Planowanie sieciowe

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne
1
Planowanie złożonych przedsięwzięć
wieloczynnościowych
(Project Management - zarządzanie projektami)
Analizujemy złożone przedsięwzięcia wieloczynnościowe. Każde takie
przedsięwzięcie daje się opisać za pomocą skończonej liczby pojedynczych,
wzajemnie ze sobą powiązanych czynności (mniejszych przedsięwzięć).
Powiązania pomiędzy czynnościami przybierają dwie formy:

równoległość rozumiana jako możliwość niezależnego wykonywania
danych czynności w tym samym czasie oraz

szeregowość polegająca na tym, iż dana czynność (lub grupa czynności)
może być wykonywana dopiero po zakończeniu pewnej czynności (lub
grupy czynności), które nazywamy czynnościami poprzedzającymi.
Ogół działań związanych z harmonogramowaniem i analizowaniem
przedsięwzięć nazywamy planowaniem sieciowym, które realizujemy za
pomocą tzw. metod sieciowych. Do najbardziej znanych należą następujące
metody:

CPM (Critical Path Method; metoda ścieżki krytycznej),

PERT (Programm Evoluation and Review Technique) - program oceny i
przeglądu technik,

LESS (Least Cost Estimating and Scheduling) - ocena najmniejszych
kosztów i harmonogramowanie oraz

RAMPS (Resource Allocation in Multi-Project and Scheduling) - przydział
środków produkcyjnych w złożonych przedsięwzięciach i
harmonogramowanie.
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne
2
Modelowanie złożonych przedsięwzięć
wieloczynnościowych
Złożone przedsięwzięcia wieloczynnościowe modelujemy za pomocą
grafów skierowanych nazywanych sieciami, Ściślej będą to sieci zredukowane,
tj. grafy skierowane bez pętli własnych, łuków równoległych, bez
wierzchołków izolowanych i obwodów skierowanych, o jednym źródle i
jednym odpływie. Porównanie symboliki i nazewnictwa w planowaniu
sieciowym i teorii grafów podaje tabela:
oznaczenie
symboliczne


planowanie
sieciowe
czynność
zdarzenie
teoria
grafów
łuk, krawędź
wierzchołek
Czynność - odwzorowuje wykonywanie dowolnego zadania
cząstkowego. Jest zatem procesem trwającym w czasie. Proces ten "zużywa"
nie tylko czas, ale również środki, pociąga koszty związane z jego realizacją,
itp. Częstym zjawiskiem występującym w planowaniu sieciowym są czynności
pozorne (fikcyjne), tj. czynności nie wymagające nakładów czasu i środków.
Zdarzenie - termin ten określa rozpoczęcie lub zakończenie jednej lub
więcej czynności. Każde ze zdarzeń ma w sieci swoją etykietę - nazwę lub
najczęściej numer. Numeracja zdarzeń powinna być „rosnąca”, tj. że dla każdej
czynności rozpoczynającej się w zdarzeniu o numerze i a kończącym w
zdarzeniu o numerze j zachodzi ij.
Ważnym pojęciem jest pojęcie zajścia zdarzenia. Mówimy, że zdarzenie
zaszło jeżeli zakończone zostały wszystkie czynności, dla których to zdarzenie
jest zdarzeniem końcowym.
Etapy planowania sieciowego


budowa sieci
analiza sieci
 analiza czasowa (np. CPM, PERT)
 analiza kosztowo-czasowa (np. LESS)
 analiza sieci pod kątem optymalnego zużycia zasobów (np. RAMPS)
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne
3
DETERMINISTYCZNA analiza czasowa przedsięwzięcia
(metoda CPM)
Zakładamy, że czasy trwania wszystkich czynności są ściśle
określone (nie są zmiennymi losowymi).
CEL analizy CPM
1. Wyznaczyć harmonogram przedsięwzięcia o najkrótszym
czasie realizacji oraz
2. Ustalić „wąskie gardła” przedsięwzięcia (czynności
krytyczne)
Analiza czasowa takiej sieci składa się z 6 etapów. Oznaczmy:
n - liczba zdarzeń w sieci
(i,j) - czynność o zdarzeniu początkowym i oraz końcowym j
tij
Etap I
- czas trwania czynności (i,j)
0
t
Wyznaczanie terminów najwcześniejszych dla zdarzeń ( i )
ti0  tij 
t10  0 t 0j  max

i: i  j
Etap II
j=2,3, ... ,n
1
t
Wyznaczanie terminów najpóźniejszych dla zdarzeń ( i )
t n1  TD

t i1  min t 1j  t ij
i: i  j

j=n-1,n-2, ... ,1
TD - termin dyrektywny zakończenia przedsięwzięcia
0
0
T
D

t
t

TD
( n
; najczęściej przyjmujemy
n)
Etap III Wyznaczanie luzów czasowych dla zadarzeń ( L i )
L i  t i1  t i0
Etap IV Wyznaczanie zapasów czasu dla czynności. Wyróżniamy:
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne
4

