0.ps 1.ps 2.ps

9) „Twierdzenia o Pełności dla Intuicjonistycznej i Klasycznej Logiki Zdań”,
Adam Kolany
2) Ponieważ a ⊓ (a → b) ⊓ (a → c) ¬ b ⊓ c, mamy (a → b) ⊓ (a → c) ¬ a → (b ⊓ c). Ponadto
a⊓ a → (b⊓c) ¬ b⊓c ¬ b, c, skąd (a → (b⊓c) ¬ a → b, a → c. Czyli (a → (b⊓c) ¬ (a → b)⊓(a → c).
3) Ćwiczenie.
4) Mamy
(¬a ⊔ ¬b) ⊓ (a ⊓ b) =
¬
¬a ⊓ (a ⊓ b) ⊔ ¬b ⊓ (a ⊓ b) ¬ b ⊓ (a ⊓ ¬a) ⊔ a ⊓ (b ⊓ ¬b) ¬
(a ⊓ ¬a) ⊔ (b ⊓ ¬b) = a ⊓ (a → ⊥) ⊔ b ⊓ (b → ⊥) ¬ ⊥ ⊔ ⊥ = ⊥
skąd ¬a ⊔ ¬b ¬ (a ⊓ b) → ⊥ = ¬(a ⊓ b)
5) Ćwiczenie.
6) Skoro a ⊓ ¬a = a ⊓ (a → ⊥) ¬ ⊥, więc a ¬ (¬a → ⊥) = ¬¬a. Dalej. Z właśnie co udowodnionego
wzoru, mamy ¬a ¬ ¬¬¬a. Ale ¬¬¬a ⊓ a ¬ ¬¬¬a ⊓ ¬¬a ¬ ⊥, skąd ¬¬¬a ¬ ¬a.
7) Ćwiczenie.
Wniosek 1.40. Jeśli K jest reduktem algebry Heytinga, to a ¬ b ⇒ ¬b ¬ ¬a.
dowód.
Jeśli a ¬ b, czyli a ⊔ b = b, to w redukcie algebry Heytinga, ¬a ⊓ ¬b = ¬(a ⊔ b) = ¬b. Czyli ¬b ¬ ¬a.
Twierdzenie 1.41. Niech H będzie algebrą Heytinga.
Wówczas H jest wzbogaceniem algebry Boole’a wtw, gdy zachodzi któryś z warunków:
1) ¬a ⊔ a = ⊤
dowód.
2) ¬¬a = a
3) ¬a → ¬b ¬ b → a
,
dla dowolnych a, b, c ∈ |K|.
Konieczność jest oczywista.
1) Oczywiste.
2) Mamy ¬(¬a ⊔ a) = (¬¬a ⊓ ¬a) = ⊥, skąd ¬a ⊔ a = ¬¬(¬a ⊔ a) = ⊤.
3) Mamy ⊤ = ¬a → ¬¬¬a ¬ ¬¬a → a, skąd ¬¬a = a.
Przykład 1.42.
¬(a ⊓ b) = ⊤
¬a ⊔ ¬b
¬b → a
¬a ⊔ a
¬b = ¬¬a
¬a = b
a
(
)
a⊓b=⊥
Definicja 1.43.
1) Niech Bbędzie algebrą Boole’a.
Wzbogaceniem naturalnym algebry B jest algebra B ⋆ sygnatury
df
0 1 2 3 4 5 6
ςHB ==
gdzie
2 2 0 0 1 2 2
df
⋆
oraz
f5B (a, b) == ¬a ⊔ b
⋆
df
f6B (a, b) ==(¬a ⊔ b) ⊓ (¬b ⊔ a) ,
⋆
a, b ∈ |B|.
⋆
Zamiast f5B (a, b) będziemy pisać a → b, a zamiast f6B (a, b), a ↔ b, a, b ∈ |B|.
2) Niech H będzie algebrą Heytinga. Wzbogaceniem naturalnym algebry H jest algebra H⋆ sygnatury
ςHB , gdzie
⋆
df
f6H (a, b) ==(a → b) ⊓ (b → a) ,
⋆
Zamiast f6H (a, b) będziemy pisać a ↔ b, a, b ∈ |H|.
a, b ∈ |H|.
10) „Twierdzenia o Pełności dla Intuicjonistycznej i Klasycznej Logiki Zdań”,
Adam Kolany
Filty; filtry pierwsze i maksymalne.
Definicja 1.44. Niech K będzie wzbogaceniem kraty.
1) F ⊆ |K| jest filtrem, jeśli:
(1) F 6= |K|
a, b ∈ F ⇒ a ⊓ b ∈ F
(2)
(3) a ∈ F, c ­ a ⇒ c ∈ F
2) Filtr F jest ultrafiltrem (filtrem maksymalnym), jeśli nie zawiera się w innym filtrze kraty K
3) Filtr F jest filtrem pierwszym, jeśli a ⊔ b ∈ F ⇒ {a, b} ∩ F 6= ∅.
4) Filtr jest główny, jeśli zawiera swoje infimum.
Przykład 1.45.
⊤
f
e
d
c
a
b
{c, e, f, ⊤} , {f, ⊤}

