analiza możliwości zmiany częstotliwości drgań własnych kolumny

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE
33, s. 49-54, Gliwice 2007
ISSN 1896-771X
ANALIZA MOŻLIWOŚCI ZMIANY CZĘSTOTLIWOŚCI
DRGAŃ WŁASNYCH KOLUMNY KIEROWNICZEJ
PIOTR CZUBAK
Katedra Mechaniki i Wibroakustyki, AGH
e-mail: [email protected]
ANDRZEJ JASIŃSKI
Delphi Polska Automotive Systems
e-mail: [email protected]
Streszczenie. W pracy analizowano możliwość zmiany częstotliwości drgań
własnych kolumny kierowniczej poprzez zmianę parametrów jej zawieszenia.
Zaproponowano zmiany w układzie zawieszenia kolumny pozwalające na
podniesienie częstotliwości drgań własnych, które po przejściu testów
walidacyjnych, zostały wprowadzone do procesu produkcji.
1. WSTĘP
Kolumna kierownicy składa się z obudowy wału kierownicy mocowanej do nadwozia
i wału kierownicy. Wał przenosi moment obrotowy od koła kierownicy do przekładni
kierowniczej. Klasyczne kolumny kierownicze miały prostą budowę, ponieważ tak zwane
wspomaganie realizowane było przez układ hydrauliczny nie związany bezpośrednio
z kolumną kierowniczą. Nowym rozwiązaniem, które przyniosło przełom w konstruowaniu
kolumn kierowniczych jest system CEPS (Column Electric Power System).
Rys. 1 Analizowana kolumna kierownicza
Podstawą tego systemu jest elektryczny silnik trójfazowy mający za zadanie wspomagać
proces kierowania (rys.1). Problemem, który powstaje, jest niska częstotliwość drgań
50
P. CZUBAK, A.JASIŃSKI
własnych (poniżej 50[Hz]) tego typu kolumn powodująca drgania kierownicy przy
zatrzymaniu samochodu (częstotliwość wymuszenia jest wtedy niższa niż 50 [Hz], ale
kolumna nie jest mocowana do sztywnych elementów tylko powstaje układ ciągły, którego
częstotliwość odpowiada częstotliwości pracującego silnika na biegu luzem). Obniżenie
częstotliwości drgań własnych kolumny związane jest z podwyższeniem jej masy w stosunku
do kolumn klasycznych. Producent samochodów, który jest odbiorcą kolumn, wymagał
podwyższenia tej częstotliwości bez dużej ingerencji w budowę, a co najważniejsze w kształt
mocowania kolumn kierowniczych.
2. MODEL KOLUMNY KIEROWNICZEJ
W celu określenia, jaki wpływ na częstotliwości drgań własnych kolumny ma jej układ
zawieszenia rozpatrzono model przedstawiony na rys 2. Model ten jest przybliżonym
modelem fizycznym rzeczywistej kolumny kierowniczej wraz z masą zastępczą kierownicy.
Rys. 2 Model analizowanej kolumny kierowniczej
gdzie:
kx1,kx2,ky1,ky2 – sztywności układu kolumny kierowniczej
a,b – zmienne wartości długości w zależności od wysunięcia kolumny
Na podstawie modelu fizycznego wyznaczony został model matematyczny analizowanej
kolumny kierowniczej.
Funkcja Lagrange’a układu przyjmuje postać:
1
1
1
1
1
L = E k − E p = M ( x& 2 + y& 2 ) + Jβ& 2 − k y1 ( y − βa ) 2 − k y 2 ( y − β b) 2 − (k x1 + k x 2 ) x 2
2
2
2
2
2
gdzie:
x, y - współrzędne środka masy kolumny kierowniczej,
β - kąt obrotu kolumny kierowniczej,
M - masa kolumny wraz z masą zastępczą,
J - moment bezwładności kolumny wraz z masą kierownicy względem środka ciężkości,
a,b - odległości punktów zawieszenia kolumny od jej środka ciężkości,
Równania ruchu przyjmują postać:
1. M&x& + (k x1 + k x 2 ) x = 0
2. M&y& + k y1 ( y − β a ) + k y 2 ( y − β b ) = 0
3. Jβ&& − k ( y − β a )a − k ( y − βb )b = 0
y1
y2
ANALIZA MOŻLIWOŚCI ZMIANY CZĘSTOTLIWOŚCI DRGAŃ WŁASNYCH...