zapas całkowity (ZCij)
Z C ij  t 1j  ti0  tij

zapas swobodny (ZSij)
ZS ij  t 0j  ti0  tij

zapas niezależny (ZNij)
ZN ij  t 0j  ti1  tij

zapas warunkowy (ZWij)
Z W ij  t1j  ti1  tij
Etap V Wyznaczenie harmonogramu przedsięwzięcia
Wyznaczenie harmonogramu przedsięwzięcia polega na określeniu dla
każdej czynności najwcześniejszych oraz najpóźniejszych terminów jej
rozpoczęcia i zakończenia.
NWPij - najwcześniejszy termin rozpoczęcia czynności (i,j)
NW Pij  ti0
NPPij - najpóźniejszy termin rozpoczęcia czynności (i,j)
NPPij  ti0  Z C ij
NWKij - najwcześniejszy termin zakończenia czynności (i,j)
NW K ij  ti1  Z C ij
NPKij - najpóźniejszy termin zakończenia czynności (i,j)
NPK ij  t 1j
Etap VI Określanie ścieżki krytycznej przedsięwzięcia
Luz czasowy dla zdarzenia n
  L n  t1n  t n0
Ścieżka krytyczna jest to zbiór czynności dla których zapas całkowity jest
równy luzowi czasowemu dla ostatniego zdarzenia, tj. zbiór takich czynności
dla których
Z Cij  
Ścieżkę krytyczną nazywa się też drogą o najdłuższym czasie przejścia przez
sieć.
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne
5
PRZYKŁAD
czynność
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
opis czynności
Wykonanie projektu produktu
Wykonanie planu badań
rynku
Przygotowanie technologii
produkcji
Zbudowanie prototypu
Przygotowanie broszury
reklamowej
Ocena kosztów
Wstępne testowanie produktu
Badanie rynku
Raport cenowy i prognozy
Raport końcowy
czas
czynności
trwania bezpośrednio
[tydzień] poprzedzające
6
2
brak
brak
4
A
6
3
A
A
2
5
3
2
2
C D
D
B E
H
F G I
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne
6
Model sieciowy
przedsięwzięcia
etap I
etap II
t10  0
t81  TD  t80  19
t30  max0  2 , 6  3  9
t61  min17  2  15
t20  max0  6  6
t40  max6  6  12
t50  max6  4, 12  0  12
t71  min19  2  17
t51  min17  2  15
t41  min15  0, 17  5  12
t60  max9  3  12
t31  min15  3  12
t80  max17  2  19
t11  min6  6, 12  2  0
t70  max12  2, 12  5, 12  2  17 t21  min15  4, 12  6, 12  3  6
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne
7
Harmonogram tabelaryczny
przedsięwzięcia
czynność
(metoda CPM)
najwcześ najpoź- najwcześ najpoźczas
-niejszy niejszy - niejszy niejszy
trwania
początek początek koniec koniec
(i,j)
tij
A (1,2)
B (1,3)
C (2,5)
D (2,4)
E (2,3)
F (5,7)
G (4,7)
H (3,6)
I (6,7)
J (7,8)
6
2
4
6
3
2
5
3
2
2
zapas
całkowity
czynność
krytyczna
NWPij NPPij NWKij NPKij ZCij
TAK/nie
6
12
12
9
12
17
9
15
12
12
15
17
9
14
17
12
14
19
12
17
17
15
17
19
3
3
0
3
3
0
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne
8
Wykres Gantta
graficzny harmonogram przedsięwzięcia
(metoda CPM)
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
0
1
2
3
4
5
 1 tydzień
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne
9
Wyznaczanie ścieżki krytycznej metodami PL
Zadanie PL dla przedsięwzięcia opisanego siecią o m
czynnościach i n zdarzeniach będzie zadaniem o n zmiennych
decyzyjnych i m ograniczeniach z funkcja celu minimalizującą termin
zajścia zdarzenia końcowego (n-ta zmienna decyzyjna). Zadanie takie
ma postać:
tn  min
t j  ti  tij
ti  0
(i,j)G
(i=1,2, ... ,n)
gdzie
 
