Zadania z ekonomii matematycznej Teoria produkcji

Paweł Kliber
Zadania z ekonomii matematycznej
Teoria produkcji
1. Zadania
Zad. 1
Dla podanych funkcji produkcji
(a) f (k, z) = 2k + z
1
1
(b) f (k, z) = 6k 2 z 3
1
1
(c) f (k, z) = k 2 z 2
3
1
(d) f (k, z) = k 4 z 2
1
1
(e) f (k, z) = k 3 + z 2
wykonaj następujące polecenia:
(A) Oblicz krańcowe produktywności czynników produkcji. Zinterpretuj wyniki.
(B) Oblicz elastyczności produkcji czynników. Zinterpretuj wyniki.
(C) Oblicz krańcową stopę substytucji i elastyczność substytucji pracy przez
kapitał i kapitału przez pracę. Zinterpretuj wyniki.
(D) Sprawdź, czy funkcja jest jednorodna. Jeśli tak – oblicz jej stopień jednorodności. Co otrzymany wynik mówi o efektach skali w przedsiębiorstwie?
(E) Oblicz elastyczność produkcji względem skali nakładów. Co wynik mówi
o efektach skali w przedsiębiorstwie?
Zad. 2
Dla podanych funkcji produkcji
1
1
(a) f (k, z) = 6k 2 z 3
1
1
(b) f (k, z) = k 2 + z 2
1
1
(c) f (k, z) = k 4 z 4
1
1
(d) f (k, z) = k 2 + z 3
wykonaj następujące polecenia:
(A) Zapisz zadanie maksymalizacji zysku.
(B) Zapisz warunki konieczne maksimum (zerowanie się pochodnych).
(C) Wyznacz punkt optymalny i optymalną produkcję.
(D) Zapisz funkcje popytu produkcyjnego i podaży produkcyjnej.
Zad. 3
Dla funkcji produkcji z poprzedniego zadania (za wyjątkiem funkcji z podpunktu (d)) wykonaj następujące polecenia:
(A) Zapisz zadanie minimalizacji kosztów.
(B) Zapisz warunki konieczne minimum dla tego zadania (warunki Kuhna-Tuckera).
(C) Rozwiąż to zadanie. Zapisz funkcję warunkowego popytu i funkcję kosztów.
(D) Zapisz zadanie maksymalizacji zysku wykorzystując funkcję kosztów.
(E) Rozwiąż zadanie maksymalizacji zysku. Sprawdź, czy zgadza się z rozwiązaniem otrzymanym w poprzednim zadaniu.
1
2. Rozwiązania
Zad. 1
(a) Krańcowa produktywność kapitału:
∂f
= 2.
∂k
Krańcowa produktywność pracy:
∂f
= 1.
∂z
Elastyczność kapitału:
efk =
2k
∂f k
· =
.
∂k f
2k + z
efz =
∂f z
z
· =
.
∂z f
2k + z
Elastyczność pracy:
Krańcowa stopa substytucji pracy przez kapitał wynosi
σzk =
∂f
∂z
∂f
∂k
=
1
,
2
a elastyczność substytucji pracy przez kapitał jest równa
z
1z
z
=
=
.
k
2k
2k
ezk = σzk
Podobnie, krańcowa stopa substytucji kapitału przez pracę wynosi
σkz =
∂f
∂k
∂f
∂z
=
2
= 2,
1
a elastyczność substytucji kapitału przez pracę to
ekz = σkz
k
2k
k
=2 =
.
z
z
z
Sprawdzamy jednorodność funkcji produkcji mnożąc wszystkie argumenty
(tj. k i z) przez tę samą stałą λ > 0:
f (λk, λz) = 2 (λk) + λz = λ · 2k + λ · z = λ (2k + z) = λf (k, z) = λ1 f (k, z) ,
a zatem funkcja jest jednorodna, a jej stopień jednorodności wynosi 1. W przedsiębiorstwie występują zatem stałe efekty skali.
Pozostaje do obliczenia elastyczność względem skali nakładów. Funkcję f (λk, λz)
obliczyliśmy wyżej. Teraz liczymy:
∂f (λk, λz)
∂ [λ (2k + z)]
=
= 2k + z,
∂λ
∂λ
a zatem
efλ =
λ
λ
∂f (λk, λz)
= (2k + z)
= 1.
∂λ
f (λk, λz)
λ (2k + z)
W przedsiębiorstwie występują zatem stałe efekty skali.
