Specyficzne filtry cyfrowe

Specyficzne filtry cyfrowe
Materiał w znacznej części zaczerpnięty z książki
Sanjit K. Mitra „Digital Signal
Processing. A Computer-Based
Approach”
Charakterystyki częstotliwościowe
filtrów IIR
f  f t  f / f
p
M
H ( z) 
n
b
z
n
ze
n 0
N
2 j f
1   an z  n
f  0  z 1
n 1
M
H( f ) 
b e
n 0
N
 cos( 2 f )  j sin( 2 f )
f  0,5  z  1
Fazowa
 2 j f n
 ( f )  arc tg
Im( H ( f ))
Re( H ( f ))
n
1   an e
 2 j f n
Opóźnienie fazowe
( f )  
d ( f )
n 1
Kwadrat charakterystyki
amplitudowej dla
wszystkich filtrów
1
z e
2 j f
H ( z ) H ( z )  H (e
2 j f
) H (e
 2 j f
)  H (e
df
2 j f
)
2
Dolnoprzepustowy filtr FIR pierwszego
rzędu
Najprostszy filtr jest operacją uśredniającą

H L ( z )  0,5 1  z 1

z charakterystyką zespoloną
H L (e
2j f
)e
 f
H L (e 0 )  1 tzn. dla
f 0
H L (ej )  0 tzn. dla
f  0,5
cos( f )
Jest to filtr uśredniający wartości sygnału wejściowego

s wy ( n)  0,5 s we ( n)  s we ( n  1)

Górnoprzepustowy filtr FIR pierwszego
rzędu
Najprostszy filtr ma transmitancję

H H ( z )  0,5 1  z 1

z charakterystyką zespoloną
H H (e
H H (e 0 )  0
tzn. dla
H H (ej )  e j / 2  1
2j f
)  je
 j f
sin( f )
f 0
tzn. dla
f  0,5
Jest to filtr preferujący różnice pomiędzy dwoma kolejnymi wartościami

s wy ( n)  0,5 s we ( n)  s we ( n  1)

Dolnoprzepustowy filtr IIR pierwszego
rzędu
s wy ( n)   s wy ( n  1)  0,51   s we ( n)  s we ( n  1) 
Transmitancja dana jest wzorem
1   1  z 1
H L ( z) 
2 1  z 1
gdzie   1, aby filtr był stabilny. Kwadrat charakterystyki amplitudowej
H L (e
2j f
2
) 
1   2 1  cos( 2 f ) 

2 1   2  2 cos( 2 f )
H L (ej )  0
H L (e 0 )  1
Jeżeli H L (e
2j f c


1 sin 2 f c
2
czyli  
)  0,5 to cos 2 f c 
2
cos 2 f c
1 


gdzie f c jest częstotliwością odcięcia.



Dolnoprzepustowy filtr IIR pierwszego
rzędu
Transmitancja dana jest wzorem
1   1  z 1
H L ( z) 
2 1  z 1
gdzie   1, aby filtr był stabilny. Kwadrat charakterystyki amplitudowej
H L (e
2j f
2
) 
1   2 1  cos( 2 f ) 

2 1   2  2 cos( 2 f )

Pierwsza pochodna względem częstotliwości ma postać
d H L (e
2j f
df
)
2



 1
 sin( 2 f )
2 2
2 1    2 cos( 2 f )
2

2
jest ujemna w przedziale 0  f  0,5, czyli jest to funkcja monotoniczna.
Górnoprzepustowy filtr IIR pierwszego
rzędu
Transmitancja dana jest wzorem
1   1  z 1
H H ( z) 
2 1  z 1
gdzie   1, aby filtr był stabilny.
H H (ej )  1
H H (e 0 )  0
Jeżeli H H (e
2j f c