51
Można zauważyć, że pierwsze równanie nie jest zależne od dwóch pozostałych, tworzących
układ równań zależnych:
Przewidując rozwiązanie w postaci:
x = a cos(ωt − ψ ) &x& = − aω 2 cos(ωt − ψ )
y = b cos(ωt − ψ ) &y& = −bω 2 cos(ωt − ψ )
β = c cos(ωt − ψ ) β&& = −cω 2 cos(ωt − ψ )
Po wstawieniu funkcji oraz pochodnych do równań ruchu otrzymujemy dla pierwszego
równania częstość drgań własnych na kierunku x:
k x1 + k x 2
ω1 =
M
Dla dwóch pozostałych równań powstaje układ równań jednorodnych ze względu na
amplitudy b i c jako niewiadome. Z uwagi na sens fizyczny amplitud układ ten powinien
posiadać rozwiązanie niezerowe. Warunkiem zaś istnienia rozwiązań niezerowych układu
równań jednorodnych jest, aby wyznacznik utworzony ze współczynników przy
niewiadomych równał się zeru. Przyrównując wyznacznik główny współczynników przy
amplitudach do zera, można wyznaczyć dwie pozostałe częstości drgań własnych układu.
Wyznacznik główny równania przyjmuje postać:
− ω 2 M + k y1 + k y 2
− k y1 a − k y 2 b
− k y 1a − k y 2b
− ω J + k y1 a 2 + k y 2 b 2
2
Wyznacznik ten po rozwinięciu przedstawia się następująco:
s = ω 4 MJ − ω 2 Mk y1a 2 − ω 2 Mk y 2 b 2 − ω 2 Jk y1 + k y1 k y 2 b 2 − ω 2 Jk y 2 + k y1k y 2 a 2 − 2k y1 ak y 2 b
Równanie to posiada cztery pierwiastki, z których dwa dodatnie wyznaczają
częstotliwość drgań własnych kolumny kierowniczej związanych z jej obrotem i ruchem na
kierunku y.
3. WYZNACZENIE CZĘSTOTLIWOŚCI DRGAŃ WŁASNYCH ANALIZOWANEJ
KOLUMNY KIEROWNICZEJ
Po wstawieniu parametrów kolumny kierowniczej do powyższego równania
m0 = 3.313kg
mk = 10.8kg
M = m0 + m k = 14.113kg
srm =
(wys. * m0 + 0.186 * mk )
= 0.2347 * wys. + 0.1423
(m0 + mk )
J k = 0.355(kg * m 2 )
J = m0 * (wys. − srm ) + J k + m k * (srm − 0.186) =
2
2
= 3.313(0.7652 * wys. − 0.1423) + 0.355 + 10.8(0.2347 * wys. − 0.0436)
2
52
P. CZUBAK, A.JASIŃSKI
N
k x1 = 5400000 
m
N
k x 2 = 21800000  
m
N
k y 1 = 5400000  
m
N
k y 2 = 10500000  
m
a = srm − 0 .018 = 0 .2347 * wys . + 0 .1243
b = srm − 0 .215 = 0 .2347 * wys . − 0 .0726
możemy wyznaczyć częstotliwości drgań kolumny związane z obrotem i ruchem na kierunku y.
Rys.3. Zależność pierwszej częstotliwości Rys.4. Zależność drugiej częstotliwości drgań
od wysunięcia kolumny kierowniczej
drgań od wysunięcia kolumny kierowniczej
Z powyższych wykresów, które zostały wykreślone na podstawie zaproponowanego
modelu fizycznego wynika, że pierwsza częstość drgań własnych kolumny kierowniczej
zawiera się w zakresie od 61[Hz] do 63[Hz], natomiast druga, znacznie wyższa, w zakresie
196,6[Hz] do 196,9[Hz]. Badania przemysłowe danego modelu kolumny wykazują, że jej
pierwsza częstotliwości drgań mieści się w zakresie 46-48Hz. Należy jednak pamiętać, że
rzeczywista kolumna nie jest ciałem sztywnym, tylko układem złożonym z wielu
podzespołów tworzących układ ciągły, którego dokładne rozpoznanie nie jest ani łatwe, ani
istotne w dalszych obliczeniach.
Częstość drgań na kierunku x nie jest zależna od wysunięcia kolumny kierowniczej i jest
znacznie wyższa od częstotliwości związanej z obrotem kolumny i jej ruchem na kierunku y,
a więc nie jest ona istotna dla drgań kolumny przy niskich częstościach wymuszenia. Dla
danej kolumny wynosi ona:
fx =
k x1 + k x 2
M
2π
= 221[ Hz ]
4. ANALIZA CZĘSTOTLIWOŚCI DRGAŃ WŁASNYCH UKŁADU W ZALEŻNOŚCI OD
SZTYWNOŚCI ZAWIESZENIA
W dalszej części pracy próbowano określić, jaki wpływ na pierwszą częstotliwość drgań
związaną z obrotem kolumny ma sztywność jej zawieszenia i w ten sposób wskazać kierunek
zmian pozwalających na zmianę procesu produkcji. Z punktu widzenia zagrożenia wejściem
w rezonans, druga i trzecia częstotliwość nie jest istotna w dalszych rozważaniach. Na
poniższym wykresach (rys.5, rys.6) przedstawiona jest zależność pierwszej częstotliwości
drgań własnych kolumny od sztywności poszczególnych elementów jej zawieszenia.