(b) Krańcowa produktywność kapitału wynosi
1
1
1
∂f
1 1
= 6 · k 2 −1 z 3 = 3k − 2 z 3 ,
∂k
2
2
a elastyczność kapitału to
1
efk
1
1
1
1
1
1
1
1
1
k
3k − 2 k 1 z 3
3k − 2 +1 z 3
3k 2 z 3
3
∂f k
1
=
=
=
= 3k − 2 z 3 1 1 =
= .
1
1
1
1
1
1 =
∂k f
6
2
2
3
2
3
2
3
2
3
6k z
6k z
6k z
6k z
Krańcowa produktywność pracy wynosi
1 1 1
2
1
1 1 2
∂f
= 6k 2 z 3 −1 = 6 · k 2 z − 3 = 2k 2 z − 3 ,
∂z
3
3
a elastyczność pracy to
1
efz =
2
1
2
1
2
z
2k 2 z − 3 z 1
2k 2 z − 3 +1
2k 2 z 3
2
1
∂f z
= 2k 2 z − 3 1 1 =
=
=
= .
1
1
1
1
1
1 =
∂z f
6
3
6k 2 z 3
6k 2 z 3
6k 2 z 3
6k 2 z 3
Krańcowa stopa substytucji kapitału przez pracę jest równa
σkz =
∂f
∂k
∂f
∂z
1
=
1
1
1
3k − 2 z 3
2
2k 2 z − 3
=
1
1
2
3k − 2 − 2 z 3 + 3
3k −1 z 1
3z
=
=
,
2
2
2k
a elastyczność substytucji kapitału przez pracę jest równa
ekz = σkz
k
3z k
3
=
= .
z
2k z
2
Podobnie wyznaczamy krańcową stopę substytucji i elastyczność substytucji
pracy przez kapitał:
2k
,
3z
σzk =
ezk =
2
.
3
Sprawdzamy jednorodność funkcji produkcji mnożąc wszystkie argumenty
(tj. k i z) przez tę samą stałą λ > 0:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
5
1
1
5
f (λk, λz) = 6 (λk) 2 (λz) 3 = 6λ 2 k 2 λ 3 z 2 = λ 2 + 3 6k 2 z 3 = λ 6 6k 2 z 3 = λ 6 f (k, z) ,
a zatem funkcja jest jednorodna, a jej stopień jednorodności wynosi 65 . W przedsiębiorstwie występują zatem malejące efekty skali (bo 56 < 1).
Pozostaje do obliczenia elastyczność względem skali nakładów. Funkcję f (λk, λz)
obliczyliśmy wyżej. Teraz liczymy:
h 5 1 1i
∂
λ 6 6k 2 z 3
1
1
1
∂f (λk, λz)
5 1 1 1
=
= λ− 6 6k 2 z 3 = 5λ− 6 k 2 z 3 ,
∂λ
∂λ
6
a zatem
1
efλ
1
1
1
λ
5 λ − 6 λ1
∂f (λk, λz)
λ
=
= 5λ− 6 k 2 z 3 5 1 1 =
6 λ 56
∂λ
f (λk, λz)
λ 6 6k 2 z 3
1
=
5
5 λ− 6 +1
5 λ6
5
=
.
5
5 =
6 λ6
6 λ6
6
W przedsiębiorstwie występują zatem malejące efekty skali (bo
(c) Krańcowe produktywności kapitału i pracy:
1 1 1
∂f
= k− 2 z 2 ,
∂k
2
5
6
< 1).
∂f
1 1 1
= k 2 z− 2 .
∂z
2
Elastyczność kapitału i elastyczność pracy:
efk =
1
,
2
efz =
1
.
2
Krańcowa stopa substytucji kapitału przez pracę oraz pracy przez kapitał:
σkz =
z
,
k
σzk =
3
k
,
z
a elastyczności substytucji wynoszą:
ekz = 1,
ekz = 1.
Funkcja jest jednorodna stopnia 1. Elastyczność względem skali nakładów
także wynosi 1 (efλ = 1). Zatem efekty skali są stałe — produkcja rośnie
proporcjonalnie do nakładów.
(d) Krańcowe produktywności kapitału i pracy:
3 1 1
∂f
= k− 4 z 2 ,
∂k
4
∂f
1 3 1
= k 4 z− 2 .
∂z
2
Elastyczność kapitału i elastyczność pracy:
efk =
3
,
4
efz =
1
.