1 sin 2 f c
2
czyli  
)  0,5 to cos 2 f c 
2
cos 2 f c
1 





Pasmowo-przepustowy filtr IIR drugiego
rzędu
Transmitancja dana jest wzorem
1   (1  z 1 )  ( z 1  z 2 )
H BP ( z ) 
2 1   (1   ) z 1  z  2
Tłumi składową stałą a przepuszcza częstotliwości wyższe
Przepuszcza średnie częstotliwości (bo niskich już „nie ma”)
i tłumi wysokie
Pasmowo-przepustowy filtr IIR drugiego
rzędu
Transmitancja dana jest wzorem
1
1  z 2
H BP ( z ) 
2 1   (1   ) z 1  z  2
Kwadrat charakterystyki amplitudowej
H BP (e
2j f
)
2
1   2 1  cos( 4 f ) 

2
2
21   2 1      2  2  1    cos( 2 f )  2 cos( 4 f ) 
H BP (e 0 )  0  H BP (ej )
Charakterystyka amplitudowa ma największą wartość H BP (e
f 0  arc cos(  )
2j f 0
)  1 dla
Pasmowo-zaporowy filtr IIR drugiego
rzędu
Transmitancja dana jest wzorem
1 
1  2  z  1  z 2
H BS ( z ) 
2 1   (1   ) z 1  z  2
Wartości charakterystyki amplitudowej
H BS (e 0 )  1  H BS (ej )
Charakterystyka amplitudowa ma najmniejszą wartość H BS (e
f 0  arc cos(  )
2j f 0
)  0 dla
Filtr grzebieniowy, ang. comb filter
Są to filtry z wieloma pasmami przepustowymi i zaporowymi.
Najczęściej ich rozmieszczenie jest periodyczne o okresie 1/M.
Jeżeli H (z ) jest filtrem pasmowym (zaporowym lub przepustowym), to
G( z)  H ( z M )
jest filtrem grzebieniowym. W oparciu o tę zasadę filtr grzebieniowy
można otrzymać również z filtru dolnoprzepustowego
0  fk  1
G ( z )  H L ( z M )  0,5 1  z  M


W przedziale f k  ( k  0,5) / M posiada on M zerowych wartości widma
amplitudowego i M wartości szczytowych dla f k  k / M , przy czym
k  0, 1,  , M  1.
Podobnie można zrobić z filtrem górnoprzepustowym

G ( z )  H H ( z M )  0,5 1  z  M

Filtry wszechprzepustowe
Transmitancja ma postać
d N  d N 1 z 1    d1 z  N 1  z  N
H ( z)  
1  d1 z 1    d N 1 z  N 1  d N z  N
Wprowadzając oznaczenie
D ( z )  1  d1 z 1    d N 1 z  N 1  d N z  N
otrzymujemy
z  N D ( z 1 )
H ( z)  
D( z)
W przypadku filtru wszechprzepustowego otrzymujemy
N
N
1
z
D
z
z
D( z)
(
)
1
H ( z) H ( z ) 
1
1
D( z)
D( z )
Własności filtrów wszechprzepustowych
Dla filtru stabilnego wszystkie bieguny, czyli zera wielomianu D (z ) leżą
wewnątrz koła jednostkowego. Jeżeli z 0 jest biegunem transmitancji,
tzn. D ( z 0 )  0, to z 01 jest jej zerem. Zatem wszystkie zera muszą leżeć
poza kołem jednostkowym.
Jeżeli filtr wszechprzepustowy jest stabilny, to
Filtr wszechprzepustowy jest bezstratny bo
czyli

