie – cyfra, liczba, system liczenia pozycyjny i dziesiątkowy . . . . . . 185
Jolanta Hajda, Aneta Kanafa, Zofia Miczek, Anna Moj,
Jolanta Solga, Ewa Szczupider-Olesińska, Jadwiga Zioło
Pojęcie – Obwód wielokąta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
Mariola Chemicz, Grażyna Olearczyk, Aleksandra Wielgus
Dziesiątkowy system pozycyjny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
Wiesława Przybylska, Jolanta Solga
Scenariusz lekcji matematyki w klasie czwartej.
Rozszerzenie zakresu liczbowego do miliona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
Grażyna Rygał
Scenariusz lekcji w kl. 4. System dziesiątkowy – cyfry i liczby . . . . . . . 221
Anna Ząbkowska-Petka
Sprawdzian podstawowych umiejętności ucznia klasy czwartej
na początku roku szkolnego 2008/2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Justyna Błaszczyk, Barbara Dziura, Mariola Chemicz,
Grażyna Olearczyk, Mirosława Panak, Joanna Pietrek,
Jolanta Solda, Ewa Torbus
Punktowy system oceniania w klasach 1-3 szkoły podstawowej . . . . . . . 229
Wstęp
Z prawdziwą radością oddajemy w Państwa ręce po raz pierwszy materiały przygotowane na XVIII Krajową Konferencję Stowarzyszenia Nauczycieli
Matematyki.
Stowarzyszenie Nauczycieli Matematyki zostało założone w 1991 roku. Od
samego początku urządzamy coroczne konferencje, cieszące się dużym zainteresowaniem. Ale dopiero w tym roku, przy okazji XVIII konferencji mamy możliwość wydania publikacji, w której zamieszczamy wybrane materiały
z zajęć prezentowanych na konferencji.
Zebranie ZG SNM w trakcie XVIII KK SNM w Radomiu
Na początku roku 2009 powstała Fundacja Rodziny Maciejko, która postawiła sobie za cel wspieranie działań idących w kierunku stałego podnoszenia poziomu doskonalenia zawodowego nauczycieli, a co za tym idzie uzyskiwania lepszych wyników w podnoszeniu ogólnej kultury matematycznej
w naszym społeczeństwie. Fundacja Rodziny Maciejko zainteresowała się działaniami SNM-u. Przedstawiciele Fundacji byli gośćmi na XVIII Konferencji
w Radomiu i w efekcie wyrazili chęć stałej współpracy z SNM-em. Pierwszym tego przejawem jest właśnie ta publikacja, sfinansowana w całości przez
Fundację.
Założyciele Fundacji – Dorota Maciejko i Tomasz Maciejko
w towarzystwie Krystyny Dałek i Wacława Zawadowskiego
5
Mamy nadzieje, że będzie to pierwsza z wielu takich publikacji. Następne
będą obszerniejsze i będą lepiej oddawały różnorodność działań na dorocznych
konferencjach Stowarzyszenia, a także będą stanowiły ważną pomoc dydaktyczną. Prezentowana publikacja, mimo swoich rozmiarów, zawiera niewielką
część wykładów, prezentacji, warsztatów i w niewystarczającym stopniu oddaje ogromną różnorodność wszelkich aktywności dziejących się w trakcie konferencji. Przyczyn jest wiele. Jedną z nich jest brak naszych przyzwyczajeń
do opisu swoich warsztatów lub prezentacji, brak czasu, niewłaściwe podejście firm wydawniczych, i wynikające z tego niedostrzeżenie wspaniałej, dodatkowej reklamy przygotowywanych przez firmy materiałów edukacyjnych.
Mamy nadzieję, że przy następnych konferencjach, bogatsi o te pierwsze doświadczenia, będziemy mogli wydać kolejną, doskonalszą pozycję materiałów
pokonferencyjnych.
Prezes SNM Henryk Kąkol i wiceprezes Alina Przychoda składają podziękowania
członkom Komitetu Organizacyjnego XVIII KK SNM
Nasze konferencje istotnie różnią się od innych. Mamy mało wykładów,
preferujemy styl warsztatów i aktywności własnej uczestników. Wiele zaplanowanych przez prowadzących zajęć zmienia się w trakcie kontaktu z uczestnikami. Dlatego wydanie materiałów pokonferencyjnych oddaje rzeczywiste
relacje z przeprowadzonych zajęć. Niestety, nie wszyscy prowadzący wykłady
i warsztaty nadesłali nam sprawozdania. Mamy nadzieję, że w przyszłości
zechcą się dzielić swoimi przemyśleniami i osiągnięciami na łamach kolejnych tomów, które mamy zamiar wydawać cyklicznie. Ramy tej publikacji nie
pozwoliły także na zamieszczenie sprawozdań z wielu ciekawych konkursów
i dyskusji.
Składamy Fundacji Rodziny Maciejko wielkie podziękowania za ich inicjatywę i zrozumienie, i wyrażamy nadzieję, że efekty dalszej współpracy będą
równie przydatne i wspierające pracę nauczycieli matematyki.
6
WSPÓŁCZESNE PROBLEMY NAUCZANIA MATEMATYKI
Krystyna Dałek (Warszawa)
Wywiad z Ministerem Edukacji Narodowej,
profesorem dr. hab. Zbigniewem
Marciniakiem
Wywiad przeprowadziła dr Krystyna Dałek
w dniu 16 marca 2009 roku
Krystyna Dałek
Panie Ministrze – na naszej ostatniej konferencji w Radomiu wygłosił Pan
ciekawy wykład zatytułowany „Geometria cieni”. Nie chcę wracać do treści
wykładu, którego ilustracja znajduje się na stronach SNM-u, ale tytuł kojarzy
nam się z „cieniami w matematyce”. Jest to dość wieloznaczna nazwa. Czy
dostrzega Pan jakieś cienie w matematyce, szczególnie od strony edukacyjnej,
od strony nauczycielskiej?
Minister Zbigniew Marciniak
Matematyka nie ma żadnych cieni – to jest brylant – jako nauka, wiedza.
Natomiast w zakresie nauczania mamy sporo do poprawienia. Chodzi głównie
o to, że matematyki trzeba uczyć głębiej. Wielu zacnych nauczycieli matematyki uważa, że im więcej tematów przerobią z uczniami tym lepiej. Moje
zdanie jest inne – lepiej mniej, ale głębiej. Daje temu wyraz Podstawa Programowa – zakres treści jest zmniejszony, ale nacisk i tendencje są takie, aby
każdy temat pokazać i omawiać z uczniami dogłębniej i szerzej. To można
zrobić nawet z najprostszymi tematami i pojęciami. Do tej pory, szczególnie
w ostatnich latach, występował bardzo silny nacisk na algorytmizację treści
nauczania. Uczeń miał przede wszystkim umieć rozwiązać bardzo typowe zadania, naśladując wiernie metodę pokazaną na przykładzie rozwiązanym przez
nauczyciela. Chciałbym, aby to się zmieniło w kierunku rozumowania.
K.D.
Doświadczenie pokazuje, że nauczyciele powinni być odpowiednio przygotowani, przeszkoleni. Co na to Ministerstwo?
Krystyna Dałek
Z.M.
Oczywiście, że powyższa zmiana nie stanie się sama z siebie, ale najpierw
musi zaistnieć świadomość nieuchronności takiej zmiany. Mamy zresztą odpowiednie zapisy prawne. W Podstawie Programowej wyraźnie napisane jest,
że w nauczaniu matematyki należy kłaść nacisk na rozumowanie, na twórcze
myślenie. I nie jest to tylko ozdoba.
Na maturze, który jest głównym sprawdzianem szkolnym, te umiejętności będą sprawdzane, co oznacza, że nie będzie sytuacji, aby nie pojawiło się
w arkuszu maturalnym przynajmniej jedno zadanie zaczynające się od słów
„Udowodnij, że . . . ”. Skoro tak, to nie ma innej metody przygotowania uczniów
do matury, jak robić zadania na rozumowanie. Tu nie ma sytuacji powtórzenia zadania, które już było robione. Każde zadanie na rozumowanie może być
inne- chodzi o nauczenie uczniów odpowiedniej postawy myślowej. Uważamy,
że wystąpi swego rodzaju istotna presja na szkołę ze strony rodziców i uczniów,
ponieważ zależy im na tym, aby uzyskać na maturze jak najlepsze wyniki –
od tego zależy dostanie się na najlepsze wybrane przez nich uczelnie. Można
powiedzieć, że ze strony nauczycieli będzie to nawet autopresja. Zatem zmiana podejścia do nauczania matematyki z pewnością się pojawi. To nie będzie
łatwe i jest ogromnym wyzwaniem dla edukacji. Nie będzie też procesem szybkim. Obowiązkowa matura bardzo zmienia sytuację nauczyciela. Nauczyciele
tracą komfort pracy tylko z tymi uczniami, którzy chcą zdawać maturę z matematyki – obecnie muszą pracować ze wszystkimi, także z tymi mniej zdolnymi
i niechętnymi matematyce. Jest to również istotnym problemem dla uczelni.
W ostatnich latach zwielokrotniła się liczba studentów. Być może uczelnie
na niektórych kierunkach będą musiały pomyśleć o przygotowaniu studiów
„dwóch prędkości” oraz o uruchomieniu specjalnych kursów dla studentów
słabiej przygotowanych z matematyki. W niektórych uczelniach technicznych
już tak się dzieje.
K.D.
Nauczyciele pracują w oparciu o podręczniki. Wiem, również z własnego
doświadczenia, że wydawnictwa nie lubiły i wręcz wykreślały autorom zadania,
w których pojawiał się zwrot „Udowodnij, że . . . ”. Należało je zastąpić zwrotami: „ jakie widzisz argumenty . . . ”, „postaraj się uzasadnić . . . ” etc. Z kolei
wielu nauczycieli otwarcie przyznawało się, że opuszczają zadania w których
jest zwrot „udowodnij, że . . . ”. Wracam więc do istotnej kwestii. Aby taka
zmiana nauczania nastąpiła potrzebne jest jednak szkolenie dla nauczycieli.
Jakie ministerstwo ma tu pomysły? Czy planowane są jakieś kursy dokształcające?
8
Wywiad z Ministerem Edukacji Narodowej
Z.M.
Takie zachowanie nauczycieli było całkiem zrozumiałe. Nauczanie algorytmiczne jest łatwiejsze i przy testowych sprawdzianach daje dobre wyniki. Ale
te czasy się skończyły. Doprowadzimy do tego, ze rozumowanie będzie obecne
na każdym egzaminie, także w gimnazjum, ale doprowadzimy do tego stopniowo, nie skokowo. Rozumowanie musi wrócić na lekcje matematyki. Co do
dodatkowego szkolenia, czy doskonalenia nauczycieli - nie jest to rzecz nowa.
MEN ma obowiązek co roku przeznaczać sporą część swojego budżetu na doskonalenie nauczycieli. Jak wiadomo przeżywamy obecnie kryzys, wiec środki
budżetowe są bardzo niewielkie, ale to są przejściowe trudności. Na chwilę
obecną będziemy umieszczać na stronach CKE specjalne zadania dla nauczycieli, z sugestiami, aby nauczanie szło w kierunku podkreślania rozumowania.
Myślimy oczywiście także o organizowaniu specjalnych kursów doskonalących,
ale to wymaga pewnego zreformowania i zmian w doradztwie metodycznym.
W Podstawie Programowej daliśmy standardy i wskazaliśmy kierunek. Teraz
musimy ukierunkować i skierować doskonalenie nauczycieli na taką właśnie
drogę. Ale nie jest to łatwe zadanie.
K.D.
Towarzyszy Pan Minister naszemu Stowarzyszeniu od 6-ciu chyba lat –
najpierw jako profesor Uniwersytetu, teraz jako Minister. Jak Pan postrzega
działalność SNM i jaką rolę widzi Pan obecnie dla nas?
Z.M.
Towarzyszę Wam z przyjemnością. Stowarzyszenie skupia najbardziej aktywną część społeczności nauczycieli matematyki. Tworzycie zwartą, zgraną
grupę działającą razem ze wspólnymi celami. Macie możliwość zmieniania rzeczywistości. Świadczą o tym bardzo liczne konferencje i dobrze dobrana tematyka – zawsze aktualna i potrzebna nauczycielom. Uczestnicy konferencji to są
inteligentni ludzie i nie pojawialiby się, gdyby nie interesowały ich poruszane
tematy. Wrażenie robią zapełnione sale i wielość mniej lub bardziej kameralnych spotkań, które odbywają się podczas konferencji.
K.D.
Stowarzyszenie działa również poprzez oddziały terenowe, których mamy obecnie kilkanaście. Czy wie Pan Minister jaki jest najmłodszy oddział?
. . . Oddział Warszawski.
Z.M.
Trochę jestem zaskoczony, ale się cieszę. Ze swojej strony deklaruję pełne
wsparcie i opiekę, kolegów zachęcę i chętnie pojawię się na konferencji urządzanej przez Warszawski Oddział. Ze swojej strony chciałbym jeszcze nawiązać
9
Krystyna Dałek
do Podstawy Programowej. Cieszę się, że środowisko zaakceptowało zmiany.
K.D.
Owszem. Niektórzy co prawda nie mogą odżałować funkcji liniowej, która
pojawia się zdaniem wielu zbyt późno, ale za to wszyscy cieszą się, że procenty
wróciły do szkoły podstawowej.
Z.M.
Jest to wynik konsultacji środowiskowych. Proszę jednak zwrócić uwagę,
że temat procenty jest trochę inaczej sformułowany niż poprzednio. Chcemy, żeby to, co jest zapisane o procentach było rzeczywiście nauczone i to
we właściwy sposób – może mniej, ale ze zrozumieniem i dobrze. A będziemy to sprawdzać. Mamy zamiar powierzyć badania efektywności kształcenia
przekształconemu Instytutowi Badań Edukacyjnych. Chcemy wdrożyć szereg
badań nad nauczaniem różnych pojęć. Mamy na to środki i będziemy bardzo
wnikliwie monitorować proces kształcenia oraz analizować uzyskane wyniki.
K.D.
Bardzo dużą rolę mają tutaj podręczniki.
Z.M.
To oczywiste. Mamy powołany zespół rzeczoznawców, ale zmieniamy obecnie ich sposób działania. Po pierwsze chcemy, aby rzeczoznawcy tworzyli zgrany zespół, który jednolicie interpretuje zapisy Podstawy Programowej. Według znowelizowanego rozporządzenia o dopuszczaniu podręczników do użytku
szkolnego, opinie rzeczoznawców muszą zawierać zarówno uwagi merytoryczne (jak dotychczas) ale również i dydaktyczne. Naszym zdaniem, oba aspekty
w opinii podręcznika są jednakowo ważne.
Chciałbym jeszcze zachęcić SNM do składania różnych projektów
dydaktyczno-edukacyjnych. Mamy na to fundusze unijne, a wszelkie szczegóły można znaleźć na stronach ministerstwa.
K.D.
Dziękuję bardzo Panu Ministrowi za rozmowę.
10
GEOMETRIA
Tomasz Szemberg (Kraków)
Od geometrii euklidesowej do
komputerowej
Od Redakcji
Profesor Tomasz Szemberg z UP, na rozpoczęcie konferencji, wygłosił bardzo ciekawy wykład plenarny, na którym w niezwykle interesujący w sposób
przedstawił długą drogę powstawania i rozwoju geometrii od jej początków,
aż do dnia dzisiejszego. Niestety, jego wykład zawarty jest jedynie na slajdach,
z których każdy może stanowić punkt wyjścia do odrębnego ciekawego opracowania. Slajdy te można obejrzeć na portalu http://snm.edu.pl/czlonkowie.
Zachęcamy gorąco do ich obejrzenia, a w tej publikacji z konieczności ograniczamy się jedynie do krótkiego streszczenia przysłanego nam przez profesora
Szemberga.
Streszczenie uzupełniamy pierwszym slajdem, będącym punktem wyjścia
dla całego wykładu.
Streszczenie
Geometria, jak sama nazwa wskazuje wyrosła z praktycznych potrzeb. Elementarne problemy dotyczące związków miarowych w trójkątach czy innych figurach płaskich, legły u podstaw pierwszej formalnej teorii matematycznej - geometrii euklidesowej. Pojawienie się z upływem czasu innych rodzajów geometrii, można tłumaczyć
na gruncie teoretycznym badaniami dotyczącymi postulatów Euklidesa, zwłaszcza
słynnego aksjomatu o prostych równoległych. Rozwój ten był jednak, w co najmniej
równym stopniu, uzasadniony względami praktycznymi. I tak w renesansie pojawiła się geometria rzutowa, a jej prekursorem był malarz, rzeźbiarz i filozof Albrecht
Durer. Sto lat później, wprowadzenie współrzędnych kartezjańskich zrewolucjonizowało geometrię i pozwoliło na jej połączenie z innymi działami matematyki- algebrą
i analizą. Z tego połączenie wyrosła geometria różniczkowa i geometria algebraiczna.
Mniej więcej 30 lat temu rozpoczęła się rewolucja w technologii informatycznej. Powstało zapotrzebowanie na inne rodzaje geometrii. Powstała geometria algorytmiczna i obliczeniowa. To dwa żywe, intensywnie rozwijające się obecnie działy geometrii
znajdujące zastosowanie z automatyce, robotyce, przetwarzaniu danych, systemach
nawigacji satelitarnej. Myślą przewodnią wykładu będzie pokazanie i uwypuklenie
Tomasz Szemberg
praktycznych aspektów w rozwoju geometrii na przestrzeni dziejów i wykazanie, że
matematyka jest nie tylko nauką podstawową, ale również praktyczną, odpowiadającą
na konkretne zapotrzebowania realnego świata.
Tomasz Szemberg jest profesorem
w Instytucie Matematyki
Uniwersytetu Pedagogicznego w Krakowie
[email protected]
12
Władysława Paczesna (Błonie)
Praca z uczniem mającym trudności
w nauce
Streszczenie
Na wykładzie przedstawiam złożoną problematykę związaną z uczeniem ucznia
słabego. Praca z uczniem słabym jest bolączką nas wszystkich. Warto więc poznać
przyczyny i skutki niepowodzeń szkolnych. Zastanowimy się jak im zapobiegać. Poznamy propozycje działań mających na celu zdiagnozowanie potrzeb a następnie praktyczne metody pracy na lekcji z uczniem słabym. W programie dla ucznia słabego
odpowiemy na pytanie jak dostosować wymagania edukacyjne dla uczniów posiadających opinie lub orzeczenie PPP.
Praca z uczniem mającym trudności w nauce każdemu z nas przysparza
wiele kłopotów. Nauczyciele martwią się, że nie nauczą ucznia tego co jest potrzebne na kolejnym etapie edukacyjnym, uczniowie denerwują się, że ktoś od
nich wymaga wiedzy ponad ich możliwości, a rodzice winią dziecko i nauczyciela za brak postępów w nauce. Koło się zamyka. W polskim prawodawstwie
jest wiele aktów prawnych mówiących o tym, że każdy, a więc także uczeń
„słaby”, ma prawo do nauki i należy wymagania dostosować do jego możliwości. Zacznijmy więc od dzieci i młodzieży niepełnosprawnej.
Przytoczmy najważniejsze akty prawne dotyczące pracy z uczniami
niepełnosprawnymi i popatrzmy jak powinna wyglądać edukacja dla
dzieci niepełnosprawnych.
Podstawowym aktem prawnym regulującym kształcenie dzieci i młodzieży niepełnosprawnej jest ustawa z dnia 7 września 1991 r. o systemie oświaty (Dz. U. z 1996 r. Nr 67, poz. 329 z późniejszymi.
zm.).
Dziecko niepełnosprawne, posiadające specjalne potrzeby edukacyjne ma
prawo do:
• pobierania nauki we wszystkich typach szkół;
• dostosowania treści, metod i organizacji nauczania do ich możliwości
psychofizycznych;
• pomocy psychologiczno-pedagogicznej.
Formy kształcenia uczniów niepełnosprawnych
W zależności od rodzaju oraz stopnia zaburzeń i odchyleń dzieciom i młodzieży organizuje się kształcenie i wychowanie, które stosownie do potrzeb
umożliwia naukę w dostępnym dla nich zakresie, usprawnianie zaburzonych
funkcji, rewalidację i resocjalizację oraz zapewniają specjalistyczną pomoc
i opiekę.
Kształcenie to może być prowadzone w:
• szkołach ogólnodostępnych;
• szkołach lub oddziałach integracyjnych;
• szkołach lub oddziałach specjalnych;
• specjalnych ośrodkach szkolno-wychowawczych;
• specjalnych ośrodkach wychowawczych.
Zasady organizowania kształcenia dla uczniów niepełnosprawnych
określone zostały w:
• zarządzeniu Nr 29 Ministra Edukacji Narodowej z dnia 4 października
1993 r. w sprawie zasad organizowania opieki nad uczniami niepełnosprawnymi, ich kształcenia w ogólnodostępnych i integracyjnych publicznych przedszkolach, szkołach i placówkach oraz organizacji kształcenia
specjalnego (Dz. Urz. MEN, Nr 9, poz. 36);
• rozporządzeniu Ministra Edukacji Narodowej z dnia 21 maja 2001 r.
w sprawie ramowych statutów publicznego przedszkola oraz publicznych
szkół (Dz. U. Nr 61, poz. 624);
• rozporządzeniu Ministra Edukacji Narodowej z dnia 21 maja 2001 r.
w sprawie ramowych planów nauczania w szkołach publicznych (Dz. U.
Nr 61, poz. 626).
Kwalifikacja do odpowiedniej formy kształcenia odbywa się na podstawie
przepisów rozporządzenia Ministra Edukacji Narodowej z dnia 12 lutego 2001
r. w sprawie orzekania o potrzebie kształcenia specjalnego lub indywidualnego
nauczania dzieci i młodzieży oraz szczegółowych zasad kierowania do kształcenia specjalnego lub indywidualnego nauczania (Dz. U. Nr 13, poz. 114.).
W myśl powyższego rozporządzenia dzieci i młodzież z zaburzeniami i odchyleniami rozwojowymi kierowane są do odpowiedniej formy kształcenia na
podstawie orzeczenia wydanego przez zespoły orzekające, działające w publicznych poradniach psychologiczno-pedagogicznych oraz innych poradniach
specjalistycznych.
Na wniosek rodziców lub opiekunów prawnych zespoły orzekają o:
14
Praca z uczniem mającym trudności w nauce
• potrzebie kształcenia specjalnego;
• potrzebie indywidualnego nauczania dla dzieci i młodzieży, których stan
zdrowia uniemożliwia lub znacznie utrudnia uczęszczanie do szkoły;
• o potrzebie zajęć rewalidacyjno-wychowawczych dla dzieci i młodzieży
z upośledzeniem umysłowym w stopniu głębokim.
Akty prawne regulujące sprawy kształcenia uczniów ze specjalnymi potrzebami edukacyjnymi.
Każde dziecko niepełnosprawne ma prawo do nauki, co zapewnia art. 70
Konstytucji RP, ustawa o systemie oświaty i inne akty prawne.
1. Ustawa o systemie oświaty z dnia 7 września 1991 r. (Dz. U. z 1996 r. Nr
67, poz. 329 z późniejszymi zm.).
Zgodnie z art. 1. ustawy system oświaty zapewnia w szczególności:
• prawo każdego obywatela do kształcenia się;
• dostosowanie organizacji, treści i metod nauczania do możliwości psychofizycznych uczniów;
• korzystanie z opieki psychologiczno-pedagogicznej i specjalnych form
pracy dydaktycznej;
• pobieranie nauki we wszystkich typach szkół przez dzieci i młodzież niepełnosprawną zgodnie z indywidualnymi predyspozycjami, potrzebami
rozwojowymi oraz edukacyjnymi.
Ustawa zobowiązuje także ministra właściwego do spraw oświaty i wychowania do ustalenia zasad i organizacji opieki nad uczniami niepełnosprawnymi
oraz ich kształcenia w ogólnodostępnych i integracyjnych szkołach i placówkach oraz organizacji kształcenia specjalnego.
2. Rozporządzenie Ministra Edukacji Narodowej i Sportu z dnia 7 września
2004 r. w sprawie warunków i sposobu oceniania, klasyfikowania i promowania uczniów i słuchaczy oraz przeprowadzania egzaminów i sprawdzianów
w szkołach publicznych (Dz. U. Nr 199, poz. 2046 z późn. zm.).
Precyzuje ono zapisy regulujące sprawy związane z ocenianiem i egzaminowaniem uczniów ze specjalnymi potrzebami edukacyjnymi, w tym m.in.:
• konieczność dostosowania przez nauczycieli wymagań edukacyjnych do
indywidualnych potrzeb psychofizycznych ucznia;
• możliwość zwolnienia ucznia z wadą słuchu lub z głęboką dysleksją rozwojową z nauki drugiego języka obcego;
• reguluje formę i warunki sprawdzianu bądź egzaminu do którego przystępują uczniowie z dysfunkcjami;
15
• określa dokumenty precyzujące zakres dostosowania wymagań edukacyjnych i egzaminacyjnych (orzeczenie lub opinia poradni);
• określa gdzie można znaleźć zakres sprawdzanych umiejętności i wiadomości (standardy) dla uczniów niewidomych i słabo widzących, niesłyszących i słabo słyszących w przypadku sprawdzianu, egzaminu gimnazjalnego i maturalnego.
3. Rozporządzenie Ministra Edukacji Narodowej z dnia 10 sierpnia 2001 r.
w sprawie standardów wymagań będących podstawą przeprowadzania sprawdzianów i egzaminów (Dz. U. Nr 92, poz.1020 z późn. zm.).
Zawiera wymagania, które uwzględniają cele i zadania edukacyjne, zakres
treści nauczania oraz umiejętności i osiągnięcia uczniów zawarte w odpowiednich podstawach programowych. Rozporządzenie uwzględnia standardy wymagań egzaminacyjnych dla uczniów z dysfunkcjami:
• w przypadku sprawdzianu w ostatniej klasie szkoły podstawowej – dla
uczniów niewidomych i słabo widzących, niesłyszących i słabo słyszących;
• w przypadku egzaminu w ostatnim roku nauki w gimnazjum – dla uczniów
niewidomych i słabo widzących, niesłyszących i słabo słyszących;
• w przypadku egzaminu maturalnego - dla osób niesłyszących z języka
polskiego, języków obcych nowożytnych tj. języka angielskiego i języka
niemieckiego, historii i wiedzy o społeczeństwie.
4. Rozporządzenie Ministra Edukacji Narodowej i Sportu z dnia 7 stycznia 2003
r. w sprawie zasad udzielania i organizacji pomocy psychologiczno-pedagogicznej
w publicznych przedszkolach, szkołach i placówkach (Dz. U. Nr 11, poz. 114).
Informuje o rodzajach pomocy, formach jej organizowania a także określa
zadania pedagoga szkolnego. Poradnia zapewnia dziecku pomoc psychologicznopedagogiczną zaleconą w orzeczeniu, w takim zakresie, w jakim do udzielenia
tej pomocy nie jest przygotowana szkoła lub placówka.
5. Rozporządzenie Ministra Edukacji Narodowej i Sportu z dnia 11 grudnia 2002 r. w sprawie szczegółowych zasad działania publicznych poradni
psychologiczno-pedagogicznych, w tym publicznych poradni specjalistycznych
(Dz. U. z 2003 r. Nr 5, poz. 46).
Poradnie psychologiczno-pedagogiczne wydają m.in. opinie w sprawach:
• dostosowania wymagań edukacyjnych wynikających z programu nauczania do indywidualnych potrzeb ucznia, u którego stwierdzono specyficzne
trudności w uczeniu się, uniemożliwiające sprostanie tym wymaganiom;
• zwolnienia ucznia z wadą słuchu lub z głęboką dysleksją rozwojową nauki drugiego języka obcego;
16
• przystąpienia ucznia do sprawdzianu lub egzaminu w warunkach i formie
dostosowanych do jego indywidualnych potrzeb psychofizycznych.
6. Rozporządzenie Ministra Edukacji Narodowej z dnia 12 lutego 2001 r.
w sprawie orzekania o potrzebie kształcenia specjalnego lub indywidualnego
nauczania dzieci i młodzieży oraz szczegółowych zasad kierowania do kształcenia specjalnego lub indywidualnego nauczania. (Dz. U. Nr 13, poz. 114
z późn. zm.).
Reguluje sprawy związane ze składem zespołu orzekającego, jego powoływaniem, z procedurą składania wniosku o wydanie orzeczenia i zawiera wzory
orzeczeń. Stanowi, m.in. że działające w poradniach zespoły orzekające wydają
orzeczenia o potrzebie kształcenia specjalnego bądź indywidualnego nauczania
na wniosek rodziców (prawnych opiekunów) ucznia.
Tyle mówi polskie prawo. Ale czy uczniowie słabi to tylko niepełnosprawni
rozumiani tak jak powyżej?
Kto to jest uczeń słaby?
Uczniami słabymi określamy tych, u których nie stwierdzono dysfunkcji
(dysleksja, dysortografia itp.), a mimo to nie osiągają zadowalających wyników
w nauce.
Niepowodzenia szkolne od dawna stanowią przedmiot zainteresowań psychologów i pedagogów.
Niepowodzenia szkolne to, zdaniem specjalistów, rozbieżności między wymaganiami dydaktycznymi i wychowawczymi a oczekiwanymi rezultatami.
Uczeń słaby, którego nie nazywamy niepełnosprawnym intelektualnie może
mieć następujące ograniczenia intelektualne:
• trudności w rozumieniu pojęć;
• trudności w przyswajaniu materiału (uczeniu się);
• słaba aktywność myślowa;
• niemożność uogólniania, opieranie się na konkretach;
• rozproszona uwaga, stała dekoncentracja;
• krótkotrwała pamięć;
• nieumiejętność pokonywania trudności intelektualnych;
• wolne tempo pracy.
Często u takiego ucznia spotykamy się z brakiem motywacji do nauki, bo wyraża on:
• brak zainteresowania przedmiotami;
• brak chęci poznawania;
17
• bierność i rezygnację wynikającą z niemożności zrozumienia i przyswojenia materiału;
• niewykazywanie głębszych zainteresowań problemami szkolnymi;
• brak wytrwałości w uzupełnianiu braków.
Uczeń słaby może nietypowo się zachowywać, bo:
• obawia się publicznej oceny i krytyki lub ośmieszenia;
• przejawia zachowania lękowe i nerwicowe;
• nie potrafi kierować własnymi procesami psychicznymi;
• szybko się męczy i odczuwa znużenie;
• stwarza krąg zależności przyczynowo skutkowych.
Jaki jest charakter niepowodzeń szkolnych?
Niepowodzenia szkolne ucznia są związane przede wszystkim z cechami
jego osobowości i rodzajem stosunków ze środowiskiem.
Niepowodzenia szkolne mogą mieć charakter jawny lub ukryty
Ukryte: Nauczyciele nie dostrzegają braków w wiadomościach, umiejętnościach i nawykach uczniów, mimo, że braki te już istnieją.
Jawne: Nauczyciel stwierdza braki i ocenia na ocenę niedostateczną.
Punktem wyjścia słabych postępów w nauce są niepowodzenia ukryte tzn.
drobne luki w wiadomościach, które niedostrzeżone w porę powodują niepowodzenia jawne.
Te, które najpierw mają charakter przejściowy, poprzez niepowodzenia
względnie trwałe prowadzą do drugoroczności i odsiewu.
Jakie są zależne i niezależne od uczniów przyczyny niepowodzeń
wpływające na efekty nauczania?
Przyczyny tkwiące w samym uczniu:
• cechy osobowościowe;
• dolegliwości psychofizyczne, niska wydolność psycho - fizyczna;
• absencja;
• obniżone możliwości intelektualne (poziom rozwoju - dolna granica normy);
• deficyt funkcji percepcyjno - manualnych: wzrok, słuch (dysleksja, dysgrafia, dysortografia);
• zaburzenia sfery emocjonalnej: nadpobudliwość psychoruchowa - ADHD,
nadruchliwość, impulsywność;
• nieznajomość technik uczenia się;
18
• brak ciekawości poznawczej;
• niechęć do czytania;
• brak motywacji;
• problemy natury wychowawczej.
Przyczyny spowodowane przez nauczyciela:
• zła organizacja lekcji: brak dokładnie sprecyzowanych celów, jednostronna kontrola i ocena;
• niewłaściwe metody nauczania: metody podające;
• złe formy pracy: zbiorowa, jednolita dla wszystkich uczniów, bez uwzględnienia ich indywidualnych możliwości;
• słabe wykorzystanie wiedzy w praktyce;
• słaba kontrola i ocena przyswojonego materiału: ocenianie stanu wiedzy
a nie przyrostu wiedzy;
• ocenianie niesystematyczne, brak uzasadnienia uzyskanych ocen.;
• słaba znajomość uczniów: brak systematycznej pracy, brak współpracy
z rodzicami, brak arkusza spostrzeżeń;
• brak dostatecznej opieki nad uczniami mniej zdolnymi: tj. brak różnicowania zadań na sprawdzianie, opieki pedagogicznej i psychologicznej;
• niewłaściwa atmosfera na lekcji: nauczyciel jest zbyt surowy lub zbyt
liberalny.
• nieporozumienia w relacjach nauczyciel-uczeń.
Przyczyny ekonomiczno – społeczne:
• złe warunki mieszkaniowe;
• niski poziom intelektualny rodziców;
• brak zrozumienia rodziców wobec dziecka;
• rozpad rodziny;
• wadliwe metody wychowawcze stosowane przez rodziców;
• patologie społeczne i rodzinne (niewłaściwa postawa rodziców).
• trudna sytuacja materialna.
Przyczyny tkwiące w systemie szkolnym:
• nieprzystosowanie programów nauczania do możliwości uczniów;
• brak pomocy dydaktycznych;
• zbyt duża liczba uczniów w klasie.;
19
• zła organizacja procesu nauczania np. zły rozkład zajęć;
• Brak wsparcia pedagogiczno – psychologicznego.
Jakie w związku z powyższym są skutki niepowodzeń szkolnych?
Wiedza
• Powstawanie drobnych luk w opanowanym materiale.
• Powstawanie znacznych luk (oceny niedostateczne).
Postawy i zachowania
• Potęgowanie zaburzeń rozwoju, które były pierwotną, główną lub wspierającą przyczyną niepowodzeń.
• Wzrost niechęci do nauki.
• Spadek motywacji.
• Wzrost agresji.
• Kłamstwa.
• Tracenie ambicji.
• Wagary.
• Brak zainteresowania oceną.
• Powstawanie nowych zaburzeń.
• Pogarszanie ogólnej sprawności umysłowej uczniów.
• Obniżanie odporności nerwowej i tolerancji na stres.
• Narastanie konfliktów.
Narastanie trudności jest tak silne, że uczeń sam nie umie sobie już z tym
poradzić, potrzebna mu jest fachowa pomoc.
Jak więc zapobiegać niepowodzeniom szkolnym?
Zaczynamy od rozpoznania poprzez:
• wnikliwą obserwację uczniów na początku roku szkolnego;
• wywiad z rodzicami;
• poznawanie uczniów podczas procesu nauczania ;
• analizowanie dokumentacji dotyczącej dziecka;
• kontakt z pedagogiem i psychologiem szkolnym;
• kontakt z nauczycielami uczącymi w danej klasie;
• stały kontakt z rodzicami, analizowanie zeszytów, rysunków.
Nawiązujemy kontakt z uczniem dbając o:
• życzliwą atmosferę i ciepło w pracy z każdym uczniem;
20
• tworzenie klimatu korzystnego dla uczniów;
• wdrażanie do systematycznej pracy;
• dbanie o wysoki poziom motywacji do pracy.
Dopiero wtedy możemy mówić o dobrym planowaniu pracy dydaktycznej.
Diagnoza pedagogiczna powstaje w trakcie posługiwania się takimi sposobami poznawania uczniów oraz kontroli i oceny wyników nauczania, jakie
pozwalają na natychmiastowe wykrywanie powstających i narastających luk
w wiadomościach i umiejętnościach każdego ucznia. Są to między innymi:
• systematyczna kontrola prac domowych;
• systematyczna kontrola przyrostu wiedzy;
• indywidualizowanie procesu nauczania: na lekcji, zadań domowych, sprawdzianów;
• nauczanie problemowe, nauczanie w zespołach uczniowskich.
Dziecka słabego nie zostawiamy samego. Trzeba mu pomóc np. poprzez:
• stworzenie zespołu wyrównawczego;
• organizowanie pomocy koleżeńskiej;
• stosowanie ćwiczeń korektywnych;
• praca terapeutyczna nad wzrostem koncentracji uwagi.
Ustaleniu przyczyn niepowodzeń ucznia może służyć:
• przeprowadzanie testów w celu określenia poziomu umiejętności uczniów
(dokonać diagnozy deficytów na początku roku szkolnego za pomocą np.
testu diagnozującego);
• obserwacja zachowań uczniów na lekcji i sporządzanie notatek z tych
obserwacji;
• uzyskiwanie informacji o uczniu od wychowawcy klasy;
• wymiana informacji o uczniach pomiędzy nauczycielami uczącymi w danej klasie/grupie;
• zapoznanie się z opiniami lub orzeczeniami PPZ;
• zapoznanie się z wszelkimi orzeczeniami lekarskimi, jeśli takowe uczeń
posiada;
• przeprowadzenie rozmowy/wywiadu z rodzicami ucznia;
• założenie arkusza obserwacji ucznia, w którym na bieżąco należy zapisywać informacje o postępach w nauce ucznia lub ich braku;
21
• utrzymywanie stałego kontaktu z rodzicami, wychowawcą, szkolnym pedagogiem i psychologiem w celu bieżącego informowania o osiągnięciach
ucznia lub ich braku zapisywanymi w arkuszu obserwacji;
• sporządzenie po rozmowie z rodzicem notatki czy też protokołu zawierającego poruszane problemy na temat ucznia. (Protokół powinien być
opatrzony datą, pieczątką szkoły, podpisem nauczyciela i rodzica).
Zdiagnozowanie ucznia we wszystkich aspektach jest bardzo trudne i długofalowe. Korzystamy z pomocy innych osób i instytucji, lecz diagnozowanie
niedociągnięć (wiedzy i umiejętności) uczniów winno być stałym elementem
pracy nauczyciela.
Jakie są zadania nauczyciela do pracy i obserwacji ucznia słabego?
We wszystkich działaniach wspierających ucznia ważna jest postawa nauczyciela.
Należy:
• stosować się do zaleceń zawartych w orzeczeniach;
• uwzględniać możliwości intelektualne ucznia;
• stwarzać sprzyjającą atmosferę pracy;
• obniżać napięcie psychiczne;
• maksymalnie redukować sytuacje stresowe;
• uwzględniać zainteresowania ucznia;
• mobilizować ucznia do zadawania pytań;
• stosować system wzmocnień w toku nauczania.
W procesie nauczania należy:
• przeprowadzać analizę i ewaluację pracy ucznia przynajmniej raz w semestrze;
• szybko wykrywać luki w wiedzy i umiejętnościach ucznia i nie dopuszczać do pogłębienia braków;
• systematycznie weryfikować osiągnięcia ucznia i postępy w nauce lub ich
brak np. za pomocą prowadzenia karty ucznia, gdzie są zapisywane wyniki jego pracy;
• systematycznie przeprowadzać testy, sprawdziany i prace klasowe poprzedzone powtórzeniem i utrwaleniem wiadomości i umiejętności;
• wszelkie testy powinny zawierać zadania łatwiejsze i trudniejsze;
• należy zwiększyć ilość ćwiczeń utrwalających wiadomości i umiejętności
na lekcji;
22
• stosować metodę małych kroków (uczenie małych partii i cząstkowa ocena);
• wiedza i umiejętności ucznia powinny narastać w sposób koncentryczny, na zasadzie stopniowania poziomu trudności. Praca powinna więc
być wielopoziomowa – należy zacząć ją nawet od minimum okrojonego
z wiadomości i umiejętności podstawowych, które należy poszerzać systematycznie, aż uczeń osiągnie poziom podstawowy a za nim kolejne;
• respektować w codziennym postępowaniu dydaktyczną zasadę powolnego stopniowania trudności zadań;
• w razie konieczności na określony czas obniżyć wymagania, następnie
zmierzyć przyrost wiedzy i umiejętności;
• udzielać wyczerpujących wyjaśnień na zadawane pytania;
• jasno uzasadniać powód negatywnej oceny źle wykonanego zadania;
• zadawać do domu zadania nie wymagające przyswajania i utrwalania
nowych treści;
• różnicować prace domową na zadania obowiązkowe (łatwiejsze) i dodatkowe (trudniejsze ) pozostali uczniowie mają inną pracę domową wynikającą z poziomu trudności lekcji;
• systematycznie sprawdzać pracę domową oraz to czy uczeń wykonał ją
samodzielnie;
• stosować na lekcjach metody nauczania, które zaktywizują ucznia i doprowadzą do uczenia się niezamierzonego;
• stosować metody aktywizujące i korzystać z niekonwencjonalnych pomocy dydaktycznych nastawionych na kształcenie aktywnego myślenia
i umiejętności;
• rytmicznie oceniać wszelkie prace ucznia;
• ocena ucznia powinna być jawna i uzasadniona;
• niektóre ćwiczenia przeprowadzać w formie gier i zabaw;
• dawać większą ilość czasu na wykonanie poszczególnych poleceń;
• planować nie tylko pojedyncze jednostki lekcyjne, ale całe etapy kształcenia wprowadzając na bieżąco korekty;
• wprowadzać ucznia w tematykę kolejnej lekcji poprzez wcześniejsze zapoznanie go z częścią materiału np. zadanie domowe – zapoznanie się
z obudową teoretyczną danego zagadnienia, czy też wyszukanie informacji na dany temat;
23
• wzbogacenie lekcji o środki dydaktyczne danego ucznia (wzrokowiec, słuchowiec, kinestetyk) -zaciekawienie tematem, wzrost motywacji;
• nagradzanie i karanie – kij i marchewka.
Wsparcie. Szkoła może wspierać ucznia ze specyficznymi trudnościami w nauce poprzez:
• organizowanie zajęć korekcyjno kompensacyjnych z danego przedmiotu;
• uczenie komunikacji interpersonalnej;
• realizowanie komunikacyjny model kształcenia na miarę możliwości ucznia
słabego;
• skierowanie ucznia ze specyficznymi trudnościami do specjalisty w celu
jak najszybszego zdiagnozowania jego deficytów np. logopedy, poradni
pedagogiczno – psychologicznej;
• włączenie zdiagnozowanego ucznia pod kątem deficytów do odpowiednich grup terapeutycznych;
• stworzenie uczniowi szansy poznania samego siebie (szanse, mocne i słabe strony, zagrożenia);
• rozpoznanie co jest dla danego ucznia najlepszą formą pomocy (samopomoc, indywidualizacja, pomoc fachowa);
• organizowanie obozów integracyjnych;
• terapie pedagogiczne.
Przyjrzyjmy się metodom pracy z uczniem słabym
Pragnienie sukcesu – to jeden z motywów odgrywających ważną rolę pobudzającą do wysiłku w nauce szkolnej. Sukcesem może być otrzymanie: prezentu, wyróżnień symbolicznych, dyplomu, oceny czy pochwały.
Pamięć ludzka jest zawodna, więc proponuję systematyczne prowadzenie
dzienników obserwacji o indywidualnych postępach US.
Mówimy o uczniu słabym, a więc takim, który nie jest zmotywowany
do uczenia się. Skuteczność naszych działań dydaktycznych możemy uzyskać
przez uczenie się niezamierzone.
Powinniśmy stosować na lekcjach metody nauczania:
• odpowiednie metody aktywizujące (np. metaplan, plakat podsumowujący, elementy dramy, gry i zabawy dydaktyczne, np. w parach słaby
i średni);
• metoda projektu (zadania odpowiednie dla US - szczegółowa instrukcja,
konsultacje bieżące, właściwa ocena);
24
• różne metody i formy pracy na jednej lekcji (podająca i ćwiczeniowa,
nauczanie czynnościowe, praca z podręcznikiem - rozwijanie umiejętności czytania);
• niekonwencjonalne pomoce dydaktyczne nastawione na kształcenie aktywnego myślenia i nabycie umiejętności (układanki, rebusy, filmy, nagrania, modele do składania);
• nauczanie problemowe (wzrost zainteresowania nauką, wdrażanie do wspólnego przezwyciężania trudności);
• różne formy praktycznych zajęć czy aktywności (wycieczki, przygotowanie wystaw, inscenizacji);
• konkurs dla ucznia słabego.
Moje doświadczenia w ocenianiu efektów pracy ucznia słabego
Stwarzamy sytuacje gdzie uczeń może otrzymać ocenę pozytywną.
Na lekcji:
• prośba nauczyciela o wyjaśnienie nowego pojęcia lub rozwiązanie na tablicy prostego przykładu z nowego tematu lub działu;
• zachęcanie do aktywności na lekcjach i odpowiedzi ustnych;
• sprawdzanie przez nauczyciela dodatkowej pracy dostosowanej do możliwości ucznia;
• podsumowanie pracy w imieniu grupy na lekcji.
W domu:
• zadawanie prac domowych długoterminowych przy szczegółowej instrukcji.
Na zajęciach dodatkowych:
• podsumowanie aktywności, postępów i wkładu pracy.
Na sprawdzianach:
• układanie sprawdzianów tak by SU mogli otrzymać pozytywne oceny
(jednakowo punktować zadania zestawu - 60% zadań to zadania z zakresu podstawowego);
• umożliwienie korzystania z pomocy podczas sprawdzianów ( jak trzeba
to i innym);
• Stosowanie odrębnej punktacji za wybór poprawnej metody i konsekwencji jej stosowania i poprawność wyniku;
• Umożliwienie uczniowi wyjaśnienia w razie wątpliwości co do poprawności rozumowania ucznia na sprawdzianie.
25
Ostateczna ocena US winna wynikać z wielu różnorodnych informacji,
a nie tylko ze sprawdzianów pisemnych. Należy doceniać jego chęci, wkład
pracy, systematyczność i obowiązkowość. Przede wszystkim należy wziąć pod
uwagę dokonane w określonym czasie postępy, czyli tempo przyrostu kompetencji. Dotyczy to pracy z uczniami słabymi nie ze swojej winy.
Planowanie pracy dydaktycznej i pomoc uczniowi będzie efektywna, gdy
stworzymy dla naszego ucznia słabego indywidualny program pracy.
Przykład programu pracy z uczniem słabym jako element planu pracy nauczyciela przedmiotu
(Program piszemy po przeprowadzeniu diagnozy danego ucznia lub zespołu
uczniów )
Cele edukacyjne
• Wyrównanie poziomu wiedzy oraz umiejętności uczniów.
• Stwarzanie uczniom słabym warunków umożliwiających im realizację
niezbędnego minimum poprzez pracę indywidualną .
• Niwelowanie przykrych doświadczeń związanych z porażkami uczniów na
lekcjach matematyki.
• Kształtowanie osobowości i pobudzanie wiary w siebie.
• Rozwijanie zainteresowań i motywacji do pracy.
Metody pracy
• Dialog nauczyciela z uczniami.
• Praca z tekstem matematycznym.
• Wyszukiwanie i poprawianie błędów w rozwiązaniach zadań.
• Ćwiczenia indywidualne pod nadzorem nauczyciela.
• Rozwiązywanie zadań metodą „wg wzoru”.
• Praca w małych grupach z przydziałem zadań na miarę możliwości.
Środki dydaktyczne
• Podręczniki i zbiory stosowane na lekcjach matematyki.
• Zeszyty przedmiotowe uczniów z lekcji.
• Materiały pomocnicze przygotowane przez prowadzącego lub gotowe zestawy reedukacyjne.
• Dodatkowe zeszyty– na zajęcia wyrównawcze lub do pracy w domu.
Opis założonych osiągnięć ucznia
Uczeń potrafi:
• ocenić swoje możliwości;
26
• wybierać zadania, które jest w stanie rozwiązać;
• systematycznie przygotowywać się do zajęć;
• pokonywać strach i nieśmiałość;
• zadawać pytania dotyczące danego problemu czy zadania;
• współpracować w grupie czynnie (nie tylko być obserwatorem);
• osiągać zadawalające wyniki w nauce.
Ewaluacja programu
W czasie realizacji Programu pracy z uczniem mającym trudności z matematyką prowadzone będzie w specjalnym dzienniku obserwacji:
• monitorowanie i ocenianie wysiłku uczniów;
• ich zaangażowanie w wykonywanie zadań;
• systematyczność uczęszczania na zajęcia;
• efekty udziału w zajęciach Programu (oceny śródroczne i końcoworoczne
z matematyki).
Uwagi końcowe
Program pracy z uczniem mającym trudności z matematyką ma służyć
wyrównaniu poziomu wiedzy ucznia, zachęcaniu go do zwiększenia wysiłku
w uczeniu się matematyki, zniwelowaniu przykrych doświadczeń związanych
z porażkami ucznia na lekcjach matematyki. Przy realizacji tego programu
nie powinniśmy być sami. Winni nas wspierać inni np. reedukator, logopeda,
pedagog, psycholog czy rodzic.
Warto powtórzyć znaną maksymę, że to co przychodzi nam z trudem sprawia największą satysfakcję po osiągnięciu sukcesu. Tego państwu życzę w pracy
ze swoimi uczniami mającymi trudności w nauce.
Autorka pracuje w Szkole Podstawowej nr 2 w Błoniu.