2
Krańcowa stopa substytucji kapitału przez pracę oraz pracy przez kapitał:
σkz =
3z
,
2k
σzk =
2k
,
3z
ekz =
2
.
3
a elastyczności substytucji wynoszą:
ekz =
3
,
2
Funkcja jest jednorodna stopnia 54 . Elastyczność względem skali nakładów
także wynosi 54 (efλ = 54 ). Zatem efekty skali są rosnące (bo 54 > 1).
(e) Krańcowe produktywności kapitału i pracy:
∂f
1 2
= k− 3 ,
∂k
3
1 1
∂f
= z− 2 .
∂z
2
Elastyczność kapitału i elastyczność pracy:
1
efk =
1
1 k3
,
3 k 13 + z 12
efz =
1 z2
.
2 k 31 + z 12
Krańcowe stopy substytucji kapitału przez pracę oraz pracy przez kapitał są
następujące:
1
σkz
2
2 z2
=
,
3 k 23
σzk
3 k3
=
,
2 z 21
a elastyczności substytucji wynoszą:
1
ekz =
1
2 k3
,
3 z 12
ekz =
3 z2
.
2 k 31
Funkcja nie jest jednorodna. Elastyczność względem skali nakładów wynosi
f
5
5
6 (eλ = 6 ) (Jest to trudniejsze do obliczenia niż w poprzednich zadaniach.
Trzeba tu skorzystać ze wzoru na efλ ze skryptu — tego z granicą przy
λ → 1.) Zatem efekty skali są malejące (bo 65 < 1).
Zad. 2
(a) Zysk producenta wynosi
Π = pf (k, z) − v1 k − v2 z,
gdzie p jest ceną produktu, v1 oznacza cenę kapitału, a v2 — cenę pracy.
Zadanie maksymalizacji zysku ma zatem postać
1
1
max Π(k, z) = p6k 2 z 3 − v1 k − v2 z
4
pod warunkiem, że
k, z > 0.
Chwilowo zapominamy o warunku nieujemności zmiennych k i z i rozwiązujemy zadanie tak, jakby to było zadanie maksymalizacji bezwarunkowej,
tzn. liczymy pochodne i przyrównujemy je do zera. Pochodne z funkcji zysku
względem k i z wynoszą odpowiednio
1
1
1
1 1
∂Π
= p6 · k 2 −1 z 3 − v1 − 0 = p3k − 2 z 3 − v1 ,
∂k
2
1
2
1 1 1
∂Π
= p6k 2 z 3 −1 − 0 − v2 = p2k 2 z − 3 − v2 .
∂z
3
Przyrównujemy obie pochodne do zera, tj. wykorzystujemy warunek konieczny maksymalizacji:
∂Π
= 0,
∂k
∂Π
= 0.
∂z
Otrzymujemy w ten sposób układ dwóch równań:
1
1
p3k − 2 z 3 − v1 =0,
1
2
p2k 2 z − 3 − v2 =0.
W pierwszym równaniu przenosimy na prawą stronę v1 , a w drugim robimy
to samo z v2 . Otrzymujemy układ
1
1
p3k − 2 z 3 =v1 ,
1
2
p2k z
− 32
=v2 .
(1)
(2)
Dzielimy równania stronami przez siebie otrzymując
1
1
p3k − 2 z 3
p2k
1
2
2
z− 3
=
v1
.
v2
Upraszczamy lewą stronę:
1
1
1
2
v1
3k − 2 − 2 z 3 + 3
= ,
2
v2
czyli
v1
3z
= ,
2k
v2
a zatem
z=
2v1
k.
3v2
(3)
Podstawiamy ostatnią zależność do równania (1). Mamy wówczas
p3k
− 21
2v1
k
3v2
13
= v1 .
Przekształcamy:
p3k
− 21
1
1
1
3
1
3
2 3 v13
3 v2
5
1
k 3 = v1 .
Porządkujemy wykładniki po lewej stronie równania:
1
1
1− 31
k
p3
− 12 + 13
2 3 v13
1
= v1 .
v23
1
Przenosimy v1 na stronę lewą (dzielimy obie strony przez v13 ) i kończymy
porządkowanie wykładników:
1
2
23
1
p3 3 k − 6
1
3
v2
1− 31
= v1
,
a zatem
1
1
k− 6 p
2
23 · 33
1
3
v2
2
= v13 .