E
wy



s (e
wy
2j f
2
) df 
 1 gdy

H ( z )  1 gdy
 1 gdy

2

j
f
s wy (e )
1
2j f
we
s (e )



s (e
we
2j f
2
) d f  E we
z 1
z 1
z 1
Przykład filtru wszechprzepustowego
Jeśli filtr posiada bieguny
z1  0,5  0,5 j
z 2  0,5  0,5 j
z3  0,5
to jego zera muszą mieć wartości
z11  1  j
z 21  1  j
z31  2
Charakterystyka amplitudowa filtru
wszechprzepustowego
5
4
a
d
ut
i
pl
m
A
3
2
1
15
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Częs totliwoś ć znorma lizowa na
0.4
0.45
0.5
Charakterystyka fazowa filtru
wszechprzepustowego
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
16
-2
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Częs totliwoś ć znorma lizowa na
0.4
0.45
0.5
Zera i bieguny
2
1.5
1
0.5
z(
g
a
m
I
0
-0.5
-1
-1.5
17
-2
-2
-1
0
Rea l(z)
1
2
3
Filtry minimalno- i maksymalnofazowe
Filtry stabilne i przyczynowe o jednakowych charakterystykach amplitudowych,
z zerami poza kołem jednostkowym mają większe odchyłki charakterystyk
fazowych względem  ( f )  0, niż filtry z zerami w kole jednostkowym.
Filtry z zerami w kole jednostkowym są nazywane minimalnofazowymi a filtry
z zerami poza kołem jednostkowym, maksymalnofazowmi.
Każdy filtr nieminimalnofazowy może być zastąpiony połączeniem szeregowym filtru
minimalnofazowego i filtru wszechprzepustowego
H nie ( z )  H min ( z ) H wsz ( z )
Przykład
Porównajmy charakterystyki częstotliwościowe dwóch filtrów:
1  bz 1
H1 ( z) 
1  az 1
załóżmy
b  z 1
H 2 ( z) 
1  az 1
a  0,5
b  0,2
Wtedy oba filtry mają bieguny w punkcie
Pierwszy filtr ma zero w punkcie
Drugi filtr ma zero w punkcie
z  0,5 czyli są stabilne.
z  0,2 czyli jest minimalnofazowy.
z  5 czyli jest maksymalnofazowy.
Zera i bieguny
3
)
z(
g
a
m
I
3
2
2
1
1
0
0
-1
-1
-2
-2
-3
20
H1[z]
-4
-2
Rea l(z)
0
-3
H2[z]
-4
-2
Rea l(z)
0
H (e
2 j f
Jednakowe charakterystyki amplitudowe
2.5
H1[z]
H2[z]
2
a
d
ut
i
pl
m
A
1.5
1
0.5
0
0
21
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Częs totliwoś ć znorma lizowa na
0.4
0.45
0.5
)
Charakterystyki amplitudowe 20 lg10 H (e
2 j f
) [dB]
5
H1[z]
H2[z]
0
]
B
d[
a
d
ut
i
pl
m
A
-5
-10
-15
0
22
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Częs totliwoś ć znorma lizowa na
0.4
0.45
0.5
Różne charakterystyki fazowe
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
-0.6
-0.7
-0.8
-0.9
-1
0
23
H1[z]
H2[z]
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Częs totliwoś ć znorma lizowa na
0.4
0.45
H1 jest filtrem minimalnofazowym, H2 maksymalnofazowym
0.5
Filtry komplementarne
K 1
 n0
H
(
z
)


z
 k
Opóźnieniowo-komplementarne
k 0
K 1
Wszechprzepustowo-komplementarne
H
k 0
Energetycznie-komplementarne
( z )  A( z )
K 1
K 1
k 0
k 0
1
H
(
z
)
H
(
z
)   H k (e
 k
k
K 1
Amplitudowo-komplementarne
k

k 0
H k (e
2j f
) 
2j f
2
) 1
Całkowanie w dziedzinie czasu
A może by tak wykorzystać wzór
t
 s( ) d 