Jest doradcą metodycznym
27
Agata Hoffmann (Wrocław)
Pomoce dydaktyczne – konieczność,
możliwość czy balast?
Streszczenie
Na przykładzie rozwiązywania zadań ze stereometrii chcę zastanowić się nad tym,
czy, dlaczego oraz jak wykorzystywać pomoce dydaktyczne, aby osiągnąć zamierzony cel.
Zauważyłam, że pomoce dydaktyczne, które daję moim słabszym uczniom
na lekcji, zamiast im pomagać, stają się tylko utrudnieniem. Praca z pomocami wymaga umiejętności manualnych, zajmuje uczniom więcej czasu, więc
są oni jeszcze bardziej opóźnieni w stosunku do reszty klasy. Użycie pomocy
dydaktycznych jest przereklamowane!
Ta wypowiedź jednej z nauczycielek skłoniła mnie do zajęcia się tematem wykorzystania pomocy dydaktycznych. Z badań wynika, że ich używanie
w procesie nauczania dobrze wpływa na rozwój wiadomości i umiejętności
u uczniów. Co więc spowodowało zupełnie odmienne spostrzeżenia nauczyciela praktyka?
Często zapominamy o tym, że dla efektywności użycia pomocy dydaktycznych ważny jest nie tylko sam fakt ich użycia, ale przede wszystkim sposób –
kiedy ich używamy (np. na lekcji, poza nią), gdzie (np. w klasie, na boisku),
jak (np. wszystkim dajemy to samo czy każdemu coś innego), instrukcje są
szczegółowe czy ogólne, pomoc jest gotowa do użycia czy najpierw trzeba ją
przekształcić.
Czasami pomoc, sama w sobie, może być bardzo dobra, ale sposób jej
użycia spowoduje porażkę w nauczaniu. I tak np. bardzo dobrym pomysłem
na wprowadzenie pojęcia wyrażeń algebraicznych jest tworzenie z danych elementów o podanych nazwach różnych konfiguracji, a następnie ich nazywanie
i dyskusja nad otrzymanymi efektami. Jeśli jednak, nie będziemy mieli elementów składowych gotowych do użycia, tylko czas na lekcji poświęcimy na
ich przygotowywanie (np. wycinanie), to będzie to bezsensowne „użycie” dobrych pomocy (połączonych z dobrym pomysłem ich wykorzystania, którego
niestety nie zdążymy zrealizować).
Agata Hoffmann
Często też, możemy mieć do czynienia z obiektem w ogóle nie określanym
jako pomoc dydaktyczna, a sposób jego użycia może w nauczaniu dać świetne efekty. Takie doświadczenie mam np. z odpowiednim użyciem gry „Super
Farmer”.
W nauczaniu, właśnie od sposobu użycia obiektów, które nazwę pomocami
dydaktycznymi, zależy bardzo dużo.
Ponieważ mam dobre, choć bardzo pracochłonne, doświadczenia, jeżeli chodzi o efektywność użycia pomocy dydaktycznych, chciałabym się podzielić
moim sposobem ich stosowania. By rozważania nie były tylko teoretyczne,
zilustruję je sytuacją zaprezentowaną na warsztatach.
Wybór pomocy poprzedza kilka etapów wstępnych, których nie można
pominąć.
Najpierw określam cel, jaki chcę osiągnąć. W opisywanym przypadku, mój
cel matematyczny to odkrycie przez uczniów, jakie bryły foremne istnieją i ile
ich jest. Cel dydaktyczny to dostrzeżenie istnienia różnych typów modeli brył
oraz przeanalizowanie ich pod względem najlepszej reprezentacji poszczególnych elementów wielościanów.
Mając cele, zastanawiam się, poprzez jakie zadania mogłabym je zrealizować (z osobami, do których chcę dotrzeć) i wybieram te najlepsze.
Zawsze zaczynam od sprawdzenia, czy w ogóle, na danym etapie nauczania
wybrany cel jest realny do osiągnięcia. Jeśli chciałabym pracować z uczniami
szkoły podstawowej, to muszę wziąć pod uwagę, że problem, który wybrałam,
wykracza poza podstawy programowe. Z konstrukcją wielokątów foremnych
i teoretycznym badaniem możliwości ich połączenia uczniowie z podstawówki
mogą mieć problem, ale z wybraniem odpowiednich modeli wielokątów foremnych, gdy są one podane poprzez klocki i połączeniem ich, problemu nie będzie.
Moje zadanie dla uczniów szkół podstawowych brzmi więc tak: Z otrzymanych
klocków zbuduj wszystkie możliwe bryły, których ściany będą takimi samymi
wielokątami. Użyte wielokąty muszą być takie, by ich boki były jednakowej
długości, a kąty wewnętrzne tej samej miary.
Jeżeli chciałabym pracować z uczniami gimnazjum, zadanie mogłabym
sformułować tak: Z otrzymanych klocków zbuduj wszystkie możliwe bryły, których ściany będą takimi samymi wielokątami foremnymi.
Z kolei, jeśli adresatem byliby uczniowie w szkole średniej, zadanie mogłabym sformułować tak: Z otrzymanych klocków zbuduj wszystkie możliwe bryły
foremne.
Dla ustalenia uwagi, dalsza część moich rozważań ograniczy się głównie do
adresata w szkole podstawowej.
Mając już cel „ubrany” w odpowiednio sformułowane zadanie, wybieram
sposób, w jaki chcę je zrealizować. Ponieważ uważam, że jest to zadanie po30
Pomoce dydaktyczne – konieczność, możliwość czy balast?
uczające, a ulepszenie umiejętności odróżniania cech specyficznych dla danego
modelu od cech charakterystycznych dla obiektu matematycznego jest bardzo
ważne, chcę pracować z całą klasą. Mogę to zrobić np. z okazji uroczystości 100
lekcji lub przy końcu roku, po klasyfikacji. Ponieważ zadanie nie jest łatwe,
a razem myśli się lepiej, uważam, że najlepszą formą będzie praca w grupach.
Kolejne decyzje, które muszę podjąć, to jakie wybrać pomoce i jak je rozdzielić na grupy oraz jakiego rodzaju grupy utworzyć (czy dobierane losowo
czy celowo, czy zależy mi na tym by grupy miały porównywalne możliwości
intelektualne, czy zróżnicowane). Odpowiedzi na te pytania są nawzajem od
siebie zależne, więc zacznę od wyboru pomocy.
By uczniowie odkryli możliwe połączenia, muszę mieć klocki, które są modelami figur płaskich. Z tego, co jest mi dostępne, biorę pod uwagę klocki typu:
Polydron (fot. 1), Poly (fot. 2), Cubico (fot. 3) i Reko (fot. 4).
Fot. 1. Polydron
Fot. 3. Cubico
Fot. 2. Poly
Fot. 4. Reko
By podjąć decyzję o ich przydatności, muszę przeanalizować ich skład.
I tak: w zestawie Reko mam do dyspozycji klocki w kształcie foremnych trójkątów, czworokątów, pięciokątów i sześciokątów, i jest ich wystarczająco dużo,
31
Agata Hoffmann
by wszystkie szukane bryły powstały; w zestawie Cubico, z poprzedniego zestawienia brakuje sześciokątów, ale w dalszym ciągu jeden zestaw wystarczy do
ułożenia wszystkich szukanych brył; w zestawie Poly, są tylko kwadraty i trójkąty foremne, poza tym, liczba klocków jest mała, więc „na raz” potrzebuję co
najmniej dwóch zestawów; w zestawie Polydron, mam w wystarczającej liczbie
wszystko to, co w pierwszym zestawie, wzbogacone o trójkąty równoramienne
ostrokątne i prostokątne.
Jeżeli chciałabym, by każda grupa użyła wszystkich pomocy, to musiałabym wykluczyć klocki Polydron, bo mam tylko jeden zestaw. Jest on jednak
na tyle wartościowy, że szkoda by było z niego nie skorzystać – np. tylko
w tym zestawie są elementy w kształcie wielokątów nieforemnych. Co prawda,
mogłabym zorganizować zajęcia tak, by grupy przechodziły od stolika z jedną
pomocą do stolika z drugą pomocą i za każdym razem wykonywały zadanie,
ale byłoby to czasochłonne, nudne (chyba, że zmieniałabym zadania, a to już
zmienia całą koncepcję), a i bezsensowne (nie jest moim celem umożliwienie
wszystkim uczniom układania klocków każdego rodzaju). Pierwsza decyzja już
więc zapadła – każda grupa będzie wykonywała zadanie korzystając z jednej
pomocy.
Jeżeli chciałabym, by każda grupa osiągnęła ten sam rezultat, to musiałabym wykluczyć klocki Poly. Dzieci nie są w stanie z danych klocków ułożyć
pięciokąta foremnego, więc nie ułożą dwunastościanu foremnego. Ale, jeżeli
uczniowie sami by to zauważyli i potrafiliby uzasadnić, byłoby to bardzo wartościowe. Trzeba tylko pamiętać, by przygotować uczniom odpowiednie pytania pomocnicze. Druga decyzja więc też już zapadła – klocki Poly zostają.
Analizując przydatność poszczególnych klocków zauważyłam też, że dodatkowym atutem klocków Reko i Polydron jest to, że uczniowie mogą doświadczyć tego, iż z samych sześciokątów foremnych nie da się zbudować żadnej
bryły (fot. 5).
Fot. 5.
Fot. 6
To doświadczenie pomoże wywnioskować, że wielokąty foremne o większej
liczbie boków niż 5, w rozważanym zadaniu, nas nie interesują. Trzeba tylko
32
również i tu przygotować uczniom odpowiednie pytania pomocnicze. Do zestawu Polydron dołączony jest też kątomierz do mierzenia kątów dwuściennych,
będzie więc można go wykorzystać jako ciekawostkę (fot. 6).
Z przeprowadzonych rozważań widać, że mogę utworzyć cztery różne grupy. Rzadko jednak w naszej rzeczywistości szkolnej znajdę klasy, których liczebność nie przekracza 16 osób, a nie chcę, by grupy były liczniejsze niż 4
osobowe (z moich doświadczeń wynika, że praca w liczniejszych grupach jest
mało efektywna). Muszę więc powtórzyć użycie tej samej pomocy w różnych
grupach.
Z przeprowadzonej analizy już widać, że lepiej by było dobierać grupy
nielosowo – interesująca mnie praca z wybranymi wcześniej klockami nie jest
zawsze tak samo trudna. Przyjmując taki rodzaj podziału, mogę utworzyć
grupy bardzo dobrych uczniów. To skłoniło mnie do rozważenia wykorzystania pomocy, których użycie do rozwiązania wybranego przeze mnie problemu
jest trudniejsze – nie mamy tu podanych modeli wielokątów, ale należy je samodzielnie skonstruować. Myślę tu o wykorzystaniu zestawów: Bamp (fot. 7),
Klocków magnetycznych (fot. 8) oraz Zestawu matematycznego (fot. 9).
Fot. 7. Bamp
Fot. 8. Klocki magnetyczne
Fot. 9. Zestaw matematyczny
33
Agata Hoffmann
Zestaw Bamp jest łatwy w użyciu, ale poprzez ograniczenia związane
z kształtem łączników, niewiele można tu osiągnąć. Niemniej jednak uzasadnienie, dlaczego tak się dzieje, jest bardzo kształcące – trzeba tylko odpowiednimi pytaniami uczniów na to naprowadzić. Zestaw matematyczny, tak jak
Bamp, umożliwia proste skonstruowanie tylko prostopadłościanów. Znajdują
się tu jednak jeszcze gumki i ich wykorzystanie daje trochę szersze możliwości
w uzyskaniu rozwiązań naszego zadania (fot. 10 i 11).
Fot. 10
Fot. 11
Ponieważ rurki, którymi dysponujemy w tym zestawie są różnych długości,
możemy również wysnuć pewne wnioski o możliwości wykonania niektórych
konstrukcji w zależności od użytego materiału – np. figury ze zdjęcia nr 12 nie
da się zbudować z krótszych rurek.
Fot. 12
Fot. 13
Klocki magnetyczne umożliwiają nam zauważenie własności sztywności
wielokątów (zdjęcie nr 13), co też jest ciekawym „skutkiem ubocznym” wykonywanych aktywności. Oczywiście, te pomoce bardziej wskazane są dla uczniów
na wyższych etapach nauczania, ale użycie ich w szkole podstawowej jest możliwe – trzeba tylko znać zespół, z którym pracujemy i odpowiednio dobrać
uczniów. Gdybym mogła pozwolić sobie na wybór tych pomocy, każda grupa
pracowałaby na innym materiale.
Pierwsza część zajęć już jest przygotowana. Mam określony cel i ułożone
odpowiednie zadanie, które pozwoli mi ten cel zrealizować. Mam dobraną me34
todę (zajęć praktycznych) i formę pracy (w grupach). Dzielę uczniów na grupy
uwzględniając ich możliwości intelektualne. Każdej z grup daję inny typ pomocy i proszę o wykonanie zadania. Ale nie jest to koniec przygotowań. Muszę
przemyśleć też drugą część zajęć – refleksję nad tym co, jak i dlaczego zostało zrobione.Część zajęć z użyciem pomocy dydaktycznych jest przecież tylko
punktem wyjścia do rozważań matematycznych – dla mnie najważniejszych.
Niestety, bardzo często część ta jest pomijana lub skracana, a bez niej użycie nawet najlepszych pomocy dydaktycznych nie jest zbyt efektywne. I tak,
w opisywanym przeze mnie przykładzie, uczniowie, po skonstruowaniu odpowiednich brył, posiłkując się zadawanymi przeze mnie pytaniami, wyjaśniają,
dlaczego takie bryły udało im się skonstruować (lub nie) i dlaczego są to już
wszystkie bryły spełniające wymagania wstępne. Przygotowanie odpowiednich pytań ułatwi przeanalizowanie efektów pracy z pomocami przeze mnie
wybranymi. I tak np. jeżeli uczniowie nie będą rozumieli polecenia, jestem
przygotowana na odwołanie się do sześcianu i czworościanu – brył znanych
uczniom, a obrazujących charakter brył, które mają powstać. Z kolei, uczniów
pracujących z zestawem magnetycznym, można zapytać dlaczego, mimo, że
łatwo zbudowali pięciokąt foremny, ułożenie dwunastościanu foremnego ciągle
się „psuje” (fot. 14).
Fot. 14
Po zakończeniu rozważań dotyczących wielościanów foremnych, mogę się
zabrać za realizację celu dydaktycznego.
Chcę by uczniowie porównali, w których modelach co reprezentuje ścianę,
krawędź i wierzchołek oraz w których modelach reprezentacje te są najlepsze
i dlaczego. Dzięki otrzymanym modelom, nie tylko porównanie odpowiednich
35
Agata Hoffmann
elementów jest łatwe, ale i przejście do abstrakcyjnego ich rozumienia i odróżniania idei od reprezentacji przychodzi łatwiej (fot. 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21
i 22).
Fot. 15
36
Fot. 16
Fot. 17
Fot. 18
Fot. 19
Fot. 20
Fot. 21
Fot. 22
Analizując możliwości, które daje użycie zaprezentowanych pomocy, można przygotować również inne zajęcia lub dodatkowe zadania na opisywane
zajęcia (jeżeli zostanie nam czas). I tak np. używając klocków Polydron, Poly,
Reko i Cubico możemy budować inne bryły (zdjęcie nr 23), łatwo można też
przechodzić od brył do ich siatek (fot. 24).
Fot. 23
Fot. 24
Można zacząć rozmawiać o zależnościach między długością krawędzi, polem
powierzchni a objętością wybranych brył o tym samym kształcie a różnych
wielkościach (fot. 25 i 26),
Fot. 25
Fot. 26
37
Agata Hoffmann
czy badać bryły, które powstaną po „obcięciu rogów” wybranych brył
(fot. 27).
Fot. 27
Oczywiście, aby się tymi zagadnieniami zająć, też należy dokładnie przemyśleć jak to zrobić.
Opisałam „kawał solidnej pracy”, który wykonałam przed rozpoczęciem
zajęć z pomocami dydaktycznymi po to, by odpowiednio dobrze móc je wykorzystać na wybranym etapie nauczania. Bez tego, nie osiągnęłabym zamierzonego efektu. Oczywiście sytuacja przeze mnie przytoczona nie jest jedyną,
w której używam pomocy dydaktycznych. Wiedząc, że mam w klasie ucznia
o określonych problemach, po to, by użycie pomocy dydaktycznych było efektywne, muszę odpowiednio inaczej przygotować dla niego dany element lekcji,
a nie, jak sugerowała przytoczona na początku wypowiedź, tylko dodatkowo
go obciążyć.
Reasumując, jeżeli chcemy stwierdzić czy użycie pomocy dydaktycznych
jest koniecznością, możliwością czy balastem - odpowiedź nie jest łatwa. Można
nauczać matematyki tylko przy użyciu kartki i ołówka (choć to też są pomoce
dydaktyczne), ale jest to proces bardzo trudny i monotonny. Mając możliwość
sensownego wykorzystania innych pomocy dydaktycznych w celu ulepszenia
procesu uczenia się – róbmy to. Jeśli z kolei nie jesteśmy przekonani do użycia
pomocy – nie róbmy tego na siłę – z reguły skutki tego nie są dobre.
Autorka pracuje w Instytucie Matematycznym
Uniwersytetu Wrocławskiego
ahof [email protected]
38
Bożena Prystupa (Chełm)
Pomóż swojemu uczniowi lepiej napisać
sprawdzian i egzamin gimnazjalny
Streszczenie
Omówiłam, w jaki sposób pracować i rozmawiać z uczniem, o czym go informować,
aby podnieść efekty dydaktyczne, by uzyskane punkty ze sprawdzianu czy egzaminu
gimnazjalnego cieszyły ucznia, jego rodziców i nas. Uczeń musi być świadomy, rozwiązując zadanie, co będzie oceniane, aby sam mógł dokonać wstępnej oceny swojej
pracy.
Z doświadczenia wiemy, że matematyka nie jest na ogół przedmiotem lubianym przez uczniów. Jednak właściwe podejście nauczyciela do ucznia może
zdecydowanie ten pogląd zmienić. Uczeń musi uwierzyć w siebie i w tym nasza rola, aby polubił „Królową Nauk”. Co takiego robimy, aby nasi uczniowie
coraz lepiej pisali sprawdziany i zdawali egzamin gimnazjalny?
Na początku rozważaliśmy różne aspekty pracy nauczyciela i ucznia. Zarówno dydaktyczne jak i psychologiczne. Stwierdziliśmy, że stosowane przez
nas metody pracy, zainteresowanie przez nas ucznia przedmiotem, dobór ciekawych zadań, rozwiązywanie ich w coraz większych ilościach, wprowadzanie
nowoczesnej technologii w nauczaniu matematyki, prowadzenie dodatkowych
zajęć, objęcie opieką ucznia wyrównującego wiedzę i wspieranie uczniów zdolnych, relacje pomiędzy nauczycielem i uczniem oraz wiele innych spraw nie
budzi tutaj żadnych zastrzeżeń.
Dlaczego wówczas wyniki egzaminu nas nie zadawalają? Co jest w takim
razie tego przyczyną?
Po ogłoszeniu wyników jednego z egzaminów gimnazjalnych zastanowiło
mnie, dlaczego moi uczniowie w stosunku do wkładu swojej i mojej pracy
wypadają nie najlepiej. Zaczęłam analizować moje i uczniów działania. Poprosiłam uczniów klas trzecich o ocenę mojej postawy i pracy. Oceny były
wystawione, więc mogłam liczyć na ich szczerość. Zostałam oceniona pozytywnie. Wydawało się, że wszystko jest w należytym porządku. A jednak.
Dalej nurtowało mnie wyżej postawione pytanie.
Kolejny egzamin. Rozmowa z uczniami na temat zadań i odczuć. Zadowolenie jednego z uczniów (ponieważ rozwiązał zadanie otwarte z matematyki)
Bożena Prystupa
wzbudziło nasze zainteresowanie, gdyż był to typowy humanista. Po rozwiązaniu przez niego zadania na tablicy, jako egzaminator oceniłam na maksymalną
liczbę punktów. Po ogłoszeniu wyników okazało się, że za to zadanie otrzymał
zero punktów. Ten problem nie dawał mi spokoju. Uczeń dalej twierdził, że
zadanie rozwiązał poprawnie, lecz nie wspominał wcześniej, że rozwiązał je za
trzecim razem i poprzednich błędnych rozwiązań nie przekreślił. Od tego momentu prowadząc z uczniami lekcje zwracam uwagę na to, aby przekazywać im
informacje co ocenia egzaminator. Uczę swoich uczniów ustalania kryterium
oceny zadań przez nich rozwiązywanych. Rozwiązując zadanie wie on wówczas,
na co ma zwracać uwagę. Przy takiej samej pracy te uwagi przyniosły lepsze
efekty.
W dalszej części warsztatów nauczyciele (większość nie była egzaminatorami) mieli możliwość prześledzenia wybranych zadań egzaminacyjnych
i klucza odpowiedzi, a do zadań nie posiadających klucza opracowywaliśmy go
w grupach a następnie wspólnie omówiliśmy. Oto przykładowe zadania. (OKE
Kraków. Materiały szkoleniowe dla egzaminatorów w części matematycznoprzyrodniczej).
Zadanie 1. (0 - 3)
Na spacerze w parku Ania zmierzyła, że jej cień jest o 20 cm dłuższy niż
cień jej młodszej siostry. Ania ma 160 cm wzrostu, a jej siostra jest o 10 cm
niższa. Jakie długości miały cienie obu dziewczynek? Zapisz obliczenia.
Zadanie 2. (0 – 3)
Przekątną ekranu telewizora podaje się w calach, 1 cal ≈ 2,5 cm. Oblicz,
ile cali ma przekątna ekranu telewizora, który jest prostokątem o wymiarach
28 cm 21 cm. Zapisz obliczenia.
40
Pomóż swojemu uczniowi lepiej napisać sprawdzian i egzamin gimnazjalny
Zadanie 3. (0 – 3)
Uczniowie piszący egzamin rozmieszczeni są w salach w następujący sposób: 48 uczniów w sali gimnastycznej, pozostali w salach lekcyjnych po 15
osób. Gdyby w każdej sali lekcyjnej egzamin pisało o dwóch uczniów mniej, to
zdający zajęliby o jedną salę lekcyjną więcej, a na sali gimnastycznej musiałby
pisać jeden uczeń więcej. Oblicz, ilu uczniów klas trzecich było w gimnazjum.
Zapisz obliczenia.
41
Bożena Prystupa
Ostatnim etapem warsztatów było opracowanie wskazówek dla ucznia przydatnych mu podczas pisania sprawdzianu lub egzaminu gimnazjalnego. Oto
one.
1. Czytaj uważnie wszystkie zadania, niezależnie jaką długą mają treść.
2. Pisz czytelnie (6 łatwo pomylić z b) i utrzymuj właściwe tempo pracy.
3. Jeśli rozwiązałeś zadanie i uważasz, że odpowiedź nie jest właściwa,
a nie masz innego pomysłu, to nie skreślaj go (może otrzymasz punkty
za np. metodę.)
4. Pamiętaj, że egzaminator nie ocenia brudnopisu.
5. Jeśli zadanie rozwiązałeś dwiema metodami, a jedna z nich jest niewłaściwa, to skreśl ją, gdyż egzaminator z dwóch nie wybiera.
6. Jeśli twoje zadanie zostało rozwiązane inną metodą niż przewiduje to
klucz odpowiedzi i otrzymałeś prawidłową odpowiedź, to otrzymujesz za
to zadanie maksymalną liczbę punktów. (Nie sugeruj się tym, że kolega
wyliczył to zadanie inną metodą).
7. Otrzymujesz punkt za poprawną metodę (sposób prowadzący do prawidłowego rozwiązania problemu np. podstawienie do wzoru odpowiednich
danych).
8. Otrzymujesz punkt za prawidłowe rachunki w całym zadaniu i prawidłową odpowiedź z jednostką.
9. Otrzymujesz punkt za analizę zadania: rysunek – jeśli jest konieczny,
oznaczenie niewiadomych i zapisanie układu równań lub równania.
10. Po skończonej pracy sprawdź, czy rozwiązałeś zadania na wszystkich
stronach (mogły skleić się kartki).
Autorka pracuje w Gimnazjum nr 2
im. ks. Zygfryda Berezeckiego w Chełmie
[email protected]
42
BADANIA W DYDAKTYCE MATEMATYKI
Wacław Zawadowski (Warszawa)
Rozszyfrujmy skrót PDTR
czyli o programie unijnym „Krygowska Project of Professional
Development of Teacher Researcher” (PDTR) (Projekt Profesionalnego
Rozwoju Nauczyciela jako Badacza im. Zofii Krygowskiej)
http://www.pdtr.eu
Streszczenie
Projekt powstał z jednej strony pod wpływem badań PISA w latach 2000-2003,
w których matematyka była traktowana nieformalnie, jako specyficzny język do porozumiewania się, do wyjaśniania i do przewidywania, a z drugiej strony, z poczucia
potrzeby podniesienia poziomu fachowego przygotowania nauczycieli do nauczania
matematyki w nowym konstruktywistycznym stylu w krajach, które przystąpiły do
Projektu. W niniejszej prezentacji przedstawiam metody i działania Projektu oraz
omawiam niektóre efekty i wyniki wspólnej pracy w Projekcie.
Badania PISA omówione zostały obszernie w wielu innych miejscach. Wykazały, że tradycyjny formalny styl nauczania matematyki nie daje dobrych
rezultatów, gdy sprawdzamy umiejętność posługiwania się tym specyficznym
językiem jakim jest matematyka w różnych sytuacjach we współczesnych warunkach.
W początkowym sformułowaniu celem Projektu PDTR było wypracowywanie metod ulepszania nauczania matematyki w takim kierunku aby wyraźnie
poprawić wyniki testowane w stylu PISA. To robocze sformułowanie szybko
zostało zastąpione w grupie siedleckiej bardziej teoretycznym sformułowaniem,
charakteryzującym ten styl. Przyjęliśmy, że ten styl to jest testowanie posługiwania się matematyką jako językiem do wyjaśniania głównie sytuacji
pozamatematycznych, spotykanych w środowisku intelektualnym i socjalnym
uczniów.
To potraktowanie matematyki jako języka było w pełni zgodne z wieloma
autorami np. Bauersfeld, Mostowski, Sfard, Usiskin, Zawadowski. Matematyka jako język ma nośnik wizualny, a nie akustyczny, tak jak języki potoczne.
Nawet wyrażenia arytmetyczne i algebraiczne czyta się przede wszystkim wzrokiem, a nie uchem. Czytanie ich na głos niewiele pomaga, a często przeszkadza.
W matematyce komunikacja wizualna ma zasadnicze znaczenie.
Wacław Zawadowski
Byłem jednym z inicjatorów tego projektu i obok tego pełniłem razem
z Celiną Kadej rolę mentora akademickiego w grupie siedleckiej, PL2, z ramienia Akademii Podlaskiej. Koordynatorem, czyli szefem tej grupy był Krzysztof
Mostowski. Rolę specjalisty matematyka pełnił Rafał Kołodziej, a rolę specjalisty językowego pełniła Elżbieta Urban. Projekt trwał trzy lata, 2005-2008,
brało w nim udział 7 zespołów nauczycielskich z pięciu krajów: dwa zespoły
z Włoch (Modena, Neapol), dwa zespoły z Polski (Rzeszów-Kraków, Siedlce), po jednym zespole z Hiszpanii (Barcelona), Portugalii (Lizbona) i Węgier
(Debreczyn) oraz specjaliści akademiccy z wymienionych krajów i dodatkowo
z Holandii (Freudenthal Institute) i Anglii (Open University). Zamierzonym
celem, można powiedzieć „misją Projektu”, była transformacja nauczania matematyki w taki sposób, aby kłaść większy nacisk na takie praktyki, które
podkreślają mocno użyteczność matematyki, jako specyficznego współczesnego języka, zarówno intelektualną jak i praktyczną do tych trzech powyżej wymienionych celów: porozumiewania się, wyjaśniania i przewidywania.
Tak sformułowane cele nauczania zarówno w stosunku do języków obcych, jak
i ojczystych są dzisiaj ogólnie przyjęte a praktyka ich nauczania jest taka, aby
te cele były jak najlepiej osiągane.
PDTR, to był jeden wielki eksperyment skierowany na systematyczne ulepszanie nauczania matematyki metodą przyjęcia przez nauczycieli roli badających własne nauczanie metodami uznanymi w społecznościach akademickich
za naukowe. Chcieliśmy wypracować nowe zabiegi pedagogiczne i poddać je
skrupulatnej ewaluacji, wszystkimi dostępnymi sposobami. Tu od razu wpadliśmy w konflikt z pewnym wyznaniem wiary krążącym w polskim środowisku
pedagogicznym, sformułowanym dobitnie przez Krzysztofa Konarzewskiego.
W swojej monografii stwierdził on wyraźnie: Pomijam pomysł włączenia do
definicji badania naukowego koncepcji ulepszeń i prognoz rozwojowych, ponieważ jest jawnie błędny. Badać to stwierdzać, jak się rzeczy mają, a nie – jak je
udoskonalić lub jak się będą miały w przyszłości (Konarzewski, Jak uprawiać
badania oświatowe, WSiP 2000, str. 79). Takie opinie musieliśmy świadomie
„wziąć w nawias”, bowiem większość badań w dydaktyce matematyki, tak jak
np. w medycynie i technice była i jest podejmowana właśnie aby doskonalić
postępowanie w różnych okolicznościach w tych dziedzinach. Tak też było
w naszych badaniach.
Nowy styl ewaluacji systemu nauczania pokazany w badaniach PISA wyznaczał kierunek poszukiwania właśnie ulepszeń i udoskonaleń codziennej praktyki nauczycielskiej i usuwania przeszkód, ze specjalnym naciskiem na wzajemne zrozumienie pomiędzy indywidualnie traktowanymi uczniami a nauczycielem i współpracę między uczniami. Nie mogę tu wymienić wszystkich godnych uwagi spraw. Dla mnie najciekawszą rzeczą było bardzo wyraźne wy44
kazanie obecności pewnego czynnika hamującego rozwój matematyczny
uczniów. W trakcie prac okazało się, że na wielu etapach nauczania, pieczołowicie wyuczamy pewnych umiejętności i postaw, które na następnych etapach powinniśmy eliminować. To zjawisko niepożądanego wyuczania trudnych
do pozbycia się postaw i umiejętności nazwaliśmy zjawiskiem wdrukowania,
które pojawia się w indywidualnym rozwoju ucznia. Jest ono na tyle masowe,
że zasługuje na osobną nazwę i specjalną współpracę nauczycieli różnych szczebli nauczania szkolnego. To zjawisko wyraźnie zostało zaobserwowane i opisane przez zespół siedlecki PL2. W tym zespole bowiem, nauczyciele różnych
szczebli szkolnych i ich akademiccy współpracownicy spotykali się roboczo na
seminariach w „każdy piątek”, dyskutując o wydarzeniach i przygotowując
dalsze postępowanie na najbliższe miesiące, tygodnie i dni. Powstał raport
w języku angielskim z badań prowadzonych w Projekcie w postaci dwóch obszernych tomów: „Handbook of Mathematics Teaching Improvement: Professional Practices that address PISA”, redaktor Stefan Turnau, oraz „Handbook
of Mathematics Teaching Research: Teaching experiment – a Tool for TeacherResearchers” redaktor Bronisław Czarnocha, oba wydane przez Uniwersytet
w Rzeszowie pod koniec projektu. Te dwie księgi mieszczą prawie 70 prac,
napisanych przez uczestników PDTR i oddają tylko część wyników Projektu. Te mianowicie wyniki, które były gotowe do publikacji do wiosny, 2008.
Jak to zwykle bywa, pozostało też dużo niezakończonych prac do dalszego
opracowania i opublikowania.
Do tych dwóch monografii włączone zostały prace w języku angielskim
kilku uczestników grupy siedleckiej: Włodzimierza Gadomskiego, Celiny Kadej, Zygmunta Łaszczyka, Aliny Przychody i Anny Łaszczyk. Na szczególne
wyróżnienie zasługuje praca Zygmunta Łaszczyka, który na przykładzie procentów opisuje zjawisko wdrukowania (imprinting) w rozwoju matematycznym
uczniów i praca Celiny Kadej (obie w języku angielskim): Celina Kadej, Researching our own Teaching, Handbook of Mathematics Teaching Research,
University of Rzeszów, 2008. (Ogólny opis pracy grupy siedleckiej i seminariów piątkowych).
Zygmunt Łaszczyk, Difficulties with change of bad habits and beliefs,
Handbook of Mathematics Teaching Improvement, University of Rzeszów 2008.
(Opis zjawiska wdrukowania w dydaktyce matematyki) Ukazały się też publikacje w języku polskim, głównie w kwartalniku SNM, NiM i NiM+TI (niektóre
z nich podaję z komentarzem, kursywą).
Harrie Broekman, Każdy wybór ma swoje ryzyko, Głęboki sens edukacji matematycznej „nauczyć działać i myśleć”. Jesienna refleksja, październik
2007, NiM 63, jesień 2007, (Kilka spostrzeżeń konkretnych co do stylu postępowania przy rozwiązywaniu problemów przez uczniów )
45
Wacław Zawadowski
Harrie Broekman i Wacław Zawadowski, Świat się zmienia, czy my nadążamy za tym? NiM 58, lato 2006, (Czy rozwiązywanie zadań przez odkrywanie
regularności – a więc w stylu konstruktywistycznym - będzie równie akceptowalne w szkole, jak rozwiązywanie przez dobranie i zastosowanie odpowiedniego
wzoru z listy gotowych formułek? To pierwsze świadczy o wyostrzonej intuicji,
to drugie o nabytej erudycji. Co wybierać, jeśli erudycja często tłumi intuicję?)
Włodzimierz Gadomski, Uczyć, czy nie uczyć o funkcjach trygonometrycznych w gimnazjum? NiM 62, lato 2007 (Opis oryginalnej metody nauczania
trygonometrii, opartej na pomyśle Steinhausa z Kalejdoskopu Matematycznego, aby pokazać związane ze sobą wykresy funkcji kosinus i sinus, zaczynając od
kosinusa. Wykres kosinusa jest bowiem symetryczny. Do tego służy obmyślony
przez autora i przez niego wykonany stempel trygonometryczny, demonstrowany w wersji prototypowej i przekazany innym zespołom i uczestnikom PDTR
w Barcelonie a ulepszony model stempla, na końcowej konferencji PDTR w Siedlcach, 2000)
Rafał Kołodziej, Na pamięć, czyli bez głowy, NiM 57, 2006 (Spostrzeżenia
własne, dotyczące odkrycia nieoczekiwanych regularności przez uczniów uczących się tabliczki mnożenia. Zaobserwowano interesującą różnicę w stylu uczenia się dzieci, które pierwszy raz zetknęły się potrzebą wyuczenia się tabliczki
mnożenia zanim zrozumiały strukturalnie operacje mnożenia i takimi dziećmi,
które miały opanować na pamięć tabliczkę mnożenia po osiągnięciu przez nich
zrozumienia strukturalnego operacji mnożenia, wg. klasyfikacji zaproponowanej
przez Krygowską)
Maria Legutko, Jacek Stańdo, Jakie działania powinny podjąć polskie szkoły w świetle badań PISA, w Henryk Kąkol (red.): Współczesne Problemy
Nauczania Matematyki, (Najważniejsza konkluzja: kształcenie i doskonalenie
czynnych nauczycieli jest najsłabszym ogniwem w reformie systemu edukacji
w naszym kraju, a uczelnie wyższe zaniedbują przygotowywanie nauczycieli do
pracy w szkole)
Krzysztof Mostowski, Dowody i Refutacje, NiM 56, (Rozważania metajęzykowe. Dopiero język grafów pozwolił uzupełnić luki w dowodach wzoru Eulera
dla wielościanów. Czy nie powinniśmy więcej uwagi zwracać na rozwijanie języka grafów w nauczaniu matematyki w szkolnej ?)
- Hurtownia, czyli źle uczymy o procentach, NiM 59 jesień 2006, (Wnioski metajęzykowe z dyskusji i wielu spostrzeżeń konkretnych na temat obliczeń procentowych. Osoby przywiązane do modelu addytywnego mają trudności
z rozwiązywaniem problemu „Hurtownia” z książki „Matematyczne Myślenie”
J. Masona)
- Do czego się może przydać funkcja stała? NiM 59, 2006, (Rozważania metajęzykowe)
46
- Co to właściwie jest ułamek? NiM 57, (Rozważania metajęzykowe)
- Sinus, czy kosinus alfa plus beta? NiM 60, 2006, (Jeszcze jeden konkretny przykład dowodów opartych na porównywaniu pól, przygotowany do prób
szkolnych)
- Symetria obrotowa, NiM 62, lato 2007, (Przykład na efektowne i efektywne
zastosowanie symetrii obrotowej przy rozwiązywaniu konkretnego zadania)
Krzysztof Mostowski i Wacław Zawadowski, Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele, NiM 58, (Esej z seminariów PDTR, na temat analizowania różnych dowodów i różnych wariantów sformułowań tez, jak również o zastosowaniu kalkulatorów graficznych do formułowania hipotez, a następnie prowadzeniu trudnych dowodów apagogicznych)
Alina Przychoda, Grudziądz 2006, NiM 57, (Wnioski z dyskusji na Krajowej Konferencji SNM w Grudziądzu o badaniach PISA, o nowej podstawie
programowej i o potrzebie nowego stylu w kształceniu nauczycieli, w duchu
konstruktywistycznym)
- III Siedlecki Konkurs Matematyczny, NiM 63, jesień 2007, (Te Konkursy
miały na celu zainteresowanie młodzieży rozszerzoną tematyką matematyczną. Konkursy były dla młodzieży z Siedlec i okolicy. Wybierano tematy spoza
obowiązujących programów nauczania. Mimo to zainteresowanie było bardzo
wysokie. Na rozpoczęcie stawiało się kilkuset uczniów z gimnazjów i liceów. Ta
forma propagowania idei PDTR jest dość niezwykła. Z uczniami przychodzą
nauczyciele i prowadzone są z nimi dyskusje o konstruktywistycznym stylu PISA nauczania matematyki; przekazywane były materiały z seminarów PDTR)
Jacek Rzępołuch, Kartkowe latawce A4, NiM 58, lato 2006, (Przygody z nauczaniem konstruktywistycznym na podstawie kartki papieru A4, jako modelu
prostokąta)
Karol Sieńkowski, Dwie lekcje na temat pól figur płaskich, NiM 57, (Porównanie jakości dwóch lekcji na ten sam temat „wykresy funkcji” przeprowadzonych różnymi metodami, z użyciem kalkulatora graficznego i bez tego narzędzia.
Porównanie wypadło na korzyść lekcji z kalkulatorem, ale wymagało przygotowania technicznego ze strony nauczyciela)
- Próby pracy z kalkulatorem graficznym w gimnazjum, NiM 59, jesien 2006,
(Opis reakcji i postawy starych nauczycieli nastawionych tradycyjnie i sceptycznie do stosowania nowych elektronicznych środków w nauczaniu)
Dariusz Uchman, NiM 58, Quo vadis matematyko? NiM 56, (Polemika
w sprawach nauczania matematyki, konstruktywistycznie, czy tradycyjnie?
w stylu PISA, czy formalnie)
- Średnia ważona a etyka nauczycielska, NiM 56, (Problemy etyczne zbiorczego
oceniania dużej grupy uczniów, np. klasy, szkoły i przedstawiania tego w postaci tabelek liczbowych. Czy interes szkoły wyrażony przez zasadę „wszystkiego
47
Wacław Zawadowski
po trochu” nie jest sprzeczny z interesem jednostki, która chce przynajmniej
w jednej wybranej dziedzinie osiągać mistrzostwo? To jest ważny problem etyczny w praktyce nauczania i polityce edukacyjnej, lokalnej w skali szkoły i globalnej w skali całego kraju)
Wacław Zawadowski, Moje rozmowy z Krygowską, w Henryk Kąkol (red.):
Współczesne Problemy Nauczania Matematyki (Opisano trzy rodzaje rozumienia wg. Krygowskiej: rozumienie operatywne, formalne oraz strukturalne
i porównano to z klasyfikacją Skempa)
- Kwity fiskalne jako niewyczerpane źródło zadań na procenty, NiM 58, (Krytyka addytywnego modelu w obliczeniach procentowych i argumentowanie na
korzyść modelu multiplikatywnego, wypracowane na seminatriach piątkowych
w PDTR)
- Dwie kreski czy strzałka? NiM 58, (Zalety języka strzałek, który podkreśla
jednoargumentowe, funkcyjne zastosowania dwuargumentowych operacji arytmetycznych, różne typy kodowania operacji matematycznych. Do rachowania
w głowie potrzebne są inne algorytmy niż te tradycyjne wykonywane na zapisach na papierze)
- Ułamki na starym suwaku, NiM 58, (Przyczynek do dyskusji „Co to jest ułamek”. Algorytmy tradycyjne nie nadają się do rachowania w głowie)
- Dbajmy o estetykę dowodów i o logiczną poprawność, NiM 59 (Potrzebne
jest wyczucie poetyki matematyki)
- Pierwsze kroki w kierunku rachunku prawdopodobieństwa i statystyki, NiM
59, (Omówiono pojęcie „mechanizmu losowego” wg. Spławy Neymana i jego
współczesną przydatność dydaktyczną)
- Dowody przez porównywanie pól, NiM 59 (Takie dowody były już u pitagorejczyków )
- Walizeczka Profesora Sikorskiego, NiM 58-59 (Opowiadanie o liczbach rzeczywistych, modyfikowane wielokrotnie na podstawie obserwacji jego lektury
w wielu sytuacjach)
- Liczby dziesiętne czyli dziesięciny, NiM 63 jesień 2007, (Nazwa „ułamki dziesiętne” przywołuje niewłaściwą metaforę dla strukturalnego rozumienia liczb
na osi liczbowej. Powinna być w wielu przypadkach zastępowana nazwą „liczby
dziesiętne” z interpretacją jako adres punktu na osi liczbowej )
- Czy matematyka daje nam język? Matematyka 1996 (Pytanie jest retoryczne, a odpowiedź jest uzasadniona teoretycznie i wskazane są konsekwencje tego
spojrzenia na matematykę dla jej dydaktyki)
Autor pracuje w Akademii Podlaskiej w Siedlcach
48
TI W NAUCZANIU MATEMATYKI
Anna Rybak (Białystok)
Kształćmy z komputerem
– razem i efektywnie
Streszczenie
Wystąpienie nie stanowi typowego wykładu, lecz propozycję współpracy w zakresie usystematyzowanego wykorzystania technologii informacyjnej w kształceniu matematycznym skierowaną do nauczycieli szkół wszystkich typów. Wielu nauczycieli
w Polsce już pracuje w tym zakresie, ale najczęściej są to inicjatywy indywidualne
i kontakty między zainteresowanymi nauczycielami są raczej sporadyczne. Chcemy
zaproponować nauczycielom skonsolidowanie się w tej sprawie, bardziej intensywne
kontakty, doradztwo, wymianę doświadczeń itp. w oparciu o platformę. Chcemy też
wprowadzić w skali krajowej badanie efektywności wykorzystania TI w kształceniu
matematycznym.
Wprowadzenie
Kształcenie wsparte wykorzystaniem technologii informacyjnej jest coraz
częściej realizowane i zyskuje coraz większe uznanie uczniów i nauczycieli. Dostępnych jest coraz więcej multimedialnych materiałów dydaktycznych, coraz
więcej nauczycieli korzysta z nich w czasie lekcji, obserwując, że ich wykorzystanie powoduje wzrost atrakcyjności procesu kształcenia. Wszystkich jednak
nurtuje pytanie: czy wykorzystanie komputerów w kształceniu wpływa pozytywnie na jego efektywność w sferze poznawczej? Czy powoduje istotny przyrost wiedzy i umiejętności, czy pomaga przygotować się dobrze do egzaminu
kończącego dany etap kształcenia? Celem tego artykułu jest zainteresowanie
wszystkich nauczycieli matematyki wykorzystujących narzędzia, środki i metody technologii informacyjnej w swojej pracy dydaktycznej, badaniami nad
efektywnością kształcenia matematycznego wspomaganego multimedialnie.
Tendencje europejskie
(na podstawie konferencji ICT 2008, Francja, Lyon, 25-27 listopada 2008)
ICT Work Programme na lata 2009-2010 jako część 7. Programu Ramowego UE zawiera szczególnie interesujący dla nauczycieli fragment, a mianowicie
Anna Rybak
Challange 4, Objective 4.2 Technology-Enhanced Learning – Uczenie się wspomagane technologicznie. Zapisy w nim zawarte wyznaczają
kierunki działań na najbliższe lata w tym zakresie.
Ogromny nacisk jest położony na współdziałanie technologii i pedagogiki (głównie zagadnień dydaktycznych). Wyraża się to w określeniu dwóch
podstawowych kierunków działań: „pedagogical practices” (zastosowania pedagogiczne) i „better system engeneering” (lepsze systemy). Jednym z najważniejszych zagadnień jest indywidualizacja kształcenia, a co za tym idzie,
adaptatywność (komputerowych) systemów kształcenia do potrzeb użytkownika.
Najistotniejsze są innowacje; mają one dotyczyć m.in. metod nauczania
i dróg uczenia się, czynności nauczyciela i czynności ucznia, metodologii
oceniania. Ogromną wagę przywiązuje się do kształcenia kreatywności.
Główny nacisk badawczy jest położony na badanie efektywności procesów
edukacyjnych i wszystkich ich składowych (w sensie wykorzystanych metod,
narzędzi i podjętych czynności). Należy zaznaczyć, że Komisja Europejska
oczekuje sprawozdań z już przeprowadzonych wdrożeń (significant number of
experiments).
Odzwierciedleniem wyżej opisanych tendencji jest określenie nowego obszaru w obrębie Objective 4.2: The Classroom of Tomorrow (Klasa Jutra)
– moim zdaniem jest to bardzo wdzięczny temat wniosku. Przewidziane jest
też utworzenie w Europie sieci szkół innowacyjnych (network of living schools
for demonstrations and validations).
Kontekst naszych działań
Tak więc planowane badanie efektywności kształcenia wspomaganego multimedialnie wpisuje się dobrze w nurt działań europejskich.
Należy wspomnieć, że nie zaczynamy od zera. Oto kontekst naszych działań, czyli stan bieżący.
• Akcja „Komputer dla ucznia”, która ma spowodować powszechny dostęp uczniów gimnazjów do komputerów przenośnych oraz przeszkolenie
ogromnej rzeszy nauczycieli gimnazjów w zakresie wykorzystania sprzętu i oprogramowania w pracy dydaktycznej.
• Istnienie dobrych portali edukacyjnych, co zapewnia dostęp do mniej lub
bardziej wartościowych materiałów dydaktycznych.
• Blended learning – coraz większa liczna nauczycieli korzysta z możliwości uzupełniania nauczania tradycyjnego, elementami nauczania przez
Internet.
• Podręczniki multimedialne – już powstają.
50
Kształćmy z komputerem – razem i efektywnie
• Dużo inicjatyw oddolnych – wielu nauczycieli zaczyna korzystać z technologii informacyjnej z własnej inicjatywy i „potrzeby wewnętrznej”,
dyktowanej przez pedagogiczną naturę.
• Sporadyczne rozwiązania systemowe.
• Duże zapotrzebowanie ze strony nauczycieli na doradztwo i inaczej wyrażone inspiracje.
• Efektywność wykorzystania TI w kształceniu matematycznym – słabo
zbadana.
Efektywność technologicznego wspomagania kształcenia matematycznego
• W sferze emocjonalnej – wzrost motywacji do nauki, wzrost wiary we
własne siły, wzrost aktywności w zdobywaniu wiedzy – łatwiejsza do
zbadania.
• W sferze poznawczej – przyrost wiedzy dziedzinowej i umiejętności –
trudniejsza do zbadania.
Nasze działania dydaktyczne z wykorzystaniem TI
Pracując z wykorzystaniem technologii informacyjnej powinniśmy rozważyć dwa poziomy działań.
• Wykorzystanie oprogramowania podczas lekcji w klasie do realizacji materiału programowego – z uwzględnieniem wizualizacji zagadnień, pracy
badawczej uczniów, samodzielnego wnioskowania, stawiania hipotez i ich
weryfikacji, samodzielnego konstruowania wiedzy przez uczniów.
• Wykorzystanie oprogramowania pod hasłem: Kształcimy twórczego
ucznia. Uczymy więcej niż zawiera podstawa programowa. Wielu nauczycieli przekonało się już, że odpowiednie oprogramowanie odpowiednio wykorzystane może doprowadzić rozumowanie uczniów w sposób naturalny do treści nieobjętych podstawą programową. Bardziej zaawansowana matematyka staje się łatwa! Uczmy przez zadawanie pytań
i prowadzenie dyskusji.
Co proponujemy?
Utworzyć ogólnopolską społeczność nauczycieli matematyki korzystających
w pracy z metod i narzędzi technologii informacyjnej. Uruchomić platformę
(w ramach platformy SNM) kontaktów, doradztwa i pracy badawczej. Wpleść
wykorzystanie TI w przygotowanie do egzaminów. Przeprowadzić badania nad
efektywnością (w sensie poznawczym) wykorzystania TI w kształceniu matematycznym.
51
Anna Rybak
Wszyscy nauczyciele matematyki zainteresowani powyższą propozycją proszeni są o nawiązanie kontaktu drogą elektroniczną
z autorką tego artykułu.