filtry
{d, f, ⊤}, {e, ⊤}

filtry pierwsze
{b, c, d, e, f, ⊤}
{a, c, e, f, ⊤}
)
 ultrafiltry
⊥
Definicja 1.46. Niech K będzie reduktem kraty (9) i niech C ⊆ |K|.
†
df
1) FK [C] == c ∈ |K| :
a1 ⊓ . . . ⊓ an ¬ c
∃
a1 ,...,an ∈C
2) C ma własność skończonego przekroju (WSP(10) ), jeśli F[C] 6= |K|
Uwaga 1.47.
Niech K będzie kratą i niech C ⊆ |K|. Jeśli C ma WSP, to F[C] jest najmniejszym filtrem zawierającym zbiór C. Niech ponadto A, B ⊆ |K|. Wówczas:
(1) A ⊆ F[A]
(2) A ⊆ B ⇒ F[A] ⊆ F[B]
(3) F F[A] ⊆ F[A]
dowód.
Ćwiczenie.
Twierdzenie 1.48.
1) W kracie rozdzielnej, każdy ultrafiltr jest pierwszy.
2) W algebrze Boole’a każdy filtr pierwszy jest ultrafiltrem.
dowód.
1) Niech K będzie kratą rozdzielną i niech F ⊆ |K| będzie ultrafiltrem. Niech dalej a ⊔ b ∈ F
i załóżmy, że a 6∈ F . Wówczas F F[F ∪{a}], skąd F[F ∪{a}] = |K|, a co za tym idzie, b ∈ F[F ∪{a}].
Czyli, skoro F jest filtrem, b ­ f ⊓ a, dla pewnego f ∈ F . Z drugiej strony, b ­ f ⊓ b, czyli
b ­ (f ⊓ a) ⊔ (f ⊓ b) = f ⊓ (a ⊔ b) ∈ F . Tym samym b ∈ F .
2) Niech B będzie algebrą Boole’a i niech F ⊆ |K| będzie filtrem pierwszym. Niech dalej a 6∈ F .
Ponieważ a ⊔ ¬a = ⊤ ∈ F , dostajemy, że ¬a ∈ F , skąd też ⊥ ∈ F[F ∪ {a}], czyli F[F ∪ {a}] = |K|.
(9)
od tej pory pisząc „Niech K będzie kratą”, będziemy mieli na myśli „Niech K będzie wzbogaceniem kraty”. Podobna konwencję
przyjmujemy dla innych typów algebr.
(10)
† w przypadku, gdy krata jest w danym kontekście ustalona, będziemy pomijać indeks K
Po angielsku FIP – Finite Intersection Property