1
s( f )
2jf
do „całkowania” sygnału cyfrowego? Oczywiście
pamiętamy, że musi być spełniony warunek
s (0)  0


 s(t ) dt  0

25
Procedura całkowania sygnału poprzez
transformację Fouriera
Posłużymy się zatem schematem
gdzie
?
dla N nieparzystego
?
dla N parzystego
Całkowanie przez FFT
(N parzyste, DC=0)
1
N=40
0
DC = 0
-1
8
DC = 0
6
4
2
0
-2
-4
0
27
5
10
15
20
25
30
35
40
Całkowanie przez FFT
(N nieparzyste, DC=0)
1
N=39
0
DC = 0
-1
8
DC = 0
6
4
2
0
-2
-4
0
28
5
10
15
20
25
30
35
40
Całkowanie przez FFT
(N parzyste, DC~=0)
1
N=40
0
DC = 0.5
-1
5
DC = 0
KIEPSKO
0
-5
0
29
5
10
15
20
25
30
35
40
Całkowanie przez FFT
(N parzyste, DC~=0, H(0)=1)
1
N=40
0
DC = 0.5
-1
6
4
2
DC = 0.5
KIEPSKO
0
-2
-4
-6
0
30
5
10
15
20
25
30
35
40
Całkowanie przez FFT
(N nieparzyste, DC~=0)
1
N=39
0
DC = 0.51282
-1
5
DC = 0
KIEPSKO
0
-5
0
31
5
10
15
20
25
30
35
40
Całkowanie przez FFT
(N parzyste, DC~=0, H(0)=1)
1
N=39
0
DC = 0.51282
-1
6
4
2
DC = 0.51282
KIEPSKO
0
-2
-4
-6
0
32
5
10
15
20
25
30
35
40
Procedura całkowania sygnału poprzez
dolnoprzepustowe filtry IIR
Wyliczanie wartości całek metodą prostokątów
N
s ( N )  t  s we (i )
wy
jest filtracją
i 0
s wy (n  1)  s wy ( n)  s we (n) / f p
Podobnie całkowanie metodą trapezów
N 1


we
we
s ( N )  0,5 s (0)  s ( N )   s we (i )  t
i 1


wy
jest filtracją




s wy (n  1)  s wy ( n)  0,5 s we ( n  1)  s we ( n) / f p
Oba filtry mają bieguny równe 1, czyli są „na granicy stabilności”.
Może to pogarszać jakość „całkowania” jeżeli sygnał był wcześniej
poddany filtracji górnoprzepustowej.
Całkowanie przez IIR
(metoda prostokątów, DC=0)
1
N=40
0
DC = 0
-1
10
DC = 2.5
8
6
4
2
34
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Całkowanie przez IIR
(metoda prostokątów, DC=~0)
1
N=40
0
DC = 0.5
-1
20
DC = 10.25
15
10
5
0
0
35
5
10
15
20
25
30
35
40
Całkowanie przez IIR
(metoda trapezów, DC=0)
1
N=40
0
DC = 0
-1
10
DC = 2.5
8
6
4
2
36
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Całkowanie przez IIR
(metoda trapezów, DC=~0)
1
N=40
0
DC = 0.5
-1
20
DC = 10
15
10
5
0
0
37
5
10
15
20
25
30
35
40
Całkowanie przez IIR
(FGP [1 -1 1 -1 1 -1],
m. prostokątów)
1
N=40
0
-1
DC = 0
-2
3
DC = 0
2
1
0
-1
-2
-3
0
38
5
10
15
20
25
30
35
40
Całkowanie przez IIR
(FGP [1 -1 1 -1 1 -1], m.
prostokątów)
1
N=40
0
-1
DC = 0
-2
3
DC = 0
2
1
0
-1
-2
-3
0
39
5
10
15
20
25
30
35
40
Całkowanie przez IIR
(FGP [1 -1 1 -1 1 -1], m.
prostokątów)
1
N=40
0
DC = 0
-1
3.5
DC = 1.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
0
40
5
10
15
20
25
30
35
40
Całkowanie przez IIR
(FGP [1 -1 1 -1 1 -1], m.
trapezów)
1
N=40
0
DC = 0
-1
3.5
DC = 1.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
0
41
5
10
15
20
25
30
35
40