Autorka pracuje w Instytucie Informatyki
w Uniwersytecie w Białymstoku
[email protected]
52
Zofia Majerska (Chorzów)
Katarzyna Sikora (Chorzów)
Informacja o projekcie Calibrate
związanym z tworzeniem międzynarodowej bazy
zasobów edukacyjnych
Streszczenie
Ministerstwo Edukacji narodowej było jednym z uczestników projektu badawczego
Calibrate, o pełnej nazwie „Projektowanie eLearningu w szkołach”. Celem projektu
było wypracowanie wspólnego wykorzystania i wymianę cyfrowych zasobów edukacyjnych w szkołach różnych krajów. Na warsztatach przedstawiłyśmy przebieg i wyniki
badań Projektu.
Departament Kształcenia Ogólnego i Specjalnego realizował do końca marca 2008 projekt Calibrate, którego celem było zbudowanie międzynarodowej
bazy elektronicznych zasobów edukacyjnych. W projekcie uczestniczyły ministerstwa edukacji z następujących krajów: Austrii, Belgii, Czech, Litwy, Estonii, Słowenii, Węgier oraz Polski. Rola ministerstw edukacji polegała na zapewnieniu zgodności realizowanych zadań w ramach projektu z krajowymi
podstawami nauczania.
Projekt Calibrate został złożony do Komisji Europejskiej w ramach konkursu Szóstego Programu Ramowego Badań i Rozwoju Technicznego (20022006). W wyniku przeprowadzonej przez Komisję Europejską oceny złożonych
projektów, został zatwierdzony do realizacji i sfinansowania, a jego realizacja
trwała 30 miesięcy począwszy od 1 października 2005 roku.
Kontrakt na realizację projektu Calibrate został zawarty pomiędzy Komisją Wspólnot Europejskich i Europejską Siecią Szkół – European Schoolnet
(EUN) – koordynatorem projektu, reprezentującym 17 partnerów-uczestników
kontraktu. Ministerstwo Edukacji Narodowej jest jednym z uczestników projektu.
Projekty Schoolnet skierowane są do młodzieży szkół oraz nauczycieli.
MEN uczestniczyło w pracach European Schoolnet od początku jego powstania, brało aktywny udział w pracach Komitetu Sterującego Schoolnet.
Szczegółowe informacje o projekcie Calibrate dostępne są na stronie:
http://calibrate.eun.org
Strona portalu Calibrate:
http://calibrate.eun.org/project
narzędzia LeMill:
www.lemill.net
Projekt Calibrate był skierowany na rozwój zasobów ludzkich, dlatego
wspierał budowę społeczeństwa opartego na wiedzy, priorytetu krajów europejskich. Udział w projekcie umożliwiał dostęp do najnowszych osiągnięć
w dziedzinie e-edukacji.
Projekt Calibrate składał się z pięciu komponentów: WP1 – WP5. Zadaniem komponentu WP4 jest stosować metodologię opracowaną w projekcie
VALNET: szkolić, obsługiwać i pracować z grupą szkół i naukowców w kilku
krajach, a w efekcie ocenić wykorzystanie LRE CALIBRATE oraz edukacyjnego okna narzędziowego przez szkoły w siedmiu krajach, w tym w pięciu
nowych państwach członkowskich, jak również przekazać raport na temat ich
możliwości w ułatwianiu wspólnego korzystania z zasobów edukacyjnych oraz
w obsłudze bardziej zaawansowanych modeli pedagogicznych.
W Polsce 10 szkół uczestniczyło w procesie testowania i walidacji tworzonego portalu Calibrate. Funkcję szkoły – lidera pełnił Zespół Szkół Ogólnokształcących nr 1 w Chorzowie. Pozostali uczestnicy to: Szkoła Podstawowa nr 25
w Chorzowie, Zespół Szkół Technicznych nr 2 w Chorzowie, Szkoła Podstawowa nr 15 w Chorzowie, Szkoła Podstawowa nr 13 w Chorzowie, Gimnazjum nr 2
w Chorzowie, Gimnazjum nr 5 w Chorzowie, Zespół Szkół Ogólnokształcących
nr 1 w Bytomiu, II Liceum Ogólnokształcące w Tarnowskich Górach i Gimnazjum nr 1 w Twardogórze.
Nauczyciele zaangażowani w realizację projektu systematycznie wykonywali prace związane z testowaniem przydatności i funkcjonalności portalu Calibrate: platformy LRE i Toolbox.
Odbyło się kilka zjazdów uczestników komponentu WP4 Calibrate w Polsce. Pierwsze spotkanie miało miejsce 27 marca 2007 roku w Zespole Szkół
Ogólnokształcących Nr 1 w Chorzowie.
Pani Lidia Nejkauf – Główny Specjalista w Wydziale Informatyzacji Procesów Edukacyjnych w Ministerstwie Edukacji Narodowej, koordynator projektu Calibrate w Polsce, zapoznała wówczas nauczycieli z celami i założeniami
projektu Calibrate. Pani Alicja Pietrzak – Narodowy moderator ds. walidacji
(NVM) przedstawiła prezentację pt.: „Testowanie i walidacja portalu w ramach komponentu nr 4 projektu Calibrate”, a pani Ewa Kałucka wygłosiła
referat na temat: „Do czego współcześnie wykorzystuje się internet?”
54
Spotkanie nauczycieli – uczestników projektu Calibrate w ZSO nr 1 w Chorzowie
w marcu 2007 roku
Drugie spotkanie uczestników projektu Calibrate odbyło się 25 czerwca
2007 roku w Gimnazjum nr 1 w Twardogórze.
Kolejne spotkanie w Gimnazjum nr 1
w Twardogórze w czerwcu 2007 roku
Nauczyciele zapoznali się z prezentacją portalu Calibrate w kontekście najczęściej zadawanych pytań podczas testowania zasobów edukacyjnych, którą
przeprowadziła Katarzyna Sikora, nauczyciel matematyki, ZSO nr 1 w Chorzowie, a następnie z prezentacją okna narzędziowego LeMill www.lemill.net
55
– platformy służącej do szukania, tworzenia i wspólnego wykorzystania ogólnodostępnych, darmowych zasobów edukacyjnych, którą przedstawiły Lidia
Nejkauf i Ewa Kałucka, nauczycielki technologii informacyjnej i matematyki
z Zespołu Szkół Technicznych nr 2 w Chorzowie.
W sierpniu 2007 roku grupa kilku nauczycieli z Polski wzięła udział
w Letniej Szkole Calibrate w Portoroż w Słowenii. Wymieniła wówczas doświadczenia z nauczycielami innych krajów na temat walidacji zasobów Calibrate, wspólnie opracowała pakiet materiałów dydaktycznych, uczestniczyła
w mapowaniu zasobów edukacyjnych portalu Calibrate do haseł podstaw programowych poszczególnych krajów, a także skorzystała z poszerzających wiedzę szkoleń w języku angielskim.
Ośmiu nauczycieli z Polski uczestniczyło
w międzynarodowej Letniej Szkole Calibrate
w Portoroż w Słowenii w sierpniu 2007 roku
W listopadzie i grudniu 2007 odbyły się w Chorzowie i w Bytomiu, w ramach Dni Walidacji Calibrate, kolejne dwa spotkania nauczycieli przedmiotów
matematyczno przyrodniczych i języka angielskiego, którzy stawiali pierwsze kroki w systemie. Zostali oni poinstruowani, a następnie dokonali prób
indywidualnego użycia platformy zasobów Calibrate i LeMill. Zamieszczone
przez w/w nauczycieli wnioski będą miały wpływ na rozwój systemu Calibrate
w przyszłości.
56
Nauczyciele szkół chorzowskich biorący udział
w walidacji projektu w listopadzie 2000 roku
W projekcie Calibrate brali udział nauczyciele matematyki, języka angielskiego oraz przedmiotów matematyczno - przyrodniczych. Prezentacje poszczególnych szkół testujących, nazwiska i adresy e-mailowe koordynatorów projektu
w danej szkole można znaleźć na stronach:
http.://calibrate.men.gov.pl/calibrate c.html
oraz
http.://insight.eun.org/ww/en/pub/insight/school
innovation/best practice/insight schools calibrate.html
Poniżej zamieszczamy przykładowe adresy sprawdzonych, godnych polecenia stron do wykorzystania na lekcjach matematyki.
1. Wpisywanie koła w trójkąt
http://www.walter-fendt.de/m14e/triangle.htm
2. Symetralna odcinka
http://www.walter-fendt.de/m14e
/circumcircle.htm
3. Dwusieczna kąta
http://www.walter-fendt.de/m14e/incircle.htm
4. Kąt środkowy i wpisany. Związek między
kątem środkowym i wpisanym opartym
na tym samym łuku. Kąty wpisane oparte
na tym samym łuku
http://www.walter-fendt.de/m11e/circleangles.htm
5. Suma miar kątów w trójkącie
http://www.walter-fendt.de/m11e/anglesum.htm
57
6. Zamiana jednostek długości, czasu,
masy, pola powierzchni i objętości
http://www.walter-fendt.de/m11e/conversion.htm
http://www.walter-fendt.de/m14d
/umrechnung.htm
7. Koło wpisane i opisane na trójkącie
http://www.walter-fendt.de/m11e/triangle.htm
8. punkt, prosta
http://www.walter-fendt.de/m14e/geotransf.htm
9. Thales’ Circle
http://www.walter-fendt.de/m14e/thalescircle.htm
10. Czworokąt wpisany w koło. Suma miar
kątów w czworokącie
http://www.walter-fendt.de/m14e
/cyclquadrilat.htm
11. Dodawanie, odejmowanie, mnożenie,
dzielenie sposobem pisemnym
http://www.walter-fendt.de/m14d/srechnen.htm
12. Kąty odpowiadające i inne
http://www.walter-fendt.de/m14d/winkelparg.htm
13. Podstawowe figury geometryczne
http://www.walter-fendt.de/m14d/geoabb.htm
14. Przekształcanie wzorów
http://celebrate.ls.no/Neutral/Science
/effektformel.swf
15. Twierdzenie Pitagorasa
/pythagoras2.htm
/pythagoras.htm
http://www.indire.it/immagini/immag
/giar/pitagora3.jpg
16. Wyłączanie całości z ułamka
niewłaściwego
http://celebrate.ls.no/norsk/animasjoner
/matematikk/tilblanda/index.html
17. Rozkład liczby na czynniki pierwsze
http://www.walter-fendt.de/m14d/primyphos.htm
/matematikk/faktor/index.html
18. Liczby pierwsze i złożone
http://www.walter-fendt.de/m14e/primes.htm
http://www.walter-fendt.de/m14d/primzahlen.htm
58
19. Dodawanie liczb całkowitych
/matematikk/tallinje/index.html
20. Test o figurach geometrycznych
http://lemill.net/content
/hindeline-too-i-klassile-geomeetrilisedkujundid/view
21. Tabliczka mnożenia
http://celebrate.ls.no/english/Animations
/Mathematics/mtab1/index.html
http://celebrate.ls.no/english/Animations
/Mathematics/mtab2/index.html.
22. Zamiana ułamków zwykłych na dziesiętne
http://www2.arnes.si/∼osngso3s/ma dec ulom.htm
23 Równania - liczby dziesiętne
http://www2.arnes.si/∼osngso3s/ma enacbe.htm
24. Działania na liczbach całkowitych
http://www2.arnes.si/∼osngso3s/mnoz delj.htm
25. Pole trójkąta
http://www2.arnes.si/∼osngso3s/virtualna
/matematika/ma trikotnik.htm
26. Rysowanie wykresów funkcji
http://scp.s-scptuj.mb.edus.si/ zoli
/projekt/prime2t/prime.html
Zofia Majerska, nauczycielka matematyki
w ZSS nr 2 oraz w SP nr 25
w Chorzowie
Katarzyna Sikora nauczycielka matematyki
w ZS nr 1 i doradca metodyczny matematyki
w Chorzowie
Niniejszy artykuł ukazał się w czasopiśmie NiMplusTI nr 67
p.t. Projekt Calibrate
59
TI W NAUCZANIU MATEMATKI
Witold Pająk (Oświęcim)
Rola programu CABRI w rozwiązywaniu
problemów matematycznych
Streszczenie
W procesie nauczania matematyki ważną rolę odgrywają nowoczesne środki nauczania. Przykładem takiego środka jest program komputerowy Cabri. W artykule
zostały zaprezentowane walory dydaktyczne Cabri, a także przykłady jego szkolnych
zastosowań. Na szczególną uwagę zasługują te przykłady, które są związane z dowodzeniem, definiowaniem, prowadzeniem rozumowań matematycznych.
CABRI jako środek dydaktyczny
Przypomnijmy sobie na początku, co to jest środek dydaktyczny.
To przedmioty, które dostarczając uczniom określonych bodźców oddziałujących na ich wzrok, słuch, dotyk itp. ułatwiają im bezpośrednie i pośrednie
poznawanie rzeczywistości (Cz. Kupisiewicz).
Zwróćmy jednak uwagę, że bezpośrednie poznawanie rzeczywistości inaczej
wygląda w przypadku biologii (np. model ptaka), a inaczej na matematyce (np.
model ostrosłupa). W pierwszym przypadku mamy do czynienia z modelem
realnie występującego obiektu – wystarczy wyjrzeć przez okno i ujrzymy ptaka. W drugim przypadku model ostrosłupa jest jedynie naszym wyobrażeniem
ostrosłupa, który jest bytem abstrakcyjnym, nie osiągalnym poprzez wzrok,
dotyk itp. Ta różnica w pojmowaniu modeli – środków dydaktycznych ma
duże znaczenie w nauczaniu matematyki i w stosowaniu środków dydaktycznych. Poznawanie za ich pomocą rzeczywistości matematycznej ma charakter
pośredni, a nie bezpośredni – przybliżamy jedynie byty matematyczne. Przywołajmy zatem w tym miejscu słowa wybitnych polskich dydaktyków matematyki wypowiedziane w odniesieniu do środków dydaktycznych.
Jeżeli nawet w nauczaniu geometrii w jego pierwszym stadium nauczyciel
organizuje pracę ucznia wykonywaną na przedmiotach fizycznych (jak pomiary, sporządzanie materialnych modeli sytuacji przestrzennych, przekształcenia
materialnych obiektów czy ich układów, itp.) to cel tej pracy znajduje się poza
rzeczywistością fizyczną (Z. Krygowska).
Witold Pająk
Najbardziej pomysłowe i nowoczesne środki poglądowe pozostaną tylko martwą dekoracją lekcji, jeżeli drogi od konkretu do abstrakcji, otwartej przez te
środki, uczący się nie przebędzie aktywnie, z zaangażowaniem swej wyobraźni
i myślenia (Z. Krygowska).
Trzeba, żeby uczeń od początku przyzwyczajał się do traktowania rysunku
geometrycznego jako ikonicznego symbolu figury, pozwalającego na ikoniczne
zapisanie i odczytanie niektórych własności figury, a nie jako jej wiernego
obrazu, czy - tym bardziej - jako samej figury (St. Turnau).
Słowa te dobrze oddają sens środków dydaktycznych stosowanych na lekcjach matematyki, w tym programu CABRI. Zastanówmy się w tym miejscu
nad tymi cechami CABRI, które decydują, że ten program jest uznawany za
nowoczesny i skuteczny środek dydaktyczny stosowany na lekcjach matematyki niemal na każdym poziomie kształcenia.
Zauważmy, że od najmłodszych lat człowiek doznaje, odczuwa lub obserwuje przemieszczania się rzeczy, osób w sposób ciągły – ptaka, samolotu,
klocka, poruszającego się rodzica itp. To uczucie towarzyszy człowiekowi od
początku jego świadomego odbioru rzeczywistości.
Najgłębiej leżąca intuicja geometryczna wiąże się z ciągłością (R. Duda).
Dlatego też w programie CABRI doznawanie ciągłości toru punktu i innych figur geometrycznych jest bardzo silne. Można więc zaryzykować stwierdzenie, że ciągłość ruchu w CABRI jest z dydaktycznego punktu widzenia,
ważnym atrybutem programu. Dokonajmy od razu rozróżnienia, że ciągłość
jest ważnym walorem dydaktycznym, w odróżnieniu od walorów technicznych
programu. Walory techniczne mają głównie znaczenie przyspieszające, usprawniające pracę. Nie wyklucza to oczywiście odniesień dydaktycznych, ale mają
one charakter pośredni. Walory dydaktyczne wiążą się z takim wykorzystaniem CABRI, które wzbogaca rozumienie matematyki poprzez nowe, inne niż
tradycyjne spojrzenie na poznawane treści. Rozważmy dla przykładu tradycyjny oraz wspomagany przez CABRI sposób rysowania odcinka lub wielokąta.
Tradycyjnie uczeń doznaje rysowania wielokąta poprzez boki (rys. 1a, 1b) –
zatrzymuje się co prawda w wierzchołkach, ale jego ruchy są skupione na rysowaniu od linijki odcinków. W CABRI uczeń doznaje rysowania wielokąta
poprzez wierzchołki – klika na punkty, a odcinek powstaje bez udziału człowieka (rys. 2a, 2b).
62
Rola programu CABRI w rozwiązywaniu problemów matematycznych
Rys. 1a
Rys. 1b
Rys. 2a
Rys. 2b
Powyższe sytuacje upoważniają do sformułowania wniosku, że CABRI
i tradycyjny sposób rysowania nie są systemami konkurencyjnymi (czy alternatywnymi), ale w procesie nauczania dopełniającymi się wzajemnie. Zilustrujmy różnice pomiędzy technicznymi, a dydaktycznymi walorami programu
CABRI na przykładach.
Przykład 1
Dany jest okrąg o stałym promieniu r. Jaka jest część wspólna wszystkich
trójkątów równobocznych wpisanych w dany okrąg?
Prześledźmy hipotetyczną pracę dwóch uczniów: jednego pracującego bez
CABRI, drugiego – z CABRI.
Rys. 3
63
Witold Pająk
Uczeń rozwiązujący problem na kartce (bez udziału komputera) może –
po zrozumieniu treści pytania – w dany okrąg wpisać kilka trójkątów równobocznych (por. rys. 3). Zauważy zapewne, że ich częścią wspólną jest pewien
wielokąt. Wyobrażając sobie następne wpisywane trójkąty równoboczne intuicyjnie będzie widział inne wielokąty (jako części wspólne) o coraz większej
ilości boków, co prowadzi do aproksymacji okręgu. Już bez rysowania dostrzeże
w części wspólnej koło wpisane w dowolny z trójkątów równobocznych.
Rys. 4a
Rys. 4b
Rys. 4c
Uczeń pracujący z CABRI może oczywiście powtórzyć wiernie drogę
z kartki wykorzystując być może jedynie makrokonstrukcje. Wówczas program
komputerowy to nieco „dokładniejsza kartka”. Można jednak problem rozwiązywać inaczej. Ustaliwszy dwa trójkąty równoboczne wpisane w okrąg jeden
potraktujmy jako nieruchomy, drugi - zmienny, obracający się poprzez przesuw wyróżnionego wierzchołka po okręgu. Na jednym z boków „ruchomego”
trójkąta obieramy punkt, a następnie zaznaczamy jego ślad (opcja: miejsce
geometryczne punktu) powstały w wyniku pełnego obrotu trójkąta. Uzyskany
ślad nie zawiera się w stałym trójkącie – nie może więc ów punkt należeć do
części wspólnej. Można następnie zmieniać położenie tego punktu (lub obierać dodatkowe). W wyniku obserwacji powstałych śladów (por. rys. 4a, 4b,
4c) uczeń metodą „prób i błędów” znajduje takie jedno położenie (na środku boku), w którym pozostawione miejsce geometryczne zawiera się w stałym
trójkącie. Wniosek stąd taki, że część wspólna wszystkich trójkątów równobocznych wpisanych w dany okrąg będzie wyznaczona poprzez ślad odcinka
łączącego środek okręgu opisanego na „ruchomym” trójkącie równobocznym
ze środkiem jednego z boków – będzie to oczywiście koło wpisane.
Trzeba mieć jednak świadomość, że w obu sytuacjach uczniowie osiągnęli
wynik, ale ich droga powinna być objaśniona na zasadach matematycznych,
należałoby więc wytłumaczyć dlaczego punkty należące do koła wpisanego
w trójkąt należą do każdego reprezentanta oraz dlaczego żaden inny punkt nie
należy do wszystkich takich trójkątów. Analizując powyższy przykład zakładamy, że mamy do czynienia z uczniem wytrwałym w pracy, chcącym rozwiązać
zadanie oraz znającym możliwości programu CABRI.
64
W obu przypadkach: na kartce i w CABRI uczeń doszedł do wyniku.
Jednak droga, jaką musiał przebyć w obu sytuacjach była inna. Wymagała ona od ucznia innych aktywności – można nawet rzec, że w przypadku
używania CABRI dodatkowych umiejętności informatycznych (których brak
eliminowałby używanie programu). Porównywanie pary: problem (P) oraz wynik (W) w sytuacji pracy na kartce (Pk, Wk) i w CABRI (Pc, Wc) byłoby
znacznym uproszczeniem, gdyż droga od P do W obu sytuacjach była inna
i w sytuacji pracy z komputerem wykorzystywała w sposób znaczący cechy
programu CABRI. Praca z CABRI pozwoliła wybrać drogę, która na kartce
byłaby niemożliwa. Program komputerowy nie stał się zwykłym „przyspieszaczem” pracy, ale dał nowe, inne niż na kartce możliwości.
Przykład 2
Rozważmy dla zbudowania porównawczego przykładu opcję punkt symetryczny względem prostej. Gdy uczniowie znają już pojęcie punktów symetrycznych względem osi oraz potrafią krok po kroku konstruować obrazy punktów w symetrii osiowej, możemy w toku jakiegoś bardziej złożonego zadania
skorzystać z tej opcji, zwłaszcza gdy szukanie obrazu wypada powtórzyć kilkakrotnie (por. rys. 5a). Usługi jakie oddaje CABRI w takim przypadku mają
wówczas charakter techniczny. Natomiast gdy wykorzystamy opcję miejsce
geometryczne punktu – możemy otrzymywać generowaną przez ruch ”uchwyconego” punktu specjalną reprezentację graficzną tego przekształcenia (por.
rys. 5b); tutaj rola CABRI jest zupełnie inna, choć w obu przypadkach, wykorzystujemy program jako środek w konstrukcji.
Rys. 5a
Rys. 5b
Z punktu widzenia procesu nauczania między tymi przypadkami istnieje
zasadnicza różnica. Pierwszy oznacza – jak już wspomnieliśmy – wykorzystywanie CABRI przede wszystkim w funkcji technicznej. Oczywiście ta rola nie
wyklucza pewnych implikacji dydaktycznych, ale są one z reguły tylko pośrednie. Program o tyle wpływa na proces nauczania, o ile ma dlań znaczenie
65
Witold Pająk
organizacyjne, racjonalizacyjne i skraca czas działań (wszystko to pod warunkiem nie zagubienia istotnych treści pojęciowych). Sam w sobie nie stwarza
w tej roli nowych okoliczności poznawczych. W drugim przypadku natomiast
program jako środek nauczania bezpośrednio przejmuje na siebie istotną rolę
poznawczą, funkcjonuje więc w sensie dydaktycznym. Oznacza to, że wnosi do
procesu dydaktycznego nie tylko elementy technicznego przyspieszenia czynności i organizacji pracy, ale również aktywizuje ten proces jako zespół działań
podejmowanych dla przyswojenia pojęcia i wzbogaca o takie elementy, które
mogą ukierunkowywać płodnie myśl ucznia przyswajającego pojęcie symetrii
osiowej na płaszczyźnie i przekształcenia geometrycznego w ogólności.
Dowodzenie a komputer
W roku 1976 został ogłoszony dowód problemu czterech barw. Zagadnienie
od lat budzące ogromne zainteresowanie wśród matematyków wreszcie znalazło swój finał. Jakież było zdziwienie, gdy okazało się, że rozumowanie dowodowe to nic innego jak program komputerowy. Appel i Haken (twórcy pomysłu dowodowego) stwierdzają, że ich dowód bez pomocy komputera nie
tylko nie jest możliwy, ale wręcz jest niewyobrażalny, chodzi bowiem nie tylko
o czas, ale i o to, że niektóre idee dowodu precyzowały się dopiero w dialogu z komputerem. Rozgorzała dyskusja na temat wykorzystywania komputera
w dowodach matematycznych oraz w samej matematyce. Głos w tej sprawie
zabierali również naukowcy w Polsce. Roman Duda napisał:
Komputer staje się tym, czym dla fizyka jest jego laboratorium (. . . ), prowadzi do odkrycia zjawisk, które następnie można opisywać i uzasadniać dedukcyjnie. Współdziała więc z dedukcją, ale jej nie zastępuje.
Zwracano uwagę na następujący aspekt dowodu matematycznego:
Kiedy usłyszałem, że twierdzenie o czterech barwach zostało dowiedzione, moją pierwszą reakcją było, „wspaniale! Jak oni to zrobili?” Oczekiwałem
olśniewającego błysku intuicji, dowodu, w którego jądrze tkwi idea o piękności
przekraczającej moje rozumienie. Ale kiedy dostałem odpowiedź, że „zrobili to
rozbijając dowód na tysiące przypadków, a następnie sprawdzając je wszystkie,
jeden po drugim na komputerze”, poczułem się zniechęcony.
Przykład 3
Dany jest trójkąt. Zbadaj sumę miar kątów wewnętrznych tego trójkąta.
Podejście do tego problemu może przebiegać w różny sposób – nawet z wykorzystaniem CABRI.
66
Rys. 6
Możemy obliczać kąty trójkąta, sumować je i otrzymywać rezultat bliski
To pozwoli na wypowiedzenie hipotezy na temat sumy kątów w trójkącie. Możemy jednak wykorzystać dydaktyczne walory CABRI i zaproponować
uczniom podejście inne. W literaturze nosi ono nazwę „dowodu zapałkowego”.
180◦ .
Rys. 7a
Rys. 7b
Ten prosty przykład pokazuje nowe spojrzenie na problem sumy kątów
wewnętrznych trójkąta z wykorzystaniem programu CABRI. Wskazane tutaj
podejście komputerowe (rys. 7a, 7b) to nie przyspieszenie, czy lepsza dokładność – to nowa jakość.
Rozumienie matematyki
Programy komputerowe „proponują” użytkownikowi wiele gotowych rozwiązań. Na tym tle program CABRI w dużym swym obszarze „proponuje”
jedynie współdziałanie, interaktywną „rozmowę”. W sferze konstrukcji (poza
elementarnymi) program nie wykona za ucznia żadnych ruchów, prócz tych,
które zada sam użytkownik. Jeśli będą one błędne, to i konstrukcja będzie niepoprawna – CABRI jej nie poprawi, a jedynie w pewnym momencie unaoczni
jej niepoprawność. Zacytujmy w tym momencie słowa prof. R. Pawlaka:
Komputery sprawiły, że zapotrzebowanie na naszą wiedzę (w sensie znajomości twierdzeń, wzorów, sprawności rachunkowych itp.) znacznie się zmniejszyło. Jeszcze nie tak dawno suwak logarytmiczny był atrybutem inżyniera.
67
Witold Pająk
Który z naszych uczniów wie, jak to urządzenie wygląda? Kto dzisiaj nim się
jeszcze posługuje? Teraz człowiekowi bardziej niż poprzednio potrzebne jest rozumienie matematyki.
Przykład 4
Danych jest n-niewspółliniowych punktów na płaszczyźnie. Skonstruuj wielokąt mający n kątów, aby dane punkty były środkami jego boków.
Rozważmy najpierw sytuację trzech danych punktów X, Y, Z. Zadanie
można rozwiązać korzystając z własności trójkąta: odcinek łączący środki
dwóch boków jest równoległy do boku trzeciego. Otrzymamy w ten sposób
rozwiązanie dla trójkąta (por. rys. 8a, 8b).
Rys. 8a
Rys. 8b
Jednak takie podejście zawodzi, gdy będziemy chcieli rozważyć większą
liczbę punktów. Zauważmy, że na problem możemy spojrzeć przez pryzmat
przekształceń geometrycznych, a mianowicie poprzez symetrie środkowe. Punkt
B jest obrazem punktu A w symetrii środkowej względem punktu X (por. rys.
8a); punkt C jest obrazem punktu B w symetrii środkowej względem punktu
Z, a punkt A jest obrazem punktu C w symetrii środkowej względem punktu
Y.
Rys. 9a
68
Rys. 9b
Rozpocznijmy więc pracę od dowolnego punktu A 1 (por. rys. 9a). Niech
punkt B1 będzie obrazem punktu A1 w symetrii środkowej względem punktu X ; punkt C1 będzie obrazem punktu B1 w symetrii środkowej względem
punktu Y, a punkt A2 – obrazem punktu C1 w symetrii środkowej względem
punktu Z. Kiedy zatem punkty A1 i A2 pokryją się? Obserwujemy tutaj złożenie trzech symetrii środkowych – jest to również symetria środkowa, która ma
jeden punkt stały – tak więc znajdziemy go wykorzystując punkty A 1 i A2 jako
punkt i jego obraz. Środek odcinka A 1 A2 – to będzie szukany punkt A (por.
rys. 9b). Takie spojrzenie na problem pozwala na dalsza penetrację i powiększanie liczby punktów. Program CABRI umożliwia konstrukcję ciągu obrazów
punktów w symetrii środkowej oraz poszukiwanie właściwego punktu. Okazuje
się, że dla czterech danych punktów (środków boków) nie zawsze można wyznaczyć czwórkę punktów będących wierzchołkami czworokąta (por. rys. 10).
Rozwiązanie tej zagadki tkwi w tym, że złożenie czterech symetrii środkowych
jest translacją, która nie ma punktów stałych (gdy wektor jest niezerowy) lub
ma ich nieskończenie wiele (gdy wektor jest zerowy). W pierwszym przypadku
oczywiście nie ma rozwiązania, a w drugim jest ich nieskończenie wiele – ale ów
drugi przypadek wymaga, aby cztery dane punkty tworzyły równoległobok.
Rys. 10
Przedstawione rozumowanie można oczywiście przenieść na parzystą oraz
nieparzystą liczbę danych punktów. W pierwszym przypadku tylko czasami
będzie rozwiązania, w drugim zaś – zawsze, ale tylko jedno.
Weryfikacja w CABRI
Jedną z zalet programu CABRI jest możliwość dokonywania weryfikacji
empirycznej. Jest to ważny aspekt pracy ucznia na zadaniem, czy problemem.
Zdajemy sobie doskonale sprawę, że taka weryfikacja może działać w dwóch
kierunkach:
• wskazywać kontrprzykład lub;
• „utwierdzać” w przekonaniu o prawdziwości postawionej hipotezy.
69
Witold Pająk
W pierwszym przypadku pomiar, dodatkowe wykreślenie prostych (np.
równoległych) wskazują na niepoprawność postawionej hipotezy; jednocześnie
takie wskazanie pełni rolę poprawnie skonstruowanego kontrprzykładu. W drugim przypadku „utwierdzenie” ucznia w słuszności swojej hipotezy może być
odczytane przez ucznia zbyt dosłownie – to nie ma charakteru dowodu, lub
wyjaśnienia matematycznego. To tylko własne przekonanie o dobrze wybranej
drodze postępowania matematycznego. Potwierdzone w ten sposób hipotezy
należy objaśnić na gruncie wiedzy matematycznej, znanych twierdzeń czy własności. W tym przypadku rola nauczyciela musi być bardzo duża i stanowcza
– jakiekolwiek uchybienie w tej sprawie może spowodować niewłaściwy odbiór
idei matematycznych, jakie niosą komputery.
Przykład 5
Dany jest czworokąt ABCD, w którym punkty X, Y, Z, W są środkami
boków odpowiednio: AB, BC, CD, DA; punkty P i R są środkami przekątnych,
odpowiednio AC i BD; punkt Q jest wspólnym punktem odcinków XZ i YW.
Co można powiedzieć o usytuowaniu punktów P, Q, R?
Rys. 11a
Rys. 11b
Zaproponowane zadanie otwiera wiele możliwości odpowiedzenia na nie.
Co więcej, uczeń postawiony w takiej sytuacji nie wie, czy jego odpowiedź będzie poprawna, czy też nie. Zatem penetracja w CABRI (por. rys. 11a.) Może
doprowadzić do postawienia matematycznie poprawnej hipotezy, że punkty P,
Q, R są współliniowe (oczywiście uczeń może na postawione w zadaniu pytanie
odpowiadać różnie, np. rozważane punkty są wewnątrz czworokąta). Poprzestanie na takiej odpowiedzi byłoby zbyt wczesnym zakończeniem pracy nad
zadaniem. Można się pokusić o poszukiwanie matematycznego uzasadnienia.
I również w tym elemencie pracy może pomagać program CABRI. Zauważmy,
że można zbudować czworokąty: PXRZ oraz XYZW (por. rys. 11b) – to są równoległoboki. Uczniowi początkowo pomoże pomiar, wykreślenie równoległych,
70
a potem rozumowanie polegające na znalezieniu odpowiednich trójkątów (np.
CAB, CDB) i poszukaniu odcinków łączących środki boków trójkąta (np. PX
i ZR). W ten sposób uzyskamy, że odcinki PR i ZX to przekątne równoległoboku XRZP. Jednocześnie odcinki ZX i WY to przekątne równoległoboku
XYZW – zatem punkt O jest środkiem odcinka ZX, czyli leży w środku odcinka PR. Takie rozumowanie nie wymaga wielu informacji i jest możliwe do
osiągnięcia przez uczniów wtedy, gdy dobrze będą zaznajomieni z własnościami
trójkątów i czworokątów. A program CABRI ich „naprowadzi” na prawidłową
„ścieżkę” oraz im „przypomni” potrzebne informacje.
Przykład 6
Rozważmy hipotetyczną pracę z CABRI dotyczącą definicji równoległoboku. Uczniowie mogą wskazywać rozmaite własności równoległoboku, np. dwie
pary boków równoległych, dwie pary niesąsiednich boków równych, połowienie się przekątnych, równość kątów przeciwległych. Nasuwa się pytanie: które
z tych własności mogą stać się definicjami równoległoboku? Zaproponujmy
więc uczniom przyjęcie określonego zestawu informacji i w oparciu o ten zestaw skonstruowanie czworokąta. Czy okaże się on równoległobokiem?
Rys. 12a
Rys. 12b
Rys. 12c
71
Witold Pająk
Przyjmijmy więc dla przykładu następujące zestawy informacji:
• dwie pary niesąsiednich boków równych (por. rys. 12a);
• dwie pary boków równoległych (por. rys. 12b);
• połowienie się przekątnych (por. rys. 12c).
W wyniku konstrukcji otrzymujemy czworokąt spełniający na pewno wyjściowy zestaw informacji. Wykorzystując możliwości programu CABRI (np.: pomiar, wykreślanie prostych równoległych, zadawanie pytania o równoległość)
sprawdzamy jakie własności posiada skonstruowany przez nas czworokąt. Okazuje się, że weryfikacja empiryczna pozwala na sformułowanie hipotez, że powstałe czworokąty to równoległoboki (posiadające wszystkie pozostałe własności). Kolejnym etapem pracy jest zaakceptowanie uzyskanych informacji. Może
to nastąpić poprzez powołanie się na wiadomości z podręcznika, poprzez autorytatywne stwierdzenie nauczyciela lub poszukując odpowiednich wyjaśnień.
W zależności o sytuacji lekcyjnej możemy zdecydować się na określone podejście. Uzasadnienie zweryfikowanych faktów opiera się głównie na poszukiwaniu
par trójkątów przystających. Następnym elementem pracy o równoległobokach
może być badanie przypadków szczególnych (rombu, prostokąta).
Podsumowanie
Powyższe przykłady wskazują na drogę postępowania w pracy z programem CABRI. Wyodrębnijmy charakterystyczne elementy tej pracy (por. schemat 1):
• obserwacja w CABRI;
• sformułowanie wniosku lub hipotezy;
• reakcja nauczyciela (dotycząca poprawności lub niepoprawności wniosków) zakończona jedną z możliwości:
powrót do pracy w CABRI w celu dokonania weryfikacji empirycznej;
powrót do pracy w CABRI w celu poszukiwania argumentów matematycznych na potwierdzenie wniosków;
praca bez udziału CABRI w celu poszukiwania argumentów matematycznych na potwierdzenie wniosków;
akceptacja wniosków bez dodatkowych wyjaśnień.
Przebieg lekcji z programem CABRI zależy od sytuacji lekcyjnej, od wieku
uczniów, możliwości czasowych itp.
72
Schemat 1
Na tle powyższych rozważań zastanówmy się nad drogą ucznia do matematyki. Posłużmy się przykładem z dnia codziennego. Jeśli mamy przemierzyć
jakąś drogę to postępujemy w zależności od jej długości, możliwości i czasu:
możemy więc poruszać się pieszo, jechać rowerem, autobusem z innymi lub
szybkim samochodem. Przemierzając drogę uczniowskiego poznawania matematyki również możemy korzystać z różnych środków – czasem wystarczy
i potrzeba jedynie cyrkla i linijki, ale czasem dobrze byłoby wykorzystać komputer (por. schemat 2).
Schemat 2
73
Witold Pająk
Literatura
[1] Davis P., Hersh R.: 1994, Świat matematyki, Wydawnictwo Naukowe
PWN, Warszawa.
[2] Duda R.: 1982, O nowej roli komputerów w matematyce, Wiadomości
Matematyczne T. XXIV/1, PWN, Warszawa.
[3] Duda R.: 1986, Wprowadzenie do topologii, część I; PWN, Warszawa.
[4] Kąkol H.: 1987a, Czy komputer może pomagać w kształtowaniu pojęć matematycznych? Matematyka nr 2.
[5] Kąkol H.: 1987b, Rozumowanie matematyczne a komputer, Matematyka
nr 3.
[6] Kąkol H.,: 1991, Problemowe nauczanie matematyki a komputer, Matematyka nr 2.
[7] Konior J.: 1998, O roli wiedzy potocznej w szkolnym nauczaniu matematyki, Materiały do zajęć z dydaktyki matematyki, część I, Wydawnictwo
Uniwersytetu Wrocławskiego.
[8] Konior J.: 1999, Pojęcia matematyczne i ich kształtowanie w nauczaniu
szkolnym, Szkoła polska u progu nadchodzącego wieku, Prace Naukowe
Wyższej Szkoły Edukacji Wczesnoszkolnej w Mysłowicach, zeszyt 3.
[9] Konior J.: 2002a, Repetytorium z CABRI, część I, Matematyka i Komputery nr 10.
[10] Konior J.: 2002b, Repetytorium z CABRI, część II, Matematyka i Komputery nr 11.
[11] Konior J.: 2002c, Repetytorium z CABRI, część III, Matematyka i Komputery nr 12.
[12] Konior J.: 2002d, Materiały do studiowania dydaktyki matematyki, tom
IV, Wydawnictwo Naukowe NOVUM, Płock.
[13] Konior J.: 2003, Repetytorium z CABRI, część IV, Matematyka i Komputery nr 14.
[14] Krygowska Z.: 1977a, Zarys dydaktyki matematyki, część 1, WSiP, Warszawa.
74
[15] Krygowska Z.: 1977b, Zarys dydaktyki matematyki, część 2, WSiP, Warszawa.
[16] Krygowska Z.: 1977c, Zarys dydaktyki matematyki, część 3, WSiP, Warszawa.
[17] Krygowska Z.: 1986, Elementy aktywności matematycznej, które powinny odgrywać znaczącą rolę w matematyce dla wszystkich, Roczniki PTM,
Seria V, Dydaktyka Matematyki nr 6, Kraków.
[18] Kupisiewicz Cz.: 1984, Podstawy dydaktyki ogólnej, PWN Warszawa.
[19] Pająk W.: 1993:, Badanie przekształceń geometrycznych, Nauczyciele
i Matematyka, nr 8.
[20] Pająk W.: 1994, O pomiarach w CABRI, CABRI JEST, nr 2.
[21] Pająk W.: 1998, Warunki wystarczające dla równoległoboku, CABRISTA
nr 16.
[22] Pająk W.: 1998, Warunki wystarczające dla równoległoboku, CABRISTA
nr 16.
[23] Pająk W.: 1999, Analiza problemów otwartych wspomagana CABRI, Wydawnictwo „Dla Szkoły”, Wilkowice.
[24] Pająk W.: 2000, Komputer jako narzędzie wspomagające proces kształtowania pojęć matematycznych, Matematyka i Komputery nr 4.
[25] Pająk J.: 2002, Odkrywanie twierdzenia Talesa wspomagane programem
CABRI, Matematyka i Komputery nr 9.
[26] Pająk J.: 2003, Dowodzenie w szkole a komputer, Matematyka i Komputery nr 13 .
[27] Pająk W.: 2005, Przyczynek do badań nad rolą komputera w procesie dydaktycznym, Nauczyciele i Matematyka nr 54.
[28] Pająk W.: 2006, CABRI i przekształcenia, Matematyka, nr 6.
[29] Pawlak R.: 2001, Czy kalkulatory i komputery prowadzą do powstawania
przeszkód epistemologicznych? Nauczyciele i Matematyka nr 40.
[30] Prus-Wiśniowska E.: 1995, Dowód matematyczny i jego rola w dydaktyce matematyki: przegląd literatury współczesnej, Roczniki PTM, Seria V,
Dydaktyka Matematyki nr 17, Kraków.
75
Witold Pająk
[31] Semadeni Z.: 1982, Uwagi do artykułu R. Dudy, Wiadomości Matematyczne T. XXIV/1, PWN, Warszawa.
[32] Turnau S.: 1990, Wykłady o nauczaniu matematyki, PWN, Warszawa.
[33] Turnau S.: 1994a, Dynamiczne konstrukcje dowodowe, CABRI JEST
nr 2.
[34] Turnau S.: 1994b:, CABRI i geometria elementarna, Matematyka nr 4.
[35] Turnau S.: 2001, O dowodzeniu twierdzeń we współczesnej szkole, Roczniki
PTM, Seria V, Dydaktyka Matematyki nr 23, Kraków.
[36] Turnau S.: 2003, O dowodzeniu twierdzeń we współczesnej szkole, Nauczyciele i Matematyka nr 45.
Autor pracuje w LO im. Konarskiego w Oświęcimiu
76
Od 2D do 3D
Małgorzata Zbińkowska
L.O. im. Tomasza Zana, Pruszków
[email protected]
28 stycznia 2009
Streszczenie
Warsztaty obejmowały nast˛epujace
˛ tematy: konstrukcje okr˛egów wpisywanych w trójkaty
˛
i opisywanych na nich, zależności mi˛edzy długościami promieni okr˛egów wpisanych i
opisanych. Zupełnie nowy sposób konstrukcji sfer wpisanych i opisanych na dowolnych
czworościanach, zależności mi˛edzy długościami promieni sfer wpisanych i opisanych na
czworościanach. Stosujac
˛ nowe narz˛edzia, jakimi sa˛ Cabri II plus i Cabri 3D, mieliśmy
możliwość przypomnienia znanych i odkrywania nowych zależności, np. mi˛edzy obj˛etościa˛ dowolnego czworościanu, jego polem a długościa˛ promienia sfery weń wpisanej.
Materiały te b˛edzie można wykorzystać w trakcie realizacji tematów powtórzeniowych z
maturzystami np. planimetria ze stereometria.˛ Nam na zaj˛eciach ( 90 min.) udało si˛e zrealizować cztery pierwsze zadania w całości i zapoznać si˛e z wnioskami z pozostałych zadań.
Spis treści
1
Co już wiemy?
1.1 Teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Zadania do samodzielnego wykonania . . . . . .
1.2.1 Konstrukcja okr˛egu opisanego na trójkacie
˛
1.2.2 Konstrukcja okr˛egu wpisanego w trójkat
˛ .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2 O jeden wi˛ecej
2.1 Wst˛ep teoretyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Zadania do samodzielnego wykonania . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Konstrukcja sfery opisanej na czworościanie . . . . . . . . . . .
2.2.2 Konstrukcja sfery wpisanej w czworościan . . . . . . . . . . . .
˛ równoboczny i opisanego
na trójkacie
˛ równobocznym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Konstrukcja sfery wpisanej i opisanej na czworościanie foremnym
2.2.5 Konstrukcja okr˛egu wpisanego i opisanego na trójkacie
˛ prostokat˛
nym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.6
Konstrukcja okr˛egu wpisanego i opisanego na równoramiennym
trójkacie
˛ prostokatnym
˛
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.7
Konstrukcja sfery wpisanej i opisanej na czworościanie o podstawie równoramiennego trójkata
˛ prostokatnego
˛
. . . . . . . . .
3
Podsumowanie z przymrużeniem oka
2
2
3
3
3
5
5
5
5
6
8
9
10
12
14
16
1
1
Co już wiemy?
1.1
Teoria
• Symetralna odcinka jest zbiorem punktów jednakowo odległych od obu jego końców.
• Środek okr˛egu opisanego na wielokacie
˛ jest oddalony od każdego wierzchołka wielokata
˛
o długość promienia. Jest wi˛ec punktem należacym
˛
do symetralnej każdego boku
wielokata.
˛
• Dwusieczna kata
˛ mniejszego od półpełnego jest zbiorem tych punktów kata,
˛ których
odległości do obu ramion kata
˛ sa˛ równe.
• Środek okr˛egu wpisanego w wielokat
˛ jest równo oddalony od boków tego wielokata.
˛
Jest wi˛ec punktem należacym
˛
do dwusiecznej każdego kata
˛ wewn˛etrznego wielokata.
˛
2
1.2
Zadania do samodzielnego wykonania
1.2.1
Konstrukcja okr˛egu opisanego na trójkacie
˛
Zadanie 1
Opisz okrag
˛ na dowolnym trójkacie
˛ ABC.
1. Otwórz Cabri II plus
2. Narysuj dowolny M ABC ( narz˛edzie 2/ Trójkat)
˛
3. Skonstruuj symetralna˛ boku AB ( narz˛edzie 4/ Symetralna)
4. Skonstruuj symetralna˛ boku BC ( narz˛edzie 4/ Symetralna)
5. Wyznacz O punkt przeci˛ecia symetralnych ( narz˛edzie 1/ Punkt przeci˛ecia)
˛ o środku w punkcie O i promieniu |OA| ( narz˛edzie 3/ Okrag)
˛
6. Skonstruuj okrag
Rysunek 1: Okrag
˛ opisany na trójkacie.
˛
1.2.2
Konstrukcja okr˛egu wpisanego w trójkat
˛
Zadanie 2
Wpisz okrag
˛ w dowolny trójkat
˛ ABC. Wyznacz jego pole P , obwód L = 2p oraz długość
promienia r i pr. Uzasadnij otrzymany wynik.
˛
3. Skonstruuj m dwusieczna˛ ]ABC ( narz˛edzie 4/ Dwusieczna)
4. Skonstruuj k dwusieczna˛ ]BAC ( narz˛edzie 4/ Dwusieczna)
3
5. Wyznacz O punkt przeci˛ecia dwusiecznych m i k ( narz˛edzie 1/ Punkt przeci˛ecia)
6. Skonstruuj prosta˛ s prostopadła˛ do boku AB przechodzac
˛ a˛ przez środek O ( narz˛edzie
4/ Prosta prostopadła)
7. Wyznacz M punkt przeci˛ecia boku AB i prostej s ( narz˛edzie 1/ Punkt przeci˛ecia)
8. Skonstruuj okrag
˛ o środku w punkcie O i przechodzacy
˛ przez punkt M ( narz˛edzie
3/ Okrag)
˛
9. Wyznacz pole P i obwód 2p M ABC ( narz˛edzie 8/ Pole narz˛edzie 8/ Długość i
odległość)
10. Wyznacz długość promienia r ( narz˛edzie 8/ Długość i odległość)
11. Wyznacz iloczyn pr ( narz˛edzie 8/ Kalkulator)
˛ opisanego na okr˛egu
12. Sformułuj wniosek dotyczacy pola trójkata
13. Uzasadnij swój wniosek
Rysunek 2: Pole trójkata
˛ i okrag
˛ wpisany w trójkat.
Uzasadnienie otrzymanego wyniku M ABC opisany na okr˛egu można podzielić na
trójkaty
˛ odcinkami łacz
˛ acymi
˛
wierzchołki ze środkiem okr˛egu. Pole1 M ABC jest równe
sumie pól tych trójkatów,
˛
a ich wysokości sa˛ równe r.
r
P = (a + b + c) = pr
2
(1)
Lub wprowadzajac
˛ inne oznaczenie L obwód, otrzymujemy
Lr
r
P = (a + b + c) =
2
2
1
(2)
Zależność ta jest prawdziwa dla dowolnego wielokata
˛ o polu P i obwodzie L = 2p opisanego na okr˛egu o
promieniu r
4
2 O jeden wi˛ecej
2.1
Wst˛ep teoretyczny
Jeżeli chcemy zajmować si˛e analogicznymi zagadnieniami 2 , czyli opisywaniem i wpisywaniem w 3D, należy zastanowić si˛e nad odpowiednikami :
• trójkatowi
˛
na płaszczyźnie odpowiada czworościan w przestrzeni
• symetralnej boku odpowiada płaszczyzna symetralna
˛ odpowiada płaszczyzna dwusieczna
• dwusiecznej kata
Przejscie do nastepnego wymiaru, czyli z 2D do 3D, nie zmienia istoty sprawy, tzn.:
• Środek kuli opisanej na wielościanie jest oddalony od każdego wierzchołka wielościanu o długość promienia. Jest wi˛ec punktem należacym
˛
do płaszczyzn symetralnych każdego boku wielościanu.