ANALIZA MOŻLIWOŚCI ZMIANY CZĘSTOTLIWOŚCI DRGAŃ WŁASNYCH...
Rys.5. Zależności pierwszej częstotliwości drgań
od sztywności użytych nakrętek gumowostalowych
53
Rys.6. Zależności pierwszej częstotliwości drgań
od sztywności wspornika stalowego
podtrzymującą kolumnę kierowniczą
Z powyższych wykresów widać, że zarówno zmiana nakrętek jak też sztywności
wspornika stalowego wpływają istotnie na zmianę pierwszej częstotliwości drgań własnych.
5. ZMIANA ZAWIESZENIA KOLUMNY KIEROWNICZEJ
W wyniku przeprowadzonej analizy zaproponowano zmianę stalowo-gumowych
nakrętek używanych w układzie zawieszenia kolumny kierowniczej na sztywniejsze, które
posiadają cieńszą warstwę gumy od tych stosowanych wcześniej (rys.7).
Rys.7. Nowe nakrętki wprowadzone po zmianach konstrukcyjnych (lewa) oraz nakrętki
stare, już nieużywane (prawa)
Nie zaproponowano zmiany stalowego wspornika kolumny, co jak zostało pokazane
w obliczeniach, również wpływa na zmianę częstotliwości drgań własnych, ponieważ proces
ten byłby o wiele kosztowniejszy. Zmianie musiałby ulec cały zawiły proces wytwarzania,
począwszy od zamówień grubszej blachy z walcowni przez masywniejsze matryce do
wycinania, jak również masywniejsze matryce do wytłaczania potrzebnego kształtu
wspornika, kończąc na jego testach walidacyjnych. Natomiast zmiana nakrętek wiązała się
tylko z wytworzeniem tulei nagwintowanej wewnątrz o większej średnicy zewnętrznej
i oblaniem jej cieńszą warstwą twardszej gumy dla zachowania tej samej średnicy
zewnętrznej całej nakrętki jak również przeprowadzeniu prostych testów walidacyjnych na
siłę wcisku tych nakrętek do aluminiowej obudowy przekładni ślimakowej kolumny
kierowniczej jak i testów na wytrzymałość gwintu wewnętrznego stalowej tulei.
54
P. CZUBAK, A.JASIŃSKI
6. WYZNACZENIE CZĘSTOTLIWOŚCI DRGAŃ KOLUMNY PRZY ZASTOSOWANIU
NOWYCH NAKRĘTEK
Po zainstalowanu nowych, już produkowach nakrętek, sprawdzono częstotliwość drgań
własnych na stanowisku pomiarowym (rys.8.).
Rys. 8. Stanowisko pomiarowe kolumn kierowniczych
Uzyskane wyniki były bardzo zadawalające ponieważ pierwsza częstotliwość drgań
własnych przekroczyła 52 [Hz] dla ustawienia, w którym kierownica jest wysunięta,
natomiast 55[Hz] w przypadku kierownicy wsuniętej. Są to częstości drgań wyższe od
minimalnej wymaganej przez odbiorcę kolumn kierowniczych.
7. WNIOSKI
1
2
3
Przyjęty model fizyczny dał możliwość poprawnego wyznaczenia częstotliwości
drgań własnych kolumny kierowniczej, jak również zbadania wpływu sztywności
zawieszenia na częstotliwość drgań własnych.
Nowe zawieszenie kolumny kierowniczej podniosło częstotliwość jej drgań
własnych o kilka herców powyżej wartości wymaganej przez ich odbiorcę.
Nowe nakrętki gumowo-stalowe zostały wprowadzone do produkcji po przejściu
testów walidacyjnych.
LITERATURA
1. Michalczyk J., Cieplok G.: Wysokoefektywne układy wibroizolacji i redukcji drgań.
Kraków: Collegium Columbinum, 1999.
2. Czubak P.: Redukcja sił przekazywanych na podłoże przez przenośnik wibracyjny. Praca
doktorska na Wydziale Inżynierii Mechanicznej i Robotyki. Kraków: AGH, 2000.
3. Jasiński A.: Analiza konstrukcyjna i zmiana częstotliwości drgań własnych kolumny
kierowniczej. Praca magisterska na Wydziale Inżynierii Mechanicznej i Robotyki,
Kraków: AGH, 2006.
ANALYSIS OF THE POSSIBILITY OF CHANGING NATURAL
VIBRATIONS FREQUENCY OF A STEERING COLUMN
Abstract. The possibility of changing the free vibrations frequency of the
steering column by means of changing parameters of its suspension - was
analysed in the paper. Certain changes in the suspension system of the steering
column allowing to increase the free vibrations frequency were proposed. After
passing the validation tests the proposed changes were introduced into the
production process.