Przenosimy k na stronę prawą, a v1 na stronę lewą (mnożymy obustronnie
2
1
razy k 6 i dzielimy przez v13 . Otrzymujemy:
1
2
p2 3 · 3 3
2
3
1
3
1
= k6.
v1 v2
Pozostaje podnieść obie strony do potęgi 6 i otrzymamy optymalne k:
!6
2
2·6
1
6
p2 3 · 3 3
p6 2 3 · 3 3
p6 22 · 34
k̄ =
.
=
=
2
2·6
1
6
v14 v22
v13 v23
v1 3 v23
Podstawiamy otrzymane k̄ do równania (3) i otrzymamy optymalne z:
z̄ =
2v1
p6 23 · 33
p6 22+1 · 34−1
2v1 p6 22 · 34
=
=
.
k̄ =
4−1
2+1
4
2
3v2
3v2 v1 v2
v13 v23
v1 v2
Pozostaje obliczyć optymalną wielkość produkcji, ȳ. Podstawiamy otrzymane
k̄ i z̄ do funkcji produkcji otrzymując
ȳ = f k̄, z̄ = 6
p6 22 · 34
v14 v22
21 p6 23 · 33
v13 v23
13
=
2 · 3 · 2 · 32 p3 p2 2 · 3
23 · 34 p5
.
=
v12 v2 v1 v2
v13 v22
Funkcję popytu tworzą optymalne k̄ i z̄, a zatem funkcja popytu produkcyjnego ma postać:
6 2 4 6 3 3
p 2 ·3 p 2 ·3
,
.
ξ (p, v1 , v2 ) =
v12 v22
v13 v23
Funkcję podaży tworzy optymalna wielkość produkcji ȳ, a zatem
η (p, v1 , v2 ) =
p5 23 · 34
.
v13 v22
(b) Zadanie maksymalizacji zysku ma postać
1
1
max Π (k, z) = pk 2 + pz 2 − v1 k − v2 z.
Warunki konieczne:
1
∂Π
1
= pk − 2 − v1 = 0,
∂k
2
1
∂Π
1
= pz − 2 − v2 = 0.
∂z
2
6
Po przeniesieniu v1 i v2 na prawą stronę daje to układ równań:
1 −1
pk 2 = v1 ,
2
1 −1
pz 2 = v2 .
2
(4)
(5)
Oba równania rozwiązujemy podobnie. Zacznijmy od równania (4). Przeno1
simy k na stronę prawą (tj. mnożymy obustronnie przez k 2 ):
1
1
p = v1 k 2 .
2
Przenosimy v1 na stronę lewą (dzielimy obie strony przez v1 ):
1
p
= k2.
2v1
Teraz wystarczy podnieść obie strony do kwadratu i otrzymamy optymalne
k:
2
p
p2
k̄ =
= 2 2.
2v1
2 v1
Podobnie rozwiązujemy równanie (5): Najpierw przenosimy z na stronę prawą,
potem v2 na stronę lewą, a na końcu podnosimy do kwadratu. Rozwiązaniem
jest
2
p
p2
z̄ =
= 2 2.
2v2
2 v2
Aby otrzymać optymalną wielkość produkcji, podstawiamy k̄ i z̄ do funkcji
produkcji. Otrzymujemy:
21 2 12
p
p
p2
p
+
=
ȳ =f k̄, z̄ =
+
2
2
2
2
2 v1
2 v2
2v1
2v2
pv2
pv1
p (v1 + v2 )
=
+
=
.
2v1 v2
2v1 v2
2v1 v2
Możemy zatem zapisać funkcję popytu produkcyjnego :
2
p
p2
ξ (p, v1 , v2 ) =
,
22 v12 22 v22
i funkcję podaży:
η (p, v1 , v2 ) =
p (v1 + v2 )
.
2v1 v2
(c) Zadanie maksymalizacji zysku:
1
1
max Π (k, z) = pk 4 z 4 − v1 k − v2 z.
Warunki konieczne:
3
1
∂Π
1
= pk − 4 z 4 − v1 =0,
∂k
4
∂Π
1 1 3
= pk 4 z − 4 − v2 =0.
∂z
4
Układ równań:
1 −3 1
pk 4 z 4 =v1 ,
4
1 1 −3
pk 4 z 4 =v2 .
4
7
Po podzieleniu dostajemy
z=
v1
k.
v2
Podstawiamy do pierwszego równania i otrzymujemy optymalne k:
p2
k̄ =
3
1
.