• Środek kuli wpisanej w wielościan jest oddalony od każdej ściany wielościanu o długość promienia. Jest wi˛ec punktem należacym
˛
do płaszczyzn dwusiecznych katów
˛
dwuściennych utworzonych przez ściany wielościanu.
2.2
Zadania do samodzielnego wykonania
2.2.1
Konstrukcja sfery opisanej na czworościanie
Zadanie 3
Opisz sfer˛e na dowolnym czworościanie ABCW .
1. Otwórz Cabri 3D
˛
3. Narysuj dowolny punkt W nad płaszczyzna˛ bazowa(
˛ narz˛edzie 1/ Punkt z klawiszem
SHIFT)
4. Skonstruuj P2 płaszczyzn˛e symetralna˛ boku AB ( narz˛edzie 4/ Symetralna)
5. Skonstruuj P3 płaszczyzn˛e symetralna˛ boku BC ( narz˛edzie 4/ Symetralna)
6. Wyznacz prosta˛ k, wzdłuż której przecinaja˛ si˛e płaszczyzny P2 i P3 ( narz˛edzie 2/
Krzywa przeci˛ecia) Zasłoń / odkryj obie płaszczyny.
7. Skonstruuj P4 płaszczyzn˛e symetralna˛ boku AW ( narz˛edzie 4/ Symetralna)
2
Pomysł konstruowania sfery wpisanej w czworościan i opisanej na czworościanie oparty na płaszczyznach
symetralnych i płaszczyznach dwusiecznych zaczerpn˛ełam z XXIII warsztatów "Geometria CABRI", których
autorem był pan dr Bronisław Pabich.
5
8. Wyznacz O, punkt przeci˛ecia płaszczyny P4 i prostej k ( narz˛edzie 1/ Punkt przeci˛ecia)
9. Skonstruuj sfer˛e o środku w punkcie O i promieniu |OA| ( narz˛edzie 3/ Sfera)
Rysunek 3: Sfera opisana na czworokacie.
˛
2.2.2
Konstrukcja sfery wpisanej w czworościan
Zadanie 4
Wpisz sfer˛e w dowolny czworościan ABCW . Wyznacz jego pole Pcz i obj˛etość Vcz oraz
długość promienia sfery r i
Pcz r
3
. Uzasadnij otrzymany wynik.
1. Otwórz Cabri 3D
˛
3. Narysuj dowolny punkt W nad płaszczyzna˛ bazowa(
˛ narz˛edzie 1/ Punkt)
4. Skonstruuj P2 , płaszczyzn˛e prostopadła˛ do boku AB przechodzac
˛ a˛ przez C ( narz˛edzie
4/ Prostopadła)
5. Skonstruuj P3 , płaszczyzn˛e dwusieczna˛ ] dwuściennego mi˛edzy ścianami ABC i
ABW ( narz˛edzie 4/ Płaszczyzna dwusieczna)
6. Skonstruuj P4 , płaszczyzn˛e prostopadła˛ do boku BC przechodzac
˛ a˛ przez A ( narz˛edzie
4/ Prostopadła)
BCW ( narz˛edzie 4/ Płaszczyzna dwusieczna)
6
8. Wyznacz prosta˛ k, wzdłuż której przecinaja˛ si˛e płaszczyzny P5 i P3 ( narz˛edzie 2/
Krzywa przeci˛ecia)
9. Skonstruuj P6 , płaszczyzn˛e prostopadła˛ do boku CA przechodzac
˛ a˛ przez B ( narz˛edzie
4/ Prostopadła)
ACW ( narz˛edzie 4/ Płaszczyzna dwusieczna)
11. Wyznacz O, punkt przeci˛ecia płaszczyny P7 i prostej k ( narz˛edzie 1/ Punkt przeci˛ecia)
12. Skonstruuj m, prosta˛ prostopadła˛ do podstawy BCA przechodzac
˛ a˛ przez O ( narz˛edzie
4/ Prostopadła)
13. Wyznacz W 0 , punkt przeci˛ecia podstawy ABC i prostej m ( narz˛edzie 1/ Punkt
przeci˛ecia)
14. Skonstruuj sfer˛e o środku w punkcie O i promieniu |OW 0 | ( narz˛edzie 3/ Sfera)
15. Wyznacz pole Pcz i obj˛etość Vcz ( narz˛edzie 9/ Pole narz˛edzie 9/ Obj˛etość)
16. Wyznacz długość promienia r sfery ( narz˛edzie 9/ Odległość)
17. Wyznacz
Pcz r
3
( narz˛edzie 8/ Kalkulator)
˛ obj˛etości czworościanu opisanego na sferze
18. Sformułuj wniosek dotyczacy
19. Uzasadnij swój wniosek
Rysunek 4: Sfera wpisana w czworościan.
Uzasadnienie otrzymanego wyniku: Czworościan ABCW opisany na sferze można
podzielić na czworościany odcinkami łacz
˛ acymi
˛
wierzchołki A, B, C, W ze środkiem sfery
7
O. Obj˛etość 3 czworościanu ABCW jest równa sumie obj˛etości tych czworościanów, a ich
wysokości sa˛ równe r.
r
Pcz r
Vcz = (P1 + P2 + P3 + P4 ) =
3
3
(3)
˛ równoboczny i opisanego na
trójkacie
˛ równobocznym
Zadanie 5
Opisz okrag
˛ na trójkacie
˛ równobocznym ABC i wpisz okrag
˛ w ten trójkat.
˛ Wyznacz zależność
R
r.
Uzasadnij wynik.
˛ foremny)
2. Narysuj M równoboczny ABC ( narz˛edzie 7/ Wielokat
3. Skonstruuj okrag
˛ opisany i wpisany w trójkat
˛ ABC o środku w punkcie O ( narz˛edzie
3/ Okrag)
˛
4. Wyznacz zależność
R
r
5. Uzasadnij wynik
Rysunek 5: Okrag
˛ wpisany i opisany na trójkacie
˛ równobocznym
Uzasadnienie otrzymanego wyniku: W M ABC środkowe, dwusieczne katów
˛
wewn˛etrznych
oraz symetralne boków pokrywaja˛ si˛e. Dlatego środek okr˛egu wpisanego i opisanego na
3
Zależność jest prawdziwa dla dowolnego czworościanu o obj˛etości Vcz i polu Pcz , opisanego na sferze o
promieniu r.
8
nim pokrywaja˛ si˛e. Korzystajac
˛ z własności środkowych ( w trójkacie
˛ przecinaja˛ si˛e one
w jednym punkcie, który dzieli każda˛ z nich w stosunku 1:2) otrzymujemy
R
=2
r
2.2.4
(4)
Konstrukcja sfery wpisanej i opisanej na czworościanie foremnym
Zadanie 6
Wpisz sfer˛e w czworościan foremny ABCW i opisz sfer˛e na tym czworościanie. Wyznacz długość promienia r sfery wpisanej i odpowiednio R sfery opisanej oraz oblicz
R
r.
Uzasadnij otrzymany wynik.
1. Otwórz Cabri 3D
2. Narysuj czworościan foremny ABCW ( narz˛edzie 8/ Czworościan foremny)
3. Skonstruuj m prosta˛ prostopadła˛ do podstawy ABC przechodzac
˛ a˛ przez W ( narz˛edzie
4/ Prostopadła)
4. Wyznacz W 0 , punkt przeci˛ecia płaszczyny bazowej i prostej m ( narz˛edzie 1/ Punkt
przeci˛ecia)
5. Skonstruuj P2 , płaszczyzn˛e prostopadła˛ do boku AB przechodzac
˛ a˛ przez C ( narz˛edzie
4/ Prostopadła)
7. Wyznacz O, punkt przeci˛ecia płaszczyny P3 i prostej m ( narz˛edzie 1/ Punkt przeci˛ecia)
8. Skonstruuj sfer˛e o środku w punkcie O i promieniu |OW 0 | ( narz˛edzie 3/ Sfera)
9. Wyznacz długość promienia r sfery wpisanej w czworościan foremny ( narz˛edzie 9/
Odległość)
10. Skonstruuj P4 , płaszczyzn˛e symetralna˛ boku AW ( narz˛edzie 4/ Symetralna)
11. Wyznacz O0 , punkt przeci˛ecia płaszczyny P4 i prostej m ( narz˛edzie 1/ Punkt przeci˛ecia)
12. Skonstruuj sfer˛e o środku w punkcie O0 i promieniu |O0 W | ( narz˛edzie 3/ Sfera)
13. Wyznacz długość promienia R sfery opisanej na czworościanie foremnym ( narz˛edzie
9/ Odległość)
14. Wyznacz zależność
R
r
15. Uzasadnij otrzymany wynik
9
Rysunek 6: Sfera wpisana i opisana na czworościanie foremnym.
Uzasadnienie otrzymanego wyniku: W czworościanie foremnym ABCW środek
sfery wpisanej i opisanej na nim pokrywaja˛ si˛e i leża˛ na wysokości czworościanu ( wynika
z symetrii bryły) .Korzystajac
˛ ze wzoru 2 otrzymujemy.
V =
Pcz r
3
PH
Pcz r
=
3
3
(6)
Pcz = 4P
(7)
H
4
3H
R=
4
R
=3
r
r=
2.2.5
(5)
(8)
(9)
(10)
Konstrukcja okr˛egu wpisanego i opisanego na trójkacie
˛ prostokatnym
˛
Zadanie 7
Opisz okrag
˛ na trójkacie
˛ prostokatnym
˛
ABC i wpisz okrag
˛ w ten trójkat.
˛ Wyznacz długości R oraz r , oblicz sum˛e długości średnic 2R + 2r oraz sum˛e długości przyprostokat˛
nych |AC| + |BC|. Uzasadnij otrzymany wynik.
2. Narysuj prosta˛ k ( narz˛edzie 2/ Prosta)
10
3. Zaznacz na prostej k punkty A, C ( narz˛edzie 1/ Punkt)
4. Narysuj prosta˛ m, prostopadła˛ do k przechodzac
˛ a˛ przez punkt C ( narz˛edzie 4/
Prosta prostopadła)
5. Zaznacz na prostej m punkt B ( narz˛edzie 1/ Punkt)
6. Narysuj trójkat
˛ ABC ( narz˛edzie 2/ Trójkat)
˛
7. Zaznacz środek O1 na boku AB ( narz˛edzie 4/ Środek)
8. Skonstruuj okrag
˛ opisany na trójkacie
˛ ABC o środku w punkcie O1 i promieniu
R=|O1 A|( narz˛edzie 3/Okrag)
˛
9. Skonstruuj l, dwusieczna˛ ]ABC ( narz˛edzie 4/ Dwusieczna)
10. Skonstruuj p, dwusieczna˛ ]BAC ( narz˛edzie 4/ Dwusieczna)
11. Wyznacz O2 , punkt przeci˛ecia dwusiecznych l i p ( narz˛edzie 1/Punkt przeci˛ecia)
12. Narysuj prosta˛ s, prostopadła˛ do boku BC przechodzac
˛ a˛ przez punkt O2 ( narz˛edzie
13. Wyznacz A1 , punkt przeci˛ecia s i BC ( narz˛edzie 1/Punkt przeci˛ecia)
14. Skonstruuj okrag
˛ wpisany w trójkat
˛ ABC o środku w punkcie O2 i promieniu r=|O2 A0 |
( narz˛edzie 3/Okrag)
˛
15. Oblicz długości R oraz r ( narz˛edzie 8/ Długość i odległość)
16. Oblicz sum˛e długości 2R + 2r ( narz˛edzie 8/ Kalkulator)
17. Oblicz sum˛e długości |AC| + |BC| ( narz˛edzie 8/ Kalkulator)
Rysunek 7: Okrag
˛ prostokatnym.
˛
11
Uzasadnienie otrzymanego wyniku: W trójkacie
˛ ABC punkty styczności okr˛egu
wpisanego i trójkata
˛ to A0 , B 0 , C 0 . Stad
˛
r = |O2 A0 | = |O2 B 0 | = |O2 C 0 |
r = |O2 A0 | = |O2 B 0 | = |O2 C 0 |
|BA0 | = |BC 0 | = |BC| − r
|AB 0 | = |AC 0 | = |AC| − r
|CB 0 | = |CA0 | = r
|AB| = 2R
|AB| = |AC 0 | + |C 0 B|
2R = (|AC| − r) + (|BC| − r)
2R + 2r = |AC| + |BC|
(11)
2.2.6 Konstrukcja okr˛egu wpisanego i opisanego na równoramiennym trójka˛
cie prostokatnym
˛
Zadanie 8
Opisz okrag
˛ na równoramiennym trójkacie
˛ prostokatnym
˛
ABC i wpisz okrag
˛ w ten trójkat.
˛
Wyznacz długości R oraz r , oblicz
R
r.
2. Narysuj prosta˛ k ( narz˛edzie 2/ Prosta)
3. Zaznacz na prostej k punkty A, C ( narz˛edzie 1/ Punkt)
4. Narysuj prosta˛ m, prostopadła˛ do k przechodzac
˛ a˛ przez punkt C ( narz˛edzie 4/
Prosta prostopadła)
5. Skonstruuj okrag
˛ o środku w punkcie C i promieniu |CA|( narz˛edzie 3/ Okrag)
˛
6. Wyznacz B, punkt przeci˛ecia prostej m i okr˛egu ( narz˛edzie 1/Punkt przeci˛ecia)
7. Narysuj trójkat
˛ ABC ( narz˛edzie 2/ Trójkat)
˛
8. Zaznacz środek O boku AB ( narz˛edzie 4/ Środek)
9. Skonstruuj okrag
˛ opisany na trójkacie
˛ ABC o środku w punkcie O i promieniu
R=|OA|( narz˛edzie 3/Okrag)
˛
10. Skonstruuj l, dwusieczna˛ ]ABC ( narz˛edzie 4/ Dwusieczna)
12
11. Skonstruuj p, dwusieczna˛ ]BAC ( narz˛edzie 4/ Dwusieczna)
12. Wyznacz O0 , punkt przeci˛ecia dwusiecznych l i p ( narz˛edzie 1/Punkt przeci˛ecia)
13. Narysuj prosta˛ s, prostopadła˛ do boku BC przechodzac
˛ a˛ przez punkt O0 ( narz˛edzie
14. Wyznacz A1 , punkt przeci˛ecia s i BC ( narz˛edzie 1/Punkt przeci˛ecia)
15. Skonstruuj okrag
˛ wpisany w trójkat
˛ ABC o środku w punkcie O0 i promieniu r=|O0 A0 |
( narz˛edzie 3/Okrag)
˛
16. Oblicz długości R oraz r ( narz˛edzie 8/ Długość i odległość)
17. Oblicz
R
r
Rysunek 8: Okrag
˛ wpisany i opisany na równoramiennym trójkacie
˛ prostokatnym.
˛
Uzasadnienie otrzymanego wyniku: Ponieważ
|AB| = 2R
√
|AC| = |CB| = R 2
Korzystajac
˛ ze wzoru 11 otrzymujemy
√
2R + 2r = 2R 2
stad
˛
√
R
=1+ 2
r
13
2.2.7 Konstrukcja sfery wpisanej i opisanej na czworościanie o podstawie
równoramiennego trójkata
˛ prostokatnego
˛
Zadanie 9
Skonstruuj czworościan ABCW o podstawie równoramiennego trójkata
˛ prostokatnego
˛
ABC, gdzie [|AC|=|CB|], którego ściana ABW zawarta jest w płaszczyźnie prostopadłej
do płaszczyzny bazowej.M ABW ≡ (M ABC) . Wpisz sfer˛e w ten czworościan i opisz na
nim sfer˛e . Wyznacz długość promienia r sfery wpisanej i odpowiednio R sfery opisanej
oraz
R
r.
1. Otwórz Cabri 3D
2. Narysuj prosta˛ l na płaszczyźnie bazowej ( narz˛edzie 2/ Prosta)
3. Narysuj dowolny punkt O na prostej l ( narz˛edzie 1/ Punkt)
˛ a˛ przez O ( narz˛edzie 4/
4. Skonstruuj m, prosta˛ prostopadła˛ do prostej l przechodzac
Prostopadła)
5. Narysuj dowolny punkt B na prostej m ( narz˛edzie 1/ Punkt)
6. Narysuj okrag
˛ C1 wokół prostej l ( narz˛edzie 2/ Prosta)
7. Wyznacz A, punkt przeci˛ecia okr˛egu C1 i prostej m ( narz˛edzie 1/ Punkt przeci˛ecia)
8. Skonstruuj sfer˛e Sf 1 o środku w punkcie O i promieniu |OA| ( narz˛edzie 3/ Sfera)
˛ C2 przeci˛ecie sfery Sf 1 z płaszczyzna˛ bazowa˛ ( narz˛edzie 2/ Krzywa
9. Wyznacz okrag
przeci˛ecia)
˛ a˛ przez O (
10. Skonstruuj L3 , prosta˛ prostopadła˛ do płaszczyzny bazowej przechodzac
narz˛edzie 4/ Prostopadła
11. Wyznacz W , punkt przeci˛ecia okr˛egu C1 i prostej L3 ( narz˛edzie 1/ Punkt przeci˛ecia)
12. Wyznacz C, punkt przeci˛ecia okr˛egu C2 i prostej l ( narz˛edzie 1/ Punkt przeci˛ecia)
13. Skonstruuj czworościan , określony przez punkt C, punkt A, punkt B i punkt W (
narz˛edzie 7/ Czworościan)
14. Skonstruuj P2 , płaszczyzn˛e dwusieczna˛ kata
˛ od punktu W, wierzchołku w punkcie
O i do punktu C ( narz˛edzie 4/ Płaszczyzna dwusieczna)
15. Skonstruuj środek kraw˛edzi AC( narz˛edzie 4/ Środek)
16. Skonstruuj P3 płaszczyzn˛e dwusieczna˛ kata
˛ dwuściennego mi˛edzy ścianami ABC i
17. Wyznacz prosta˛ L4 , wzdłuż której przecinaja˛ si˛e płaszczyzny P2 i P3 ( narz˛edzie 2/
Krzywa przeci˛ecia)
14
18. Skonstruuj środek kraw˛edzi BC( narz˛edzie 4/ Środek)
19. Skonstruuj P4 , płaszczyzn˛e dwusieczna˛ kata
˛ dwuściennego mi˛edzy ścianami ABC
i CBW ( narz˛edzie 4/ Płaszczyzna dwusieczna)
20. Wyznacz O0 , punkt przeci˛ecia płaszczyny P4 i prostej L4 ( narz˛edzie 1/ Punkt przeci˛ecia)
21. Skonstruuj L5 , prosta˛ prostopadła˛ do podstawy BCA przechodzac
˛ a˛ przez O0 ( narz˛edzie
4/ Prostopadła)
22. Wyznacz W 0 , punkt przeci˛ecia podstawy ABC i prostej L5 ( narz˛edzie 1/ Punkt
przeci˛ecia)
23. Skonstruuj sfer˛e wpisana˛ w czworościan o środku w punkcie O0 i promieniu |O0 W 0 |
( narz˛edzie 3/ Sfera)
24. Wyznacz długość promienia r sfery wpisanej ( narz˛edzie 9/ Odległość)
25. Wyznacz długość promienia R sfery opisanej czyli odległość AO( narz˛edzie 9/ Odległość)
26. Oblicz
R
r
Rysunek 9: Sfera wpisana i opisana na czworościanie o podstawie trójkata prostokatnego.
˛
Uzasadnienie otrzymanego wyniku: Ponieważ
√
|AW | = |W C| = |AC| = |W B| = |BC| = R 2
Pcz
1
Vcz = 2R3
6
√ √
(R 2)2 3
2
= 2R + 2
4
15
Korzystajac
˛ ze wzoru 3 otrzymujemy
Vcz =
stad
˛
3
Pcz r
3
√
R
=2+ 3
r
Podsumowanie z przymrużeniem oka
nr zadania
2D
=2
Pcz r
Vcz
=2
√
=1+ 2
R
r
zad.2, zad.3
Lr
P
zad.5, zad.6
R
r
zad.8, zad.9
R
r
3D
R
r
=3
=3
√
=2+ 3
Przy prostych przykładach łatwo jest znaleźć odpowiedniki figur w 2D do brył w 3D (
trójkat
˛ równoboczny i czworościan foremny). Im bardziej skomplikowany przykład, tym
wi˛ecej watpliwości
˛
czy to rzeczywiście analogia. Z otrzymanych wyników jasno widać,
że aby przejść do kolejnego wymiaru wystarczy zwi˛eszać w wyniku każda˛ wyst˛epujac
˛ a˛
liczb˛e o 1, czyli 2D + 1 = 3D Na ile jest to prawidłowość a na ile wynik sprytnie
dobranych przykładów? Zach˛ecam do dalszych samodzielnych poszukiwań przykładów
i kontrprzykładów.
Oświadczenie autora Oświadczam, że nadesłany tekst jest moim własnym materiałem, nie narusza praw autorskich innych osób i nie był publikowany w innych czasopismach.
16
Spis rysunków
1
Okrag
˛ opisany na trójkacie.
˛
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2
Pole trójkata
˛ i okrag
˛ wpisany w trójkat. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
3
Sfera opisana na czworokacie.
˛
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
4
Sfera wpisana w czworościan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
5
Okrag
˛ równobocznym . . . . . . . . . . .
8
6
Sfera wpisana i opisana na czworościanie foremnym. . . . . . . . . . . .
10
7
Okrag
˛ prostokatnym.
˛
. . . . . . . . . . . .
11
8
Okrag
˛ wpisany i opisany na równoramiennym trójkacie
˛ prostokatnym.
˛
. .
13
9
Sfera wpisana i opisana na czworościanie o podstawie trójkata prostokatnego.
˛
15
Literatura
[1] Pabich B., 2008, Pierwsze kroki i lekcje matematyki z Cabri II Plus, wydawnictwo
MATH-COMP-EDUC, Wieliczka
[2] Pabich B., 2008, Pierwsze kroki z Cabri 3D, wydawnictwo MATH-COMP-EDUC,
Wieliczka
17
Magdalena Kucio (Kraków)
Przykłady wykorzystania oprogramowania
DGS w pracy nad zadaniami z geometrii
płaskiej w gimnazjum
Streszczenie
W czasie warsztatów zaproponowałam uczestnikom ciekawe zadania z zakresu
geometrii oraz niektóre programy komputerowe, które są pomocne podczas poszukiwania rozwiązań. Przedstawiałam także rozwiązania niektórych uczniów pracujących
z komputerem.
Praktyka szkolna pokazuje, jak wiele zadań stawiamy na co dzień przed
uczniami i razem z nimi rozwiązujemy. Biorąc pod uwagę tematykę, jakiej one
dotyczą, możemy wśród nich wyróżnić zadania:
• arytmetyczne;
• algebraiczne;
• geometryczne;
• trygonometryczne.
W gimnazjum mamy do czynienia z trzema pierwszymi typami zadań. Warto
zwrócić uwagę na zadania z geometrii. Właśnie ten dział często postrzegany
jest jako trudny i sprawiający wiele kłopotów. Dlatego powinniśmy poszukiwać
środków, które ułatwią uczniowi przyswojenie wymaganej wiedzy i umiejętności. Pożyteczne może okazać się wykorzystanie w tym celu programów komputerowych typu DGS (Dynamic Geometry Software). Wśród takiego oprogramowania można znaleźć zarówno programy darmowe (C.a.R, CaRMetal,
Geogebra, Wingeom), jak i komercyjne (Cabri, Cinderella). Podczas zajęć zaprezentowane zostały programy z obydwu grup, wykorzystane do rozwiązywania zadań różnych typów.
Poza podziałem zadań związanym z ich tematyką można bowiem podać
klasyfikacje pod względem umiejętności, jakie są kształtowane poprzez ich rozwiązywanie, bądź też aktywności podejmowanych przez ucznia.
Zgodnie z tym, co pisze prof. Krygowska zadania możemy podzielić na:
• ćwiczenia;
Magdalena Kucio
• zwykłe zastosowanie teorii;
• zadania problemowe.
Odnaleźć można również następujący podział:
• zadania na dowodzenie;
• zadania na klasyfikowanie;
• zadania na uogólnianie;
• zadania na specyfikację;
• zadania na upraszczanie;
• zadania na formułowanie hipotez;
• zadania na definiowanie;
• zadania na szukanie analogii.
Jeszcze inna klasyfikacja, szczególnie istotna dla zadań z geometrii wyróżnia:
• zadania konstrukcyjne;
• zadania na dowodzenie;
• zadania rachunkowe.
Według prof. Krygowskiej pełną aktywność ucznia rozwija rozwiązywanie
zadań możliwie różnorodnych (Krygowska, 1977, s. 3). Powinniśmy mieć to na
uwadze dobierając odpowiednio zadania na każdą z lekcji. W podręcznikach
możemy bowiem znaleźć zadania wszystkich wymienionych typów. Podane
klasyfikacje nie wykluczają się nawzajem, można powiedzieć, że są niezależne.
Uczestnicy zajęć wspólnie klasyfikowali prezentowane zadania i mogli sami
stworzyć interaktywne ilustracje, wykorzystując do tego program CaRMetal
(można pobrać go ze strony:
http://db-maths.nuxit.net/CaRMetal/index en.html)
Pierwsze z omówionych zadań wymagało dostrzegania własności figur, prowadzenia obserwacji i formułowania hipotez. Można także sformułować je tak,
aby stało się typowym zadaniem problemowym.
Zadanie 1
Wykonaj rysunek trójkąta ABC oraz jego środkowych: AK, BL, CM. Poruszając dowolnym z wierzchołków będziesz otrzymywał różne trójkąty i ich
środkowe. Obserwując otrzymywane rysunki odpowiedz na następujące pytania.
• Czy zawsze środkowe przecinają się w jednym punkcie?
• Gdzie leży ten punkt?
94
Przykłady wykorzystania oprogramowania DGS w pracy nad zadaniami z geometrii
• Jeśli środkowe się przetną, oznacz punkt przecięcia literą S. Zmierz długości odcinków AS i SK. Który z tych odcinków jest dłuższy?
• Czy potrafisz określić z pewnym przybliżeniem ile razy?
• Czy takie same zależności występują dla odcinków BS i SL oraz CS i SM?
Spróbuj sformułować spostrzeżenia w postaci ogólnego wniosku.
Wykonanie rysunku interaktywnego nie wymaga zaawansowanej znajomości jakiegokolwiek programu komputerowego. Dla uczniów na poziomie gimnazjum może nie być znane pojęcie środkowych w trójkącie, dlatego też konieczne
jest wówczas podanie wymaganej definicji. Zadanie to może być jednym z całego cyklu podobnych zadań na temat wysokości trójkąta, symetralnych jego
boków, czy też dwusiecznych jego kątów wewnętrznych.
Rys. 1
Po wykonaniu rysunku (rys. 1) i pomiarów, uczeń powinien prowadzić
obserwacje zmieniając położenie wierzchołków trójkąta. Pozwolą mu one na
wyciągnięcie ogólnych wniosków – dla dowolnego trójkąta. Powinien wówczas
zauważyć, że punkt S zawsze leży we wnętrzu trójkąta i dzieli każdą ze środkowych w stosunku 2:1.
Podczas omawiania tego zadania na zajęciach przedstawione zostały także
materiały zgromadzone podczas pracy z uczniami klasy pierwszej gimnazjum.
Dało to możliwość zwrócenia uwagi nie tylko na zalety korzystania z programów komputerowych podczas lekcji matematyki, ale także na niebezpieczeństwa jakie za sobą niesie.
Kolejne z omówionych zadań dotyczyło wykonania konstrukcji, a następnie
wykorzystania jej w dalszej części rozważań.
Zadanie 2
Narysuj dowolny odcinek AB i skonstruuj jego osie symetrii.
Skonstruuj okrąg, którego średnicą jest odcinek AB.
Skonstruuj kwadrat, którego przekątną jest odcinek AB.
Skonstruuj trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątną jest odcinek AB.
95
Magdalena Kucio
Prezentowana podczas warsztatów konstrukcja symetralnej odcinka zaopatrzona została w opis (rys. 2). Kiedy odtworzy się ją krok po kroku, na zmianę
pojawiać się będzie opis kolejnego kroku i odpowiadający mu fragment rysunku. Podejście to umożliwia wykorzystanie tak przygotowanego pliku do
wprowadzenia pojęcia symetralnej odcinka, zdefiniowania, czym ona jest.
Rys. 2
Dalsze polecenia zadania bazują na przedstawionej konstrukcji, pozwalają
na samodzielną pracę ucznia z materiałem i późniejszą dyskusję na temat
uzyskanych rozwiązań.
Przykładem zadania na dowodzenie, jak również wymagającego wykonania
odpowiedniej konstrukcji może być kolejne z omówionych zadań.
Zadanie 3
Narysuj dowolny trójkąt ABC. Poprowadź dwusieczną kąta BAC, punkt
przecięcia dwusiecznej z bokiem BC oznacz jako D. Następnie poprowadź prostą równoległą do boku AC, przechodzącą przez punkt B. Punkt przecięcia tej
prostej z dwusieczną kąta BAC oznacz jako E. Czy trójkąt ABE jest równoramienny? Odpowiedź uzasadnij.
96
Zadanie to jest już nieco trudniejsze od poprzednich, ale nie wykracza poza umiejętności ucznia trzeciej klasy gimnazjum. Wykonanie rysunku pozwala
uczniowi na powtórzenie konstrukcji dwusiecznej kąta oraz prostych równoległych. Można jednak z tego zrezygnować i wykorzystać funkcje posiadane
przez programy komputerowe w celu wygenerowania za ich pomocą potrzebnych obiektów (rys 3).
Rys. 3
Po przygotowaniu rysunku i dokonaniu pomiarów widoczne jest, że kąty
w trójkącie ABE przy wierzchołkach A i E mają takie same miary, a boki AB
i BE są tej samej długości. Zwrócić należy uwagę na fakt, że zmiana położenia
punktów A, B, C, które są początkowymi punktami konstrukcji, nie wpływa na
zależności pomiędzy miarami kątów i boków. Niebezpieczeństwo, jakie niesie
za sobą taka obserwacja polega na tym , iż uczeń może stwierdzić, że zadanie
zostało rozwiązane, ponieważ program „pokazał”, że trójkąt ABE jest równoramienny. Ważne jest uświadomienie uczniowi, że komputer nie przeprowadza
za nas dowodów, a poczynione spostrzeżenia możemy traktować wyłącznie jako hipotezy. Komputer może jedynie pomóc w odnalezieniu pomysłu, sposobu
dowodzenia zauważonego faktu. Formalne uzasadnienie tego, że trójkąt ABE
jest równoramienny można łatwo uzyskać, jeśli zauważy się, że mamy do czynienia z dwoma prostymi równoległymi przeciętymi trzecią prostą. Końcowy
wniosek otrzymujemy poprzez równość miar kątów przy wierzchołkach A i E
w trójkącie ABE.
Rozwiązanie kolejnego z omówionych zadań wymaga wykorzystania znanej
teorii. Może być także zadaniem konstrukcyjnym. Ostatnia część tego zadania
jest także problemem matematycznym, jaki może zostać postawiony przed
uczniem.
97
Magdalena Kucio
Zadanie 4
Dany jest trójkąt równoboczny ABC. Znajdź jego wszystkie osie symetrii.
Ile ich jest?
Trójkąt ABC przekształć w symetrii względem prostej zawierającej bok AC.
Jaki nazywa się czworokąt zbudowany z obu tych trójkątów?
Jaką figurę można otrzymać jako część wspólną trójkąta równobocznego oraz
jego obrazu w symetrii osiowej.
Rys. 4
Na prezentowanym podczas zajęć rysunku (rys 4) widoczne są dwa trójkąty
równoboczne: ABC i A’B’C’ – symetryczne osiowo względem prostej m.
Interaktywność rysunku wykonanego w programie komputerowym pozwala na zmianę położenia prostej m, wierzchołków trójkąta ABC, a także zmianę
długości boku trójkątów. Można także polecić uczniowi wykonanie takiego rysunku samodzielnie. Wystarczy wówczas wykreślić trójkąt równoboczny ABC
i prostą m, a następnie znaleźć obraz trójkąta w symetrii względem tej prostej. W celu znalezienia odpowiedzi na postawione w zadaniu pytania wystarczy zbadać wszystkie możliwe położenia trójkąta ABC i prostej m takie,
aby obydwa trójkąty „pokryły się”. Konieczne jest w tym celu wykorzystanie
wiadomości na temat figur osiowosymetrycznych. Eksperymenty powinny podprowadzić ucznia do wniosku, że trójkąt równoboczny ma trzy osie symetrii,
a także pozwolić mu zauważyć własności figur otrzymanych po odbiciu symetrycznym tego trójkąta, co może być tematem ciekawych rozważań i dyskusji.
Zadanie to może być również jednym z całej serii zadań dotyczących symetrii osiowej, figur osiowosymetrycznych i ich własności. Daje to sposobność
rozwiązywania ciekawych problemów, odszukiwania analogii.
98
Wszystkie z przedstawionych zadań rozwiązywane były z uczniami gimnazjum. Z pewnością nie można powiedzieć, że wykorzystanie w tym procesie
programu komputerowego pomogło wszystkim uczniom w znalezieniu rozwiązania. Wielu gimnazjalistów z pewnością potrafiłoby rozwiązać te zadania w
sposób tradycyjny. Jednak z poczynionych obserwacji wynika, że interaktywne
rysunki często okazywały się pomocne, ułatwiały znalezienie rozwiązań, pozwoliły na zupełnie inne spojrzenie uczniów na rozwiązywane zadania, a także
urozmaiciły zajęcia.
Materiały elektroniczne wykorzystane podczas zajęć można otrzymać pisząc na adres: [email protected]
Literatura
[1] Krygowska A. Z.: 1977, Zarys dydaktyki matematyki, część 3, WSiP,
Warszawa.
Autorka pracuje jako nauczyciel matematyki i informatyki
w Gimnazjum nr 9 w Krakowie
[email protected]
99
Wacław Zawadowski (Warszawa)
Co dobrego można powiedzieć o nowej
podstawie programowej?
Streszczenie
Nowa Podstawa Programowa w rozdziale „Matematyka” dla szkół podstawowych
i gimnazjów wyraźnie zachęca, opisując zadania szkoły, do stosowania kalkulatorów.
Zaleca też, że „należy się postarać o to, by matematyka była dla ucznia przyjazna, nie
odstraszała przesadnie skomplikowanymi i żmudnymi rachunkami . . . ”. To zalecenie
należy potraktować poważnie, a wtedy może spowodować bardzo pożądane zmiany
w szkolnej arytmetyce. Przedstawiam przykłady pracy z najprostszym kalkulatorem
od początku szkolnego nauczania.
Przede wszystkim możliwie wcześnie trzeba zapoznać uczniów z najprostszym kalkulatorem. Chodzi na początek o ten najprostszy czterodziałaniowy,
który kosztuje mniej więcej 5zł. Bardzo jest ważne, aby zgrabnie zapisywać
przebieg obliczenia. Każde obliczenie jest dialogiem z kalkulatorem. Ty mu
coś wpiszesz, to znaczy zadasz jakieś pytanie za pomocą klawiatury, a kalkulator ci coś odpowie:
pytanie,
odpowiedź.
pytanie
odpowiedź
pytanie
odpowiedź
Nasze pytanie, zapisujemy z odstępem sześciu spacji od brzegu kartki. To
co odpowiada kalkulator zapisujemy od samego brzegu kartki. Na przykład,
na moim kalkulatorze jest tak:
2+3=
5
=
8
=
11
Wacław Zawadowski
=
14
=
17
Wynik dodawania nie zależy od kolejności argumentów, ale powtórzenie
prośby o wynik znakiem „równa się”:
=
powoduje dodanie drugiego argumentu do wyniku (tego ostatnio wpisanego).
Sprawdź, czy tak samo jest na Twoim kalkulatorze. Teraz zobaczymy, czy
podobnie jest z działaniem mnożenia:
2×3=
6
=
12
=
24
=
48
Widać, że przy mnożeniu jest inaczej. Powtórzenie prośby o wynik znakiem „równa się” powoduje pomnożenie wyniku przez pierwszą wpisaną liczbę
(przedostatnio wpisany czynnik). Sprawdź, czy tak jest zawsze z innymi liczbami (Sprawdź, jak to jest przy odejmowaniu i dzieleniu).
Jeżeli w okienku kalkulatora jest np. liczba 48 :
48
i naciśniemy klawisz M +, to w oknie kalkulatora nadal będzie liczba 48
i dodatkowo pojawi się mała literka M , która daje znać, że w pamięci kalkulatora jest jakaś liczba różna od zera.
M+
M 48
Ta zapamiętana przez kalkulator liczba nie zmienia się przy wykonywaniu
obliczeń, ale możemy do niej coś dodać klawiszem M + lub odjąć klawiszem
M -. Na przykład
2 × 48 =
M 96
=
M 192
=
M 384
102
Co dobrego można powiedzieć o nowej podstawie programowej?
Aby przywołać to, co zostało zapisane w pamięci, trzeba nacisnąć klawisz
MRC (Memory Recall). Spróbujmy, komentarz będziemy zapisywać zmniejszoną czcionką w szpiczastych nawiasach:
MRC
M 48
<zgadza się, bo w pamięci było ciągle 48 >
MRC
48
<powtórne naciśnięcie MRC wyzerowało pamięć, M znikło>
=
96
<48 weszło do drugiego miejsca w rejestrze, w pierwszym było ciągle 2>
=
192
Sprawdzimy teraz, co jest w pamięci, naciskając klawisz MRC:
MRC
<zgadza się, w pamięci było zero>
0
M+
0
MRC
0
Czy tak jest na Waszym kalkulatorze?
W pamięci i w okienku po włączeniu kalkulatora jest zwykle zero.
ON/C
0
MRC
0
Jak kalkulator zareaguje gdy będziemy mnożyć przez kolejne liczby 1 razy
2 razy 3 itd.
1×2=
2
×3 =
6
×4 =
24
×5 =
120
×6 =
720
×7 =
5040
×8 =
40320
103
Wacław Zawadowski
×9 =
362880
×10 =
3628800
×11 =
39916800
×12 =
4.7900160
E
<w ten sposób kalkulator zasygnalizował błąd, jednocześnie miejsce, w którym
pokazała się kropka po jedne cyfrze, pokazuje nam, ilu cyfr brakuje z prawej
strony do pełnego wyniku. Pokazując wynik ostatniego obliczenia
kalkulator „obciął” jedno miejsce>
i klawiatura zablokowała się. Aby ją odblokować, na niektórych kalkulatorach
trzeba nacisnąć klawisz ON/CE, albo wyłączyć i włączyć kalkulator ponownie. W rezultacie kalkulator się odblokowuje, ale tracimy to, co było wpisane
i w okienku pojawia się zero. W innych kalkulatorach, gdy są dwa klawisze
np. jeden klawisz ON/C, a drugi klawisz CE, wtedy naciśnięcie klawisza CE
odblokowuje klawiaturę i w okienku mamy ostatnio pokazaną liczbę. W tym
przypadku będzie to
4.7900160
i kalkulator traktuje ten wynik jak liczbę dziesiętną z cyfrą jedności 4 oddzieloną kropką dziesiętną od dalszych cyfr mniej znaczących.
Pomnożymy tę liczbę przez 10 i zobaczymy, co wtedy pokaże się w okienku.
×10 =
47.90016
×10 =
479.0016
Kalkulator nie pokazał więcej cyfr wyniku. Najwidoczniej zachowuje tylko
osiem najbardziej znaczących cyfr wyniku, a resztę cyfr po prostu gubi. Można
powiedzieć obrazowo, że obcina wynik i pokazuje tylko 8 cyfr.
Zbadamy jak to jest przy dzieleniu.
2÷3=
0.6666666
×3 =
1.9999998
<to za mało. Kalkulator obcina i nie pamięta cyfr, które obciął>
Spróbujmy jeszcze.
1÷9=
0.1111111
×2 =
0.2222222
104
×3 =
0.6666666
5 ÷ 9 = 0.5555555
7÷9=
0.7777777
8÷9=
0.8888888
Te rachunki potwierdzają, że kalkulator obcina cyfry wyniku, których nie
może zmieścić w okienku i nie pamięta ich, i nie zaokrągla wyniku „w górę”.
Iloczyn kolejnych liczb naturalnych oznaczamy zwykle wykrzyknikiem:
2! = 2 i mówimy „dwa silnia”;
3! = 6 trzy silnia;
4! = 24 cztery silnia, i tak dalej.
Te liczby szybko rosną. Kalkulator mógł obliczyć 11! ale liczba 12! była
dla niego za duża.
Już po takich wstępnych zajęciach z kalkulatorem można zadać uczniom
pytanie: Co znaczy znak równości = na kalkulatorze? Nie należy uczniom za
mocno sugerować odpowiedzi, ale jednak konkluzja jest konieczna. Na kalkulatorze znak równości znaczy „proszę o wynik”. Język którym porozumiewamy
się z kalkulatorem ma swoje utarte zwyczaje, inne niż „formalnie poprawne”
zapisy w szkolnym podręczniku. W dialogu z kalkulatorem znak równości jest
idiomem, który powstał spontanicznie dawno temu i zwalczanie tego sposobu
użycia znaku równości nie ma sensu. Trzeba je zaakceptować. Gdy znak równości łączy dwa wyrażenia w zapisie formalnym, to dajemy przez to znać, że
uważamy, że to co jest po jego lewej stronie znaczy to samo, co to zapisane po
prawej:
Na kalkulatorze jest inaczej i możemy się przekonać o tym badając reakcje
kalkulatora na nasze żądania.
Możemy teraz razem z uczniami narysować jak działa kalkulator (a może
co tam jest w jego środku). Na pewno jest miejsce na pierwszą wpisaną liczbę,
działanie i drugą wpisaną liczbę. Widzimy w oknie kalkulatora tylko ostatnio
wpisaną liczbę, nie widzimy działania. Tę liczbę, którą widzimy w oknie możemy dodać do pamięci kalkulatora lub odjąć. Możemy to, co jest aktualnie
w pamięci wywołać bez wyzerowania pamięci, lub gdy dwa razy naciśniemy
klawisz MRC, wywołać z wyzerowaniem pamięci. Mamy więc w kalkulatorze
trzy miejsca, w których może być zapisana liczba i jedno miejsce gdzie wpisany
jest znak działania:
LICZBA A (ostatnio wpisana, widać w oknie kalkulatora),
105
Wacław Zawadowski
ZNAK DZIAŁANIA,
LICZBA B, (przedostatnio wpisana)
PAMIĘĆ
To, co widać w oknie kalkulatora jest związane z tym miejscem, gdzie jest
ostatnio zapisana liczba. Aby mieć dobry obraz sytuacji uczniowie powinni
narysować w swoim zeszycie, jak sobie to wyobrażają. Rysunek może być na
przykład taki, jak na poniższym rysunku.
Zachęcam do zaprojektowania według własnego pomysłu zajęć na następujący temat.
Zbadaj swój czterodziałaniowy kalkulator
Przykładowe pytania.
1. Co znaczy powtarzane użycie znaku równości? (przy dodawaniu, przy
dzieleniu).
2. Czy przy dzieleniu kalkulator zaokrągla wynik, czy też obcina te cyfry,
których już nie może zmieścić w okienku? (podziel 2 przez 3 i zastanów
się).
3. Co się stanie gdy jedynkę podzielić przez 99999999?
4. Co się stanie gdy do liczby 99999999 dodać liczbę 1?
5. Czy liczba 99999999 jest najwiekszą liczbą jaką może zapisać Twój kalkulator?
Potem jedno z pytań może być też takie: Jak działa kalkulator w twojej
komórce? czy tak samo? Gdy na moim 4 działaniowym kalkulatorze wpiszę
106
przez pomyłkę lub naumyślnie dwa znaki działania po kolei, to kalkulator reaguje tylko na ten ostatnio wpisany znak. Stąd wnioskujemy, że kalkulator ma
tylko jedno miejsce gdzie zapisuje znak działania do wykonania. Gdy wpisujemy dwa znaki działania jeden po drugim, to ten drugi zajmuje miejsce tego
pierwszego, a ten pierwszy znika.
Na przykład:
2 + ×3 =
6
2 × +3 =
5
Czy tak też jest u Ciebie?
Kalkulator może być źródłem wielu prostych tematów, które mogą być
pozostawione uczniom do zbadania. Trzeba zbadać, na przykład co znaczą
√
symbole
, ÷ i w jaki sposób można ich użyć. Aby przeprowadzić to drogą odkrywania, przynajmniej częściowego odkrywania z minimalną pomocą
nauczyciela, trzeba zaproponować jednolity sposób notowania dialogu z kalkulatorem. Na przykład taki, jak został przedstawiony powyżej. Nasz wpis
musi się wyraźnie różnić od tego, co odpowiedział kalkulator. Rozpoczynanie
polecenia i odpowiedzi od nowej linii nie jest marnowaniem papieru. To jest
konieczne dla jasnego rozróżnienia znaczenia obu tych zapisów. Gdy kalkulator
stanie się naszym przyjacielem na lekcjach arytmetyki, wtedy zeszyty szkolne
będą wyglądać inaczej. Takie zajęcia radziłbym wprowadzić możliwie wcześnie
na lekcjach matematyki. Na początek radziłbym poprowadzić takie zajęcia na
kółku matematycznym. A ci co się tego nauczyli powinni nauczyć innych.
Autor pracuje
w Akademii Podlaskiej w Siedlcach
[email protected]
107
Krystyna Dałek (Warszawa)
Kalkulatory w szkole podstawowej
Streszczenie
Na warsztatach przedyskutowaliśmy kilka najbardziej rozpowszechnionych mitów
związanych z używaniem kalkulatorów w szkole, szczególnie podstawowej. Zaprezentowałam kilka przykładów jak można posługiwać się kalkulatorem w SP i w gimnazjum,
aby podnieść poziom umiejętności rachunkowych oraz jak wykorzystać kalkulator jako
narzędzie do odkrywania reguł matematycznych i pracy zindywidualizowanej.
Temat posługiwania się kalkulatorami na lekcjach matematyki w szkole
podstawowej i w gimnazjum jest ciągle jeszcze bardzo kontrowersyjny. Na ogół,
większość nauczycieli nie uważa za wskazane pozwalanie dzieciom, szczególnie
młodszym na używanie kalkulatorów na lekcjach Jednocześnie wszyscy zdają
sobie sprawę, że dzieci i tak się nimi posługują - obecnie proste kalkulatory są
wszędzie, są tanie i łatwy dostęp do niech mają prawie wszystkie dzieci. Nauczyciele podkreślają ujemne skutki zbyt wczesnego używania kalkulatorówszczególnie na etapie uczenia się przez dzieci tabliczki mnożenia. Prawie każdy
nauczyciel spotkał się z sytuacja, kiedy uczniowie gimnazjum czy nawet liceum,
do obliczenia 6x7 wyciągają kalkulatory. Efektem jest bardzo rozpowszechnione przekonanie, że wcześnie stosowane kalkulatory obniżają sprawność rachunkową uczniów. Moje osobiste przekonanie jest całkowicie przeciwne. Właściwe
stosowanie kalkulatorów polepsza i rozwija sprawności rachunkowe oraz wspomaga tak ważne obecnie umiejętności szacowania wyników obliczeń.
Zadaniem moich warsztatów, jest zwalczanie przekonania o negatywnym
skutku posługiwania się przez dzieci kalkulatorami i przekonanie słuchaczy do
mojego zdania.
Jednak, aby dzieci odnosiły rzeczywistą korzyść z posługiwania się kalkulatorami (mowa o najprostszych kalkulatorach 4-rodziałaniowych), należy
dostarczyć im odpowiednie ćwiczenia. Stosowanie kalkulatora przy standardowych ćwiczeniach podręcznikowych, często istotnie przynosi szkodę i nie uczy
umiejętności rachunkowych.
Oto przykłady kilku najprostszych ćwiczeń, których zadaniem jest nauka
tabliczki mnożenia.
Krystyna Dałek
1. Forma gry lub zabawy – dzieci w parach kolejno zadają pytania – ile wynosi np. 5x7. Drugie odpowiada (lub zapisuje). Pierwsze dziecko sprawdza na
kalkulatorze. Jeśli dobrze, stawia koledze np. „+” jeśli źle „–”. Następuje zamiana ról. Można rozdać dzieciom tabelki do wypełniania i ustalić limit pytań
na 10, czy 20; w zależności od czasu i chęci.
2. Wyścigi – rozdajemy dzieciom kartki z torem od Startu do Mety, podzielonym na kawałki. W każdym kawałku napisana jest jakaś liczba będąca wynikiem pomnożenia poprzedniej przez inną liczbę. Zadaniem dziecka jest znaleźć
ten mnożnik i zapisać w odpowiednim miejscu. Kalkulator służy do sprawdzenia i ew. poprawienia wyniku. Może to wyglądać, jak poniższy przykład, może
mieć formę np. zakręconego węża (oczywiście dużo dłuższego).
3. Dobrym przykładem jest następujące ćwiczenie:
Wynik działania uczeń sprawdza na kalkulatorze. Tabelka może być dowolnej długości i dotyczyć tylko jednego działania lub kilku. Oczywiście, założeniem jest, że uczeń nie oszukuje. Tego rodzaju przykładów, gdzie kalkulator
służy dziecku do sprawdzenia własnych umiejętności można wymyślić sporo.