ti t j
- termin zajścia zdarzenia i (zdarzenia j)
tij
- czas trwania czynności (i,j)
G - zbiór wszystkich czynności przedsięwzięcia
PRZYKŁAD
t8  min
(A): t2 - t1  6
(D): t4 - t2  6
(G): t7 - t4  5
(J): t8 - t7  2
(B): t3 – t1  2
(E): t3 - t2  3
(H): t6 - t3  3
(poz45): t5– t40
(C): t5 - t2  4
(F): t7 - t5  2
(I): t7 - t6  2
t1  0
t5  0
t2  0
t6  0
t3  0
t7  0
t4  0
t8  0
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne
10
Rozwiązanie optymalne powyższego zadania jest następujące:
zmienne
decyzyjne:
t1=0
t2=6 t3=9 t4=12 t5=15 t6=15
t7=17 t8=19
zmienne
swobodne:
sA=0 sB=7 sC=5 sD=0 sE=0
sG=0 sH=3 sI=0 sJ=0
sF=0
s45=3
wyceny
dualne:
yA=1 yB=0 yC=0 yD=1 yE=0
yG=1 yH=0 yI=0 yJ=1
yF=0
y45=0
Najwcześniejszy możliwy termin zakończenia przedsięwzięcia
min
t
jest równy 19 tygodni ( 8  19 ).
Czynności krytyczne identyfikujemy po zachowaniu się
zmiennych swobodnych (wartości zerowe) i sprzeżonych z nimi
wycen dualnych (wartości niezerowe).
Są to czynności A, D, G oraz J.
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne
11
STOCHASTYCZNA analiza czasowa przedsięwzięcia
(metoda PERT)
Zakładamy, że czasy trwania czynności nie są ściśle określone
(są zmiennymi losowymi).
CEL analizy PERT
1. Wyznaczyć harmonogram o najkrótszym czasie realizacji
przedsięwzięcia (na poziomie wartości oczekiwanych),
2. Ustalić „wąskie gardła” przedsięwzięcia (czynności krytyczne) oraz
3. Ustalić szansę dotrzymania terminu dyrektywnego
W klasycznym podejściu PERT przyjmuje się, że czasy trwania
 
czynności mają rozkłady Beta z wartościami oczekiwanymi E tij
 
2
oraz wariancjami D tij , tj.
 
 
tij :B  E tij , D2 tij 
Nakłada się pewne ograniczenia na rozkład czasu trwania
 
czynności (i,j), tj. na funkcję gęstości f tij
1. czas trwania czynności tij , rozpatruje się w przedziale tij , tij , tj.
zakłada się że prawdopodobieństwo zrelizowania czynności (i,j) w
a
czasie krótszym niż

tija
lub dłuższym niż

P tij  tija  0
2. dobór
parametrów
funkcji

tijb

b
wynosi zero, tj.
P tij  tijb  0
Beta, która jest podstawą w
formułowaniu funkcji gęstości f t ij jest taki, aby rozkład
prawdopodobieństwa czasu trwania czynności był rozkładem
asymetrycznym prawostronnie, tj.
 
dominanta  wartość oczekiwana
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne
12
Metoda PERT - wstawka dla dociekliwych
W metodzie PERT zakłada się, że czasy trwania czynności
( tij )
są zmiennymi losowymi o rozkładzie Beta


 
tij : B E tij ; D tij 
2
f tij 
tija  tij  tijb

t
ij
 tija
tijb  tija

 t

   1
b
ij
 tij


  1  1
  0,   0,     4
Parametry  oraz  są tak dobrane, aby uzyskać
asymetrię prawostronną rozkładu.
dominanta
 
t  Mo tij 
m
ij
 tija   tijb
 
wartość
oczekiwana
 
E tij 
tija  4tijm  tijb
6
wariancja
 
D2 tij 
tija  5  tij  tijb  20

tijb  tija
Przykład:
parametry kształtu i skośności: =1 oraz =3
8,75
10
6,25
36

2
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne
13
Faza I (wstępna)
Analizę czasową sieci stochastycznej metodą PERT rozpoczyna się
od fazy wstępnej, która polega na oszacowaniu dla każdej czynności
wartości oczekiwanej i wariancji czasu trwania czynności.
Oznaczmy estymatory:
mij - wartości oczekiwanej E tij  czasu trwania czynności (i,j)
Sij2
 
2
- wariancji D tij czasu trwania czynności (i,j)
mij 
tija
t  4t  t
a
ij
m
ij
6
b
ij
t t
S  
 6
2
ij
b
ij
a
ij