24 v12 v22
Korzystając z poprzedniej zależności obliczamy optymalne z:
p2
z̄ =
1
3
.
24 v12 v22
Optymalna produkcja:
p
ȳ = f k̄, z̄ =
1
.
1
22 v12 v22
Funkcja popytu produkcyjnego:
p2
ξ (p, v1 , v2 ) =
3
,
1
!
p2
1
24 v12 v22
.
3
24 v12 v22
Funkcja podaży:
p
η (p, v1 , v2 ) =
1
1
.
22 v12 v22
(d) Zadanie maksymalizacji zysku:
1
1
max Π (k, z) = pk 2 + pz 3 − v1 k − v2 z.
Funkcja popytu produkcyjnego:
3
p2
p2
, 3 3
2
2
2 v1 3 2 v 2
2
ξ (p, v1 , v2 ) =
!
.
Funkcja podaży:
1
1
η (p, v1 , v2 ) =
1
3 2 pv22 + 2p 2 v1
1
1
.
2 · 3 2 v1 v22
Zad. 3
(a) Zadanie minimalizacji kosztów ma postać
min v1 k + v2 z
pod warunkiem, że
1
1
6k 2 z 3 = y,
gdzie v1 oznacza cenę kapitału, v2 – cenę pracy, a y jest ustalonym poziomem
produkcji. Warunki Kuhna-Tuckera dla tego zadania są następujące:
1
1
∂f
= 3k − 2 z 3 = λv1 ,
∂k
1
2
∂f
= 2k 2 z − 3 = λv2 ,
∂k
1
1
6k 2 z 3 = y.
8
Mamy zatem następujący układ trzech równań z trzema niewiadomymi k, z
i λ:
1
1
3k − 2 z 3 = λv1 ,
1
2
2k z
− 23
(6)
= λv2 ,
1
2
(7)
1
3
6k z = y.
(8)
Dzielimy dwa pierwsze równania przez siebie stronami:
1
1
3k − 2 z 3
1
2
2k
λv1
.
λv2
=
2
z− 3
Po prawej stronie skraca się λ. Przekształcamy stronę lewą:
3
3 − 1 − 1 13 −(− 23 )
3z
= k −1 z 1 =
k 2 2z
.
2
2
2k
Mamy zatem:
v1
3z
= ,
2k
v2
czyli
2v1
k.
3v2
z=
(9)
Podstawiamy to do równania (8):
6k
1
2
2v1
k
3v2
31
= y,
a zatem
1
6k 2
1
1
1
3
1
3
1
1
2 3 v13
1
k 3 = y,
3 v2
czyli
1
1
v13
1
21+ 3 31− 3 k 2 + 3
= y,
1
v23
zatem
1
4
3
2
3
2 3 k
5
6
v13
= y,
1
v23
a więc
1
yv23
5
k6 =
4
2
1
.
2 3 3 3 v13
Podnosimy obie strony do potęgi 56 . W ten sposób otrzymujemy optymalne
k:
6
k̄ =
1 6
·5
4 6
2 6
2
6
y 5 v23
1 6
·5
2 3 · 5 3 3 · 5 v13
=
y 5 v25
8
2
4
.
2 5 3 5 v15
Aby otrzymać optymalną wielkość z podstawiamy k̄ do równania 9. Mamy
6
2
1− 2
6
2v1 y 5 v25
v1 5 y 5
z̄ =
=
,
2
8
4
1− 2
3v2 2 85 3 54 v 5
2 5 −1 3 5 +1 v2 5
1
9
czyli ostatecznie
3
6
y 5 v15
z̄ =
3
.
3
9
2 5 3 5 v25
Obliczymy teraz najmniejszy koszt wyprodukowania y:
6
c̄ = v1 k̄ + v2 z̄ = v1
3
6
=
=
y5
3
4
6
3
3
2
2
y 5 v15 v25
4
35 25
3
6
2
6
y 5 v15
y5
v1 v25
3
v15 v2
2 + v2
3 =
3
2 +
3
4
4
9
8
3
5
3 5 2 5 2 55 v 5
2 5 3 5 v15
2 5 3 5 v25
3 5 v25
1
3
3
2 !
2 6
v15 v25
y 5 v15 v25 1 1
=
+
=
+
4
3
3
2 3
35 25
v15 v25
2
35 25
2
y 5 v25
6
3
!