Kalkulator jest również doskonałym narzędziem do poznania głębiej własności liczb. Podane niżej ćwiczenia są przeznaczone dla dzieci klas 4-6, a ostatnie (powiedzmy, od 12-go) raczej dla gimnazjalistów. Proszę zwrócić uwagę,
że prawie do każdego ćwiczenia potrzebna jest plansza lub tabelka a najlepiej
karta pracy, na której jest i tabelka i miejsce na pytania i odpowiedzi ucznia.
Na karcie ważne jest, aby uczeń miał wystarczająco miejsca na swoje odpowiedzi. Jest to wtedy dobry dokument pracy ucznia.
Dzielniki liczb
1. Zaznacz ma
Zaznacz na tej
Zaznacz na tej
Zaznacz na tej
110
planszy wszystkie liczby podzielne przez 2.
samej planszy wszystkie liczby podzielne przez 3.
Jakie liczby zaznaczone są podwójnie? Wypisz je.
Jaką mają wspólną własność? ....................................................................
Czy są liczby zaznaczone potrójnie?
Jaką mają wspólną własność?.....................................................................
2. Czy potrafisz rozpoznać liczbę parzystą?
Dokończ zdanie: liczba dzieli się przez 2 (jest parzysta), jeśli:
...................................................................................................................
Czy potrafisz rozpoznać liczbę parzystą?
Dokończ zdanie: liczba dzieli się przez 5 jeśli
...................................................................................................................
3. Rozpoznaj (a potem sprawdź na kalkulatorze), które z podanych liczb są
parzyste, które są podzielne przez 5, a które przez 10:
154, 1290, 1536, 3338, 101910, 555, 870, 940, 19780. 60, 34, 97, 128, 150, 231
4. Skreśl zdania fałszywe i podaj dla nich kontrprzykłady.
Jeśli liczba jest parzysta, to dzieli się przez 5.
Jeśli liczba jest podzielna przez 5 to dzieli się przez 2.
Jeśli liczba kończy się cyfrą 0, to dzieli się przez 5 i przez 2.
Jeśli liczba jest wielokrotnością 5-ciu, to dzieli się przez 10.
5. Wprowadź do kalkulatora liczbę 2. Pomnóż ją przez siebie. Pomnóż wynik
przez 2. Wykonuj dalej to polecenie. Jakie liczby otrzymujesz? Zapisz kolejne
wyniki. Co możesz zaobserwować?
6. Wykonaj to samo zadanie wprowadzając liczbę 5.
7. Wykonaj to samo zadanie wprowadzając liczbę 10.
8. Posłuż się swoim kalkulatorem i oblicz:
1235 : 5 =
3217 : 5 =
310 : 5 =
638 : 5 =
683 : 5 =
4321 : 5 =
743 : 5 =
205 : 5 =
470 : 5 =
775 : 5 =
215 : 5 =
398 : 5 =
900 : 5 =
2130 : 5 =
7822 : 5 =
6666 : 5 =
Spróbuj z innymi własnymi liczbami. Czy widzisz jakąś regułę? Zapisz ją.
Sprawdź ją na innych przykładach.
111
Krystyna Dałek
9. Posłuż się swoim kalkulatorem i oblicz.
120 : 10 =
3217 : 5 =
310 : 10 =
638 : 10 =
271 : 10 =
435 : 10 =
705 : 10 =
200 : 10 =
4700 : 10 =
7750 : 10 =
2001 : 10 =
30004 : 10 =
Spróbuj z innymi własnymi liczbami. Czy widzisz jakąś regułę? Zapisz ją.
Sprawdź ją na innych przykładach.
10. Posłuż się swoim kalkulatorem i wypełnij tabelkę.
Wypróbuj inne liczby. Co zauważasz? Zapisz swoją regułę. Zapisz ją. Sprawdź
swoją regułę na liczbach: 123, 555, 63219, 111, 444, 507, 987, 1001. Czy potrafisz ją uzasadnić.
11. Posłuż się swoim kalkulatorem i wypełnij tabelkę.
Wypróbuj inne liczby. Co zauważasz? Zapisz swoją regułę. Sprawdź swoją
regułę na liczbach: 1986, 288, 710, 1989, 1008, 225, 1024, 623, 123456, 789123.
Czy potrafisz ją uzasadnić.
112
12. Za pomocą kalkulatora dokonaj obliczeń.
1928 : 4 =
28 : 4 =
5632 : 4 =
32 : 4 =
1783 : 4 =
83 : 4 =
123 : 4 =
23 : 4 =
321 : 4 =
21 : 4 =
3036 : 4 =
26 : 4 =
5640 : 4 =
40 : 4 =
2256 : 4 =
56 : 4 =
2116 : 4 =
16 : 4 =
1928 : 4 =
28 : 4 =
7008 : 4 =
8:4=
Co zauważasz ? Kiedy liczby w lewym słupku są podzielne przez 4? Zapisz
swoją regułę. Sprawdź na innych liczbach. Zastanów się, dla czego tak jest.
13. Znajdź na kalkulatorze i wypisz wszystkie wielokrotności liczby 11, aż do
330. Jaką postać ma iloczyn 11 przez liczbę jednocyfrową? Jaką postać ma
iloczyn 11 przez liczbę dwucyfrową? Wykonaj kilka działań z liczbami trzycyfrowymi. Co zauważasz? Wykonaj kilka działań z liczbami czterocyfrowymi.
Co zauważasz?
14. Jak mogłabyś/mógłbyś sprawdzić, czy liczba jest podzielna przez 11? Spróbuj swoją regułę na przykładach a potem sprawdź kalkulatorem: 31, 78, 99,
231, 407, 275, 319, 385, 429, 1010, 6358, 583, 6358, 7999, 9746, 8085, 9141.
15. Użyj swojej reguły i uzupełnij puste miejsca, aby otrzymać liczbę podzielną przez 11.
. . . 6, 3. . . , 4. . . 4,
3. . . 2, 6. . . 1, 9. . . 9, 3. . . 9, 4. . . 7, . . . 0. . . , 1. . . 1.
16. Sprawdź na innych przykładach działanie reguły. Spróbuj ją uzasadnić.
23 x 11 = 253 = 203 + 50
63 x 11 = 693 = 603 + 90
48 x 11= 528 = 408 + 120
34 x 11 = 374 = 304 + 70
92 x 11 = 1012 = 902 + 110
Różne własności liczb
17. Rozłóż liczbę 5463728 na czynniki pierwsze. Wykonaj kilka przykładów
dla liczb 4-ro i 5-cio cyfrowych.
18. Masz zepsuty klawisz 5. Mimo to oblicz: 435 + 85, 755 – 235, 502 + 57,
1150 : 50, 35 x 1115, 705 : 5.
113
Krystyna Dałek
19. Uzupełnij brakujące cyfry tak, aby otrzymana suma, była podzielna przez
trzy: 54 . . . + . . . 62 =
Wymyśl inne takie przykłady.
20. a) Jestem 3-cyfrową liczbą mniejszą niż 150 i podzielną przez 8. Jaką liczbą
jestem?
b) Jestem 2-cyfrową liczbą mniejszą niż 180 i podzielną przez 3 i przez 7.
Jaką liczbą jestem?
c) Jestem 2-cyfrową liczbą kończącą się cyfrą 4 i nie podzielną przez 4.
Jaką liczbą jestem?
d) Jestem 2-cyfrową liczba większą niż 30, podzielną przez 3,6 i 9. Jaką
liczbą jestem?
21. Jaką własność mają liczby będące sumami kolejnych liczb nieparzystych?
22. Jaką własność mają kwadraty liczb zbudowane z samych trójek, albo
z samych dziewiątek? Czy zawsze kwadraty zbudowane z tych samych cyfr
maja regularną budowę?
23. a) Co można powiedzieć o kwadratach liczb: 4,34,334,3334, 33334, . . . .
b) Co można powiedzieć o kwadratach liczb: 7,67,667, 6667, 66667, . . . .
Rozwiązując każde z podanych ćwiczeń, uczeń wykonuje – na kalkulatorze lub
w głowie – dużo więcej obliczeń niż jest zapisane w zadaniach. Niepostrzeżenie ćwiczy w ten sposób swoje umiejętności rachunkowe, uczy się szacowania
i „obycia” rachunkowego.
Autorka pracuje na Wydziale Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Uniwersytetu Warszawskiego
[email protected]
114
GEOMETRIA
Anna Rybak (Białystok)
István Lénárt (Budapest)
A może różne geometrie?
Streszczenie
Wykład zawiera omówienie metodyki nauczania geometrii nieeuklidesowych przystępnych dla uczniów na przed akademickich poziomach nauczania, opartą na aktywności własnej uczniów, umożliwiającą uczącym się wykonywanie pracy badawczej
i konstruowanie wiedzy matematycznej. Prezentujemy szereg niestandardowych środków dydaktycznych (przyrządów do geometrii sferycznej z zestawu Lenart Sphere,
owoców, gumek, etc. Podajemy propozycje zajęć, które mogą być prowadzone w ramach zajęć poznawczych, opartych na aktywności ucznia.
Wprowadzenie
W szkole omawiamy własności figur geometrycznych wyłącznie na płaszczyźnie. Realizując zagadnienia z zakresu stereometrii nie zwracamy uwagi
na własności figur skonstruowanych na powierzchni bryły. Omawiając własności kuli nie mówimy o specyficznych własnościach trójkątów na powierzchni
tej kuli. Nie wspominamy też, że prawa geometrii na płaszczyźnie (geometrii
euklidesowej) nie stanowią jedynego systemu geometrycznego w nauce. Nie
wspominamy o geometriach nieeuklidesowych.
Tymczasem geometrie nieeuklidesowe są ważnym matematycznym narzędziem opisu naszego świata. Powstaje więc istotne pytanie: Czy powinniśmy
uczyć geometrii nieeuklidesowych w szkole? Nie na poziomie akademickim, ale
właśnie w szkole, w edukacji powszechnej? Czy, ucząc jednego systemu geometrycznego w sytuacji, gdy do opisu naszej Ziemi jako planety, opisu Wszechświata oraz do opisu wielu zjawisk fizycznych system ten nie jest najlepszym
narzędziem, nie kształtujemy u naszych uczniów niewłaściwego obrazu roli nauki w opisie świata? Czy nie pozostawiamy ich po prostu w niewiedzy? Czy
geometrie nieeuklidesowe to naprawdę tak trudne idee, że nie można opracować odpowiedniej metodyki ich nauczania w szkole? Okazuje się, że można.
István Lénárt, węgierski matematyk pracujący w ELTE University w Budapeszcie opracował zestaw modeli i przyrządów do wykonywania konstrukcji
na sferze oraz zaproponował taki sposób pracy nad tymi zagadnieniami, aby
można je było omawiać już w szkole podstawowej.
Pierwsze zajęcia
Przygotujmy następujące rekwizyty.
Możemy też przygotować kilka zdjęć.
Pierwszy obszar dyskusji.
Powierzchnie zakrzywione są obecne wokół nas.
Czy można kreślić figury na takich powierzchniach?
Czy to kreślenie jest podobne do kreślenia na płaszczyźnie?
Spodziewane rezultaty tej części dyskusji.
1. Uczniowie prawdopodobnie stwierdzą, że można kreślić na powierzchni zakrzywionej, ale nie można zastosować przyrządów geometrycznych,
których używamy do kreślenia na płaszczyźnie.
Jeśli mamy piłeczki, możemy spróbować kreślić na nich. Jeśli nie, wykorzystajmy owoce, wykałaczki i gumki recepturki. Zostawmy inwencję uczniom
i zaobserwujmy, jakie rezultaty osiągną. Może podobne do pokazanych na zdjęciach na następnej stronie.
116
Drugi obszar dyskusji.
Czy można zauważyć tutaj figury geometryczne? Jeśli tak, to jakie?
Jak je nazwiemy? Czym są ich elementy? Czy te figury przypominają figury
skonstruowane na płaszczyźnie? Co jest podobne? Co jest różne?
1. Uczniowie zauważą, że na powierzchni sferycznej można wyznaczyć wielokąty.
2. Na pewno zbudują trójkąty; być może zauważą, że te trójkąty mają inne
własności niż na płaszczyźnie: np. istnieje trójkąt o trzech kątach prostych, dwóch rozwartych itp.
3. Na pewno niektórzy uczniowie zbudują czworokąty. Warto wówczas podyskutować, czy można zbudować na powierzchni sferycznej kwadrat
w sensie definicji, jaką znamy z geometrii na płaszczyźnie.
4. Być może niektórzy uczniowie zbudują dwukąt (ostatnia fotografia). Jeśli
nie, to warto umiejętnie pokierować ich pracą i do tego ich doprowadzić.
Dwukąt jest przykładem figury geometrycznej, która istnieje na sferze,
a nie istnieje na płaszczyźnie.
5. Z pewnością uczniowie stwierdzą, że boki wielokątów przez nich utworzonych są łukami.
Problemy badawcze, które mogą być następstwem przeprowadzonej dyskusji.
1. Jeżeli odpowiednikiem odcinka na płaszczyźnie jest na sferze łuk (np.
jako bok wielokąta), to jaka figura na sferze jest odpowiednikiem linii
prostej na płaszczyźnie?
2. Czy istnieje równoległość na sferze?
3. Jeżeli na sferze można utworzyć trójkąt o trzech kątach prostych, to co
można powiedzieć o sumie kątów wewnętrznych trójkąta sferycznego?
117
Pierwsze zajęcia można na tym zakończyć. Uczniowie mają problemy, nad
którymi mogą się zastanawiać i prowadzić badania na ogólnie dostępnych materiałach. Można też polecić chętnym uczniom znalezienie materiałów w Internecie na temat geometrii nieeuklidesowych, czyli geometrii na powierzchniach
zakrzywionych.
Drugie zajęcia
Rozpoczynamy od przypomnienia problemów postawionych na zakończenie pierwszych zajęć i dyskusji opartej na przemyśleniach uczniów i wynikach
ich badań.
1. Być może uczniowie dojdą do wniosku, że „sferyczną prostą” jest okrąg
wielki. Jeśli tak, to na pewno powiedzą: „równik”. Będzie to dobry punkt
wyjścia do uzasadnienia, dlaczego ta właśnie figura pełni na sferze rolę
odpowiednika prostej na płaszczyźnie: ponieważ dzieli powierzchnię sferyczną na dwie przystające części, tak jak linia prosta dzieli płaszczyznę
na dwie półpłaszczyzny. Jeśli uczniowie nie rozwiązali tego problemu,
należy tak poprowadzić dyskusję, aby określenie „prostej sferycznej” zostało sformułowane i uzasadnione.
2. Po określeniu „sferycznej prostej” możemy sformułować problem 2. w następujący sposób: Czy dwie proste sferyczne mogą być równoległe? Uczniowie prawdopodobnie szybko dojdą do wniosku, że nie mogą i poprą swoje
odkrycie demonstracjami na powierzchniach kulistych. (Jest tutaj dobra
okazja do przypomnienia definicji prostych równoległych na płaszczyźnie.)
Uwaga. Po każdym nowym „odkryciu” własności figur na sferze dobrze jest dokonać porównania z własnościami tych figur na płaszczyźnie.
Uświadomi to uczniom istnienie różnych systemów geometrycznych.
3. Być może uczniowie stwierdzą, że suma kątów wewnętrznych w trójkątach sferycznych nie jest stała. Prawdopodobnie stwierdzą również, że suma ta może być większa niż 180◦ . Jednak posługując się pomarańczami,
gumkami aptekarskimi i wykałaczkami lub piłeczkami, na powierzchni
których można rysować, nie mogą zmierzyć kątów lub też wykonać precyzyjnych konstrukcji.
Jest to dobry moment na prezentację zestawu modeli i przyrządów Lénárt
Sphere (Lénárt Sfera), na który składają się przezroczyste plastikowe modele
sfery oraz przyrządy do wykonywania konstrukcji na sferze: linijka sferyczna,
cyrkiel sferyczny i kątomierz sferyczny, jak również inne potrzebne akcesoria.
118
Posługując się tymi przyrządami, uczniowie mają możliwość wykonywania
konstrukcji i dokonywania pomiarów na sferze, można więc zorganizować zajęcia metodą badawczo-porównawczą, co powinno zaowocować rozwojem myślenia twórczego, prowadzącego do samodzielnego konstruowania wiedzy przez
uczniów.
Proponujemy organizować zajęcia według następującego porządku:
• stworzenie sytuacji problemowej;
• wykonanie konstrukcji na płaszczyźnie;
• praca badawcza dotycząca figur skonstruowanych na płaszczyźnie;
• moment przejścia do myślenia o sferze: jak myślisz (jak to będzie na sferze)?
• wykonanie konstrukcji na sferze;
• praca badawcza dotycząca figur skonstruowanych na sferze;
• porównanie własności badanych figur na płaszczyźnie i na sferze;
• problemy do głębszych badań.
Pozostawiając Państwu organizację zajęć na temat sumy miar kątów wewnętrznych w trójkącie sferycznym, przedstawiamy scenariusz zajęć na inny
temat, który można zrealizować zarówno w gimnazjum, jak i szkole ponadgimnazjalnej.
Suma miar kątów wewnętrznych w n-kącie sferycznym
Problem
Wiesz już, że suma kątów wewnętrznych w trójkącie sferycznym nie jest
stała. Czy podobną własność mają inne wielokąty wypukłe na sferze?
Na płaszczyźnie:
1. Skonstruuj dowolny czworokąt wypukły i podziel go rysując przekątne
na rozłączne trójkąty.
119
2. Skonstruuj dowolny pięciokąt wypukły i podziel go rysując przekątne na
rozłączne trójkąty.
3. Skonstruuj dowolny sześciokąt wypukły i podziel go rysując przekątne
4. Skonstruuj dowolny siedmiokąt wypukły i podziel go rysując przekątne
Zbadaj
• Na ile trójkątów podzieliłeś każdy z wielokątów?
• Korzystając z podziału każdego wielokąta na trójkąty, oblicz sumę miar
kątów wewnętrznych każdego wielokąta i wyniki swoich obliczeń zapisz
w tabeli.
Wielokąt
Pięciokąt
Sześciokąt
Siedmiokąt
Liczba trójkątów
Suma kątów
• Uogólnij wyniki swoich obliczeń i wywnioskuj, czemu jest równa suma
miar kątów wewnętrznych n-kąta. Swoje wnioski zapisz w tabeli dodając
do niej jeden wiersz.
Skonstruuj na sferze
Dwa dowolne czworokąty wypukłe o różnych rozmiarach i podziel każdy
z nich, rysując przekątne, na rozłączne trójkąty.
Zbadaj
• Dla każdego z narysowanych czworokątów zmierz kąty wewnętrzne i oblicz ich sumę. Czy suma miar kątów wewnętrznych czworokąta sferycznego jest stała?
• Skorzystaj z podziału czworokątów na trójkąty i określ najmniejszą
i największą sumę kątów wewnętrznych czworokąta sferycznego.
• Wykonaj opisaną konstrukcję, pomiary i obliczenia dla pięciokąta, sześciokąta i siedmiokąta wypukłego na sferze.
• Wyniki swoich obliczeń zapisz w tabeli.
Wielokąt
Pięciokąt
Sześciokąt
Siedmiokąt
120
Liczba trójkątów
Najmniejsza suma kątów
Największa suma kątów
• Uogólnij wyniki swoich obliczeń i wywnioskuj, czemu jest równa suma
miar kątów wewnętrznych n-kąta. Swoje wnioski zapisz w tabeli dodając
do niej jeden wiersz.
Podsumowanie
Zaproponowany materiał stanowi wstęp do zgłębiania zagadnień geometrii
nieeuklidesowych. Wzorując się na podanych przykładach można organizować
zajęcia z zakresu rozwiązywania innych interesujących problemów. Oto przykładowe.
• Czy istnieje sferyczny odpowiednik liczby π, to znaczy czy stosunek długości okręgu do jego średnicy jest na sferze stała?
• Czy na sferze można skonstruować kwadrat?
• Jak obliczać pole trójkąta (n-kąta, koła) na sferze?
• Czy na sferze prawdziwe jest twierdzenie Pitagorasa?
Warto też podkreślić korelację pomiędzy geometrią sferyczną i geografią
oraz możliwość organizowania zajęć z geografii z wykorzystaniem zestawu
Lénárt Sphere.
Ale to już temat na zupełnie inny artykuł.
Anna Rybak pracuje w Instytucie Informatyki
Uniwersytetu w Białymstoku
e-mail: [email protected] [email protected]
István Lénárt pracuje w ELTE University, Budapest, Hungary
121
GEOMETRIA
Krzysztof Mostowski (Biała Podlaska)
Z kartką papieru w przestrzeń
Streszczenie
Geometria kartki papieru, proste bryłki, szybko robione i trochę pięknej matematyki (nie Origami). Geometria dla wszystkich, każdy odnosi sukces.
Tworzenie modeli kartonowych z wyciętych siatek z „zakładkami” do klejenia ma kilka istotnych wad.
1. Najpierw trzeba dobrze zaprojektować i narysować siatkę wraz z zakładkami.
2. Dokładnie wyciąć i pozaginać krawędzie.
3. Dokładnie skleić model.
Gdy ktoś nie ma zdolności manualnych (jak ja na przykład) to nigdy ładnego estetycznego modelu nie wykona samodzielnie, po prostu zawsze coś nie
wyjdzie. A oceniana jest nie matematyka, a zajęcia techniczne – jakość i estetyka modelu. Gdy chcemy rozwijać wyobraźnię naszych uczniów, nie możemy
sprowadzać matematyki do zajęć technicznych. Potrzebna jest nam umiejętność szybkiego i prostego tworzenia różnych modeli, tak, byśmy mogli zająć
się matematyką, z tymi modelami w ręku. Doskonale do tego nadają się składanki, czyli bryłki bez kleju lub konstrukcje z kartki papieru formatu A4. Do
wykorzystania składanek, musimy materiały przygotować wcześniej, na przykład odbić odpowiednio przygotowane siatki na ksero. Do tworzenia modeli
z kartki papieru wystarczy nam zwykły papier kserograficzny, najtańsza pomoc dydaktyczna, często nie zauważana i niedoceniana. Z kartki formatu A4,
przez odpowiednie zgięcie, i odcięcie prostokątnego kawałka papieru możemy
łatwo otrzymać papierowy model kwadratu. Zgięcie odpowiada wtedy jednej
z jego przekątnych.
Chciałbym przedstawić tu kilka prostych konstrukcji z takich kartek papieru, możliwych do wykonania w kilka minut na lekcji. Modele, które uczniowie
wykonają będą potrzebne do bawienia się matematyką i będą na pewno pozwalały im zauważyć różne ciekawe własności, których bez modelu w ręku
nigdy nie zobaczą.
Krzysztof Mostowski
Sześcian
Materiały. Sześć przystających kwadratów, najlepiej po dwa w trzech kolorach.
Konstrukcja
1. Najpierw robimy 6 prostokątów, zaginając boki przeciwległe do środka,
tak jak to widać na rysunku 1.
Rys. 1
Pierwsze zgięcie jest dowolne, drugie tak, by boki kwadratu spotkały się.
Zauważmy, że wszystkie prostokąty będą przystające (dlaczego?).
2. Tworzymy 6 „stołeczków”, przedstawionych na fotografii poniżej (fot.1).
Fot. 1
Tu blat stołeczka jest kwadratem o polu 14 kwadratu wyjściowego,
a „nóżki” stołeczków powinny być równej długości.
3. Zaplatamy „stołeczki”, tworząc sześcian, staramy się zrobić tak, by przeciwległe ściany miały taki sam kolor.
Fot. 2
124
Sześcian można wykorzystać na każdym poziomie edukacyjnym, łatwo wskazać ściany równoległe (tego samego koloru), prostopadłe (ściany różnokolorowe), krawędzie i wierzchołki, osie symetrii. Na takim sześcianie łatwo można
rysować, można go „przekroić” nożyczkami, sprawdzając, czy przekrój jest
płaszczyzną. Gdy potrzebny jest drugi, przy odrobinie wprawy w kilka minut
można wykonać następny model.
Sześcian ze schowanym „rogiem”
Konstrukcja w fazie początkowej przebiega analogicznie jak przy konstrukcji sześcianu.
Materiały: Sześć przystających kwadratów.
Konstrukcja
1. Najpierw robimy 6 prostokątów, zaginając boki przeciwległe do środka.
2. Tworzymy 6 „stołeczków”.
3. W trzech „stołeczkach” zaginamy „rogi” do środka (fot. 3).
Fot. 3
4. Zaplatamy „stołeczki”, tworząc sześcian, zaczynając od „wciśniętego rogu” (Taki wciśnięty róg możemy nazwać „rożkiem sześcianu” i osobno
rozpatrywać własności tej formy przestrzennej).
Fot. 4
125
Krzysztof Mostowski
Jaką objętość ma powstała bryła, gdy przyjmiemy objętość sześcianu jako
1? Jaką objętość miałaby bryła z „wciśniętymi” wszystkim narożami? Gdybyśmy w miejsce wciśniętych naroży przykleili trójkąty, to jaka bryła by powstała? Opisz ją (Nazywa się sześcio-ośmiościan). Gdy uczniowie poznają technikę
wykonania sześcianu z „wciśniętym” narożem, często wśród grupy znajdzie się
taki uczeń, który będzie chciał wykonać model z „wciśniętymi” wszystkimi
narożami. Zawsze dobry pretekst do postawienia oceny celującej.
Ostrosłup trójkątny
Zadanie (na 6) Czy kwadrat może być siatką pewnego ostrosłupa? Okazuje
się, że tak. Wykonaj model. Gdy uczniowie mają kłopoty ze znalezieniem
siatki, podajemy wskazówkę: jest to ostrosłup trójkątny (zadanie na 5).
Rozwiązanie
Rys. 3
Po zagięciu wzdłuż zaznaczonych linii otrzymujemy model ostrosłupa trójkątnego, którego ściany boczne są trójkątami prostokątnymi, (ale niekoniecznie, zależy na której ścianie go postawimy. Gdy żadnej ściany nie wyróżniamy
jako podstawy, to mamy po prostu nieregularny czworościan).
Zadanie 1
Oblicz pola wszystkich ścian ostrosłupa, przyjmując bok kwadratu równy 1.
Rozwiązanie
Rys. 4
126
Te obliczenia oczywiście wykonujemy w pamięci. Połowa połowy kwadratu
i połowa ćwiartki kwadratu, pole trójkąta w środku to 1 minus pola trzech
trójkątów.
Zadanie 2
Oblicz objętość stworzonego ostrosłupa, przyjmując bok kwadratu równy 1.
Rozwiązanie
Przyjmujemy, że najmniejszy trójkąt jest podstawą ostrosłupa, zatem jego
wysokość jest równa 1.
1
1 1
1
V = Pp · H = · · 1 = .
3
3 8
24
Zadanie 3
Wyróżniając różne ściany boczne jako podstawy, oblicz wszystkie wysokości
tych ostrosłupów.
Rozwiązanie
Trzy wysokości zauważamy natychmiast, gdyż są to odcinki prostopadłe do
podstawy H1 = 1, H2 = H3 = 12 Znając objętość i podstawę łatwo obliczymy
czwartą wysokość:
3
1
1
1
H4 · = , czyli H4 = .
3
8
24
3
Zadanie 4
Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.
Rozwiązanie
Przyjmij, że bok kwadratu równy jest 1. Praktycznie wszystkie te rachunki
uczeń może wykonać w pamięci.
Czworościan foremny
Materiały. Kartka papieru formatu A4, A5 (połowa kartki A4).
Konstrukcja
1. Najpierw konstruujemy trójkąt równoboczny Wszystkie fazy konstrukcji
pokazane są na rysunkach poniżej.
Rys. 5
127
Krzysztof Mostowski
Linia cienka, pozioma, przerywana to oś symetrii prostokąta, a gruba
przerywana linia to linia wzdłuż której zaginamy kartkę. Sprawdź, że
tak otrzymany trójkąt jest równoboczny:
• weź od sąsiada jego trójkąt i przyłóż do swojego (pasuje);
• znajdź w swoim trójkącie punkt przecięcia zgięć wzdłuż dwóch osi
symetrii;
• obróć jeden z trójątów (o 120◦ wokół wyznaczonego punktu w środku trójkąta) i przyłóż powtórnie – jeśli pasuje, to oba trójkąty są
nie tylko przystające, ale również równoboczne.
Zauważmy, że wyraźnie wydać zagięcie równoległe do podstawy – ślad
pierwszego zagięcia.
2. Zaginamy trójkąt równoboczny wzdłuż linii przechodzących poprzez środki krawędzi trójkąta – otrzymujemy siatkę czworościanu foremnego.
Rys. 6
Czworościan foremny ścięty
Materiały. Czworościan foremny wykonany wcześniej.
Konstrukcja
Z trójkąta równobocznego tworzymy sześciokąt foremny, zaginając jego rogi do środka symetrii obrotowej (punkt przecięcia się wysokości, osi symetrii).
Rys. 7
128
Gruba, przerywana linia to linia zgięć, a szare kwadraty to trójkąty po
zgięciu. Teraz trójkąt będący w środku jest podstawą czworościanu ściętego,
a szary trójkąt jego daszkiem.
Czworościan foremny i ośmiościan foremny
Materiały. Pasek papieru nie szerszy niż 1/3 karki papieru, długości kartki
papieru (1 kartka wystarczy dla 3 – 4 uczniów).
Konstrukcja
1. Zaczynamy tak samo jak przy konstrukcji trójkąta równobocznego.
Rys. 8
A następnie składamy pasek tak, by na końcu otrzymać 1 trójkąt równoboczny, po rozwinięciu powinno być ich widać co najmniej 6.
2. Rozwijamy, tak by widać było równoległobok składający się z 4 trójkątów równobocznych – jest to siatka czworościanu foremnego.
Rys. 9
Łącząc jego krótsze boki otrzymujemy model czworościanu foremnego.
129
Krzysztof Mostowski
Zadanie
Oblicz obwód przekroju kwadratowego czworościanu foremnego o krawędzi a.
Rozwiązanie
Zauważmy, że jest to przekrój płaszczyzną równoległą do dwóch skośnych
krawędzi (takich, które nie leżą w jednej płaszczyźnie), przechodzącą przez
środek odcinka do nich prostopadłego.
Rys. 10
Rysunek 10. przedstawia rzut prostokątny w którym płaszczyzna przekroju
jest równoległa do rzutni. Gdy na siatce zaznaczymy boki tego kwadratu, to
rachunki staną się zbędne.
Rys. 11
Na rysunku 11. widać rozwinięcie płaskie ścian czworościanu, tak aby widać było równoległobok składający się z 4 trójkątów równobocznych. Rysunek
12. przedstawia część siatki ośmiościanu foremnego (antygraniastosłupa trójkątnego).
Rys. 12
Łącząc jego krótsze boki otrzymujemy „dziurawy” model ośmiościanu foremnego, lub powierzchnię boczną antygraniastosłupa trójkątnego (czasami
nazywanego również graniastosłupem skręconym).
130
Relacjonując zajęcia warsztatowe nie możemy opisywać dokładnie wszystkich epizodów, które się wydarzyły. Byłoby to zbyt nużące i mało ciekawe.
Staram się jednak zwrócić uwagę na to, że same modele, to jeszcze nie jest
matematyka, dopiero pewne spostrzeżenia i opisy tych spostrzeżeń w stylu matematycznym, rozwój odpowiedniego matematycznego słownictwa, które służy
do opisu tych spostrzeżeń czynionych „okiem matematyka” może dać uczestnikom warsztatu okazję do wzbogacenia swojego repertuaru obiektów matematycznych i wzmocnić rejestr języka potocznego oraz umożliwić budowanie
znaczeń świeżo poznanych słów.
Budowane papierowe modele brył uczestnicy warsztatu poznają wzrokowo
i „palcami”, przez sam akt budowania modelu. Powstaje przy tym wymiana
słów i odpowiednich sytuacyjnie umotywowanych gestów, czyli komunikacja
enaktywna. Wszystko to razem daje pole semantyczne dla tej wymiany słów.
Tak zaaranżowana gra słów, gestów i jednocześnie czynności konstruowania
modeli ma swoją nazwę. To jest przykład gry językowej w sensie Wittgensteina. Aranżowanie takiej gry W, dobranej do pewnego matematycznego tematu
jest bardzo ważnym zabiegiem dydaktycznym, wprowadzającym nowe znaczenia i związane z tym słowa, sposoby wiązania tych słów w zdania i dłuższe teksty. Powstaje wtedy wiele słów sytuacyjnie, tak jak np. użyta powyżej nazwa
”rożek sześcianu” dobrana sytuacyjnie do zbudowanej i spostrzeżonej w danej chwili formy przestrzennej. Gry W jako zabiegi dydaktyczne w nauczaniu
matematyki mogą być stosowane nie tylko w nauczaniu geometrii ale również
w nauczaniu wielu innych działów matematyki.
Literatura
[1] Katarzyna L.: 2002, Ta drobna różnica, NiM 42, lato.
Autor pracuje w Akademii Podlaskiej w Siedlcach
[email protected]
131
GEOMETRIA
Krystyna Burczyk (Zabierzów k. Krakowa)
Pracownia origami.
Mozaiki z czworokątów
Streszczenie
Pokazane zajęcia są przeznaczone dla uczniów szkoły podstawowej. Uczestnicy zajęć będą mieli okazję poznać metodę tworzenia różnych modeli matematycznych, które
mogą być pomocne przy poznawaniu i utrwalaniu pojęć geometrycznych. Dodatkowo
zajęcia takie są dobrym ćwiczeniem do rozmowy z uczniami w języku matematycznym.
Poziom
Szkoła podstawowa
Materiały
Kwadratowe kolorowe kartki papieru o długości boku nie mniejszej niż 5cm
i nie większej niż 15 cm (najlepsze są kartki o wymiarach zbliżonych do
8 cm x 8 cm), faktura gładka (wzory lub dwukolorowość papieru mogą utrudnić składanie i omawianie treści matematycznych). Wielkość kartek można
zmienić w zależności od potrzeb.
Sposób organizacji pracy
Uczniowie pracują podzieleni na grupy 2 – 4 osobowe. Każdy z uczniów otrzymuje do złożenia 4 – 8 kartek. Uczniowie składają pod kierunkiem nauczyciela
słuchając poleceń i obserwując ruchy nauczyciela. Uczniowie pracujący szybciej mogą otrzymać do złożenia dodatkowe kartki.
Czas pracy
45 minut.
Sposób wykonania pojedynczego modułu
1. Kwadratową kartkę papieru zaginamy wzdłuż
jednej przekątnej. Odginamy.
Krystyna Burczyk
2. Przekątna podzieliła dwa kąty przy wierzchołkach kwadratu na połowy (kąty ostre). Składamy kartkę wzdłuż dwusiecznych kątów przy
jednym końcu przekątnej (czyli nakładamy bok
kwadratu na przekątna kwadratu).
3. Moduł przyjął kształt czworokąta (deltoidu).
Jeden z krótszych boków tego czworokąta (deltoidu) składamy na połowę.
4. Otrzymaliśmy czworokąt podzielony na dwa
trójkąty rozwartokątne i jeden trapez. W trapezie dwa kąty są proste. Jeden z tych kątów
prostych (przy wierzchołku kąta rozwartego całego modułu) składamy na połowę. Odginamy
ostatnie zagięcie.
5. Odchylamy lekko wierzchnią warstwę trapezu
i zagięty poprzednio trójkąt wciskamy do środka.
6. Otrzymany moduł możemy jeszcze zablokować (aby był bardziej płaski) chowając wgięty
do środka trójkąt pod warstwę papieru znajdującą się pod nim.
Z modułów możemy zaprojektować ciekawe kompozycje przykładając moduły do siebie bokami. Zanim to jednak zrobimy, sprawdzamy, czy wszystkie
moduły zostały jednakowo wykonane (możliwe jest odbicie lustrzane – wtedy
należy kartkę przegiąć na drugą stronę).
Kompozycje utrwalamy przytwierdzając do podłoża klejem, masą plastyczną lub upinając je na tablicy korkowej (wtedy szpilkę wbijamy w punkt łączący
trzy odcinki we wnętrzu modułu).
Najprostsze formy uzyskamy z modułów połączonych parami. Z form tych
możemy tworzyć kompozycje wypełniając nimi płaszczyznę lub pozostawiając
między nimi puste miejsca.
134
Pracownia origami. Mozaiki z czworokątów
Możemy również dobierając odpowiednio kolory ułożyć mozaiki lub pierścienie.
135
Krystyna Burczyk
136
137
Krystyna Burczyk
Komentarz
Zaproponowany przez nas moduł można wykorzystać jako świetna okazję
na utrwalenie rozumienia pojęć geometrycznych i umiejętność zastosowania
pojęć i ich własności w sytuacji praktycznej.
Przygotowując się do poprowadzenia zajęć z wykorzystaniem origami warto przeczytać towarzyszący rysunkom opis. Został on tak opracowany, aby
pomóc nauczycielowi w słownej komunikacji z uczniami. Uczniowie słysząc
polecenia słowne powinni dokonać analizy i podjąć samodzielnie decyzje dotyczące kolejnych zagięć. Składaniu może towarzyszyć jak najbardziej oszczędny
komentarz nauczyciela oraz pytania dodatkowe, dotyczące zbadania i rozszerzenia stopnia rozumienia figur przez uczniów, np. przy punkcie 3. możemy
zapytać o rodzaj czworokąta, o długości boków i przekątnych czworokąta,
o znajomość nazwy przez uczniów, o widoczny podział czworokąta na trójkąty, o rodzaje trójkątów, o kąty w wielokątach, o symetrię układu.
Może to być okazją do rozmowy z uczniami w języku matematycznym
i okazja dla takich ćwiczeń dla jak największej liczby uczniów.
Dołączenie do komentarzy zdań typu „otrzymaliśmy wielokąt, który . . . ” pozwala uczniom na bieżąco kontrolować postępy swojej pracy, co daje okazję do
nauki samokontroli.
Zaproponowany model nie jest trudny i młodsi uczniowie nie powinni mieć
problemów z jego wykonaniem. Zachęcamy nauczycieli starszych uczniów (np.
gimnazjalistów) do podjęcia próby złożenia tego motywu z uczniami. Proste
złożenia w tym modelu mogą stać się punktem wyjścia do rozważań typu uzasadnij poprawność poczynionych obserwacji, postaw hipotezę i ją udowodnij,
oblicz długości boków wszystkich wielokątów (te zagadnienia są już bardziej
skomplikowane i dla uczniów młodszych zbyt trudne).
138
Możemy również model wykorzystać do obserwacji i wzmocnienia samodzielności uczniów w działaniu na lekcji matematyki.
Artykuł jest fragmentem opracowania przygotowywanego w ramach projektu grupy roboczej SNM „Origami i matematyka”.
Autorka jest dyplomowanym nauczycielem matematyki.
Jest instruktorem origami Polskiego Centrum Origami,
koordynatorem grupy roboczej SNM „Origami i matematyka”
[email protected]
139
GEOMETRIA
Krystyna Burczyk (Zabierzów k. Krakowa)
Zadania zadawane i rozwiązywane
za pomocą origami
Streszczenie
Składanie kartki papieru stanowi najczęściej jedynie fragment lekcji geometrii.
Wkomponowane w nurt rozwiązywanych zadań może stać się zarówno dla nauczyciela jak i dla ucznia źródłem inspiracji i rozwijać kreatywność w badaniu zależności
matematycznych.
Konstrukcje za pomocą kartki papieru mogą stać się inspiracją do formułowania
ciekawych problemów matematycznych.
Kwadratową kartkę papieru możemy uznać za model kwadratu. Składając kwadratową kartkę papieru możemy ten kwadrat przekształcać i dzielić, możemy prowadzić
linie (odcinki) i znajdować ich punkty przecięcia, jak również obserwować pojawiające
się kąty i wielokąty. I nawet najprostsze zagięcie może się stać początkiem serii pytań
i wniosków.
Każdy z opisanych poniżej przykładów może stać się punktem wyjścia do dalszych poszukiwań i zadawania nowych pytań. Proces rozwiązywania formułowanych
za pomocą origami problemów wymaga matematyzacji, a błędne rozwiązania mogą
być okazją do ciekawych rozważań. Badanie problemów można połączyć z dyskusją
matematycznej poprawności rozwiązań.
Poziom
Gimnazjum, Szkoła ponadgimnazjalna
Materiały
Kwadratowe kartki jasnego gładkiego papieru (np. kserograficznego) o wymiarach zbliżonych do 10 cm x 10 cm, klej, przybory do pisania, zeszyt (karta
pracy), kwadratowe kartki dwukolorowego papieru (po jednej stronie kolorowy, po drugiej biały o wymiarach 15 cm x 15 cm. Czas: 45 minut lub 90 minut
(zależnie od szczegółowości omówień towarzyszących składaniu).
Sposób organizacji pracy
Uczniowie pracują podzieleni na grupy 2-4 osobowe (tak by mogli służyć sobie
pomocą przy składaniu i dyskutować o pomysłach dotyczących rozwiązań).
Uczestnicy zajęć otrzymują do rozwiązania serię zadań. Rozwiązywaniu zadań
towarzyszy składanie kartki papieru, a uczniowie obserwują pojawiające się
Krystyna Burczyk
linie i punkty, stawiają hipotezy i je weryfikują. Uczniowie składają pod kierunkiem nauczyciela, słuchając poleceń i obserwując ruchy nauczyciela. Każdy
uczeń samodzielnie wykonuje zagięcia i rysunki na swoich kartkach. Kartki są
wklejane do zeszytu lub na kartę pracy.
Przebieg zajęć
Zadanie 1
Skonstruuj poprzez zginanie kartki kwadrat o polu dwa razy mniejszym od
pola danego kwadratu (kartki).
Uczniowie próbują samodzielnie rozwiązać zadanie. Nauczyciel omówienie
sposobu rozwiązania zadania rozpoczyna od analizy rozwiązań zaproponowanych przez uczniów (badanie poprawności konstrukcji wykonanych
uczniów) – porównuje te rozwiązania z konstrukcjami 1 – 3 zaproponowanymi
poniżej. W przypadku pojawienia się poprawnego rozwiązania nauczyciel może
skupić się na jego analizie, może również podać dodatkowo jedno z zaproponowanych poniżej.
Rozwiązanie
Konstrukcja 1 (Bielim)
Zaginamy kwadratową kartkę wzdłuż jednej przekątnej kwadratu. Odginamy.
Zaginamy kartkę wzdłuż drugiej przekątnej. Odginamy. W ten sposób dzielmy
przekątne kwadratu na połowy.
Każdy z fragmentów przekątnych dzielimy na połowę (po wykonaniu konstrukcji wierzchołki kwadratu powinny znaleźć się w środku kwadratu).
Otrzymany kwadrat ma żądane wymiary. Uzasadnienie faktu, iż jego pole
stanowi połowę pola kwadratu wyjściowego tkwi w modelu – cały model jest
złożony z podwójnych warstw papieru. Każda część z mniejszego kwadratu ma
odpowiadającą jej taką samą część leżącą na zewnątrz mniejszego kwadratu.
Czy są możliwe inne rozwiązania zadania?
142
Zadania zadawane i rozwiązywane za pomocą origami
Zbadajmy, jakiego √
kwadratu szukamy. Dany kwadrat ma bok długości a
i przekątną długości a 2. Szukany kwadrat ma bok długości
b i przekątną
√
√
a
a 2
2
2
√
długości b 2, przy czym a = 2b . Zatem b = 2 = 2 . Czyli przekątna
szukanego kwadratu ma długość a (taką, jak długość boku wyjściowego kwadratu), a jego bok powinien mieć długość równą połowie długości przekątnej
wyjściowego kwadratu. Powyższe informacje wskazują nam możliwe rozwiązania.
Konstrukcja 2
Składamy kwadratową kartkę wzdłuż przekątnej. Rozkładamy.
Jeden z powstałych kątów ostrych dzielimy na
połowę (zagięta część kwadratu ma kształt trójkąta prostokątnego). Tym samym przenosimy
odcinek długości a na przekątną wyjściowego
kwadratu.
Szukany kwadrat powinien mieć przekątną takiej długości. Zatem gdybyśmy jeden koniec
przekątnej wyjściowego kwadratu przyjęli za
wierzchołek szukanego kwadratu, to przeciwległy
wierzchołek szukanego kwadratu leżałby na przekątnej dokładnie w odległości a.
Zaginamy kartkę wzdłuż krótszej przyprostokątnej trójkąta. W ten sposób wyznaczymy punkt
na przekątnej wyjściowego kwadratu będący
wierzchołkiem szukanego kwadratu.
Odginamy wszystkie wykonane zagięcia.
143
Krystyna Burczyk
Konstruujemy pozostałe wierzchołki i boki szukanego kwadratu prowadząc linie przechodzące
przez punkt na przekątnej i prostopadłe do boków wyjściowego kwadratu.
Szukany kwadrat jest wyznaczony przez linie
prostopadłe do boków wyjściowego kwadratu
i dwa boki wyjściowego kwadratu. Uzasadnienie poprawności konstrukcji można połączyć
z analizą pól wszystkich wyznaczonych w kwadracie wielokątów.
Konstrukcja 3
Składamy kwadratową kartkę wzdłuż przekątnej. Rozkładamy.
Jeden z powstałych kątów ostrych dzielimy na
połowę (zagięta część kwadratu ma kształt trójkąta prostokątnego). Tym samym przenosimy
odcinek długości a na przekątną wyjściowego
kwadratu.
Szukany kwadrat powinien mieć bok długości
równej połowie długości przekątnej wyjściowego
kwadratu.
Składamy przekątną wyjściowego kwadratu na
połowę odmierzając tym samym na boku kwadratu odcinek równy tej połowie i konstruując
linię prostopadłą do boku kwadratu.
144
Odginamy wszystkie wykonane zagięcia.
Linię prostopadłą do boku wyjściowego kwadratu przedłużamy.
Wyznaczamy jej punkt przecięcia z przekątną
wyjściowego kwadratu i przez ten punkt prowadzimy linię prostopadłą do drugiego boku
kwadratu.
Szukany kwadrat jest wyznaczony przez linie
prostopadłe do boków wyjściowego kwadratu
i dwa boki wyjściowego kwadratu. Uzasadnienie poprawności konstrukcji można połączyć
z analizą pól wszystkich wyznaczonych w kwadracie wielokątów.
Czy wskazane powyżej kwadraty są jedynymi możliwymi do skonstruowania?
Ile takich kwadratów możemy skonstruować?
Jak mógłby być położony ten mniejszy kwadrat w danym dużym kwadracie?
Ćwiczenie
Weź 2 kwadratowe kartki papieru. Z jednej
z nich wykonaj poprzez zginanie kwadrat o polu
dwa razy mniejszym (konstrukcja 1).
Przesuwając mniejszy kwadrat we wnętrzu większego sprawdź, gdzie mogą się znaleźć wierzchołki tego mniejszego kwadratu (np. środek wyjściowego
kwadratu nie może być wierzchołkiem mniejszego kwadratu).
Jaka będzie odpowiedź, gdy boki mniejszego kwadratu będą równoległe do
boków kwadratu większego? A jaka, gdy zrezygnujemy z tego warunku 1 ?
1
Wyznaczenie brzegu tego obszaru wymaga już znajomości równań krzywych stożkowych
145
Krystyna Burczyk
Zadanie 2 (Bielim)
Określ dokładne położenie punktu znajdującego się we wnętrzu kwadratu
i będącego punktem przecięcia przekątnej kwadratu i linii łączącej środek boku
kwadratu z przeciwległym wierzchołkiem kwadratu.
Rozwiązanie
Wyznaczamy poprzez zagięcie kartki środek E
boku CD.
Zaginamy kartkę wzdłuż linii łączącej punkty E
i B. Odginamy.
Zaginamy kartkę wzdłuż przekątnej kwadratu
przecinającej linię EB.
Wyznaczamy punkt przecięcia przekątnej z odcinkiem EB.
Analizę rozpoczynamy od zbadania położenia odcinków i rodzajów kątów wielokątów umieszczonych w kwadracie.
Odnajdujemy trójkąty podobne. Badamy, ile razy jeden jest większy od
drugiego (wyznaczamy skalę podobieństwa).
Analizę możemy rozszerzyć na przypadki związane z innym położeniem
punktu E na boku CD.
Skalę podobieństwa możemy wyznaczyć wykonując kilka konstrukcji poprzez składanie.
i zastosowania technik komputerowych do jego zilustrowania. Opis obszaru zostanie zamieszczony w pełnej wersji opracowania.
146
Zaginamy kartkę wzdłuż linii prostopadłej do
boku kwadratu i przechodzącej przez punkt P
przecięcia linii EB z przekątną kwadratu.
Następnie zaginamy wzdłuż linii prostopadłej do
drugiego boku kwadratu
i przechodzącej przez punkt P.
Możemy zaobserwować, że otrzymany czworokąt jest kwadratem podzielonym na cztery
kwadraty.
Zaginamy ten kwadrat wzdłuż linii podziału.
Rozkładamy całą kartkę. Po rozłożeniu kartki otrzymujemy kwadrat podzielony na 9
kwadratów.
Możemy postawić hipotezę dotyczącą położenia punktu P (pracując z uczniami starszymi warto ją uzasadnić – wymaga to jednak wiedzy o trójkątach
podobnych).
147
Krystyna Burczyk
Zadanie 3
Zagnij kwadratową kartkę o wierzchołkach ABCD wzdłuż linii łączącej środek boku CD z wierzchołkiem B. Określ dokładnie nowe położenie punktu C.
Rozwiązanie
Wyznaczamy środek boku CD. Oznaczamy
go E.