2
- ocena ekspertów dla najkrótszego czasu trwania czynności
(i,j), tj. optymistyczny czas trwania czynności
t
m
ij
t
b
ij
- ocena ekspertów dla najczęściej spotykanego czasu trwania
czynności (i,j), tj. najbardziej prawdopodobny czas trwania
czynności (dominanta)
- ocena ekspertów dla najdłuższego czasu trwania czynności
(i,j), tj. pesymistyczny czas trwania czynności
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne
14
Faza II (zasadnicza)
Dalsze działania analizy czasowej sieci stochastycznej są analogiczne
jak dla sieci deterministycznej (CPM). Z tym, że zamiast ustalonych
(nielosowych) jak w CPM czasów
etapach I-VI wartości oczekiwanych
na początek termin dyrektywny (TD)
tij ,
metoda PERT używa w
mij . W etapie II przyjmujemy
TD  tn0  tn1
Faza III (końcowa)
W klasycznym podejściu PERT korzysta się z centralnego
twierdzenia granicznego. Twierdzenie to orzeka, że suma (różnica)
dużej liczby niezależnych zmiennych losowych o tym samym
rozkładzie ma rozkład asymptotycznie normalny.
Ponieważ harmonogram jest wyliczany na podstawie wartości
oczekiwanych, to każdy wyliczony termin podany jest na poziomie
wartości oczekiwanej zmiennej która ma rozkład asymptotycznie
normalny.
Szansa dotrzymania terminu dyrektywnego (TD) na poziomie
0
t
terminu najwcześniejszego ( n ) wynosi w metodzie PERT 50%.
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne
15
Najczęściej zadawanym pytaniem w analizie czasowej PERT jest
pytanie o prawdopodobieństwo dotrzymania terminu dyrektywnego
TD. Oznaczmy:
tn
- termin realizacji przedsięwzięcia (zmienna losowa)
Termin realizacji przedsięwzięcia w metodzie PERT ( tn ) ma rozkład
normalny (asymptotycznie) z wartością oczekiwaną mtn  równą
0
t
wartości oczekiwanej terminu najwcześniejszego ( n ) i z wariancją
S 2 tn  równą sumie wariancji czasów trwania czynności należących
do zbioru czynności krytycznych C, tj.

tn : N mtn   tn0 , S tn  


 S 
2
ij
ij :( i , j )C
Szansa dotrzymania dowolnego terminu dyrektywnego TD jest
wyliczana w metodzie PERT z wykorzystaniem tablic dystrybuanty 
rozkładu normalnego N(0,1)
 TD  mtn  

Ptn  TD  F TD  
 S t n  
W klasycznym podejściu PERT przyjmuje się, że termin dyrektywny
TD powinien być dobierany tak, aby szansa jego dotrzymania
zawierała się w granicach od 30% do 60%, tj.
0,3  Ptn  TD   0,6
Harmonogram o szansie realizacji poniżej 30% nazywa się
harmonogramem ryzykanta.
Harmonogram o szansie realizacji powyżej 60% nazywa się
harmonogramem asekuranta.
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne
16
PRZYKŁAD
czas trwania
czynności
(oceny ekspertów)
[tygodnie]
czynność
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
wartość
wariancja
oczekiwana
tija
tijm
tijb
mij
Sij2
4
1
3
4
2
1
4
2
2
1
6
2
4
6
3
2
5
3
2
2
14
3
17
14
4
3
18
10
8
3
7
3
2
7
4
3
2
2,78
0,11
0,11
5,44
1,78
1,00
0,11
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne
rozpoczęcie
czynność
(i,j)
mij
S ij2
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
7
2
6
7
3
2
7
4
3
2
2,78
0,11
5,44
2,78
0,11
0,11
5,44
1,78
1,00
0,11
17
zakończenie
zapas
czasu
NWPij NPPij NWKij NPKij ZCij
7
14
14
10
14
21
11
19
14
14
18
21
10
16
21
14
17
23
14
21
21
18
21
23
4
5
0
4
4
0
czynność
krytyczna
nie
nie
TAK
nie
nie
TAK
Oczekiwany termin zakończenia przedsięwzięcia wynosi
mt8   t80  23
Wariancja tego terminu wynosi (suma wariancji czasu trwania
czynności krytycznych)
S A2  S D2  SG2  S J2
= 2,78+2,78+5,44+0,11
Odchylenie standardowe terminu końcowego jest równe
11,11  3,33
= 11,11
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne
18
Termin zakończenia przedsięwzięcia ma rozkład normalny
(asymptotycznie) z wartością
oczekiwaną 23 i
odchyleniem standardowym 3,33, tj.
t8 : N ( 23 ; 3,33 )
Prawdopodobieństwo dotrzymania dowolnego terminu
dyrektywnego (TD) wyznacza się wykorzystując tablice
dystrybuanty rozkładu normalnego dla zmiennej losowej U:N(0;1), tj.
P{t8  TD}=
= P{ (t8 23)/3,33  (TD 23)/3,33 } =
= P{U  (TD 23)/3,33 } =
= [ (TD 23)/3,33 ]
Termin dyrektywny (TD) należy ustalać tak, aby szansa jego
dotrzymania mieściła się w granicach 30 - 60% , tj.
0,3  P{t8  TD}  0,6
Termin dyrektywny
(TD) taki, że
P{t8  TD}  0,3
P{t8  TD}  0,6
termin ryzykanta
termin asekuranta