Analiza Matematyczna 1 dla Matematyki WPPT, lista 7 Zadanie 1

Analiza Matematyczna 1 dla Matematyki WPPT, lista 7
Zadanie 1. Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej, oblicz:
a) (f −1 )0 (3), jeśli f (x) = x5 + x + 1; b) (g −1 )0 (e + 1), jeśli g(x) = x + ln x;
c) (h−1 )0 (1), jeśli h(x) = cos x − x;
d) (k −1 )0 (x), jeśli k(x) = arctg(tg 3x).
Zadanie 2. Napisz równania stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach:
a) f (x) = arcsin x2 , (1, f (1)),
b) f (x) = ln(x2 + e), (0, f (0)),
√
c) f (x) = etg x , ( π4 , f ( π4 )),
d) f (x) = 2x + 1, (3, f (3)),
√
√
√
2x
e) f (x) = 1+x
( 2, f ( 2)),
f ) f (x) = x x, (e, f (e)).
2,
Zadanie 3. Oblicz kąt, pod jakim przecinają się wykresy funkcji:
√
2
a) f (x) = x2 i g(x) = 3 x, x > 0, b) f (x) = 4 − x i g(x) = 4 − x2 , x > 0.
Zadanie 4. Korzystając z różniczki funkcji, oblicz przybliżone wartości wyrażeń:
√
1
,
c) ln 2001
a) 3 7.999,
b) √3.98
,
2000
d) ln 0.9993,
e) e0.04 ,
f ) arccos 0.499.
Zadanie 5. Wykaż, że funkcja


f (x) = 
x2 cos
0
π x
dla x 6= 0,
dla x 6= 0,
ma pochodną w zerze, ale w każdym otoczeniu zera istnieją punkty, w których jest ona nieróżniczkowalna.
Zadanie 6. Oblicz pochodne rzędu n funkcji:
a) f (x) = cos x, b) f (x) = ex/2 , c) f (x) = sin2 x, d) f (x) = ln
x+1
.
x+2
Zadanie 7. Sprawdź prawdziwość poniższych tożsamości:
π
1−x
=
dla x ∈ (−1, ∞),
a) arctgx + arctg
1+x
4
2x
b) 2arctgx + arcsin
= πsgnx dla |x| > 1.
1 + x2
Zadanie 8. Wykaż, że jeśli f (x) ma na przedziale (a, b) ograniczoną pochodną, to jest na nim
jednostajnie ciągła.
Zadanie 9. Sprawdź, czy poniższe nierówności są prawdziwe:
arctgx
a) 2xarctgx ­ ln(1 + x2 ) dla x ∈ R, b) ln(1 + x) >
dla x > 1,
1+x
c) 2 ln x < x − x1 dla x > 1, d) xα − αx ¬ 1 − α dla x ­ 0, α ∈ (0, 1),
x−y
x−y
e)
¬ tg x − tg y ¬
dla 0 < y ¬ x < π2 ,
2
cos y
cos2 x
2
1
1
f)
< ln 1 +
<√
dla 0 < x < ∞.
1 + 2x
x
x + x2