Zaginamy kwadrat wzdłuż linii łączącej punkt
E z wierzchołkiem B.
Hipotezę dotyczącą położenia punktu C’ możemy sformułować po wykonaniu kilku dodatkowych zagięć.
Oto one.
Odwracamy kartkę na drugą stronę. Zaginamy
kartkę wzdłuż linii przechodzącej przez punkt C’
i prostopadłej do boku AD (zagięta część ma
kształt trapezu).
Zaginamy kartkę wzdłuż linii przechodzącej
przez punkt C’ i prostopadłej do boku AB (zagięta część ma kształt prostokąta). Ostatnie zagięcie odginamy.
Zaginamy kartkę wzdłuż linii przechodzącej
przez punkt E (w jego nowym położeniu) i prostopadłej do boku AD (czyli wzdłuż krótszej
podstawy zagiętej części w kształcie trapezu).
148
Ostatnie zagięcie odginamy.
Odginamy część w kształcie trapezu.
Otrzymujemy trapez prostokątny podzielony na
trzy trapezy prostokątne.
Odwracamy kartkę na drugą stronę. Trapez położony przy boku AB pozostawiamy bez zmiany, pozostałe dwa składamy w połowie wysokości (nakładając podstawy trapezów na siebie
i odginając wykonane zagięcia).
Możemy zaobserwować, że wykonane konstrukcje podzieliły bok AD kwadratu na pięć odcinków jednakowej długości i wyznaczyły pięć jednakowych kwadratów.
Obserwacje te pozwalają na postawienie hipotezy dotyczącej odległości punktu C’ od boków
kwadratu ABCD: x = 15 a, y = 35 a.
Hipotezę tę można uzasadnić badając powstałe
trójkąty prostokątne podobne i stosunki długości ich boków.
149
Krystyna Burczyk
Zadanie 4
Dany jest kwadrat ABCD. Wyznacz środki boków kwadratu – punkty K,
L, M, N (gdzie punkt K jest środkiem boku AB, punkt L boku BC, itd.).
Poprowadź dwa odcinki takie, aby jeden koniec każdego z nich znajdował się
w jednym z wierzchołków kwadratu, a drugi w jednym z punktów K, L, M,
N. Na ile sposobów możesz to zrobić? Jakie położenia uznasz za różne?
Rozwiązanie
Wyznaczamy środki boków kwadratu ABCD.
Prowadzimy linię łączącą środek boku AD
z wierzchołkiem B.
Obracamy kartkę o 90◦ stopni i ponownie łączymy wierzchołek kwadratu ze środkiem boku.
Pokazany na rysunku układ jest tylko jednym
z możliwych.
Jakie układy są jeszcze możliwe? Poniżej przykładowe.
150
GEOMETRIA
Grażyna Cyran (Rzeszów)
Kilka pomysłów na ciekawe lekcje geometrii
Streszczenie
Na lekcjach geometrii uczniowie powinni być aktywni. Jak to osiągnąć? Wystarczy
zastosować odpowiednie pomoce dydaktyczne, różne formy pracy z uczniami, a także
metody dobrane do danego typu i tematu zajęć. Przekonują się o tym uczestnicy
warsztatu, którzy wystąpili w charakterze uczniów, ale także zostali sprowokowani do
dyskusji oraz wymiany doświadczeń.
Geometria jest trudną i na ogół nie lubianą przez uczniów częścią matematyki. Młodzież twierdzi, że „algebra jest prostsza”. Łatwo odkryć dlaczego.
Podstawowe umiejętności można opanować poprzez konsekwentne stosowanie wyuczonych algorytmów. W geometrii jest inaczej. Znajomość definicji,
twierdzeń, wzorów, podstawowych konstrukcji nie gwarantuje sukcesu podczas rozwiązywania zadań. Tutaj oprócz wiadomości bardzo ważną rolę pełni
wyobraźnia oraz rozumienie pojęć.
Na warsztacie były pokazane pewne rozwiązania metodyczne, które pozwalają między innymi zaciekawić i uaktywnić uczniów, sprawdzić rozumienie
pojęć oraz podpowiedzieć sposób systematycznego zapamiętywania i porządkowania nowych treści.
1. Odgadywanie tematu lekcji
Warto czasami zaintrygować uczniów już na początku lekcji. Można do tego celu wykorzystać:
• krzyżówkę literową z hasłem (lekcja powtórzeniowa w klasie 3) – załącznik nr 10;
• odczytanie hasła z osi liczbowej – załącznik nr 2;
• proste szyfry anagramowe (przedstawieniowe) – załącznik nr 8.
2. Wyścig rzędów – załącznik nr 3
Gra powinna się odbywać na początku zajęć. Jej celem jest powtórzenie
wiadomości i umiejętności z poprzedniej lekcji. Uczniowie w poszczególnych
rzędach rozwiązują taki sam zestaw prostych zadań. Pierwszy uczeń rozwiązuje
pierwsze zadanie i podaje kartkę do tyłu następnemu uczniowi, itd. Wygrywa
ten rząd, który pierwszy rozwiązał wszystkie zadania i na dodatek poprawnie.
Grażyna Cyran
3. Kreślenie map poznawczych – załącznik nr 7
Kreślenie map poznawczych bardzo pomaga w zapamiętywaniu, pojmowaniu i kształtowaniu pojęć. Pojęcia to idee organizujące, dzięki którym łatwiej
nadać światu sens. Uczenie się następuje poprzez organizowanie pojęć i idei
w schematy – podstawę rozumienia znaczeń. Mapy poznawcze, w tym uporządkowanie graficzne, pozwalają przedstawić myślenie w formie wizualnej,
zobrazować związki między faktami i pojęciami oraz włączyć nowe wiadomości do posiadanej wiedzy. Mapy mogą przybierać rozmaite formy i wspomagać
uczenie się.
Kreślenie map poznawczych pomaga więcej zapamiętać, dostarcza sposobności do przetwarzania informacji na wyższym poziomie myślenia. Daje także
okazję do „myślenia we współpracy”. Pracując nad mapą poznawczą uczniowie uczą się, jak kształtować, organizować i przekazywać własne myśli. Oto
stwierdzenia dzieci: „Łatwiej pokazać, niż powiedzieć co myślisz”, „Masz szansę spojrzeć na to, co pomyślałeś, a potem zastanowić się nad tym”. Więcej
na ten temat można przeczytać w książce Roberta Fishera – Uczymy jak się
uczyć.
4. Rozumienie znaczenia jednostek pola powierzchni i objętości –
załącznik nr 1.
Zabawa wyrabiająca intuicję i wyobraźnię, która polega na połączeniu kart
w pary. Parę stanowią karta z napisem (może być rysunek) oraz karta z liczbą
jednostek. Tych drugich kart jest dwa razy więcej , aby było w czym wybierać.
Uczniowie pracują w grupach (dwuosobowych lub czteroosobowych). Zanim ustalą odpowiedź końcową, muszą przedyskutować problem, a często rozwiązać konkretne zadanie (np. obliczyć objętość wody w basenie).
5. Rozumienie pojęć związanych z symetrią osiową i środkową
• Zapałczane układanki – załącznik nr 6;
• Symetria w układzie współrzędnych – załącznik nr 5.
6. Kształcenie wyobraźni – dokończenie rysunku bryły – załącznik nr 4
7. Nietypowe formy oceniania – tarcza strzelecka i dyskusja oceniania –
załącznik nr 9.
Więcej informacji na ten temat można znaleźć w książce Zdzisława Kiersteina pt. Aktywne metody w kształceniu matematycznym.
W końcowej części warsztatu zachęciłam uczestników do stosowania metody projektu, który umożliwia uczenie się we współpracy i doskonale mobilizuje
do wysiłku wszystkich członków grupy. Powstają przy tym wspaniałe prace
uczniów. Przedstawiłam niektóre z nich: na zdjęciach figury z projektu „Seria
brył” oraz książkę pt. „Rzepka” z projektu „Historyjka tangramowa”, gdzie
158
postacie, zwierzęta i ptaki ze znanej wszystkim bajki Jana Brzechwy, zostały
zbudowane z tanów tangramu.
Zaprezentowałam także model walca i stożka wykonanych metodą orgiami
(z tzw. serii brył wachlarzowych) oraz prostą pomoc obrazującą twierdzenia:
„Stosunek pól (objętości) figur podobnych jest równy kwadratowi (sześcianowi) skali podobieństwa”.
Literatura
[1] Fisher R.: 1999, Uczymy jak się uczyć, WSiP, Warszawa.
[2] Kierstein Z.: 2004, Aktywne metody w kształceniu matematycznym,
NOWIK, Opole.
[3] Matematyka 3.: 2001, Podręcznik do klasy trzeciej gimnazjum, GWO,
Gdańsk.
[4] Matematyka w Szkole.: nr 30, 37, 45, Czasopismo dla nauczycieli szkół
podstawowych i gimnazjów.
Autorka pracuje w Gimnazjum nr 11 w Rzeszowie.
Jest Przewodniczącą Oddziału Podkarpackiego SNM
[email protected]
159
Grażyna Cyran
Załącznik nr 1
160
Załącznik nr 2
Jaki temat lekcji?
• Znajdź zaszyfrowane hasło.
• Zacznij od zera, a następnie wykonaj po kolei wskazane działania i odczytaj kolejne litery.
• Wskazówka: „−3” oznacza, że od ostatnio otrzymanej liczby należy odjąć
3.
161
Grażyna Cyran
Załącznik nr 3
162
Załącznik nr 4
Dokończ rysunek.
163
Grażyna Cyran
Załącznik nr 5
Na podstawie zarejestrowanego przebiegu rozmowy telefonicznej między
Julitą i Filipem narysuj plan obozu harcerskiego i podpisz wszystkie obiekty.
Filip: Cześć Julita! Mam problem. Potrzebuję na jutrzejszą lekcję matematyki
plan obozu, który sporządzaliśmy wspólnie. Czy zabrałaś go ze sobą?
Julita: Oczywiście! Masz szczęście, bo mam go akurat przed sobą. Przygotuj
kartkę, narysuj na niej układ współrzędnych. Jednostka to pół centymetra,
a oś y wyznacza kierunek północny. Już masz? No to możemy zaczynać.
Filip: Jestem gotowy.
Julita: Obóz ma kształt prostokąta. Dwa wierzchołki mają współrzędne
(−10; 15) i (−10; −15), pozostałe są symetryczne do danych względem osi y.
Filip: Pamiętam, że współrzędne wszystkich punktów są całkowite.
Julita: Namioty harcerzy w kształcie prostokątów tworzą figurę, która ma
dwie osie symetrii. Jedną z nich jest oś x, a drugą – prosta prostopadła do osi
x i przechodząca przez punkt (−7, 5; 0).
Filip: Podaj mi współrzędne środkowego namiotu. Pozostałe 6 będę wiedział,
jak narysować.
Julita: Skup się. Współrzędne wierzchołków przy dłuższym boku to (−6; −1)
i (−9; −1), a odległość między namiotami to 1. jednostka.
Filip: Mam już wszystkie namioty. Prostokątem jest też namiot komendanta.
Julita: Zgadza się. Wierzchołki mają współrzędne dodatnie: (2; 11), (3; 14),
(9; 12).
Filip: Dobrze, z czwartym już sobie poradzę. Mam notatkę – kuchnia jest
w kształcie wielokąta o wierzchołkach: (6; −1), (8; −1), (9; −3), (9; −5), (7; −7),
(5; −6), (5; −3), (4; −3), (6; −1). Czy to są właściwe dane?
Julita: Tak. Zostały Ci jeszcze dwa obiekty w kształcie wielokątów. Rysuj
plac apelowy. Maszt jest środkiem symetrii placu o kształcie kwadratu, którego jeden wierzchołek leży w punkcie (−4; 2).
Filip: Pamiętam. Od tego punktu do masztu było 5 jednostek, idąc zgodnie
z azymutem 90◦ . Tyle danych mi wystarczy, żeby narysować plac.
Julita: To rysuj dalej. Toalety znajdują się w rogu obozu. Granica toalet biegnie od punktu (−6; 15) zgodnie z azymutem 225 ◦ .
Filip: Mają one kształt trójkąta prostokątnego. Pamiętam jeszcze ścieżkę bie164
gnącą pomiędzy placem, a kuchnią, ale nie wiem, jak ją zaznaczyć.
Julita: Ścieżka przebiega od południowej granicy obozu, a dokładniej od punktu (−9; −15) według azymutu 45◦ . Narysowałeś?
Filip: Tak, ale czegoś mi jeszcze na tym rysunku brakuje.
Julita: Zaznaczyłeś plac z ogniskiem – kołem o promieniu 2. jednostek?
Filip: Podaj środek.
Julita: Środek leży 5 jednostek dokładnie poniżej wierzchołka kuchni najbardziej wysuniętego na południe.
Filip: Dziękuję Ci. Cześć!
Julita: Cześć! Cieszę się, że mogłam Ci pomóc.
Uwaga!
Azymut – kąt między kierunkiem północnym, a danym kierunkiem, mierzony
zgodnie z ruchem wskazówek zegara.
Załącznik 6
Z jednakowych patyczków ułożono figury. Pierwsza liczba pod każdym rysunkiem oznacza, ile patyczków wystarczy dołożyć, aby otrzymać figurę osiowosymetryczną. Jak dołożyć te patyczki? Druga liczba oznacza, ile patyczków
wystarczy dołożyć, aby otrzymać figurę środkowo symetryczną. Jak dołożyć
te patyczki?
165
Grażyna Cyran
Załącznik 7
Załącznik nr 8
Odczytaj tematy lekcji zapisane z użyciem czterech różnych szyfrów anagramowych (przedstawieniowych).
1. Tekst z przegrupowaniem liter.
PO LEKO ŁAID ŁUG OŚĆ OK RĘGU.
2. Tekst napisany od końca, bez przegrupowania liter.
HCYNDĘZRŁÓPSW EIZDAŁKU W AIRTEMYS.
3. Tekst napisany od końca i przegrupowany.
ICŚ ĘZ CEN WÓRA NA KNIC DOŁ A IZDOP.
4. Wyrazy tekstu w odpowiednim porządku, ale napisany od końca.
ELOP INHCZREIWOP I ĆŚOTĘJBO APUŁSORTSO.
Załącznik nr 9
Nietypowe formy oceniania
Tarcza strzelecka - metoda ta pozwala czytelnie ocenić wiedzę, atmosferę
na lekcji, zaangażowanie tego kto przygotowywał lekcję, i tego, kto bierze
udział w lekcji. Służy do sprawdzenia wiedzy i umiejętności ucznia.
166
Przykłady tarczy strzeleckiej
Zależnie od wybranych aspektów tarcza pozwala wycenić zadanie, postawę
uczestników grupy wobec problemu. Może to być ocena samego siebie, swojej
pracy na lekcji itd. Tarcza strzelecka nie daje pełnej informacji co do oceny,
ale jest ciekawym sposobem wymiany myśli i swobody wypowiedzi.
Dyskusja oceniania – jedna z form dyskusji dydaktycznej. Służy wymianie myśli, zdań, poglądów uczestników całej grupy. Dyskusja oceniania to zmodyfikowana dla potrzeb matematyki metoda dyskusji punktowej, która może
zastąpić tradycyjne odpytywanie na lekcji i pozwala w inny sposób uzyskać
oceny. Metoda służy do sprawdzania wiedzy i umiejętności uczniów indywidualnie i grupowo. Uczy prowadzenia rzeczowej dyskusji. Zmusza uczestników
do stosowania poprawnego języka matematycznego. Urozmaica przebieg lekcji
i utrwala wiedzę. Uczy oceny wypowiedzi kolegi, grupy i zajęcia stanowiska
w sprawie.
Wersja I
Dyskusja oceniania w skali 1 – 5 punktów.
1. Odpowiedzi przedstawiciela grupy były jasne i zrozumiałe.
2. Na ile wykonane przedstawione obliczenia były poprawne.
3. Odpowiedzi ucznia – reprezentanta grupy uczyły zrozumienia problemu,
zagadnienia.
167
Grażyna Cyran
4. Wiadomości i umiejętności przedstawione przez przedstawiciela były rzeczowe.
Wybrany zespół dwóch – trzech uczniów dokonuje zestawienia tabelarycznego dyskusji punktowej i przedstawia propozycje ocen. Każdy członek grupy
otrzymuję tę samą ocenę.
Skala ocen
0% – 40% ndst;
51% – 69% dst;
91% – 100% bdb.
41% – 50% dop;
70% – 90% db;
Wersja II
1.
2.
3.
4.
Za właściwe stosowanie definicji, twierdzeń i języka matematycznego.
Za zrozumiałe przedstawienie problemu, zagadnienia.
Za poprawność obliczeń i ewentualne zauważenie błędów.
Za rzeczowość i precyzyjne formułowanie swoich myśli (Tabele jak wyżej).
Nauczyciel zależnie od tematu i stosowanej metody aktywizującej powinien
modyfikować tabelę oceniania, zarówno ze względu na stronę merytoryczną,
jak i sposób dyskutowania.
168
Załącznik nr 10
Krzyżówka
1. Czworokąt, który ma środek symetrii i nie ma osi symetrii.
2. Odcinek skierowany.
3. Symetria względem punktu.
4. Każdy z tych wielokątów ma oś symetrii.
5. Charakteryzuje wektor.
6. Musi być dany w obrocie.
7. Oś symetrii figury.
8. Trójkąt i jego obraz w symetrii osiowej są . . .
−−
→ −
−→
9. Wektory AB i BA.
10. Może być punktu lub wektora.
11. Inaczej translacja.
12. Odpowiednie boki wielokątów symetrycznych względem punktu muszą
być . . . .
169
Grażyna Cyran
Krzyżówka
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
170
Środek obrotu.
Może być punktu lub wektora.
−−
→
Punkt A wektora AB.
Odcinek skierowany.
Symetria względem punktu.
Oś symetrii figury.
Figury symetryczne względem prostej są . . .
Jedno z przekształceń.
Prostokąt, który ma cztery osie symetrii.
Część okręgu, która jest kreślona przy obrocie.
−
−
Wektory →
u i −→
u.
Inaczej translacja.
Wektory o tym samym kierunku, zwrocie i długości.
Symetria względem prostej.
Czworokąt, który nie ma środka symetrii.
PROBLEMY W NAUCZANIU MATEMATYKI
NA STYKU KLAS 1– 3 I 4 – 6
Zofia Miczek (Chorzów)
Anna Ząbkowska-Petka (Chorzów)
Możliwości współpracy pomiędzy
nauczycielami pierwszego i drugiego etapu
kształcenia
Od Redakcji (zamiast streszczenia)
Zespół nauczycieli w Chorzowie podjął niezwykle potrzebną a rzadko spotykaną
inicjatywę- zorganizowania stałej współpracy między nauczycielami nauczania zintegrowanego klas 1– 3 SP a nauczycielami klas 4 – 6 SP. Nadesłane sprawozdanie
z przeprowadzonych warsztatów było tak obszerne, że musieliśmy dokonać pewnego
wyboru i podzielić na kilka pozycji. Zatem wyniki pracy grupy są zaprezentowane
w kilku poniższych artykułach. Nie wszystkie artykuły (np. scenariusze zajęć) były tematami warsztatów na konferencji. Jednak nauczyciele obecni na warsztatach
otrzymali komplet materiałów. Wydały się nam one tak interesujące i potrzebne, że
uznaliśmy za wskazane zamieszczenie obszernych fragmentów nadesłanego opracowania w naszej publikacji.
Prezentujemy efekty współpracy nauczycieli nauczania zintegrowanego oraz
nauczycieli matematyki drugiego etapu kształcenia w Chorzowie.
Podejmowane działania
1. Znalezienie organizacji i osób zainteresowanych problemem i chętnych
do współpracy. Były to między innymi:
a)
b)
c)
d)
Stowarzyszenie Nauczycieli Edukacji Początkowej (www.snep.edu.pl/);
Stowarzyszenie Nauczycieli Matematyki (snm.edu.pl);
Regionalny Ośrodek Doskonalenia Nauczycieli „WOM”;
Polskie Stowarzyszenie Animatorów Pedagogiki Celestyna Freineta
(www.freinet.pl.
2. Zorganizowanie konferencji „W trosce o rozwój kompetencji matematycznych uczniów na progu I i II etapu kształcenia”. Głównym celem
konferencji była prezentacja metod pracy oraz pomocy dydaktycznych,
stosowanych w nauczaniu matematyki w kl. 1 – 6.
3. Analiza treści matematycznych w podręcznikach nauczania zintegrowanego. Przeanalizowano podręczniki „Wesoła Szkoła” – WSiP, rok wydania 2000 oraz „MOJA SZKOŁA” – Wydawnictwo MAC – EDUKACJA
S.A. rok wydania 1999 dla klasy pierwszej, drugiej i trzeciej. Efektem
tej pracy jest obszerny dokument zawierający uwagi nauczycieli praktyków na temat wprowadzanych treści matematycznych i zamieszczonych
w podręcznikach zadań. Poniżej przykładowa strona tego materiału. Całość znajduje się u autorów opracowania.
4. Opracowanie materiału dotyczącego wprowadzania niektórych pojęć matematycznych. Szczegółowo opracowano materiał dotyczący wprowadzenia trzech pojęć: oś liczbowa, cyfra i liczba oraz obwód wielokąta.
W materiale znajdują się definicje (od historycznej do współczesnej),
istotne dla danego pojęcia elementy a także oczekiwane efekty pracy
ucznia od klasy pierwszej do szóstej szkoły podstawowej, dzięki czemu
widać jak postępuje przyrost wiedzy na dany temat.
5. Zorganizowanie konferencji „Integracyjna funkcja matematyki”. Konferencja składała się z dwóch części – w I cz. miały miejsce cztery referaty; w II cz. odbyły się lekcje otwarte w czterech zespołach. Po lekcjach
172
Możliwości współpracy pomiędzy nauczycielami
w każdym z tych zespołów odbyła się dyskusja o podniesieniu efektywności nauczania i formach współpracy nauczycieli. Niektóre scenariusze
przygotowane przez nauczycieli prowadzących lekcje znajdują się w następnych artykułach.
Wnioski sformułowane podczas konferencji
(a) Konieczne jest przeanalizowanie programu nauczania i podręcznika
pod kątem tego, które treści matematyczne są zgodne z nową Podstawą Programową.
(b) Wskazane jest przeprowadzenie sprawdzianu kompetencji w każdej
szkole, na koniec 3. kl. i tego samego sprawdzianu na początku kl.
4, aby porównać wyniki.
(c) W szkołach w ramach spotkań grup samokształceniowych, organizować spotkania nauczycieli klas 1 – 3 i 4 – 6, połączone z lekcjami
koleżeńskimi.
(d) Nauczyciel matematyki w klasie 4. powinien współpracować z byłym nauczycielem tych uczniów w klasach 1 – 3, aby wspólnie opracować strategię dalszego kształcenia matematycznego, szczególnie
w odniesieniu do uczniów z trudnościami w uczeniu się matematyki.
(e) Organizować międzyszkolne spotkania nauczycieli celem wymiany
doświadczeń i prezentacji własnych osiągnięć.
(f) Zorganizować miejską konferencję nauczycieli klas 1 – 3 i 5 – 6 poświęconą ocenianiu na obu etapach kształcenia.
(g) Współpracować z Poradnią Pedagogiczno-Psychologiczną, szczególnie przy opracowywaniu indywidualnych zadań dla uczniów z dysfunkcjami.
(h) W klasie 4. nadal stosować konkrety, szczególnie wprowadzając nowe pojęcia, nie rezygnować z dawnych, prostych środków dydaktycznych.
(i) Zwracać uwagę na staranność i poprawność językową wypowiedzi
uczniów.
(j) Tempo pracy dostosować do możliwości dziecka.
(k) Stosować zadania i ćwiczenia, gdzie istnieje duże prawdopodobieństwo popełnienia błędu lub pomyłki, pozwolić dziecku znaleźć błąd
i sprostować błędną odpowiedź.
(l) Z uczniami, którzy mają udokumentowane braki wiedzy lub defekty
intelektualne, pracować w oparciu o indywidualnie dobrane zadania.
6. Zorganizowanie konferencji „Wspieranie rozwoju ucznia poprzez ocenianie”. Konferencja stanowiła teoretyczne przygotowanie do pracy nad
173
opracowaniem jednolitego systemu oceniania w nauczaniu zintegrowanym. Do tego czasu każda szkoła miała inny system oceniania. Stosowane
oznaczenia nie były dość czytelne dla rodziców. W niektórych szkołach
literka „W” oznaczała najwyższą notę a w innych najniższą. Od września 2008 roku w dziewięciu szkołach w Chorzowie opracowany system
oceniania jest testowany. Ewaluacja odbędzie się w najbliższym czasie.
(System oceniania przedstawiony jest w dalszym artykule).
Przykłady współpracy nauczycieli pierwszego i drugiego etapu
Szkoły Podstawowej nr 5 w Chorzowie
1. Wymiana informacji
Co roku przed zakończeniem roku szkolnego organizuje się zebranie aktualnych wychowawców klas trzecich z przyszłymi wychowawcami klas
czwartych (po pierwszym etapie zmienia się skład osobowy klas – uczniowie wybierają profil sportowy). Zebranie ma na celu wymianę informacji,
przekazanie jakie uczniowie mają uzdolnienia, jakie problemy, z jakich
środowisk pochodzą. W efekcie nauczyciel w klasie czwartej szybciej może podjąć skuteczne działania wobec uczniów.
2. Sprawdzian diagnozujący (w dalszym artykule)
Nauczyciele drugiego etapu kształcenia na początku klasy czwartej przeprowadzają sprawdzian diagnozujący umiejętności uczniów po klasach 1
– 3. Sprawdzian ten przygotowują nauczyciele klas 4 – 6, ale weryfikują go nauczyciele nauczania zintegrowanego. Dzięki temu dzieci nie są
zaskakiwane nową formą sprawdzianu, treści są dobrze dobrane, nie ma
zniechęcenia matematyką na starcie.
3. Wspólne konkursy
Nauczyciele nauczania zintegrowanego wspólnie z nauczycielami klas
4 – 6 przeprowadzają konkursy takie jak „Alfik”, „Kangur matematyczny”. Wspólna organizacja konkursów skłania do dyskusji nad zadaniami oraz pozwala wcześnie wyłonić uczniów uzdolnionych matematycznie. Dzięki temu od początku klasy czwartej zdolni uczniowie objęci są
szczególną opieką. Duża liczba uczniów zdobywa nagrody i wyróżnienia
w wymienionych konkursach jak i w innych konkursach na szczeblu miejskim.
4. Lekcje otwarte
Po zmianie podstawy programowej w sierpniu 2007 r. nauczyciele nauczania zintegrowanego prowadzą lekcje otwarte. Są to zajęcia dla uczniów
koła matematycznego. Tematem tych zajęć są pojęcia, które zostały
174
Możliwości współpracy pomiędzy nauczycielami
przeniesione z podstawy programowej klas 1 – 3 do klasy czwartej. Obserwacja lekcji ma na celu ułatwienie nauczycielom klas 4 – 6 wprowadzanie
tych pojęć. Efektem działań jest lepsze przygotowanie metodyczne nauczycieli. Przykładowy scenariusz zajęć otwartych podajemy w dalszym
artykule.
Efekty współpracy
• Dobra atmosfera panująca pomiędzy nauczycielami, nie ma zarzutów
typu:
- „Dzieci nie nauczyły się matematyki w nauczaniu zintegrowanym”;
- „W klasie czwartej dzieci przestają lubić matematykę”.
• Wspólna praca całego zespołu nauczycieli matematyki;
• Przemyślany dobór podręczników w klasach 1 – 3;
• Pozytywne zmiany zachodzące w podręcznikach (np. „Wesoła Szkoła”,
WSiP);
• Wysokie lokaty uczniów w konkursach matematycznych.
Warsztaty prowadzone na XVIII KK SNM umożliwiły nam zaprezentowanie dotychczasowego dorobku zespołu nauczycieli Chorzowa. Nasz zespół
nadal pełni swoją misję, uwagi oraz propozycje innych nauczycieli będą dla
nas wartościowe.
Zachęcamy do współpracy z nami.
Zofia Miczek – emerytowana nauczycielka matematyki
[email protected]
Anna Ząbkowska-Petka pracuje
w Zespole Szkół Sportowych nr 1 w Chorzowie
[email protected]
175
WPROWADZANIE POJĘĆ
Justyna Błaszczyk, Jolanta Hajda, Zofia Miczek
Aleksandra Wielgus (Chorzów)
Pojęcie – Oś liczbowa
„Liczby rządzą światem”
Pitagoras
Streszczenie
Nasze opracowanie składa się z dwóch części. W pierwszej przypominamy kilka cytatów, które pokazują jak wprowadzanie pojęć jest rozumiane i postrzegane u różnych
dydaktyków oraz jak sformułowane jest to pojęcie w encyklopedii. W części drugiej
artykułujemy najważniejsze elementy pojęcia osi liczbowej a następnie omawiamy,
jak pojęcie osi liczbowej jest realizowane w klasach 1 – 3, według podręcznika „Moja
szkoła”, wyd. Mac Edukacja oraz w klasach 4 – 6, według podręczników Matematyka
2001, wyd. WSiP i Matematyka 4, GWO, Gdańsk 2005.
Kilka uwag o wprowadzaniu pojęć w nauczaniu matematyki
w klasach 1 – 3 i klasach 4 – 6
• Cytat z książki Ludwiki Jeleńskiej przy współudziale A. M. Rusieckiego
„Metodyka arytmetyki i geometrii w pierwszych latach nauczania” PZWS,
Warszawa 1960, s. 5 – 8.
„ . . . W nauczaniu jakiego bądź przedmiotu idzie nam o trafienie do czyjejś umysłowości. Otóż metoda podejścia, „trafienia ”, może być dwojakiego
rodzaju:
1◦ staramy się podać wiedzę gotową,
2◦ staramy się dopomóc w zdobyciu wiedzy.
I w jednym i w drugim przypadku wiedza (aby stała się istotną własnością
ucznia) musi być przyswojona, czyli w gruncie rzeczy zawsze wymaga czynnej
pracy ucznia – pojmowania, chwytania myślowego. Ale możliwość wywołania
pracy myślowej w dwóch wskazanych metodach jest zupełnie różna.
. . . Łańcuch wiedzy matematycznej nie może być łańcuchem pamięciowym,
ale myślowym: jedna prawda – mocno do głębi zrozumiana – stanowi grunt
do następnej; jeden problem – istotnie przemyślany – służy za podstawę do
rozwiązywania innych.
Justyna Błaszczyk, Jolanta Hajda, Zofia Miczek, Aleksandra Wielgus
. . . Muszą zatem dzieci już od kl. 1 własnym wysiłkiem myślowym zdobywać
wiedzę matematyczną.
Muszą zdobyć:
I Jasne podstawy pojęciowe.
II Sprawność w działaniach.
III Umiejętność myślenia matematycznego.”
• Cytat z książki Zofii Krygowskiej „Zarys dydaktyki matematyki część 3”
WSiP, Warszawa 1977 s. 79-80.
„ . . . Rozumienie przez uczniów pojęć matematycznych i umiejętność posługiwania się nimi w toku rozwiązywania problemów- to jeden z najważniejszych
celów nauczania matematyki. Realizacja tego celu zależy od wielu czynników,
wśród nich ogromną rolę odgrywa sposób wprowadzenia nowego pojęcia i jego
włączenia w zespół innych pojęć już uczniowi znanych. Przedstawiając sprawę w uproszczeniu, można wyróżnić dwie zasadnicze drogi: 1) wprowadzenie
nowego pojęcia przez definicję podaną przez nauczyciela lub podręcznik, zilustrowaną odpowiednimi przykładami, 2) wprowadzenie nowego pojęcia przez
taką organizację aktywności ucznia, że on sam to pojęcie przy dyskretnej pomocy nauczyciela konstruuje i następnie definiuje. Obie te drogi są równie
ważne dla rozwoju matematycznego myślenia ucznia i błędem dydaktycznym
byłoby pomijanie któregokolwiek z nich w nauczaniu. Wybór zależy od wielu
czynników, między innymi od charakteru samego pojęcia, stopnia jego abstrakcyjności, od poziomu zespołu klasowego i uprzedniego przygotowania uczniów,
od czasu, którym nauczyciel na opracowanie danego zagadnienia rozporządza
itp., wreszcie od celu, który chce osiągnąć.
. . . W szkole nie kształcimy jedynie przyszłych zawodowych matematyków.
Przeciwnie stanowią oni tylko znikomą część społeczeństwa. Jednakże organizując aktywność ucznia tak, że uczestniczy on istotnie w konstrukcji nowego
dlań- choć nie nowego dla nauczyciela- pojęcia, rozwijamy takie umiejętności
jego myśli, które daleko wykraczają poza potrzeby samej matematyki. Rozwój
tych umiejętności w okresie nauki szkolnej jest równie ważny dla tych uczniów,
którzy z matematyką będą mieli w przyszłości mniej do czynienia, jak i dla
tych, którzy matematykę będą studiować.”
• Cytat z książki Witolda Więsława „Matematyka i jej historia” Wydawnictwo Nowik, Opole 1997, s. 180 - 181.
„ . . . Szerokie wykorzystanie odcinków jako abstrakcyjnych obrazów wielkości dyskretnych i ciągłych jest jedną z osobliwości matematyki starożytnej
Grecji. Antyczna algebra geometryczna i geometryczna teoria stosunków pozwoliły odwzorować zbiór wielkości na zbiór odcinków. Jednakże takie ujęcie
pozwalało wykorzystywać w teorii stosunków tylko jedną własność odcinka –
178
jego długość. Drugą własność odcinka, jego kierunek w przestrzeni, zaczęto
uwzględniać dopiero na przełomie XVI i XVII w.
. . . Jednym z kroków milowych w matematyce było przyporządkowanie liczby punktowi p na prostej – była nią współrzędna tego punktu w układzie
współrzędnych wyznaczonych przez ustalony punkt p ◦ na tej prostej, tzn. długość odcinka p◦ p. Później dopuszczono współrzędne ujemne, gdy punkt p leżał na lewo od p◦ . Następnym krokiem milowym było wprowadzenie układu
współrzędnych na płaszczyźnie – punktowi przyporządkowywało się parę liczb,
punkt stawał się parą liczb.”
• Encyklopedia Szkolna – Matematyka, WSiP 1989, s. 176.
Oś liczbowa, zbiór liczb rzeczywistych z naturalną strukturą prostej (jednowymiarowej przestrzeni euklidesowej). Na osi liczbowej wyróżnione są punkty 0 i 1. Początkiem osi liczbowej jest punkt 0. Współrzędną dowolnego punktu
k ∈ R jest liczba k. Półprostą dodatnią osi liczbowej jest zbiór liczb nieujemnych, półprostą ujemną – zbiór liczb niedodatnich.
• Mały Słownik Matematyczny, wydanie drugie, Wiedza Powszechna, Warszawa 1970, Adam B. Empacher, Zbigniew Sęp, Anna Żakowska, Wojciech
Żakowski s. 189.
Oś – prosta, na której wyróżniony jest pewien kierunek. Punktom osi możemy przyporządkowywać liczby rzeczywiste w ten sposób, że obieramy dowolnie
punkt odpowiadający liczbie zero i odcinek jednostkowy. Kierunek wzrastania
wartości liczbowych zaznaczamy strzałką. Liczby odpowiadające punktom osi
nazywamy współrzędnymi kartezjańskimi punktów.
Pojęcie osi liczbowej prowadzi do pojęcia kartezjańskiego układu współrzędnych.
Istotne elementy pojęcia osi liczbowej
- Prosta z kierunkiem wzrastania na prawo.
- Dowolnie wybrany punkt tej prostej i przyporządkowanie mu liczby zero
lub liczbie zero przyporządkowany dowolny punkt prostej.
- Dowolnie obrany odcinek jednostkowy.
- Każdemu punktowi przyporządkowana jest tylko jedna liczba i każdej
liczbie tylko jeden punkt.
Oś liczbowa w I etapie kształcenia
• Na podstawie programu i podręcznika „Moja szkoła” Wydawnictwo
MAC Edukacja S.A., Kielce 2001.
179
Klasa 1
W klasie I jest wiele ćwiczeń przygotowujących do wprowadzenia pojęcia
osi liczbowej, lecz nie definiuje się tego pojęcia. Oto wykaz tych ćwiczeń:
- uzupełnianie brakujących sąsiednich liczb, np.: 3, . . . , 5 (część III);
- odszukiwanie wyników działań (dodawanie, odejmowanie, mnożenie) na
pasku z uporządkowanymi liczbami (zakres do 10, 20, 100) (część III,
IV, VII, IX);
- nawlekanie koralików według kolejności (część III w zakresie 10, część
VII w zakresie 20, część X w zakresie 100);
- porządkowanie liczb według różnych zasad, np.: 1, 3, 5, 7 . . . lub 8, 6,
4, 2 (część III, V);
- obliczanie działań na wagonikach i wklejanie według zasady od 1 do 12
(część VI);
- numerowanie stojących w szeregu bałwanków od 1 do 15 (część VI);
- wprowadzenie centymetra, linijka i mierzenie (część V, IX, X);
- mnożenie i odszukiwanie wyników na pasku z uporządkowanymi liczbami od 0 do 15 (część IX);
- porządkowanie pełnych dziesiątek (część X).
Klasa 2
Pojęcie oś liczbowa wprowadzone jest z wykorzystaniem „liczb w kolorach”.
Pojęcie osi wykorzystane jest w ćwiczeniach i zadaniach z treścią. Zadania
i ćwiczenia utrwalają wszystkie istotne elementy pojęcia osi liczbowej. Nauczyciel powinien przypominać, że liczba na osi, to odległość od liczby zero.
Ćwiczenia przygotowujące do wprowadzenia pojęcia osi liczbowej
- porządkowanie liczb od najmniejszej do największej (część I);
- dopisywanie sąsiednich liczb (część I);
- mierzenie, linijka (część I).
Wprowadzenie pojęcia
- liczby w kolorach, jako wyznaczanie odległości na prostej (część I);
- odmierzanie tym samym klockiem równych odległości (część I);
- oznaczanie strzałką kierunku wzrastania liczb (część I);
- określenie pojęcia oś liczbowa (część I).
Ćwiczenia utrwalające pojęcie osi liczbowej
- uzupełnianie osi brakującymi liczbami (część I, V);
180
- zaznaczanie na osi liczbowej liczb większych od . . . , mniejszych od . . .
(część I);
- łączenie wyników działań z odpowiednią liczbą na osi (część I);
- dodawanie i odejmowanie z wykorzystaniem osi, dodawanie i odejmowanie jako działania wzajemnie odwrotne (część I, V);
- przedstawianie i odczytywanie reguł z osi liczbowej (część I);
- rozwiązywanie zadań z treścią, wykorzystanie liczb w kolorach (część I,
II, III, IV);
- cyfry rzymskie, liczby parzyste i nieparzyste, mnożenie i przemienność
mnożenia (część III);
- termometr – przygotowanie do liczb dodatnich i ujemnych na osi liczbowej (część V);
- rozwiązywanie zadań z treścią z wykorzystaniem fragmentu osi liczbowej
(część VI) ;
- wielokrotności liczb 2, 5, 6, 10 (część VIII, IX);
- uzupełnianie osi jednościami, dziesiątkami, setkami (część X).
Klasa 3
Ćwiczenia utrwalające i wykorzystujące pojęcie osi liczbowej
- system dziesiątkowy liczenia i zapisywania liczb (część I);
- zadania z treścią przedstawione za pomocą osi liczbowej (część I, II);
- jednostki długości: metr, centymetr, milimetr (część II, V);
- mnożenie, przemienność mnożenia (część II);
- rozdzielność mnożenia względem dodawania, wykorzystanie liczb w kolorach (część II);
- wielokrotności i dzielniki liczb (część III);
- dzielenie z resztą (część III);
- rozszerzenie zakresu liczbowego do 1 000 (część IV);
- uzupełnianie brakujących liczb na osi w zakresie 1 000 (część IV);
- wskazywanie liczb na osi (część IV);
- szacowanie z wykorzystaniem osi liczbowej (część IV);
- ułamki o mianownikach 2 i 4, godziny i minuty, dodawanie i odejmowanie ułamków (część VIII, IX);
- rozszerzenie zakresu liczbowego do 10 000 (część IX).
181
Uwaga
W podręcznikach „Moja szkoła” pojęcie osi liczbowej określone jest w klasie II, po całorocznych ćwiczeniach przygotowujących w klasie I. Podręcznik
do klasy III pozwala utrwalić to pojęcie.
Oś liczbowa w klasach 4 – 6
• Na podstawie MATEMATYKA 2001, podręcznik dla klasy 4 szkoły podstawowej WSiP S.A., Warszawa 1999.
Ćwiczenia przygotowujące do określenia pojęcia osi liczbowej
- wykorzystanie linijki jako modelu osi liczbowej (moduł 4);
- droga ze słupkami odległościowymi jako inny model (moduł 4).
Te modele, które dziecko obserwuje w otaczającej rzeczywistości, prowadzą do modelu matematycznego- prosta z zaznaczonymi liczbami naturalnymi.
Określenie osi liczbowej jest za pomocą rysunku ze słownym objaśnieniem. W
ramce jest rysunek osi liczbowej i opis: Na osi zaznaczamy: zero, jednostkę
i zwrot osi. Poniżej rysunek drugiej osi liczbowej z zaznaczonymi liczbami zero i 100 oraz opis: Czasami wygodniej jest zaznaczyć nie 1, lecz jakąś inną
liczbę. Ten odcinek ma długość 100 jednostek.
Ćwiczenia utrwalające określenie osi liczbowej
1. Ćwiczenia są tak dobrane, aby zwrócić uwagę na:
- kierunek wzrastania (moduł 4, 39);
- uporządkowanie (moduł 4, 39).
2. Ćwiczenia utrwalające podstawowe umiejętności związane z osią liczbową:
- odczytywanie liczb zaznaczonych na osi liczbowej (moduł 4, 39);
- dostosowanie odcinka jednostkowego do potrzeb (moduł 4, 30);
- zaznaczanie danych liczb na osi z ustalonym odcinkiem jednostkowym i bez takiego ustalenia (moduł 4).
3. Ćwiczenia wskazujące zastosowanie osi liczbowej:
- porządkowanie zbioru liczb naturalnych (moduł 4);
- porównywanie liczb naturalnych (moduł 4).
Kontynuacja, wykorzystanie osi liczbowej w dalszym kształceniu
- W klasie 5 i 6 porządkowanie i porównywanie liczb dziesiętnych, ułamków zwykłych, całkowitych.
182
- W klasie 6 : diagram słupkowy, układ współrzędnych kartezjańskich,
przybliżenia dziesiętne, liczby spełniające warunek: ¬, , <, >, =, dodawanie liczb całkowitych, mnożenie liczb całkowitych.
• Na podstawie Matematyka 4, podręcznik klasa 4 szkoły podstawowej, Małgorzata Dobrowolska Piotr Zarzycki, GWO Gdańsk 2005.
Ćwiczenia przygotowujące do określenia osi liczbowej
- wykorzystanie termometru jako modelu osi liczbowej.
Określenie osi liczbowej jest na stronie 31. Jest rysunek termometru, pod
nim oś liczbowa i opis słowny: Każdemu punktowi na osi liczbowej odpowiada
pewna liczba zwana jego współrzędną.
Ćwiczenia utrwalające określenie osi liczbowej
- odczytywanie liczb zaznaczonych na osi (s. 31, 32, 107, 108, 114, 115,
116, 135);
- zaznaczanie liczb na osi z danym odcinkiem jednostkowym (str. 108, 115,
122, 129);
- zaznaczanie liczb na osi bez danego odcinka jednostkowego (str. 32);
- określanie długości odcinka o końcach w danych punktach (str. 32, 86).
Kontynuacja, wykorzystanie osi liczbowej w dalszym kształceniu
- zaznaczanie ułamków zwykłych i liczb dziesiętnych, klasa 4, 5, 6;
- porównywanie liczb zaznaczonych na osi liczbowej, klasa 4, 5, 6;
- dodawanie i odejmowanie liczb dziesiętnych, klasa 5;
- liczby ujemne, klasa 5, 6;
- porównywanie liczb całkowitych, klasa 5, 6;
- dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych, klasa 5, 6;
- przybliżenie dziesiętne liczb, klasa 6;
- diagram słupkowy, klasa 6;
- układ współrzędnych kartezjańskich, klasa 6;
- odczytywanie danych z wykresów, klasa 6.
Jolanta Hajda pracuje w SP 12 w Chorzowie
Justyna Błaszczyk i Aleksandra Wielgus pracują w ZSI w Chorzowie
[email protected]
183
Jolanta Hajda, Bożena Kocurem, Grażyna Koruszowic, Zofia
Miczek, Anna Moj, Grażyna Olearczyk, Ewa Sękała, Jolanta
Solga, Aleksandra Wielgus, Jadwiga Zioło (Chorzów)
Pojęcie – cyfra, liczba, system liczenia
pozycyjny i dziesiątkowy
„Po co ludzie uczą się matematyki?
Żeby uczyć matematyki innych.”
Hugo Steinhaus
Streszczenie
Nasze opracowanie składa się z trzech części. W pierwszej podajemy cytat pokazujący, że pojęcia cyfry i liczby musiały się kształtować się w rozwoju historycznym
Następnie przypominamy metodykę nauczenia tych pojęć w latach 60-ych oraz jak
te pojęcia formułowane są obecnie w encyklopedii. W części drugiej artykułujemy
najważniejsze elementy związane z pojęciami cyfry i liczby a w części trzeciej prezentujemy, jak wygląda proces kształtowania tych pojęć w klasach 1 – 3 według podręczników „Wesoła szkoła”, WSiP, „Moja szkoła” Wydawnictwo MAC oraz w klasach
4 – 6 , według podręczników MATEMATYKA 2001, WSiP oraz Matematyka dla klas
4, 5, 6 wydawnictwo GWO.
Podejście historyczne
• Cytat z książki „Dzieje liczby czyli historia wielkiego wynalazku”,
Georges Ifrah, Ossolineum 1990, s. 13.
„Prehistoria liczb.
Gdzie i kiedy zaczęła się ta fantastyczna przygoda ludzkiej inteligencji?
W Azji, W Europie czy gdzieś w Afryce? W epoce człowieka z Cro-Magnom
sprzed 30 tysięcy lat? W dobie człowieka neandertalskiego sprzed blisko 50
tysięcy lat? Czy może sto lub pięćset tysięcy, albo zgoła milion lat temu? Nic
o tym nie wiemy. To zdarzenie ginie w mroku czasów prehistorycznych i żaden
ślad nie pozostał do dzisiaj. A jednak jest rzeczą pewną, że był taki czas,
kiedy istota ludzka zupełnie nie umiała liczyć. Oto dowód: istnieją jeszcze
teraz ludzie niezdolni pojąć żadnej liczby abstrakcyjnej i nie wiedzący, że dwa
i dwa to cztery.”
Jolanta Hajda i inni
Dawne, dobre rady metodyczne
• Cytat z książki „Metodyka arytmetyki i geometrii w pierwszych latach
nauczania”, Ludwika Jeleńska przy współudziale A. M. Rusieckiego, PZWS,
Warszawa 1960, s.: 9 – 15, 21 – 23, 29 – 33, 38, 125.
. . . Pojęcia podstawowe
Klasa 1
1. Liczba.
2. Symbol – cyfra.
3. Działanie i formuła (w opracowaniu liczb pierwszej dziesiątki).
4. System dziesiątkowy.
5. Metoda dodawania i odejmowania z przekroczeniem progu dziesiątkowego.
Klasa 2
1. Dzielenie „po kilka” i „na kilka”.
2. System pozycyjny.
3. Miary długości, pieniądza, czasu.
4. Metoda dodawania i odejmowania liczb dwucyfrowych.
5. Metoda mnożenia liczby dwucyfrowej przez jednocyfrową.
Klasa 3
Pogłębienie systemu pozycyjnego
. . . Pojęcie liczby jest zdobywane przez dziecko stopniowo. Według danych psychologii eksperymentalnej dziecko przed ukończeniem dwóch lat ma świadomość: „ jeden i jeszcze jeden”, lecz nie „dwa”, ale trzyletnie dziecko ma już
pojęcie liczby „dwa” i liczby „trzy”. A jednak można być przekonanym, że
dziecko wstępując do szkoły nie ma dość jasnego pojęcia liczby, musi je zatem
zdobyć w szkole. Żeby pracą dziecka móc pokierować, trzeba samemu dobrze
sobie zdawać sprawę:
1. jakie pojęcie liczby powinno powstać w umyśle dziecka,
2. jaką drogą ma je zdobyć.
Nie zawadzi przypomnieć, że pojęcie liczby należy do pojęć najbardziej
abstrakcyjnych. Wszak liczba sama przez się w żadnej rzeczy nie istnieje: nie
ma przecież trzech stołów, na które patrzymy, jest tylko stół, stół i stół, a my
ogarniamy je myślą jako coś zjednoczonego jako trzy. Liczba jest to mentalis
unitatum multiplicium (jedność myślowa wielu jedności).
. . . Pojęcie liczby, które dziecko musi zdobyć, powinno dać mu przekonanie, że
liczba oznacza zbiór jedności i zależnie od tego zbioru może być większa lub
186
Pojęcie – cyfra, liczba, system liczenia pozycyjny i dziesiątkowy
mniejsza.
. . . Rozróżniać możemy cztery etapy w drodze do zdobycia jasnego pojęcia
liczby. Postępować będziemy w ten sposób.
