r Podłoga

Matematyka dyskretna
© Andrzej Łachwa, UJ, 2015
[email protected]
2A/15
Funkcje
Funkcja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y to dowolna relacja f ⊂ X × Y
taka, że ∀x∈X ∃!y∈Y: (x,y)∈f.
Dziedzinę i przeciwdziedzinę funkcji oznaczamy przez Dom(f) i Im(f).
Przykłady
długość słowa
, gdzie
słowo powstałe z doklejenia słowa
za
.
Surjekcja to funkcja f: X→Y spełniająca warunek
Piszemy wtedy
, czytamy „X na Y”.
Injekcja to funkcja f: X→Y spełniająca warunek
. Piszemy
.
Injekcje często są nazywane funkcjami różnowartościowymi.
Bijekcja to funkcja, która jest jednocześnie surjekcją i injekcją. Nazywamy
ją również przekształceniem wzajemnie jednoznacznym.
Obcięciem funkcji f: A → B do zbioru C nazywamy funkcję
f| : C → B; f| (x) = f(x) dla x∈C.
C
C
Traktując funkcję f: X→Y jako relację f ⊂ X × Y (zbiór par), możemy
rozważać relację f -1 odwrotną do f. Kiedy ta relacja jest funkcją?
Funkcja posiada funkcję odwrotną, wtedy i tylko wtedy, gdy jest bijekcją.
W takim przypadku funkcja odwrotna to relacja odwrotna.
Przykład konstrukcji funkcji odwrotnej:
,
Wartość bezwzględna to funkcja ||: R → R; |x|=x dla x≥0, −x wpp
Własności: |x·y| = |x| · |y|, |x+y| ≤ |x| + |y|
Oznaczenia niektórych funkcji:
o
o
o
log x to logarytm z liczby x przy podstawie 10,
lg x to logarytm z liczby x przy podstawie 2,
ln x to logarytm z liczby x przy podstawie e.
Złożenie f○g funkcji f: X→Y i funkcji g: Y→Z to funkcja h: X→Z
określona dla wszystkich argumentów jako h(x)=g(f(x)).
Złożenie f○g bywa oznaczane jako gf.
Czy dziedzina funkcji g może być większa niż przeciwdziedzina funkcji f
w złożeniu f○g ?
Przemienność: zwykle nie zachodzi równość f○g=g○f.
Łączność: dla funkcji
Zapis uproszczony:
Dla
•
•
•
zachodzi (h○g)○f=h○(g○f).
.
mamy lematy:
jeśli f, g są surjekcjami, to gf jest surjekcją,
jeśli f, g są injekcjami to gf jest injekcją,
jeśli f, g są bijekcjami to gf jest bijekcją.
Niech f: X → Y, ATX, BTY. Wtedy:
● f(A) nazywamy obrazem zbioru A.
● f ¯(B) nazywamy przeciwobrazem zbioru B względem f.
● f ¯(y) nazywamy przeciwobrazem elementu y wzg. f i jest to f ¯({y})
Czy f ¯(y) to f ¯1(y) ?
Podłoga i sufit
Lematy
Dla n całkowitej i x rzeczywistej
 n  = n = n 
x  −  x  = 1 gdy x nie jest całkowita
x − 1 <  x  ≤ x ≤ x  < x +1
− x  = − x 
(*)
x=n
x=n
x  = n
x  = n
wtw
wtw
wtw
wtw
n ≤ x < n+1
x−1 < n ≤ x
n−1 < x ≤ n
x ≤ n < x+1
x+n = x + n
(**)
x<n wtw x < n
n<x wtw n < x
x≤n wtw x ≤ n
(***)
n≤x wtw n ≤ x
Definicja części ułamkowej
{x} = x − x
Przykłady
{−5.23} = −5.23 − (−6) = 0.77
{6.14} = 6.14 − 6 = 0.14
Twierdzenie
Dla każdej x ≥0 podłoga z pierwiastka z podłogi z x to podłoga
z pierwiastka z x. Podobnie dla sufitu.
Dowód dla podłogi
Niech m to podłoga pierwiastka podłogi x. Wtedy stosujemy
lemat (*) i podnosimy do kwadratu: m2 ≤ x < (m+1)2
Teraz stosujemy lematy (**) i (***), i mamy m2 ≤ x < (m+1)2
Pierwiastkujemy i stosujemy lemat (*), co daje m jako podłogę
z pierwiastka.
Twierdzenie możemy uogólnić na dowolne funkcje rosnące, ciągłe
i spełniające zależność „jeżeli f(x) całkowita to x całkowita”.
Twierdzenie
Dla każdych x, y rzeczywistych, x ≤ y, zachodzi:
•
przedział [x, y) zawiera dokładnie y − x liczb całkowitych
•
przedział (x, y] zawiera dokładnie y − x liczb całkowitych
Udowodnić i sformułować twierdzenia dla przedziałów
obustronnie domkniętych i obustronnie otwartych.
Funkcji podłogi z logarytmu można użyć do wyliczenia liczby cyfr
liczby naturalnej k (k>0):
• w układzie dziesiętnym jest to log (k) +1 cyfr
• w układzie dwójkowym jest to lg (k) +1 cyfr
log (1048575) = 6,020599499
lg (1048575) = 19,9999
220 = 104857610 = 1000000000000000000002 ma 21 cyfr
104857510 = 111111111111111111112 ma 20 cyfr
342035 = 3+0+2*25+4*125+3*625 = 242810
log5 (2428) +1 = 4,843 +1 = 5 cyfr
lg(n)
n
log(n)
-------------------------------------------------1
2
0
2
4
0.602
3
8
0.903
3.322
10
1
6.644
100
2
9.966
1000
3
19.932
1000000
6
Zadania różne
Uzasadnij ∀n∈Z: n/2 + n/2 = n
Narysuj funkcję x→ x/2 + x/2 dla x∈R
Narysuj funkcję x→ x – x dla x∈R
Rozwiąż równania: (3x-2)/4 = (2x-1)/5, (3x-4)/5 = (2x-1)/3.
Zapisz przy użyciu symboli sumy skończonej:
1 + (1 + ½) + … + (1 + ½ + … + 1/n).
Jak wygląda funkcja podłogi funkcji f(x)=x?