=
2
5
y 5 v15 v25 5
=
.
9
8
2·3
25 35
Otrzymaliśmy zatem funkcję popytu warunkowego:
2
6
f (y, v1 , v2 ) =
8
!
y 5 v15
,
2
4
3
6
y 5 v25
3
2 5 3 5 v15
3
9
2 5 3 5 v25
oraz funkcję kosztów
3
6
2
5y 5 v15 v25
c(y, v1 , v2 ) =
8
9
25 35
.
Posługując się funkcję kosztów formułujemy zadanie maksymalizacji zysku:
6
max Π(y) = py −
3
2
5y 5 v15 v25
8
9
25 35
.
Warunek konieczny maksimum to zerowanie się pochodnej:
3
2
1
3
6
1
3
2
6 5y 5 −1 v15 v25
y 5 v15 v25
Π (y) = p − ·
=p−
= 0.
8
3
9
4
5
25 35
25 35
0
Otrzymujemy równanie
p=
2
y 5 v15 v25
3
4
25 35
,
czyli
1
y5 =
3
4
3
2
25 35
.
v15 v25
Podnosimy obie strony do potęgi 5 i otrzymujemy rozwiązanie
ȳ =
23 · 34 p5
.
v13 v22
Funkcja podaży:
η (p, v1 , v2 ) =
23 34 p5
.
v13 v22
Jak widać, zgadza się to z rozwiązaniem otrzymanym w zadaniu 2.
(b) Zadanie minimalizacji kosztów:
min v1 k + v2 z
10
pod warunkiem, że
1
1
k 2 + z 2 = y.
Warunki Kuhna-Tuckera dla tego zadania mają postać
∂f
1 1
= k − 2 = λv1 ,
∂k
2
∂f
1 1
= z − 2 = λv2 ,
∂z
2
1
1
k 2 + z 2 = y.
Mamy zatem układ trzech równań z trzema niewiadomymi k, z i λ. Dzielimy
dwa pierwsze przez siebie otrzymując
1
z2
1
k2
=
v1
,
v2
czyli
z=
v12
k.
v22
(10)
Podstawiamy to do ostatniego równania. Mamy zatem
2 12
1
v1
2
k +
k
= y,
v22
czyli
1
k2
1+
1
k2
v1
v2
=y
v1 + v2
= y.
v2
Ostatecznie
k̄ =
y 2 v22
2.
(v1 + v2 )
Korzystamy z (10):
z̄ =
y 2 v12
2.
(v1 + v2 )
Obliczamy minimalny koszt:
c̄ = v1 k̄ + v2 z̄ =
y 2 v1 v2 (v1 + v2 )
2
(v1 + v2 )
=
y 2 v1 v2
.
v1 + v2
Zadanie maksymalizacji zysku możemy teraz sformułować następująco:
max Π(y) = py −
y 2 v1 v2
.
v1 + v2
Obliczamy pochodną i przyrównujemy ją do zera:
Π0 (y) = p −
2yv1 v2
= 0.
v1 + v2
Otrzymujemy równanie
p=
2yv1 v2
,
v1 + v2
czyli
ȳ =
p (v1 + v2 )
,
2v1 v2
co zgadza się z rozwiązaniem otrzymany w zadaniu 2.
11
(c) Zadanie minimalizacji kosztu:
min v1 k + v2 z
pod warunkiem, że
1
1
k 4 z 4 = y.
Warunki Kuhna-Tuckera:
1 −3 1
k 4 z 4 = λv1
4
1 1 −3
k 4 z 4 = λv2
4
1
1
k 4 z 4 = y.
Rozwiązując otrzymujemy
1
y 2 v22
k̄ =
1
v12
oraz
1
z̄ =
y 2 v12
.
1
v22
Funkcja popytu warunkowego:
1
1
y 2 v22
f (y, v1 , v2 ) =
,
1
y 2 v12
!
1
v12
v22
Funkcja kosztów
1
1
c(y, v1 , v2 ) = 2y 2 v12 v22 .
Zadanie maksymalizacji zysku ma postać
1
1
max Π(y) = py − 2y 2 v12 v22 ,
a jego rozwiązaniem jest
p
ȳ =
1
2
1
.
4v1 v22
Funkcja podaży ma zatem postać
η (p, v1 , v2 ) =
p
1
2
1
4v1 v22
czyli taką samą, jak w rozwiązaniu zadania 2.
12
,
.