Etap pierwszy. Na konkretach (np. dzieci, liczmany, tabliczki, rysunki ) do
jednego przedmiotu dodajemy kolejno po jednym, pytając za każdym razem,
ile jest.
Etap drugi. Dajemy dzieciom możliwość bardziej samodzielnej pracy, żądając wyodrębnienia poleconej ilości przedmiotów z całego niezliczonego zbioru,
jak również doliczania do podanej ilości przedmiotów nowej wymienionej ilości
(np. do 3 ołówków doliczyć jeszcze dwa ołówki) i zliczenie całego zbioru.
Po co odwzorowywanie? Powstawanie pojęcia liczby jest ściśle związane z liczeniem, a liczenie jest przecież odwzorowywaniem zbioru za pomocą słów: jeden,
dwa, trzy, cztery, pięć itd. Dlatego przygotowaniem do liczenia powinno być:
a) odwzorowywanie,
b) porównywanie zbiorów (na tym oprze się pojęcie liczby większej i mniejszej),
c) wyodrębnianie cech ilościowych (co wywoła nastawienie umysłowości
dziecka na mierzenie).
Etap trzeci.
Określenie ilości przedmiotów bez uprzedniego liczenia. Już poprzednio powinniśmy byli często tego żądać, ale tu mamy na myśli specjalne ćwiczenie
. . . Potrafią to zrobić w zakresie 2, 3. Jeżeli chcemy, aby odróżniały od razu
większe ilości, do 10 włącznie, to musimy pokazywać je w pewnym stałym
układzie, czyli posiłkować się figurami liczbowymi.
Etap czwarty. Jeżeli dotychczas dzieci składały liczby, doliczając po jednym, po dwa – to ważne jest, aby je rozkładały, poprzez co jeszcze raz mocno
podkreślamy, że liczba oznacza zbiór jedności.
. . . Przy dobrym kierowaniu pracą dziecko zdobywa jednocześnie pojęcia liczby, liczenia, działania na liczbach.
. . . Drugim pojęciem fundamentalnym, które dzieci mają zdobyć w I klasie,
jest pojęcie cyfry.
Czym jest cyfra? Cyfra jest konwencjonalnym znakiem przyjętym na oznaczanie liczb, a więc jest symbolem. Już sama ta odpowiedź wskazuje na trudność pojęcia cyfry. Żeby dziecko mogło dojść do zrozumienia cyfry jako symbolu, trzeba przede wszystkim, żeby nauczyciel tych dwóch słów: liczba – cyfra
używał we właściwym znaczeniu.
. . . Niezmiernej wagi dla całej dalszej nauki arytmetyki jest zdobycie przez
dziecko jasnego pojęcia systemu pozycyjnego. Aby docenić ważność tego momentu, wprost przełomowego w kształceniu matematycznym, trzeba, żeby nauczyciel sam zdawał sobie sprawę, że idzie tu nie tylko o prawidłowe pisanie
187
liczb, ale o grunt, na którym się oprze piśmienne wykonywanie działań, a także
zrozumienie numeracji ułamków dziesiętnych.
. . . Etap pierwszy. Należy związać zapis liczby dwucyfrowej z konkretnym zobrazowaniem tej liczby, przez co uwydatni się, która cyfra oznacza dziesiątki,
a która jedności.
. . . Etap drugi. Paczki i patyczki układały dzieci prawidłowo: po lewej
i po prawej stronie, ale jeszcze sobie tego nie uświadomiły. Teraz właśnie należy doprowadzić do uświadomienia ważności przestrzegania miejsca.
. . . Etap trzeci. Gdy dzieci już zrozumieją, że cyfra, która stoi na pierwszym
miejscu (licząc od prawej ręki ku lewej), oznacza jedności, a cyfra, która stoi
na drugim miejscu ( licząc od prawej ręki ku lewej), oznacza dziesiątki, przechodzimy do najważniejszego momentu – do zrozumienia potrzeby zera.
• Encyklopedia Szkolna – Matematyka, WSiP, 1989, s. 29.
Cyfry, symbole służące do zapisywania liczb. W powszechnie obecnie stosowanym dziesiątkowym systemie liczbowym używa się następujących cyfr: 0,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , zwanych cyframi arabskimi, gdyż do Europy przenieśli
je w X- XIII w Arabowie, natomiast wcześniej używali ich Hindusi. Używa się
też czasami cyfr rzymskich : I, V, X, L, C, D, M, które są pochodzenia latynoetruskiego ( VI- V w pne ). W najstarszych systemach pisma cyfry były kreseczkami, a wartość liczby odczytywano przez dodanie wszystkich cyfr, później
zaczęto używać specjalnych rysunków. W starożytności i średniowieczu jako
cyfr używano też liter.
Liczba, w pierwotnym znaczeniu wspólna własność zbiorów skończonych
mających tyle samo elementów. Wyodrębnienie takiej wspólnej własności zbiorów jednoelementowych, zbiorów dwuelementowych itd. doprowadziło do określenia pojęcia → liczb naturalnych. Tak rozumiane liczby służą do liczenia
przedmiotów. Potrzeba wyrażenia za pomocą liczb takich wielkości jak długość, ciężar, objętość, pole powierzchni, masa spowodowała rozszerzenie pojęcia liczby i wprowadzenia → liczb wymiernych (po raz pierwszy w Egipcie
w XVII w. p.n.e.), a następnie → liczb niewymiernych (matematycy greccy,
uczniowie Pitagorasa , VI w. p. n. e.). Próby rozwiązywania równań algebraicznych doprowadziły w XVI w. (matematyk włoski G. Cardano) do wprowadzenia → liczb ujemnych, a także do pierwszego w historii matematyki
zastosowania → liczb zespolonych. Wytyczona została w ten sposób droga do
ostatecznego opracowania teorii → liczb rzeczywistych oraz liczb zespolonych.
Szczegółową teorię liczb rzeczywistych opracowali w XIX w. matematycy niemieccy G. Cantor i J.W.R. Dedekind; teoria liczb zespolonych została ugruntowana przez matematyka niemieckiego C. F. Gaussa, który podał geometryczną
188
interpretację tych liczb jako punktów płaszczyzny.
Systemy liczbowe, sposoby zapisywania i nazywania liczb. Rozróżnia
się pozycyjne systemy liczbowe i addytywne systemy liczbowe. W pozycyjnych systemach liczbowych liczbę przedstawia się jako ciąg cyfr, a wartość
poszczególnych znaków cyfrowych zależy od ich położenia (pozycji) względem
sąsiednich znaków cyfrowych. W addytywnych systemach liczbowych wartość
przedstawionej liczby jest sumą wartości jej znaków cyfrowych. Pozycyjnymi
systemami liczbowymi są między innymi: dziesiątkowy system liczbowy, dwójkowy system liczenia (stosowany w elektronicznych maszynach liczących). Na
addytywnym systemie zapisu liczb opierają się następujące systemy liczbowe:
hieroglificzny, rzymski, alfabetyczny.
• Mały Słownik Matematyczny, Wiedza Powszechna, Warszawa 1970,
s. 56.
Dziesiątkowy (dziesiętny) system liczbowy – najbardziej rozpowszechniony → pozycyjny system liczbowy, którego prawzory powstały około V w.
n.e. w Indiach, wziął swój początek prawdopodobnie od liczenia na palcach obu
rąk. Podstawą tego systemu jest liczba 10, będąca jednostką drugiego rzędu;
100 jest jednostką trzeciego rzędu, 1000 czwartego itd.; jednostką pierwszego
rzędu jest 1. Ta sama cyfra ma w dziesiątkowym systemie liczbowym różne
znaczenie w zależności od miejsca, na którym stoi; przedstawia ona zawsze
liczbę jednostek odpowiedniego rzędu. Do zapisania dowolnej liczby w dziesiątkowym systemie liczenia wystarcza dziesięć cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Pierwsza cyfra (licząc od lewej strony) przedstawia liczbę jednostek najwyższego rzędu, mieszczących się w danej liczbie, druga cyfra – liczbę jednostek
rzędu o jeden niższego itd.
Np. 2532 = 2 · 103 + 5 · 102 + 3 · 101 + 2 · 100 = 2 · 1000 + 5 · 100 + 3 · 10 + 2 · 1
Poza dziesiątkowym systemem liczbowym używa się także innych → systemów
liczbowych.
Istotne elementy pojęć:
Cyfra
- umowny znak do zapisywania liczb;
- istnieją inne znaki niż używane przez nas;
- znaki arabskie mają uniwersalny charakter ( są rozpoznawalne na całym
świecie).
Liczba w układzie pozycyjnym
- ciąg cyfr, gdzie wartość poszczególnych znaków cyfrowych zależy od ich
położenia względem sąsiednich znaków.
189
System liczenia pozycyjny i dziesiątkowy:
- każda liczba w nim to ciąg cyfr;
- podstawą jest 10;
- kolejne potęgi liczby 10 nazywamy rzędami:
100 rząd jedności,
101 rząd dziesiątek,
102 rząd setek itd.;
- każde 10 jednostek niższego rzędu tworzy jednostkę następnego, wyższego rzędu (ważne przy rachunku pamięciowym i sposobie pisemnym).
Kształtowanie pojęć cyfra i liczba w I etapie kształcenia
• Według „Wczesnoszkolnej Zintegrowanej Edukacji XXI w. klas I - III”
i podręcznika „Wesoła szkoła”, WSiP S.A., Warszawa 1999.
Klasa 1
W klasie pierwszej jest wiele ćwiczeń wprowadzających liczby 1 do 10, we
wszystkich aspektach oraz rozszerzających zakres liczbowy do 100:
- zliczanie elementów danego zbioru i podpisywanie cyfrą;
- rysowanie, dorysowywanie, skreślanie elementów danego zbioru zgodnie
z podaną cyfrą;
- przeliczanie i porządkowanie zbiorów według ich liczebności (malejąco,
rosnąco);
- porządkowanie liczb, dopisywanie liczb sąsiadujących;
- przyporządkowywanie liczbie miejsca na osi liczbowej;
- przedstawianie liczb za pomocą klocków – kolorowe liczby;
- odczytywanie liczb i zapisywanie słowami;
- porównywanie liczb;
- obliczenia pieniężne, wagi, długości;
- zapisywanie liczb z pomocą tabelek pozycyjnych;
- wskazywanie w liczbach cyfr jedności, dziesiątek;
- rozkładanie liczb na dziesiątki, na jedności.
Klasa 2
Utrwalenie w zakresie 10:
- dodawanie i odejmowanie;
- porównywanie;
190
- rozwiązywanie zadań z treścią.
- działania;
- porządkowanie;
- oś liczbowa;
- uzupełnianie tabelek układu dziesiątkowego i pozycyjnego;
- działania związane z: złotówkami i groszami, kilogramami i dekagramami, litrami.
Wprowadzenie znaków rzymskich do 20.
Rozszerzenie zakresu liczenia do 30:
- oś liczbowa;
- mnożenie, dzielenie.
- działania związane z jednostkami długości;
- działania związane z jednostkami masy;
- wskazywanie cyfr w rzędzie dziesiątek, w rzędzie jedności;
- zapisywanie liczb za pomocą cyfr i słowami;
- działania związane ze złotówkami i groszami;
- dopisywanie brakujących liczb w danym ciągu liczb np. 48. . . 62, 85. . . 76;
- liczenie pełnymi dziesiątkami;
- rozwiązywanie zadań z treścią;
- liczby parzyste i nieparzyste;
- rozwiązywanie równań;
- kolejność wykonywania działań;
- działania z wykorzystaniem jednostek czasu: godzinny i minuty.
Utrwalenie liczenia do 50:
- mnożenie i dzielenie.
- dodawanie i odejmowanie z przekroczeniem progu;
- tabliczka mnożenia i dzielenia.
Liczba 100 jako pierwsza liczba trzycyfrowa; liczby trzycyfrowe:
191
- uzupełnianie tabelek systemu dziesiątkowego i pozycyjnego;
- porządkowanie liczb;
- zapisywanie liczb cyframi i słownie;
- wskazywanie pełnych setek, pełnych dziesiątek w danej liczbie;
- porządkowanie liczb według reguły: o 1 większa, o 10 większa;
- zapisywanie podanych liczb w tabeli systemu dziesiątkowego i pozycyjnego i porządkowanie wzrastająco;
- z wykorzystaniem tabeli układu dziesiątkowego i pozycyjnego dodawanie i odejmowanie w rzędzie tylko setek, tylko dziesiątek, tylko jedności.
Klasa 3
Utrwalenie – liczby jednocyfrowe, dwucyfrowe, trzycyfrowe:
- rozszerzenie liczenia do 1000;
- arabski i rzymski sposób zapisywania liczb;
- wykorzystanie tabelek układu dziesiątkowego i pozycyjnego przy dodawaniu i odejmowaniu w zakresie 100 i 1000;
- wykorzystanie jednostek długości;
- mnożenie i dzielenie;
- dodawanie i odejmowanie liczb trzycyfrowych bez przekraczania progu
dziesiątkowego.
Liczenie w zakresie do 10 000:
- wykorzystanie tabelek układu dziesiątkowego i pozycyjnego do odczytywania i zapisywania liczb;
- mnożenie i dzielenie pełnych dziesiątek i setek;
- wykorzystanie jednostek długości i masy;
- wprowadzenie dodawania sposobem pisemnym z wykorzystaniem tabeli;
- przygotowanie do odejmowania sposobem pisemnym z wykorzystaniem
tabeli;
- wskazywanie w liczbie cyfry danego rzędu;
- przygotowanie do dzielenia sposobem pisemnym.
Poznanie liczb w zakresie 100 000 i 1 000 000:
- wykorzystanie tabeli układu dziesiątkowego i pozycyjnego do odczytywania liczb, zapisywania liczb, wskazywania cyfr w danych rzędach;
- oś liczbowa;
- mnożenie i dzielenie pełnych setek, pełnych tysięcy.
192
• Na podstawie programu „Moja szkoła” i podręczników z ćwiczeniami
do kształcenia zintegrowanego „Moja szkoła” Wydawnictwo MAC Edukacja
S.A., Kielce 2002.
Klasa 1
Liczby od 1 do 9 są wprowadzane kolejno według podobnego schematu. Podejmowane są praktyczne czynności prowadzące do pojęcia liczby naturalnej w
aspekcie miarowym, następnie kardynalnym i porządkowym. Następuje łącznie liczebnika porządkowego z liczebnikiem głównym oraz wiązanie aspektu
miarowego liczby z aspektami kardynalnym i porządkowym.
Następnie znajdziemy:
- ćwiczenia z zapisywaniem cyfr;
- rozkład liczby na składniki;
- ćwiczenia z poznanymi już liczbami;
- porównywanie i porządkowanie.
Po zapoznaniu uczniów z liczbami od 1 do 9, wprowadzona zostaje liczba zero
oraz liczby dwucyfrowe poprzez:
- ćwiczenia w określaniu liczności zbioru;
- ćwiczenia w pisaniu liczb od zera do dziewięć;
- liczba zero w ciągu liczbowym;
- liczba 10 jako pierwsza liczba dwucyfrowa;
- ćwiczenia z poznanymi liczbami;
- wprowadzenie liczby dziesięć i jej zapisu;
- określenie pojęcia cyfra;
- określenie pojęcia liczba jednocyfrowa, liczba dwucyfrowa;
- liczba 10 w aspektach porządkowym i miarowym;
- porządkowanie i porównywanie liczb w zakresie 10;
- rozkład liczby 10 na składniki;
- liczby od 0 do 10; wprowadzenie znaków < i >:
- ćwiczenia w porządkowaniu i porównywaniu liczb w zakresie 10;
- porównywanie liczb z użyciem znaków: <, =, >;
- liczby od 11 do 20:
193
- aspekt kardynalny, porządkowy, miarowy;
- ćwiczenia kształcące zrozumienie systemu dziesiątkowego i pozycyjnego;
- rozpoznawanie i nazywanie poznanych liczb;
- zapisywanie poznanych liczb;
- wskazywanie dziesiątek i jedności;
- porządkowanie i porównywanie;
- rozszerzenie zakresu liczbowego do 25:
- przypomnienie o systemie dziesiątkowym i pozycyjnym;
- wartość cyfry w zależności od pozycji w zapisie liczby;
- rozszerzenie liczenia do 60:
- liczenie do 20 według podanego warunku; zwrócenie uwagi na podobieństwa w pierwszej i drugiej dziesiątce;
- określanie dziesiątek, jedności danej liczby;
- liczby od 20 do 60; pełne dziesiątki;
- porównywanie i porządkowanie liczb w zakresie 60; użycie znaków
<, =, >;
- liczby od 60 do 100; nazywanie, zapisywanie, wskazywanie pełnych
dziesiątek;
- znak liczby i nazwa liczby;
<, =, >;
- zapis liczby dwucyfrowej:
- liczenie do 100 według podanego warunku;
- kształtowanie rozumienia zapisu dowolnej liczby dwucyfrowej;
- numeracyjne przykłady dodawania i odejmowania liczb dwucyfrowych;
- wskazywanie dziesiątek, jedności.
194
Klasa 2
- cyfry;
- porównywanie i porządkowanie liczb w zakresie 9;
- liczby 10 do 20; wskazywanie dziesiątek, jedności; porównywanie;
- kształtowanie umiejętności przedstawiania liczb za pomocą osi liczbowej;
- wskazywanie liczb większych i mniejszych;
- przedstawianie liczby jako sumy dwóch lub więcej składników
- wprowadzenie symbolu literowego niewiadomej liczby;
- cyfry rzymskie od I do XII; porównywanie liczb zapisanych cyframi rzymskimi i arabskimi; zapisywanie liczb cyframi rzymskimi; praktyczne zastosowanie cyfr rzymskich;
- rozkład liczby na jednakowe składniki – przygotowanie do dobrego rozumienia iloczynu;
- liczenie do 100 dziesiątkami;
- liczba 100; wskazywanie cyfry setek, cyfry dziesiątek, cyfry jedności;
- porównywanie liczb w zakresie 100 z wykorzystaniem konkretów, osi liczbowej, rysunków, znaków nierówności;
- porządkowanie liczb dwucyfrowych według podanego warunku;
- kształtowanie umiejętności zamiany dziesiątek na jedności i odwrotnie;
- rozszerzenie zakresu liczbowego do 1000;
- liczenie do 1000 pełnymi setkami, pełnymi dziesiątkami;
- poprawne odczytywanie i zapisywanie słowami liczb trzycyfrowych;
- wskazywanie cyfry setek, cyfry dziesiątek, cyfry jedności w liczbach trzycyfrowych;
- doliczanie i odliczanie według podanego warunku w zakresie 1000;
195
- porównywanie liczb w zakresie 1000 z wykorzystaniem konkretów, osi
liczbowej, rysunków, znaków nierówności.
Klasa 3
- liczby w zakresie 100 w systemie dziesiątkowym;
- porównywanie i porządkowanie liczb trzycyfrowych;
- rozszerzenie zakresu liczbowego do 10 000;
- porównywanie i porządkowanie liczb w zakresie 10 000.
Kształtowanie pojęć cyfry i liczby w klasach 4 – 6
• Według MATEMATYKA 2001, podręcznik dla klasy 4, klasy 5, klasy 6
szkoły podstawowej , WSiP S.A., Warszawa 1999 i późniejsze wydania.
Klasa 4
Moduł 1 - ćwiczenia utrwalające
Ten moduł porządkuje doświadczenie i dotychczasową wiedzę ucznia o liczbie naturalnej. Poprzez Starter i ćwiczenia mamy doprowadzić do rozróżniania
pojęć: cyfra, liczba. Ćwiczenia i polecenia są tak sformułowane, aby uczeń:
- miał świadomość budowania liczb za pomocą ciągu cyfr;
- rozróżniał i nazywał rzędy w danej liczbie;
- zapisywał i odczytywał liczby wielocyfrowe;
- budował liczby wielocyfrowe o określonych własnościach, wykorzystując
wiedzę o pozycyjności i dziesiątkowości stosowanego systemu liczenia.
W ramce do zapamiętania jest słowna informacja o cyfrach.
Moduł 2 pokazuje inny system liczenia i zapisywania liczb, mianowicie
cyfry rzymskie. Jest to kontrprzykład do naszego pozycyjnego i dziesiątkowego.
Pokazanie innego systemu ułatwia lepsze zrozumienie stosowanego przez nas
systemu.
W następnych modułach uczeń wykonuje działania pamięciowo, pisemnie
i za pomocą kalkulatora, wykorzystując wiedzę o pozycyjności i dziesiątkowości
naszego systemu liczenia.
Zbiory liczbowe jakie uczeń poznaje:
Klasa 4
- liczby naturalne (kolejność działań, łączność i przemienność dodawania,
rozdzielność mnożenia i dzielenia względem dodawania i odejmowania,
porównywanie różnicowe i ilorazowe, wielokrotności i dzielniki, cechy podzielności przez 2, 5, 4, 10, 100, oś liczbowa, wykonywanie działań);
196
- ułamki zwykłe (określone jako część wielkości, jako iloraz).
Klasa 5
- liczby naturalne (cechy podzielności przez 3 i 9, liczby pierwsze i złożone);
- liczby ujemne, liczby przeciwne;
- ułamki zwykłe.
Klasa 6
- liczby całkowite (dodawanie, odejmowanie);
- ułamki zwykłe, liczby odwrotne (mnożenie i dzielenie);
- liczby dziesiętne;
- liczby wymierne.
• Według: MATEMATYKA 4, 5, 6, GWO, Gdańsk 2005.
Klasa 4
- Systemy zapisywania liczb ( za pomocą kresek, hieroglify egipskie, cyfry
hinduskie, cyfry rzymskie).
- System dziesiątkowy:
- wycinki z gazet pokazujące zapisywanie wielkich liczb;
- przypomnienie nazw kolejnych rzędów w liczbach pięciocyfrowych;
- sposoby odczytywania liczb powyżej miliona; przykłady ich zastosowania (liczba ludności Ziemi, odległości w Kosmosie);
- ćwiczenia w odczytywaniu i zapisywaniu liczb słowami i cyframi,
zadania z treścią;
- algorytmy działań pisemnych (wykorzystanie wiedzy o pozycyjnym
i dziesiątkowym systemie liczenia).
- System rzymski:
- przykłady zastosowania;
- cyfry rzymskie;
- zapisywanie i odczytywanie liczb zapisanych cyframi rzymskimi;
- ćwiczenia z zastosowaniem cyfr rzymskich.
- Liczby naturalne:
- wielokrotności i dzielniki;
- cechy podzielności przez 2, 4, 5, 10, 100, 3 i 9;
197
- liczby pierwsze i złożone; rozkład liczby na czynniki pierwsze.
Jednocześnie uczeń poznaje ułamki zwykłe, ułamki dziesiętne oraz liczby ujemne i jako podsumowanie liczby wymierne.
Ułamki zwykłe
klasa 4
- podział na równe części, przykłady ułamków 12 , 14 , 23 ;
- ilustracja graficzna ułamków;
- przykłady ułamków na osi liczbowej;
- równość ułamków, skracanie i rozszerzanie;
- porównywanie ułamków o jednakowych mianownikach, o jednakowych
licznikach;
- liczby mieszane i ułamki niewłaściwe;
- ułamek jako iloraz;
- dodawanie i odejmowanie ułamków o jednakowych mianownikach;
- mnożenie ułamków zwykłych przez liczby naturalne;
- obliczanie ułamka danej liczby.
klasa 5
- porównywanie ułamków o różnych mianownikach i licznikach;
- dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach;
Ułamki dziesiętne
klasa IV
- przykłady zapisu cen, wagi itp.;
- przykłady zapisywania ułamków dziesiętnych;
- zamiana ułamków dziesiętnych na zwykłe nieskracalne;
- zaznaczanie na osi liczbowej;
- nazywanie kolejnych rzędów po przecinku;
- zapisywanie i odczytywanie;
- porównywanie;
- zapisywanie wyrażeń dwumianowanych w postaci ułamka dziesiętnego;
- dodawanie i odejmowanie liczb dziesiętnych sposobem pisemnym;
- mnożenie i dzielenie liczb dziesiętnych przez 10, 100, 1 000.
198
klasa 5
- mnożenie i dzielenie ułamków dziesiętnych;
- wprowadzenie określenia: procent;
- obliczanie procentu danej wielkości.
klasa 6
- rozwinięcie dziesiętne ułamka zwykłego;
- obliczanie wielkości, gdy znany jest jej procent;
- obliczanie jakim procentem jednej wielkości jest druga.
Liczby ujemne
klasa V
- przykłady ukazujące potrzebę wprowadzenia;
- porównywanie z wykorzystaniem wskazań termometrów;
- oś liczbowa z liczbami ujemnymi;
- liczby przeciwne;
- wprowadzenie określenia: liczby całkowite;
- dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie;
Liczby wymierne
klasa VI
- powtórzenie dotychczasowej wiedzy o liczbach całkowitych;
- oś liczbowa i zaznaczanie na niej liczb całkowitych i ułamków;
- określenie pojęcia „wartość bezwzględna”;
- ćwiczenia w wskazywaniu wartości bezwzględnej podanych liczb;
- dodawanie, odejmowanie mnożenie i dzielenie liczb wymiernych.
Autorki pracują w ZSI oraz w SP nr 12 w Chorzowie
[email protected]
199
Jolanta Hajda, Aneta Kanafa, Zofia Miczek, Anna Moj, Jolanta
Solga, Ewa Szczupider-Olesińska, Jadwiga Zioło (Chorzów)
Pojęcie – Obwód wielokąta
„Geometria jest, jak do tej pory, jedyną nauką,
jaką Bogu spodobało się podarować
rodzajowi ludzkiemu.”
Thomas Hobbes
Streszczenie
Opracowanie to składa się z dwóch części. W pierwszej podajemy szesnastowieczne określenie wielokątów (trójkątów) a następnie, jak pojęcie to jest sformułowane
obecnie w encyklopedii. W części drugiej przedstawiamy najważniejsze elementy pojęcia obwodu wielokąta i przechodzimy do pokazania jak pojęcie to jest realizowane
w klasach 1 – 3, według podręcznika „Wesoła szkoła”, WSiP, „Moja szkoła”, wyd.
MAC , oraz w klasach 4 – 6, według podręczników Matematyka 2001, wyd. WSiP
i Matematyka 4, 5, 6 GWO Gdańsk 2005.
• Fragmenty tekstu (z transkrypcji) dzieła Stanisława Grzempskiego (15241570 ). Fragment pochodzi z książki „Matematyka i jej historia”, Witold Więsław, Wydawnictwo Nowik Opole 1997, s. 283.
„ . . . O figurach
Figur tych, co na równi bywają, jest początkiem ta, co jest o trzech stronach: albowiem dwie stronie placu nie zamykają, a figura ma zamknąć albo
określić plac. A tak początek figur jest ta, co jest o trzech stronach, którą łacińskim językiem zowią triangulum, a my ją możem zwać klinem. Triangulus
tedy albo klin nie każdy jest jednaki. Albowiem jeden jest co ma wszystkie trzy
strony równe, a taki zową po grecku hifopleuros. Drugi jest, co dwie stronie
tylko ma równe, a ten zową hifoskeles. A trzeci jest, co wszystkie trzy strony
ma nierówne, a zową ji skalenos. Drugi jeszcze rozdział ich jest, klin niektóry
jest , co ma kąt jeden prosty, bo dwóch prostych nie może mieć. Drugi jest, co
ma kąt jeden tępy, albowiem drugiego tępego nigdy mieć nie może. A trzeci
jest, co wszytki trzy kąty ma kończate.”
• Encyklopedia Szkolna – Matematyka WSiP, 1989, s. 309.
. . . Wielokąt, wielobok, n-kąt, n-bok, domknięta, płaska figura geometryczna
ograniczona łamaną zwyczajną zamkniętą o n-bokach, gdzie n 3.
Suma długości boków wielokąta nazywa się obwodem wielokąta.
Istotne elementy pojęcia obwodu wielokąta
- obwód to brzeg figury;
- obliczanie długości obwodu, jest indywidualne dla danej figury, więc zapamiętujemy sposób jego obliczania;
- długość obwodu, to liczba zależna od przyjętej jednostki długości; (np.
trójkąt równoboczny o bokach długości 2,5 cm. Jego obwód jest liczbą
7,5 w cm; 75 w mm; 0,75 w dm);
Realizowanie pojęcia obwodu wielokąta
w I etapie kształcenia
• Na podstawie programu i podręcznika „Wesoła szkoła”, WSiP S. A.,
Warszawa 2004.
Klasa 1
W klasie I są ćwiczenia przygotowujące do określenia pojęcia obwodu wielokąta, nie wprowadza się jednak tego pojęcia. Ćwiczenia dotyczą:
- rozpoznawania i nazywania figur geometrycznych, zabawa logiczna
„Jaką jestem figurą”;
- badania i opisywania cech figur geometrycznych;
- układania z figur geometrycznych kompozycji, np. domek, ptak;
- mierzenia długości odcinków.
Klasa 2
W klasie II są ćwiczenia przygotowujące do określenia pojęcia obwodu wielokąta, lecz nadal nie wprowadza się tego określenia. Ćwiczenia dotyczą:
- rozpoznawania figur geometrycznych;
- nazywania wielokątów ze względu na liczbę boków;
- wprowadzenia określenia odcinka;
- mierzenia długości odcinka;
- obliczania sumy długości odcinków;
- wprowadzenia określeń: wielobok, wielokąt, boki, kąty;
- wskazywania ilości boków i kątów w danym wielokącie;
- obliczania sumy długości boków trójkąta;
- obliczania sumy długości boków prostokąta;
- obliczania sumy długości boków wielokąta.
202
Klasa 3
W klasie III wprowadza się określenie obwodu figury geometrycznej płaskiej: długość brzegu figury geometrycznej nazywamy jej obwodem. Nauczyciel
ma do dyspozycji tablice demonstracyjne:
- obwód wielokąta, trójkąta;
- obwód kwadratu i prostokąta.
Ćwiczenia dotyczą:
- rysowania odcinków o podanej długości i mierzenia długości odcinków;
- wprowadzenia określenia obwodu;
- sposobów obliczania obwodów wielokątów;
- obliczeń obwodów wielokątów;
- rozwiązywania zadań z treścią z zastosowaniem obliczania obwodów wielokątów.
Wnioski:
- przygotowanie do zrozumienia określenia obwodu wielokąta i umiejętności jego obliczenia rozpoczyna się od klasy I;
- określenie pojęcia obwodu figury geometrycznej płaskiej jest w klasie III;
- ćwiczenia zawarte w kartach pracy klasy III pozwalają utrwalić to pojęcie.
• Na podstawie programu i podręcznika „Moja szkoła”, Wydawnictwo
Klasa 1
W klasie 1. wprowadza się pojęcie prostokąta poprzez:
- rozróżnianie i nazywanie figur geometrycznych: prostokąt i kwadrat;
- praktyczne poznawanie kształtu i nazw: prostokąt, kwadrat;
- rozpoznawanie prostokątów i kwadratów w zbiorze różnych figur płaskich;
- rozpoznawanie kształtu prostokąta i kwadratu w otoczeniu;
- obserwowanie modeli i rysunków prostokąta i kwadratu w różnym położeniu na płaszczyźnie;
- układanie „posadzki” z prostokątów;
- określanie wspólnych cech prostokąta i kwadratu.
203
Przygotowuje się ucznia do wprowadzenia pojęcia obwodu prostokąta poprzez ćwiczenia w obliczaniu łącznej długości boków prostokąta i kwadratu.
W klasie 1 wprowadza się również pojęcie trójkąta poprzez ćwiczenia, które obejmują:
- rozpoznawanie trójkątów wśród innych figur;
- tworzenie i rysowanie modeli trójkątów za pomocą patyczków, plasteliny,
geoplanu;
- rozpoznawanie kształtu trójkąta w otoczeniu;
- określanie cech trójkąta służy przygotowaniu pojęcia obwodu trójkąta.
W klasie 1 ćwiczenia obejmują: rozpoznawanie kształtu prostokąta, kwadratu i trójkąta w otoczeniu, na modelach, rysunkach oraz praktyczne badanie
ich własności.
Klasa 2
Ćwiczenia koncentrują się na badaniu własności prostokąta. Wykorzystuje
się własności boków do wprowadzenia pojęcia odcinków równoległych i prostopadłych. Ćwiczenia ukazujące własności prostokąta na poziomie opisowym
są w reprezentacji enaktywnej, ikonicznej, symbolicznej.
Ćwiczenia związane z obliczaniem łącznej długości boków figur płaskich
przygotowują do wprowadzenia pojęcia obwodu. Ćwiczenia związane z badaniem własności trójkąta:
- rozróżnianie i nazywanie poznanych figur płaskich na modelach;
- rysowanie i rozpoznawanie wskazanych figur na rysunkach;
- dostrzeganie poznanych figur w innych figurach;
- praktyczne odkrywanie własności trójkątów za pomocą modeli i rysunków.
Ćwiczenia w klasie 2. są ciekawe ale zamieszczone są tylko w części V.
Klasa 3
Pojęcie prostokąta jest nadal utrwalane. Pojawia się obliczanie obwodu
prostokąta wybranym sposobem. Ćwiczenia dotyczące prostokąta i kwadratu:
- rysowanie prostokąta i innych figur geometrycznych zgodnie z podanymi
warunkami;
- wskazywanie prostokątów poprzez badanie kątów prostych w danej figurze;
- rysowanie prostokątów wykorzystując wiedzę o łamanych zamkniętych;
- praktyczne badanie własności prostokątów z wykorzystaniem modeli
i rysunków;
204
- własności boków prostokąta i kwadratu;
- obliczanie obwodu prostokąta i kwadratu; różne sposoby obliczania;
- zastosowanie różnych sposobów obliczania obwodów w rozwiązywaniu
praktycznych problemów;
- rozwiązywanie zadań z treścią z zastosowaniem obliczania obwodu prostokąta.
Pojęcie trójkąta jest nadal utrwalane. Pojawia się obliczanie obwodu trójkąta. Ćwiczenia zaczynają się od przypomnienia wiadomości o figurach płaskich z klasy I i II. Ćwiczenia obejmują:
- badanie własności trójkątów;
- obliczanie obwodu danego trójkąta;
- rozwiązywanie zadań z zastosowaniem obliczania obwodu trójkąta;
- obliczanie obwodu trójkąta, gdy znane są długości jego boków;
- obliczanie długości jednego z boków trójkąta, gdy znane są długości pozostałych.;
W podręcznikach „Moja szkoła” pojęcie obwodu figury wprowadzone jest
na przykładzie prostokąta i trójkąta. W klasie I i II są ćwiczenia przygotowujące do wprowadzenia tego pojęcia.
Realizowanie pojęcia obwodu wielokąta w klasach 4 – 6
• Według: MATEMATYKA 2001, WSiP S.A., Warszawa 1999 i późniejsze
wydania.
Klasa 4
Ćwiczenia przygotowujące do wprowadzenia określenia pojęcia obwodu
wielokąta, to ćwiczenia na obliczanie długości łamanej.
Wprowadzenie pojęcia obwodu: obwód prostokąta jako suma długości
jego boków, obwód dowolnego wielokąta jako suma długości wszystkich jego
boków, różne sposoby obliczania długości obwodu prostokąta.
Ćwiczenia utrwalające:
- obliczanie długości siatki potrzebnej do ogrodzenia działki o podanych
wymiarach;
- obliczanie długości taśmy potrzebnej do oklejenia blatu biurka w kształcie prostokąta o podanych wymiarach;
- obliczanie długości obwodów prostokątów o podanych długościach boków;
- obliczanie długości boków kwadratu o podanej długości jego obwodu;
205
- poszukiwanie długości boków prostokąta o podanej długości jego obwodu;
- obliczanie długości boku prostokąta o danej długości obwodu i jednego
z boków;
- ćwiczenia badające zmianę długości obwodu prostokąta w zależności od
zmian długości jego boków.
Dodatkowe ćwiczenia utrwalające znajdują się w zeszycie ćwiczeń i zbiorze
zadań.
Klasa 5
- obliczanie obwodu trójkątów różnobocznych, równoramiennych, równobocznych o danych długościach boków;
- obliczanie długości boków trójkąta równoramiennego o danym obwodzie,
badanie zależności między długościami jego boków;
- rysowanie trójkątów o danym obwodzie i długości podstawy lub ramienia;
- rysowanie trójkątów równobocznych o danym obwodzie;
- obliczanie obwodu równoległoboku o danych długościach boków;
- obliczanie długości boku rombu o danym obwodzie.
zadań.
Klasa 6
Wprowadza się algebraiczny zapis obwodu prostokąta i kwadratu. Obwód
kwadratu o boku długości a to 4a, obwód prostokąta o bokach długości a, b
to 2a + 2b.
Wykorzystanie i utrwalenie pojęcia obwodu figury geometrycznej pojawia
się przy obliczaniu pól figur:
- obliczanie pola rombu o danym obwodzie i wysokości;
- obliczanie pola trójkąta o danym obwodzie i zależności między długościami boków.
Wykorzystanie obwodu figur w zadaniach przygotowujących do sprawdzianu po klasie 6.
• MATEMATYKA 4, 5, 6, Małgorzata Dobrowolska, Piotr Zarzycki, GWO,
Gdańsk 2005.
206
Klasa 4
Ćwiczenia przygotowujące:
- powtórzenie o jednostkach długości;
- mierzenie długości odcinków oraz obliczanie długości łamanej;
- rysowanie łamanych o podanych długościach boków.
Określenie obwodu: suma długości wszystkich boków wielokąta
- obliczanie obwodu wielokątów, gdy długości boków podane są w tych
samych jednostkach;
- obliczanie obwodu wielokątów, gdy długości boków podane są w różnych
jednostkach;
- obliczanie obwodu wielokątów, gdy podane są zależności między długościami boków.
Stosowanie w klasach 5 i 6
- obliczanie długości boków, gdy znana jest długość obwodu;
- rozwiązywanie zadań z treścią (obliczanie długości płotu, listew, obszyć
materiału . . . );
- obliczanie długości krawędzi prostopadłościanów, sześcianów, graniastosłupów.
Kontynuacja:
- pojęcie obwodu figury geometrycznej i sposoby jego obliczania
oraz szacowania są na każdym następnym etapie kształcenia.
Autorki pracują w ZSI, w Zespole Szkół Sportowych nr 1
oraz w SP nr 12 w Chorzowie
207
Jolanta Hajda, Bożena Kocurem, Grażyna Koruszowic, Zofia
Miczek, Anna Moj, Grażyna Olearczyk, Ewa Sękała, Jolanta
Solga, Aleksandra Wielgus, Jadwiga Zioło (Chorzów)
Pojęcie – cyfra, liczba, system liczenia
pozycyjny i dziesiątkowy
„Po co ludzie uczą się matematyki?
Żeby uczyć matematyki innych.”
Hugo Steinhaus
Streszczenie
Nasze opracowanie składa się z trzech części. W pierwszej podajemy cytat pokazujący, że pojęcia cyfry i liczby musiały się kształtować się w rozwoju historycznym
Następnie przypominamy metodykę nauczenia tych pojęć w latach 60-ych oraz jak
te pojęcia formułowane są obecnie w encyklopedii. W części drugiej artykułujemy
najważniejsze elementy związane z pojęciami cyfry i liczby a w części trzeciej prezentujemy, jak wygląda proces kształtowania tych pojęć w klasach 1 – 3 według podręczników „Wesoła szkoła”, WSiP, „Moja szkoła” Wydawnictwo MAC oraz w klasach
4 – 6 , według podręczników MATEMATYKA 2001, WSiP oraz Matematyka dla klas
4, 5, 6 wydawnictwo GWO.
Podejście historyczne
• Cytat z książki „Dzieje liczby czyli historia wielkiego wynalazku”,
Georges Ifrah, Ossolineum 1990, s. 13.
„Prehistoria liczb.
Gdzie i kiedy zaczęła się ta fantastyczna przygoda ludzkiej inteligencji?
W Azji, W Europie czy gdzieś w Afryce? W epoce człowieka z Cro-Magnom
sprzed 30 tysięcy lat? W dobie człowieka neandertalskiego sprzed blisko 50
tysięcy lat? Czy może sto lub pięćset tysięcy, albo zgoła milion lat temu? Nic
o tym nie wiemy. To zdarzenie ginie w mroku czasów prehistorycznych i żaden
ślad nie pozostał do dzisiaj. A jednak jest rzeczą pewną, że był taki czas,
kiedy istota ludzka zupełnie nie umiała liczyć. Oto dowód: istnieją jeszcze
teraz ludzie niezdolni pojąć żadnej liczby abstrakcyjnej i nie wiedzący, że dwa
i dwa to cztery.”
Dawne, dobre rady metodyczne
• Cytat z książki „Metodyka arytmetyki i geometrii w pierwszych latach
nauczania”, Ludwika Jeleńska przy współudziale A. M. Rusieckiego, PZWS,
Warszawa 1960, s.: 9 – 15, 21 – 23, 29 – 33, 38, 125.
. . . Pojęcia podstawowe
Klasa 1
1. Liczba.
2. Symbol – cyfra.
3. Działanie i formuła (w opracowaniu liczb pierwszej dziesiątki).
4. System dziesiątkowy.
5. Metoda dodawania i odejmowania z przekroczeniem progu dziesiątkowego.
Klasa 2
1. Dzielenie „po kilka” i „na kilka”.
2. System pozycyjny.
3. Miary długości, pieniądza, czasu.
4. Metoda dodawania i odejmowania liczb dwucyfrowych.
5. Metoda mnożenia liczby dwucyfrowej przez jednocyfrową.
Klasa 3
Pogłębienie systemu pozycyjnego
. . . Pojęcie liczby jest zdobywane przez dziecko stopniowo. Według danych psychologii eksperymentalnej dziecko przed ukończeniem dwóch lat ma świadomość: „ jeden i jeszcze jeden”, lecz nie „dwa”, ale trzyletnie dziecko ma już
pojęcie liczby „dwa” i liczby „trzy”. A jednak można być przekonanym, że
dziecko wstępując do szkoły nie ma dość jasnego pojęcia liczby, musi je zatem
zdobyć w szkole. Żeby pracą dziecka móc pokierować, trzeba samemu dobrze
sobie zdawać sprawę:
1. jakie pojęcie liczby powinno powstać w umyśle dziecka,
2. jaką drogą ma je zdobyć.
Nie zawadzi przypomnieć, że pojęcie liczby należy do pojęć najbardziej
abstrakcyjnych. Wszak liczba sama przez się w żadnej rzeczy nie istnieje: nie
ma przecież trzech stołów, na które patrzymy, jest tylko stół, stół i stół, a my
ogarniamy je myślą jako coś zjednoczonego jako trzy. Liczba jest to mentalis
unitatum multiplicium (jedność myślowa wielu jedności).
. . . Pojęcie liczby, które dziecko musi zdobyć, powinno dać mu przekonanie, że
liczba oznacza zbiór jedności i zależnie od tego zbioru może być większa lub
186
mniejsza.
. . . Rozróżniać możemy cztery etapy w drodze do zdobycia jasnego pojęcia
liczby. Postępować będziemy w ten sposób.
Etap pierwszy. Na konkretach (np. dzieci, liczmany, tabliczki, rysunki ) do
jednego przedmiotu dodajemy kolejno po jednym, pytając za każdym razem,
ile jest.
Etap drugi. Dajemy dzieciom możliwość bardziej samodzielnej pracy, żądając wyodrębnienia poleconej ilości przedmiotów z całego niezliczonego zbioru,
jak również doliczania do podanej ilości przedmiotów nowej wymienionej ilości
(np. do 3 ołówków doliczyć jeszcze dwa ołówki) i zliczenie całego zbioru.
Po co odwzorowywanie? Powstawanie pojęcia liczby jest ściśle związane z liczeniem, a liczenie jest przecież odwzorowywaniem zbioru za pomocą słów: jeden,
dwa, trzy, cztery, pięć itd. Dlatego przygotowaniem do liczenia powinno być:
a) odwzorowywanie,
b) porównywanie zbiorów (na tym oprze się pojęcie liczby większej i mniejszej),
c) wyodrębnianie cech ilościowych (co wywoła nastawienie umysłowości
dziecka na mierzenie).
Etap trzeci.
Określenie ilości przedmiotów bez uprzedniego liczenia. Już poprzednio powinniśmy byli często tego żądać, ale tu mamy na myśli specjalne ćwiczenie
. . . Potrafią to zrobić w zakresie 2, 3. Jeżeli chcemy, aby odróżniały od razu
większe ilości, do 10 włącznie, to musimy pokazywać je w pewnym stałym
układzie, czyli posiłkować się figurami liczbowymi.
Etap czwarty. Jeżeli dotychczas dzieci składały liczby, doliczając po jednym, po dwa – to ważne jest, aby je rozkładały, poprzez co jeszcze raz mocno
podkreślamy, że liczba oznacza zbiór jedności.
. . . Przy dobrym kierowaniu pracą dziecko zdobywa jednocześnie pojęcia liczby, liczenia, działania na liczbach.
. . . Drugim pojęciem fundamentalnym, które dzieci mają zdobyć w I klasie,
jest pojęcie cyfry.
Czym jest cyfra? Cyfra jest konwencjonalnym znakiem przyjętym na oznaczanie liczb, a więc jest symbolem. Już sama ta odpowiedź wskazuje na trudność pojęcia cyfry. Żeby dziecko mogło dojść do zrozumienia cyfry jako symbolu, trzeba przede wszystkim, żeby nauczyciel tych dwóch słów: liczba – cyfra
używał we właściwym znaczeniu.
. . . Niezmiernej wagi dla całej dalszej nauki arytmetyki jest zdobycie przez
dziecko jasnego pojęcia systemu pozycyjnego. Aby docenić ważność tego momentu, wprost przełomowego w kształceniu matematycznym, trzeba, żeby nauczyciel sam zdawał sobie sprawę, że idzie tu nie tylko o prawidłowe pisanie
187
liczb, ale o grunt, na którym się oprze piśmienne wykonywanie działań, a także
zrozumienie numeracji ułamków dziesiętnych.
. . . Etap pierwszy. Należy związać zapis liczby dwucyfrowej z konkretnym zobrazowaniem tej liczby, przez co uwydatni się, która cyfra oznacza dziesiątki,
a która jedności.
. . . Etap drugi. Paczki i patyczki układały dzieci prawidłowo: po lewej
i po prawej stronie, ale jeszcze sobie tego nie uświadomiły. Teraz właśnie należy doprowadzić do uświadomienia ważności przestrzegania miejsca.
. . . Etap trzeci. Gdy dzieci już zrozumieją, że cyfra, która stoi na pierwszym
miejscu (licząc od prawej ręki ku lewej), oznacza jedności, a cyfra, która stoi
na drugim miejscu ( licząc od prawej ręki ku lewej), oznacza dziesiątki, przechodzimy do najważniejszego momentu – do zrozumienia potrzeby zera.
Cyfry, symbole służące do zapisywania liczb. W powszechnie obecnie stosowanym dziesiątkowym systemie liczbowym używa się następujących cyfr: 0,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , zwanych cyframi arabskimi, gdyż do Europy przenieśli
je w X- XIII w Arabowie, natomiast wcześniej używali ich Hindusi. Używa się
też czasami cyfr rzymskich : I, V, X, L, C, D, M, które są pochodzenia latynoetruskiego ( VI- V w pne ). W najstarszych systemach pisma cyfry były kreseczkami, a wartość liczby odczytywano przez dodanie wszystkich cyfr, później
zaczęto używać specjalnych rysunków. W starożytności i średniowieczu jako
cyfr używano też liter.
Liczba, w pierwotnym znaczeniu wspólna własność zbiorów skończonych
mających tyle samo elementów. Wyodrębnienie takiej wspólnej własności zbiorów jednoelementowych, zbiorów dwuelementowych itd. doprowadziło do określenia pojęcia → liczb naturalnych. Tak rozumiane liczby służą do liczenia
przedmiotów. Potrzeba wyrażenia za pomocą liczb takich wielkości jak długość, ciężar, objętość, pole powierzchni, masa spowodowała rozszerzenie pojęcia liczby i wprowadzenia → liczb wymiernych (po raz pierwszy w Egipcie
w XVII w. p.n.e.), a następnie → liczb niewymiernych (matematycy greccy,
uczniowie Pitagorasa , VI w. p. n. e.). Próby rozwiązywania równań algebraicznych doprowadziły w XVI w. (matematyk włoski G. Cardano) do wprowadzenia → liczb ujemnych, a także do pierwszego w historii matematyki
zastosowania → liczb zespolonych. Wytyczona została w ten sposób droga do
ostatecznego opracowania teorii → liczb rzeczywistych oraz liczb zespolonych.
Szczegółową teorię liczb rzeczywistych opracowali w XIX w. matematycy niemieccy G. Cantor i J.W.R. Dedekind; teoria liczb zespolonych została ugruntowana przez matematyka niemieckiego C. F. Gaussa, który podał geometryczną
188
interpretację tych liczb jako punktów płaszczyzny.
Systemy liczbowe, sposoby zapisywania i nazywania liczb. Rozróżnia
się pozycyjne systemy liczbowe i addytywne systemy liczbowe. W pozycyjnych systemach liczbowych liczbę przedstawia się jako ciąg cyfr, a wartość
poszczególnych znaków cyfrowych zależy od ich położenia (pozycji) względem
sąsiednich znaków cyfrowych. W addytywnych systemach liczbowych wartość
przedstawionej liczby jest sumą wartości jej znaków cyfrowych. Pozycyjnymi
systemami liczbowymi są między innymi: dziesiątkowy system liczbowy, dwójkowy system liczenia (stosowany w elektronicznych maszynach liczących). Na
addytywnym systemie zapisu liczb opierają się następujące systemy liczbowe:
hieroglificzny, rzymski, alfabetyczny.
• Mały Słownik Matematyczny, Wiedza Powszechna, Warszawa 1970,
s. 56.
Dziesiątkowy (dziesiętny) system liczbowy – najbardziej rozpowszechniony → pozycyjny system liczbowy, którego prawzory powstały około V w.
n.e. w Indiach, wziął swój początek prawdopodobnie od liczenia na palcach obu
rąk. Podstawą tego systemu jest liczba 10, będąca jednostką drugiego rzędu;
100 jest jednostką trzeciego rzędu, 1000 czwartego itd.; jednostką pierwszego
rzędu jest 1. Ta sama cyfra ma w dziesiątkowym systemie liczbowym różne
znaczenie w zależności od miejsca, na którym stoi; przedstawia ona zawsze
liczbę jednostek odpowiedniego rzędu. Do zapisania dowolnej liczby w dziesiątkowym systemie liczenia wystarcza dziesięć cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Pierwsza cyfra (licząc od lewej strony) przedstawia liczbę jednostek najwyższego rzędu, mieszczących się w danej liczbie, druga cyfra – liczbę jednostek
rzędu o jeden niższego itd.
Np. 2532 = 2 · 103 + 5 · 102 + 3 · 101 + 2 · 100 = 2 · 1000 + 5 · 100 + 3 · 10 + 2 · 1
Poza dziesiątkowym systemem liczbowym używa się także innych → systemów
liczbowych.
Istotne elementy pojęć:
Cyfra
- umowny znak do zapisywania liczb;
- istnieją inne znaki niż używane przez nas;
- znaki arabskie mają uniwersalny charakter ( są rozpoznawalne na całym
świecie).
Liczba w układzie pozycyjnym
- ciąg cyfr, gdzie wartość poszczególnych znaków cyfrowych zależy od ich
położenia względem sąsiednich znaków.
189
System liczenia pozycyjny i dziesiątkowy:
- każda liczba w nim to ciąg cyfr;
- podstawą jest 10;
- kolejne potęgi liczby 10 nazywamy rzędami:
100 rząd jedności,
101 rząd dziesiątek,
102 rząd setek itd.;
- każde 10 jednostek niższego rzędu tworzy jednostkę następnego, wyższego rzędu (ważne przy rachunku pamięciowym i sposobie pisemnym).
Kształtowanie pojęć cyfra i liczba w I etapie kształcenia
• Według „Wczesnoszkolnej Zintegrowanej Edukacji XXI w. klas I - III”
i podręcznika „Wesoła szkoła”, WSiP S.A., Warszawa 1999.
Klasa 1
W klasie pierwszej jest wiele ćwiczeń wprowadzających liczby 1 do 10, we
wszystkich aspektach oraz rozszerzających zakres liczbowy do 100:
- zliczanie elementów danego zbioru i podpisywanie cyfrą;
- rysowanie, dorysowywanie, skreślanie elementów danego zbioru zgodnie
z podaną cyfrą;
- przeliczanie i porządkowanie zbiorów według ich liczebności (malejąco,
rosnąco);
- porządkowanie liczb, dopisywanie liczb sąsiadujących;
- przyporządkowywanie liczbie miejsca na osi liczbowej;
- przedstawianie liczb za pomocą klocków – kolorowe liczby;
- odczytywanie liczb i zapisywanie słowami;
- porównywanie liczb;
- obliczenia pieniężne, wagi, długości;
- zapisywanie liczb z pomocą tabelek pozycyjnych;
- wskazywanie w liczbach cyfr jedności, dziesiątek;
- rozkładanie liczb na dziesiątki, na jedności.
Klasa 2
- porównywanie;
190
- rozwiązywanie zadań z treścią.
- działania;
- porządkowanie;
- oś liczbowa;
- działania związane z: złotówkami i groszami, kilogramami i dekagramami, litrami.
Wprowadzenie znaków rzymskich do 20.
- oś liczbowa;
- mnożenie, dzielenie.
- działania związane z jednostkami długości;
- działania związane z jednostkami masy;
- wskazywanie cyfr w rzędzie dziesiątek, w rzędzie jedności;
- zapisywanie liczb za pomocą cyfr i słowami;
- działania związane ze złotówkami i groszami;
- dopisywanie brakujących liczb w danym ciągu liczb np. 48. . . 62, 85. . . 76;
- liczenie pełnymi dziesiątkami;
- rozwiązywanie zadań z treścią;
- rozwiązywanie równań;
- kolejność wykonywania działań;
- działania z wykorzystaniem jednostek czasu: godzinny i minuty.
- dodawanie i odejmowanie z przekroczeniem progu;
- tabliczka mnożenia i dzielenia.
Liczba 100 jako pierwsza liczba trzycyfrowa; liczby trzycyfrowe:
191
- uzupełnianie tabelek systemu dziesiątkowego i pozycyjnego;
- porządkowanie liczb;
- zapisywanie liczb cyframi i słownie;
- wskazywanie pełnych setek, pełnych dziesiątek w danej liczbie;
- porządkowanie liczb według reguły: o 1 większa, o 10 większa;
- zapisywanie podanych liczb w tabeli systemu dziesiątkowego i pozycyjnego i porządkowanie wzrastająco;
- z wykorzystaniem tabeli układu dziesiątkowego i pozycyjnego dodawanie i odejmowanie w rzędzie tylko setek, tylko dziesiątek, tylko jedności.
Klasa 3
Utrwalenie – liczby jednocyfrowe, dwucyfrowe, trzycyfrowe:
- rozszerzenie liczenia do 1000;
- arabski i rzymski sposób zapisywania liczb;
- wykorzystanie tabelek układu dziesiątkowego i pozycyjnego przy dodawaniu i odejmowaniu w zakresie 100 i 1000;
- wykorzystanie jednostek długości;
- mnożenie i dzielenie;
- dodawanie i odejmowanie liczb trzycyfrowych bez przekraczania progu
dziesiątkowego.
Liczenie w zakresie do 10 000:
- wykorzystanie tabelek układu dziesiątkowego i pozycyjnego do odczytywania i zapisywania liczb;
- mnożenie i dzielenie pełnych dziesiątek i setek;
- wykorzystanie jednostek długości i masy;
- wprowadzenie dodawania sposobem pisemnym z wykorzystaniem tabeli;
- przygotowanie do odejmowania sposobem pisemnym z wykorzystaniem
tabeli;
- wskazywanie w liczbie cyfry danego rzędu;
- przygotowanie do dzielenia sposobem pisemnym.
Poznanie liczb w zakresie 100 000 i 1 000 000:
- wykorzystanie tabeli układu dziesiątkowego i pozycyjnego do odczytywania liczb, zapisywania liczb, wskazywania cyfr w danych rzędach;
- oś liczbowa;
- mnożenie i dzielenie pełnych setek, pełnych tysięcy.
192
• Na podstawie programu „Moja szkoła” i podręczników z ćwiczeniami
do kształcenia zintegrowanego „Moja szkoła” Wydawnictwo MAC Edukacja
S.A., Kielce 2002.
Klasa 1
Liczby od 1 do 9 są wprowadzane kolejno według podobnego schematu. Podejmowane są praktyczne czynności prowadzące do pojęcia liczby naturalnej w
aspekcie miarowym, następnie kardynalnym i porządkowym. Następuje łącznie liczebnika porządkowego z liczebnikiem głównym oraz wiązanie aspektu
miarowego liczby z aspektami kardynalnym i porządkowym.
Następnie znajdziemy:
- ćwiczenia z zapisywaniem cyfr;
- rozkład liczby na składniki;
- ćwiczenia z poznanymi już liczbami;
- porównywanie i porządkowanie.
Po zapoznaniu uczniów z liczbami od 1 do 9, wprowadzona zostaje liczba zero
oraz liczby dwucyfrowe poprzez:
- ćwiczenia w określaniu liczności zbioru;
- ćwiczenia w pisaniu liczb od zera do dziewięć;
- liczba zero w ciągu liczbowym;
- liczba 10 jako pierwsza liczba dwucyfrowa;
- ćwiczenia z poznanymi liczbami;
- wprowadzenie liczby dziesięć i jej zapisu;
- określenie pojęcia cyfra;
- określenie pojęcia liczba jednocyfrowa, liczba dwucyfrowa;
- liczba 10 w aspektach porządkowym i miarowym;
- porządkowanie i porównywanie liczb w zakresie 10;
- rozkład liczby 10 na składniki;
- liczby od 0 do 10; wprowadzenie znaków < i >:
- ćwiczenia w porządkowaniu i porównywaniu liczb w zakresie 10;
- porównywanie liczb z użyciem znaków: <, =, >;
- liczby od 11 do 20:
193
- aspekt kardynalny, porządkowy, miarowy;
- ćwiczenia kształcące zrozumienie systemu dziesiątkowego i pozycyjnego;
- rozpoznawanie i nazywanie poznanych liczb;
- zapisywanie poznanych liczb;
- rozszerzenie zakresu liczbowego do 25:
- przypomnienie o systemie dziesiątkowym i pozycyjnym;
- wartość cyfry w zależności od pozycji w zapisie liczby;
- liczenie do 20 według podanego warunku; zwrócenie uwagi na podobieństwa w pierwszej i drugiej dziesiątce;
- określanie dziesiątek, jedności danej liczby;
- liczby od 20 do 60; pełne dziesiątki;
<, =, >;
- liczby od 60 do 100; nazywanie, zapisywanie, wskazywanie pełnych
dziesiątek;
- znak liczby i nazwa liczby;
<, =, >;
- zapis liczby dwucyfrowej:
- liczenie do 100 według podanego warunku;
- kształtowanie rozumienia zapisu dowolnej liczby dwucyfrowej;
- numeracyjne przykłady dodawania i odejmowania liczb dwucyfrowych;
- wskazywanie dziesiątek, jedności.
194
Klasa 2
- cyfry;
- liczby 10 do 20; wskazywanie dziesiątek, jedności; porównywanie;
- kształtowanie umiejętności przedstawiania liczb za pomocą osi liczbowej;
- wskazywanie liczb większych i mniejszych;
- przedstawianie liczby jako sumy dwóch lub więcej składników
- wprowadzenie symbolu literowego niewiadomej liczby;
- cyfry rzymskie od I do XII; porównywanie liczb zapisanych cyframi rzymskimi i arabskimi; zapisywanie liczb cyframi rzymskimi; praktyczne zastosowanie cyfr rzymskich;
- rozkład liczby na jednakowe składniki – przygotowanie do dobrego rozumienia iloczynu;
- liczenie do 100 dziesiątkami;
- liczba 100; wskazywanie cyfry setek, cyfry dziesiątek, cyfry jedności;
- porównywanie liczb w zakresie 100 z wykorzystaniem konkretów, osi liczbowej, rysunków, znaków nierówności;
- porządkowanie liczb dwucyfrowych według podanego warunku;
- kształtowanie umiejętności zamiany dziesiątek na jedności i odwrotnie;
- rozszerzenie zakresu liczbowego do 1000;
- liczenie do 1000 pełnymi setkami, pełnymi dziesiątkami;
- poprawne odczytywanie i zapisywanie słowami liczb trzycyfrowych;
- wskazywanie cyfry setek, cyfry dziesiątek, cyfry jedności w liczbach trzycyfrowych;
- doliczanie i odliczanie według podanego warunku w zakresie 1000;
195
- porównywanie liczb w zakresie 1000 z wykorzystaniem konkretów, osi
liczbowej, rysunków, znaków nierówności.
Klasa 3
- liczby w zakresie 100 w systemie dziesiątkowym;
- porównywanie i porządkowanie liczb trzycyfrowych;
- rozszerzenie zakresu liczbowego do 10 000;
- porównywanie i porządkowanie liczb w zakresie 10 000.
Kształtowanie pojęć cyfry i liczby w klasach 4 – 6
• Według MATEMATYKA 2001, podręcznik dla klasy 4, klasy 5, klasy 6
szkoły podstawowej , WSiP S.A., Warszawa 1999 i późniejsze wydania.
Klasa 4
Moduł 1 - ćwiczenia utrwalające
Ten moduł porządkuje doświadczenie i dotychczasową wiedzę ucznia o liczbie naturalnej. Poprzez Starter i ćwiczenia mamy doprowadzić do rozróżniania
pojęć: cyfra, liczba. Ćwiczenia i polecenia są tak sformułowane, aby uczeń:
- miał świadomość budowania liczb za pomocą ciągu cyfr;
- rozróżniał i nazywał rzędy w danej liczbie;
- zapisywał i odczytywał liczby wielocyfrowe;
- budował liczby wielocyfrowe o określonych własnościach, wykorzystując
wiedzę o pozycyjności i dziesiątkowości stosowanego systemu liczenia.
W ramce do zapamiętania jest słowna informacja o cyfrach.
Moduł 2 pokazuje inny system liczenia i zapisywania liczb, mianowicie
cyfry rzymskie. Jest to kontrprzykład do naszego pozycyjnego i dziesiątkowego.
Pokazanie innego systemu ułatwia lepsze zrozumienie stosowanego przez nas
systemu.
W następnych modułach uczeń wykonuje działania pamięciowo, pisemnie
i za pomocą kalkulatora, wykorzystując wiedzę o pozycyjności i dziesiątkowości
naszego systemu liczenia.
Zbiory liczbowe jakie uczeń poznaje:
Klasa 4
- liczby naturalne (kolejność działań, łączność i przemienność dodawania,
rozdzielność mnożenia i dzielenia względem dodawania i odejmowania,
porównywanie różnicowe i ilorazowe, wielokrotności i dzielniki, cechy podzielności przez 2, 5, 4, 10, 100, oś liczbowa, wykonywanie działań);
196
- ułamki zwykłe (określone jako część wielkości, jako iloraz).
Klasa 5
- liczby naturalne (cechy podzielności przez 3 i 9, liczby pierwsze i złożone);
- liczby ujemne, liczby przeciwne;
- ułamki zwykłe.
Klasa 6
- liczby całkowite (dodawanie, odejmowanie);
- ułamki zwykłe, liczby odwrotne (mnożenie i dzielenie);
- liczby dziesiętne;
- liczby wymierne.
• Według: MATEMATYKA 4, 5, 6, GWO, Gdańsk 2005.
Klasa 4
- Systemy zapisywania liczb ( za pomocą kresek, hieroglify egipskie, cyfry
hinduskie, cyfry rzymskie).
- System dziesiątkowy:
- wycinki z gazet pokazujące zapisywanie wielkich liczb;
- przypomnienie nazw kolejnych rzędów w liczbach pięciocyfrowych;
- sposoby odczytywania liczb powyżej miliona; przykłady ich zastosowania (liczba ludności Ziemi, odległości w Kosmosie);
- ćwiczenia w odczytywaniu i zapisywaniu liczb słowami i cyframi,
zadania z treścią;
- algorytmy działań pisemnych (wykorzystanie wiedzy o pozycyjnym
i dziesiątkowym systemie liczenia).
- System rzymski:
- przykłady zastosowania;
- cyfry rzymskie;
- zapisywanie i odczytywanie liczb zapisanych cyframi rzymskimi;
- ćwiczenia z zastosowaniem cyfr rzymskich.
- Liczby naturalne:
- wielokrotności i dzielniki;
- cechy podzielności przez 2, 4, 5, 10, 100, 3 i 9;
197
- liczby pierwsze i złożone; rozkład liczby na czynniki pierwsze.
Jednocześnie uczeń poznaje ułamki zwykłe, ułamki dziesiętne oraz liczby ujemne i jako podsumowanie liczby wymierne.
Ułamki zwykłe
klasa 4
- podział na równe części, przykłady ułamków 12 , 14 , 23 ;
- ilustracja graficzna ułamków;
- przykłady ułamków na osi liczbowej;
- równość ułamków, skracanie i rozszerzanie;
- porównywanie ułamków o jednakowych mianownikach, o jednakowych
licznikach;
- liczby mieszane i ułamki niewłaściwe;
- ułamek jako iloraz;
- dodawanie i odejmowanie ułamków o jednakowych mianownikach;
- mnożenie ułamków zwykłych przez liczby naturalne;
- obliczanie ułamka danej liczby.
klasa 5
- porównywanie ułamków o różnych mianownikach i licznikach;
- dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach;
Ułamki dziesiętne
klasa IV
- przykłady zapisu cen, wagi itp.;
- przykłady zapisywania ułamków dziesiętnych;
- zamiana ułamków dziesiętnych na zwykłe nieskracalne;
- zaznaczanie na osi liczbowej;
- nazywanie kolejnych rzędów po przecinku;
- zapisywanie i odczytywanie;
- porównywanie;
- zapisywanie wyrażeń dwumianowanych w postaci ułamka dziesiętnego;
- dodawanie i odejmowanie liczb dziesiętnych sposobem pisemnym;
- mnożenie i dzielenie liczb dziesiętnych przez 10, 100, 1 000.
198
klasa 5
- mnożenie i dzielenie ułamków dziesiętnych;
- wprowadzenie określenia: procent;
- obliczanie procentu danej wielkości.
klasa 6
- rozwinięcie dziesiętne ułamka zwykłego;
- obliczanie wielkości, gdy znany jest jej procent;
- obliczanie jakim procentem jednej wielkości jest druga.
Liczby ujemne
klasa V
- przykłady ukazujące potrzebę wprowadzenia;
- porównywanie z wykorzystaniem wskazań termometrów;
- oś liczbowa z liczbami ujemnymi;
- liczby przeciwne;
- wprowadzenie określenia: liczby całkowite;
- dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie;
Liczby wymierne
klasa VI
- powtórzenie dotychczasowej wiedzy o liczbach całkowitych;
- oś liczbowa i zaznaczanie na niej liczb całkowitych i ułamków;
- określenie pojęcia „wartość bezwzględna”;
- ćwiczenia w wskazywaniu wartości bezwzględnej podanych liczb;
- dodawanie, odejmowanie mnożenie i dzielenie liczb wymiernych.
Autorki pracują w ZSI oraz w SP nr 12 w Chorzowie
[email protected]
199
Jolanta Hajda, Aneta Kanafa, Zofia Miczek, Anna Moj, Jolanta
Solga, Ewa Szczupider-Olesińska, Jadwiga Zioło (Chorzów)
„Geometria jest, jak do tej pory, jedyną nauką,
jaką Bogu spodobało się podarować
rodzajowi ludzkiemu.”
Thomas Hobbes
Streszczenie
Opracowanie to składa się z dwóch części. W pierwszej podajemy szesnastowieczne określenie wielokątów (trójkątów) a następnie, jak pojęcie to jest sformułowane
obecnie w encyklopedii. W części drugiej przedstawiamy najważniejsze elementy pojęcia obwodu wielokąta i przechodzimy do pokazania jak pojęcie to jest realizowane
w klasach 1 – 3, według podręcznika „Wesoła szkoła”, WSiP, „Moja szkoła”, wyd.
MAC , oraz w klasach 4 – 6, według podręczników Matematyka 2001, wyd. WSiP
i Matematyka 4, 5, 6 GWO Gdańsk 2005.
• Fragmenty tekstu (z transkrypcji) dzieła Stanisława Grzempskiego (15241570 ). Fragment pochodzi z książki „Matematyka i jej historia”, Witold Więsław, Wydawnictwo Nowik Opole 1997, s. 283.
„ . . . O figurach
Figur tych, co na równi bywają, jest początkiem ta, co jest o trzech stronach: albowiem dwie stronie placu nie zamykają, a figura ma zamknąć albo
określić plac. A tak początek figur jest ta, co jest o trzech stronach, którą łacińskim językiem zowią triangulum, a my ją możem zwać klinem. Triangulus
tedy albo klin nie każdy jest jednaki. Albowiem jeden jest co ma wszystkie trzy
strony równe, a taki zową po grecku hifopleuros. Drugi jest, co dwie stronie
tylko ma równe, a ten zową hifoskeles. A trzeci jest, co wszystkie trzy strony
ma nierówne, a zową ji skalenos. Drugi jeszcze rozdział ich jest, klin niektóry
jest , co ma kąt jeden prosty, bo dwóch prostych nie może mieć. Drugi jest, co
ma kąt jeden tępy, albowiem drugiego tępego nigdy mieć nie może. A trzeci
jest, co wszytki trzy kąty ma kończate.”
• Encyklopedia Szkolna – Matematyka WSiP, 1989, s. 309.
. . . Wielokąt, wielobok, n-kąt, n-bok, domknięta, płaska figura geometryczna
ograniczona łamaną zwyczajną zamkniętą o n-bokach, gdzie n 3.
Suma długości boków wielokąta nazywa się obwodem wielokąta.
Istotne elementy pojęcia obwodu wielokąta
- obwód to brzeg figury;
- obliczanie długości obwodu, jest indywidualne dla danej figury, więc zapamiętujemy sposób jego obliczania;
- długość obwodu, to liczba zależna od przyjętej jednostki długości; (np.
trójkąt równoboczny o bokach długości 2,5 cm. Jego obwód jest liczbą
7,5 w cm; 75 w mm; 0,75 w dm);
Realizowanie pojęcia obwodu wielokąta
w I etapie kształcenia
• Na podstawie programu i podręcznika „Wesoła szkoła”, WSiP S. A.,
Warszawa 2004.
Klasa 1
W klasie I są ćwiczenia przygotowujące do określenia pojęcia obwodu wielokąta, nie wprowadza się jednak tego pojęcia. Ćwiczenia dotyczą:
- rozpoznawania i nazywania figur geometrycznych, zabawa logiczna
„Jaką jestem figurą”;
- badania i opisywania cech figur geometrycznych;
- układania z figur geometrycznych kompozycji, np. domek, ptak;
- mierzenia długości odcinków.
Klasa 2
W klasie II są ćwiczenia przygotowujące do określenia pojęcia obwodu wielokąta, lecz nadal nie wprowadza się tego określenia. Ćwiczenia dotyczą:
- rozpoznawania figur geometrycznych;
- nazywania wielokątów ze względu na liczbę boków;
- wprowadzenia określenia odcinka;
- mierzenia długości odcinka;
- wprowadzenia określeń: wielobok, wielokąt, boki, kąty;
- wskazywania ilości boków i kątów w danym wielokącie;
- obliczania sumy długości boków trójkąta;
- obliczania sumy długości boków prostokąta;
- obliczania sumy długości boków wielokąta.
202
Klasa 3
W klasie III wprowadza się określenie obwodu figury geometrycznej płaskiej: długość brzegu figury geometrycznej nazywamy jej obwodem. Nauczyciel
ma do dyspozycji tablice demonstracyjne:
- obwód wielokąta, trójkąta;
- obwód kwadratu i prostokąta.
Ćwiczenia dotyczą:
- rysowania odcinków o podanej długości i mierzenia długości odcinków;
- wprowadzenia określenia obwodu;
- sposobów obliczania obwodów wielokątów;
- obliczeń obwodów wielokątów;
- rozwiązywania zadań z treścią z zastosowaniem obliczania obwodów wielokątów.
Wnioski:
- przygotowanie do zrozumienia określenia obwodu wielokąta i umiejętności jego obliczenia rozpoczyna się od klasy I;
- określenie pojęcia obwodu figury geometrycznej płaskiej jest w klasie III;
- ćwiczenia zawarte w kartach pracy klasy III pozwalają utrwalić to pojęcie.
• Na podstawie programu i podręcznika „Moja szkoła”, Wydawnictwo
Klasa 1
W klasie 1. wprowadza się pojęcie prostokąta poprzez:
- rozróżnianie i nazywanie figur geometrycznych: prostokąt i kwadrat;
- praktyczne poznawanie kształtu i nazw: prostokąt, kwadrat;
- rozpoznawanie prostokątów i kwadratów w zbiorze różnych figur płaskich;
- rozpoznawanie kształtu prostokąta i kwadratu w otoczeniu;
- obserwowanie modeli i rysunków prostokąta i kwadratu w różnym położeniu na płaszczyźnie;
- układanie „posadzki” z prostokątów;
- określanie wspólnych cech prostokąta i kwadratu.
203
Przygotowuje się ucznia do wprowadzenia pojęcia obwodu prostokąta poprzez ćwiczenia w obliczaniu łącznej długości boków prostokąta i kwadratu.
W klasie 1 wprowadza się również pojęcie trójkąta poprzez ćwiczenia, które obejmują:
- rozpoznawanie trójkątów wśród innych figur;
- tworzenie i rysowanie modeli trójkątów za pomocą patyczków, plasteliny,
geoplanu;
- rozpoznawanie kształtu trójkąta w otoczeniu;
- określanie cech trójkąta służy przygotowaniu pojęcia obwodu trójkąta.
W klasie 1 ćwiczenia obejmują: rozpoznawanie kształtu prostokąta, kwadratu i trójkąta w otoczeniu, na modelach, rysunkach oraz praktyczne badanie
ich własności.
Klasa 2
Ćwiczenia koncentrują się na badaniu własności prostokąta. Wykorzystuje
się własności boków do wprowadzenia pojęcia odcinków równoległych i prostopadłych. Ćwiczenia ukazujące własności prostokąta na poziomie opisowym
są w reprezentacji enaktywnej, ikonicznej, symbolicznej.
Ćwiczenia związane z obliczaniem łącznej długości boków figur płaskich
przygotowują do wprowadzenia pojęcia obwodu. Ćwiczenia związane z badaniem własności trójkąta:
- rozróżnianie i nazywanie poznanych figur płaskich na modelach;
- rysowanie i rozpoznawanie wskazanych figur na rysunkach;
- dostrzeganie poznanych figur w innych figurach;
- praktyczne odkrywanie własności trójkątów za pomocą modeli i rysunków.
Ćwiczenia w klasie 2. są ciekawe ale zamieszczone są tylko w części V.
Klasa 3
Pojęcie prostokąta jest nadal utrwalane. Pojawia się obliczanie obwodu
prostokąta wybranym sposobem. Ćwiczenia dotyczące prostokąta i kwadratu:
- rysowanie prostokąta i innych figur geometrycznych zgodnie z podanymi
warunkami;
- wskazywanie prostokątów poprzez badanie kątów prostych w danej figurze;
- rysowanie prostokątów wykorzystując wiedzę o łamanych zamkniętych;
- praktyczne badanie własności prostokątów z wykorzystaniem modeli
i rysunków;
204
- własności boków prostokąta i kwadratu;
- obliczanie obwodu prostokąta i kwadratu; różne sposoby obliczania;
- zastosowanie różnych sposobów obliczania obwodów w rozwiązywaniu
praktycznych problemów;
- rozwiązywanie zadań z treścią z zastosowaniem obliczania obwodu prostokąta.
Pojęcie trójkąta jest nadal utrwalane. Pojawia się obliczanie obwodu trójkąta. Ćwiczenia zaczynają się od przypomnienia wiadomości o figurach płaskich z klasy I i II. Ćwiczenia obejmują:
- badanie własności trójkątów;
- obliczanie obwodu danego trójkąta;
- rozwiązywanie zadań z zastosowaniem obliczania obwodu trójkąta;
- obliczanie obwodu trójkąta, gdy znane są długości jego boków;
- obliczanie długości jednego z boków trójkąta, gdy znane są długości pozostałych.;
W podręcznikach „Moja szkoła” pojęcie obwodu figury wprowadzone jest
na przykładzie prostokąta i trójkąta. W klasie I i II są ćwiczenia przygotowujące do wprowadzenia tego pojęcia.
Realizowanie pojęcia obwodu wielokąta w klasach 4 – 6
• Według: MATEMATYKA 2001, WSiP S.A., Warszawa 1999 i późniejsze
wydania.
Klasa 4
Ćwiczenia przygotowujące do wprowadzenia określenia pojęcia obwodu
wielokąta, to ćwiczenia na obliczanie długości łamanej.
Wprowadzenie pojęcia obwodu: obwód prostokąta jako suma długości
jego boków, obwód dowolnego wielokąta jako suma długości wszystkich jego
boków, różne sposoby obliczania długości obwodu prostokąta.
- obliczanie długości siatki potrzebnej do ogrodzenia działki o podanych
wymiarach;
- obliczanie długości taśmy potrzebnej do oklejenia blatu biurka w kształcie prostokąta o podanych wymiarach;
- obliczanie długości obwodów prostokątów o podanych długościach boków;
- obliczanie długości boków kwadratu o podanej długości jego obwodu;
205
- poszukiwanie długości boków prostokąta o podanej długości jego obwodu;
- obliczanie długości boku prostokąta o danej długości obwodu i jednego
z boków;
- ćwiczenia badające zmianę długości obwodu prostokąta w zależności od
zmian długości jego boków.
zadań.
Klasa 5
- obliczanie obwodu trójkątów różnobocznych, równoramiennych, równobocznych o danych długościach boków;
- obliczanie długości boków trójkąta równoramiennego o danym obwodzie,
badanie zależności między długościami jego boków;
- rysowanie trójkątów o danym obwodzie i długości podstawy lub ramienia;
- rysowanie trójkątów równobocznych o danym obwodzie;
- obliczanie obwodu równoległoboku o danych długościach boków;
- obliczanie długości boku rombu o danym obwodzie.
zadań.
Klasa 6
Wprowadza się algebraiczny zapis obwodu prostokąta i kwadratu. Obwód
kwadratu o boku długości a to 4a, obwód prostokąta o bokach długości a, b
to 2a + 2b.
Wykorzystanie i utrwalenie pojęcia obwodu figury geometrycznej pojawia
się przy obliczaniu pól figur:
- obliczanie pola rombu o danym obwodzie i wysokości;
- obliczanie pola trójkąta o danym obwodzie i zależności między długościami boków.
Wykorzystanie obwodu figur w zadaniach przygotowujących do sprawdzianu po klasie 6.
• MATEMATYKA 4, 5, 6, Małgorzata Dobrowolska, Piotr Zarzycki, GWO,
Gdańsk 2005.
206
Klasa 4
Ćwiczenia przygotowujące:
- powtórzenie o jednostkach długości;
- mierzenie długości odcinków oraz obliczanie długości łamanej;
- rysowanie łamanych o podanych długościach boków.
Określenie obwodu: suma długości wszystkich boków wielokąta
- obliczanie obwodu wielokątów, gdy długości boków podane są w tych
samych jednostkach;
- obliczanie obwodu wielokątów, gdy długości boków podane są w różnych
jednostkach;
- obliczanie obwodu wielokątów, gdy podane są zależności między długościami boków.
Stosowanie w klasach 5 i 6
- obliczanie długości boków, gdy znana jest długość obwodu;
- rozwiązywanie zadań z treścią (obliczanie długości płotu, listew, obszyć
materiału . . . );
- obliczanie długości krawędzi prostopadłościanów, sześcianów, graniastosłupów.
Kontynuacja:
- pojęcie obwodu figury geometrycznej i sposoby jego obliczania
oraz szacowania są na każdym następnym etapie kształcenia.
Autorki pracują w ZSI, w Zespole Szkół Sportowych nr 1
oraz w SP nr 12 w Chorzowie
207
PRAKTYCZNE PRZYKŁADY LEKCJI
Grażyna Rygał (Częstochowa)
System dziesiątkowy – cyfry i liczby
Scenariusz lekcji w klasie 4
Streszczenie
Przedstawiam dokładny opis lekcji, jej cele i sposób prowadzenia. Uwzględnione
są różne metody pracy i różne formy pracy (indywidualna i zbiorowa). Omawiam
przebieg zajęć i dokonuję pewnej analizy działań.
Temat lekcji: System dziesiątkowy - cyfry i liczby.
Cel ogólny: rozumienie w praktyce systemu dziesiątkowego.
Cele szczegółowe: uczeń potrafi:
- zapisywać liczby w układzie dziesiątkowym;
- poprawnie odczytywać liczby;
- operować systemem dziesiątkowym w systemie monetarnym;
- szacować wynik w zakresie 100 ;
- operować systemem dziesiątkowym stosując jednostki długości.
Metoda pracy: pogadanka, praca w grupach, pokaz.
Środki dydaktyczne: guziki, monety i banknoty, modele 1m, 1 dm, 1cm,
nakrętki, gry, spinacze.
Przebieg lekcji
1. Powitanie i czynności organizacyjne. Podział uczniów na 2-osobowe zespoły.
2. Praca w zespołach - uczniowie otrzymują guziki, nakrętki, spinacze, elementy plastikowe, gry. Wszędzie jest około 100 elementów. Zadaniem
uczniów jest patrząc na wysypane elementy oszacować ile ich może być.
Następnie uczniowie liczą dokładnie ilość elementów i porównują z pierwotnym szacunkiem. Zadanie to ma na celu sprawdzenie czy uczniowie
licząc elementy - podświadomie stosują system dziesiątkowy (grupują
elementy po 10), czy może mają jakieś inne sposoby liczenia.
3. Wspólna zabawa z systemem monetarnym. Uczniowie układają 10 monet
1 groszowych i zauważają, że tworzą one 10 groszy, następnie układają
Grażyna Rygał
10 monet 10 groszowych i powstaje 1 zł, i tak kolejno do 100 zł. Zabawa
ta przybliża w sposób naturalny system dziesiątkowy. Uczniowie samodzielnie na tablicy wypisują związki typu:
10 x 1 gr to 10 gr (moneta);
10 x 10 gr to 100 gr a to 1 zł (moneta);
10 x 1zł to 10 zł (banknot);
10 x 10 zł to 100 zł (banknot).
Dzieci doskonale operują pieniędzmi.
4. Wspólne układanie kartoników grubości 1 mm w stos o grubości 1 cm,
a następnie pokazanie kwadratowych kartonów o boku 10 cm, czyli 1
decymetra. Na koniec ułożenie z 10 kartonów jednego metra. Uczniowie
po każdym etapie zapisują na tablicy następujące zależności:
• 10 x 1 mm = 10 mm to 1 cm;
• 10 x 1 cm = 10 cm to 1 dm;
• 10 x 1 dm = 100 cm to 1 m.
Celem tego zadania jest utrwalenie jednostek długości, ale też kształcenie u uczniów wyobraźni ile to jest np. 1 dm, jak w praktyce – naturze
wygląda przedmiot o takim wymiarze.
5. Uczniowie teraz w naturalny sposób przechodzą do systemu dziesiątkowego poprzez odczytanie kilku liczb dwu i trzycyfrowych. Zapisujemy
te liczby i głośno odczytujemy 25 i 179. Omawiamy znaczenie cyfr na
kolejnych miejscach. Szczególną uwagę zwracamy na prawidłowe wypowiadanie słowa - dwadzieścia a nie „dwajścia” jak często słyszymy. Dla
utrwalenia systemu dziesiątkowego zapisujemy:
1 – jeden;
10 x 1 = 10 (dziesięć) – jedna dziesiątka;
10 x 10 = 100 (sto) – jedna setka;
10 x 100 = 1000 (tysiąc) - jeden tysiąc.
Rozwiązywanie zadań
Zadanie 1. Ile liczb dwucyfrowych można ułożyć z cyfr 5 i 8. Podaj przykłady.
Uczniowie najczęściej podadzą 58 i 85 a mogą być jeszcze 55 i 88. Tu
przypominamy, że do zapisywania liczb używamy cyfr od 0 do 9, zwracając
uwagę, że cyfra 0 nie może być na początku liczby.
222
Scenariusz lekcji w klasie 4
Zadanie 2. Ile liczb trzycyfrowych można ułożyć z cyfr 2, 5 i 7, jeśli cyfry nie
mogą się powtarzać w jednej liczbie?
Można tu zwrócić uwagę, czy uczniowie robią to spontanicznie czy systematycznie np. cyfra 2 na początku, itd.
Odp.: 257, 275, 527, 572, 725, 752.
Zadanie 3. Napisz największą liczbę trzycyfrową taką, żeby jej wszystkie cyfry
były różne.
To liczba 987. Z tym zadaniem uczniowie nie mają kłopotu, ale ono przygotowuje ich do zadania 4.
Zadanie 4. Napisz najmniejszą liczbę trzycyfrową taką, żeby jej wszystkie cyfry
były różne.
Zadanie to świetnie uczy myślenia, większość osób nieświadomie sugerując
się zadaniem 3 podaje 123 a to nie jest prawidłowa odpowiedź. Prawidłowa
odpowiedź to 102.
Zadanie 5. Pomyślałam liczbę dwucyfrową. Dodałam do niej jeden i otrzymałam liczbę trzycyfrową. Jaką liczbę pomyślałam?
Prawidłowa odpowiedź to 99. Problem polega na wyobrażeniu sobie, że
dodanie jedności powoduje powstanie nowego rzędu – setek.
Zadanie 6. Krzyś wymyślił zagadkę: Mam w głowie liczbę dwucyfrową. Obojętnie, czy dodaję do siebie te cyfry, czy mnożę je przez siebie zawsze wychodzi
mi to samo. Jaka to liczba?
Zadanie to sprawdza czy uczniowie dobrze rozumieją cyfry w liczbie, zatem
wiedzą, co to suma cyfr liczby. Odpowiedź prawidłowa 22.
Zadanie 7. Marysia ponumerowała strony w swym 16-kartkowym zeszycie. Ile
razy użyła każdej z cyfr.?
Uczniowie wypisują wszystkie numery stron, muszą uświadomić sobie różnicę między stroną a kartką. Wypisujemy liczby od 1 do 32. Po przeanalizowaniu cyfr otrzymujemy:
cyfry 0 użyto 3 razy;
cyfry 9 użyto 3 razy.
223
Grażyna Rygał
Różnorodność użytych zadań pozwala uczniowi nie nudzić się na lekcji,
a zarazem w ciekawej formie utrwalić system dziesiątkowy.
Zadania od 1 do 7 pochodzą z książki: Rozwijanie myślenia matematycznego młodszych uczniów Doroty Klus-Stańskiej i Aliny Kalinowskiej wydawnictwa Akademickiego „Żak”, Warszawa 2004.
Autorka pracuje w Instytucie Matematyki i Informatyki
Akademii im. Jana Długosza w Częstochowie
[email protected]
224
PRAKTYCZNE PRZYKŁADY LEKCJI
Anna Ząbkowska-Petka (Chorzów)
Sprawdzian podstawowych umiejętności
ucznia klasy czwartej na początku roku
szkolnego 2008/2009
Drogi uczniu
Od 1 września jesteś uczniem klasy 4. Zobaczymy, co pozostało w Twojej pamięci z lat nauki w klasach 1-3. Pomoże nam w tym ten sprawdzian.
- Pisz starannie i po zastanowieniu się.
- Wyniki obliczeń i odpowiedzi wpisuj we właściwe miejsca.
- 45 minut powinno Ci wystarczyć.
Powodzenia!
Wpisz swoje imię i nazwisko
....................................................
Wpisz dzisiejszą datę zapisując miesiąc znakami rzymskimi
..............................
Zad 1. Wylicz w pamięci i wynik wpisz do prostokącika.
Zad 2. Wylicz w pamięci i wynik wpisz do prostokącika.
Zad 3. Oblicz dowolnym sposobem i wynik wpisz do prostokącika:
Zad 4. Liczby 5 , 7 , 12 zgubiły się. Wpisz je w odpowiednie miejsca.
Zad 5. Weź kolor niebieski i żółty. Zamaluj na niebiesko wszystkie prostokąty
a na żółto wszystkie trójkąty.
Zad 6. Zmierz linijką długość odcinka i uzupełnij zdanie:
Zad 7. Narysuj kwadrat o boku długości 3cm. Oblicz obwód tego kwadratu.
226
Sprawdzian podstawowych umiejętności ucznia klasy czwartej
Zad 8. Kasia wstała o godzinie 6:40. Poranna toaleta zajęła jej 15 minut. Na
zjedzenie śniadania Kasia potrzebowała 20 minut a na dojazd do szkoły 30
minut. O której godzinie Kasia była w szkole?
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
Zad 9. Wzorując się na podanym przykładzie, w prostokąciki wpisz odpowiednie liczby i oblicz :
przykład: 5 · 23 = 5 · (20 + 3) = 5 · 20 + 5 · 3 = 100 + 15 = 115
Zad 10. Jacek urodził się 17 marca, a Kasia 5 maja tego samego roku. Które
dziecko jest starsze i o ile dni ?
Rozwiązanie
Odpowiedź .............................................................................................................
Zad 11. Suma dwóch liczb wynosi 93. Pierwszy składnik jest o 15 większy od
drugiego. Jakie są składniki tej sumy?
Rozwiązanie
Odpowiedź ..............................................................................................................
Czas pracy ucznia: 45 minut
227
Punktacja
1pkt – Za prawidłowe wpisanie daty
Zad 1. – 6 pkt
Zad 2. – 6 pkt
Zad 3. – 6 pkt
Zad 4. – 2 pkt (za trzy poprawne wpisy 2 pkt, za dwa poprawne wpisy
1pkt)
Zad 5. – 2 pkt (1 błąd – 1 pkt, dwa błędy – 0 pkt)
Zad 6. – 1 pkt
Zad 7. – 2 pkt (rysunek – 1 pkt, obwód – 1 pkt)
Zad 8. – 3 pkt
Zad 9. –2 pkt
Zad 10. – 4 pkt
Zad 11. – 4 pkt
Skala ocen
max 39 – cel
38 – 35 bdb
34 – 29 db
28 – 20 dst
19 – 13 dop
12 – 0 ndst
Autorka pracuje w Zespół Szkół Sportowych nr 1 w Chorzowie
[email protected]
228
SYSTEMY OCENIANIA
Justyna Błaszczyk, Barbara Dziura, Mariola Chemicz, Grażyna
Olearczyk, Mirosława Panak, Joanna Pietrek, Jolanta Solda,
Ewa Torbus (Chorzów)
Punktowy system oceniania
w klasach 1 – 3 szkoły podstawowej
Od Redakcji
Punktowy system oceniania dla klas 1 – 3 SP jest wynikiem długofalowej, wspólnej pracy wieloosobowego zespołu nauczycieli pracujących w klasach 1 – 3 i w klasach
4 – 6. System ten jest obecnie sprawdzany i testowany przez wiele szkół z okręgu Chorzowa. Obejmuje wszystkie przedmioty. W naszej publikacji, poza uwagami ogólnymi,
zamieszczamy jedynie to, co dotyczy matematyki. Zdajemy sobie sprawę, że ocena
z matematyki ucznia w klasach 1-3, zależy od wielu czynników, objętych innymi przedmiotami (jak np. mówienie, pisanie, zdolności plastyczne), ale z uwagi na charakter
tej publikacji oraz bardzo obszerny materiał przedstawiający ten system nie możemy zamieścić całości. O całość systemu można zwrócić się do autorów, których dane
podane są na końcu artykułu, lub do koordynującej całość prac Zosi Miczek.
Punktowy system oceniania w klasach 1 – 3 szkoły podstawowej opracowany został w oparciu o Rozporządzenie Ministra Edukacji Narodowej z dnia
23 sierpnia 2007 w sprawie podstawy programowej wychowania przedszkolnego
oraz kształcenia ogólnego w poszczególnych typach szkół oraz Rozporządzenie
Ministra Edukacji w sprawie warunków i sposobu oceniania, klasyfikowania
i promowania uczniów i słuchaczy z dnia 30 kwietnia 2007 r.
Uwagi ogólne
1. W klasach 1 – 3 szkoły podstawowej śródroczne i roczne oceny klasyfikacyjne zajęć edukacyjnych są ocenami opisowymi. Ocena opisowa nie wynika ze średniej punktów otrzymanych w ciągu semestru, ale jest opisem
poziomu wiadomości, umiejętności, postępów w nauce oraz respektowaniu zasad współżycia społecznego i norm etycznych oraz obowiązków
ucznia określonych w statucie szkoły.
2. W kształceniu zintegrowanym uczniów klas 1 – 3 stosuje się ocenianie
wspomagające – punktowe, które ma charakter ciągły i odbywa się na
bieżąco w klasie, podczas wielokierunkowej działalności ucznia.
Justyna Błaszczyk i inni
3. Przyjmuje się sześciostopniowa skalę punktową:
- 6 punktów otrzymuje uczeń, który opanował wiadomości i umiejętności w stopniu wykraczającym poza wymagania programowe;
- 5 punktów otrzymuje uczeń, który opanował wiadomości i umiejętności na poziomie bardzo wysokim oraz wykazuje aktywną postawę
na lekcji;
- 4 punkty otrzymuje uczeń, który wiadomości i umiejętności opanował na poziomie dobrym, ale wymagają one utrwalenia;
- 3 punkty otrzymuje uczeń, który opanował podstawowe wiadomości
i umiejętności na poziomie średnim, a nabyta wiedza i umiejętności
ucznia wymagają powtórzenia i utrwalenia;
- 2 punkty otrzymuje uczeń, który ma poważne braki w wiedzy,
a jego wiadomości i umiejętności wymagają ponownego opanowania
i utrwalenia;
- 1 punkt otrzymuje uczeń, który nie opanował minimum wiadomości i umiejętności objętych podstawą programową, co utrudnia mu
dalsze zdobywanie wiedzy.
4. W bieżącej ocenie zachowania ucznia stosuje się kody literowe:
wz – wzorowe;
bdb – bardzo dobre;
db – dobre;
ndp – nieodpowiednie ;
ng – nagann.
230
Punktowy system oceniania w klasach 1 – 3 szkoły podstawowej
Wymagania programowe po klasie pierwszej umożliwiające kontynuowanie nauki w klasie programowo wyższej
Edukacja matematyczna
1. Rozumie pojęcie liczby i potrafi zapisać liczby od 0 do 20 za pomocą cyfr.
2. Potrafi przeliczyć „konkrety” od 0 do 20 i od 20 do 0.
3. Rozumie istotę dodawania i odejmowania i potrafi wykonać na konkretach proste obliczenia.
4. Rozumie mnożenie jako dodawanie tych samych składników.
5. Potrafi rozpoznać i nazwać podstawowe figury geometryczne.
6. Nazywa dni tygodnia.
231
Wymagania programowe po klasie drugiej umożliwiające kontynuowanie nauki w klasie programowo wyższej
1. Zna i porządkuje liczby w zakresie 100.
2. Dodaje i odejmuje w zakresie 100.
3. Mnoży i dzieli w zakresie 30.
4. Potrafi sprawdzić wyniki odejmowania za pomocą dodawania i wynik
dzielenia za pomocą mnożenia.
232
5. Mierzy długość, szerokość, wysokość przedmiotów z użyciem różnych jednostek i miarek.
6. Waży przedmioty, odmierza płyny z pomocą różnych naczyń.
7. Rozpoznaje banknoty i monety w zakresie 100 (potrafi przedstawić dana
kwotę za pomocą różnych banknotów i monet).
8. Nazywa i zna kolejność miesięcy.
9. Rozwiązuje proste zadania tekstowe.
10. Mierzy długość odcinków.
11. Rysuje za pomowca linijki odcinki o danej długości.
12. Potrafi narysować figury geometryczne.
233
234
Wymagania programowe po klasie trzeciej umożliwiające kontynuowanie nauki w klasie programowo wyższej
1. Oblicza obwody trójkąta, kwadratu, prostokąta.
2. Odczytuje i zapisuje, porządkuje liczby do 1000.
3. Wykonuje w pamięci cztery podstawowe działania na liczbach, stosuje
własności tych działań w zakresie 100.
4. Stosuje jednostki cm, m.
5. Stosuje pojęcia dag, kg, litr, pół litra, ćwierć litra.
6. Potrafi wykonać obliczenia pieniężne.
7. Odczytuje i zapisuje czas w systemie 12 i 24-godzinnym.
8. Stosuje pojęcie godzina, minuta, pół godziny.
9. Zapisuje, porządkuje chronologicznie daty.
10. Odczytuje i zapisuje liczby rzymskie I-XII.
235
11. Wykonuje proste obliczenia zegarowe w zakresie pełnych miesięcy i pełnych godzin.
12. Mierzy temperaturę i odczytuje wskazania termometru.
13. Rozwiązuje łatwe równania jednodziałaniowe z niewiadoma w postaci
okienka.
14. Rozwiązuje proste zadania tekstowe.
Literatura
[1] Rozporządzenie Ministra Edukacji Narodowej z dnia 23 sierpnia 2007
w sprawie podstawy programowej wychowania przedszkolnego oraz
kształcenia ogólnego w poszczególnych typach szkół.
[2] Rozporządzenie Ministra Edukacji w sprawie warunków i sposobu oceniania, klasyfikowania i promowania uczniów i słuchaczy z dnia 30 kwietnia
2007 r.
Justyna Błaszczyk – doradca metodyczny kształcenia zintegrowanego,
nauczyciel Zespołu Szkół Integracyjnych nr 2 w Chorzowie.
Jolanta Solda – nauczyciel Zespołu Szkół Sportowych nr 1 w Chorzowie
Joanna Pietrek – nauczyciel Szkoły Podstawowej nr 14 w Chorzowie.
Ewa Torbus – nauczyciel Szkoły Podstawowej nr 14 w Chorzowie.
Mirosława Panak – nauczyciel Szkoły Podstawowej nr 14 w Chorzowie.
Grażyna Olearczyk – nauczyciel Zespołu Szkół Integracyjnych nr 2
w Chorzowie.
Mariola Chemicz – nauczyciel Zespołu Szkół Integracyjnych nr 2
w Chorzowie.
Barbara Dziura – nauczyciel Zespołu Szkół Sportowych nr 2 w Chorzowie.
236

XVIII Krajowa Konferencja SNM

Transkrypt

Podobne dokumenty