Systemy liczbowe

Poniżej przedstawiony został przebieg lekcji. Część lekcji oznaczona została kolorem czerwonym – są
to między innymi zadania do zrobienia. Podpisz kartkę papieru swoim nazwiskiem, imieniem oraz
klasą. Napisz dzisiejszą datę i tytuł „Systemy liczbowe”. W trakcie omawiania zagadnień wykonaj
zadania i oddaj rozwiązania nauczycielowi.
Systemy liczbowe
Przebieg lekcji
1. Przypomnienie zasady zapisywania liczb w systemie pozycyjnym dziesiętnym.
2. Wykonanie ćwiczenia dotyczącego stosowania zapisu liczb z wykorzystaniem kolejnych potęg liczby dziesięć.
3. Wyjaśnienie istoty systemu pozycyjnego dwójkowego (binarnego).
4. Omówienie dlaczego system dwójkowy jest stosowany do zapisu danych w komputerze.
5. Ćwiczenie polegające na zamianie liczb przedstawionych w postaci dziesiętnej na liczby w postaci
dwójkowej (obliczanie kolejnych potęg liczby 2, korzystanie z Kalkulatora systemowego Windows) i odwrotnie.
6. Dyskusja nad zaletami i wadami systemu binarnego.
7. Istota systemu szesnastkowego.
8. Ćwiczenia dotyczące zamiany liczb dziesiętnych i dwójkowych na liczby szesnastkowe.
9. Dyskusja o zaletach szesnastkowego systemu zapisu liczb.
10. Sposób przypisywania znakom kodów ASCII.
11. Ćwiczenia z użyciem Tablicy znaków.
12. Kodowania znaków według standardu Unicode.
1. System dziesiętny
Dla ludzi naturalnym sposobem prezentacji liczb jest system dziesiętny. Oznacza to, że wyróżniamy dziesięć cytr. Są nimi:
zero, jeden, dwa, trzy, cztery, pięć, sześć, siedem, osiem oraz dziewięć. Oznacza się je odpowiednio: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
oraz 9. Wliczając zero, jest ich dziesięć. Zapis dziesiętny powstał wieki temu, prawdopodobnie, dlatego, że mamy dziesięć
palców.
Umiemy już policzyć do dziecięciu, wliczając liczbę zero. Natomiast co się stanie, gdy będziemy mieli do policzenia jakąś
większą ilość? Otóż, przeskakujemy automatycznie, na następną pozycję, a cyfry zwiększmy tylko na pozycji wysuniętej
najbardziej w prawo. Właśnie ta najbardziej w prawo wysunięta pozycja jest najsłabsza, a najbardziej w lewo - najmocniejsza.
Tym sposobem znowu zwiększamy cyfry, aż uzyskamy dziewięć. Następna liczba, przesunie cyfrę, która znajduje się o jedną
pozycję w lewo. Natomiast gdy już nawet dziewiątka będzie na najbardziej w lewo wysuniętej pozycji, dodajemy nową pozycję.
Cykl zaczyna się ponownie i tak w nieskończoność. Zobaczmy na przykładzie.
2. Weźmy na przykład liczbę 274, czyli dwieście siedemdziesiąt cztery. Na najsłabszej pozycji widnieje cyfra 4. Pozycja ta nosi
nazwę pozycji jedności, jeśli pamiętacie ze szkoły podstawowej. Mamy zatem 4 jedności. Na drugiej pozycji jest cyfra 7. Cyfra ta
znajduje się na drugiej pozycji, czyli pozycji dziesiątek. Można więc powiedzieć, że jest tam siedem dziesiątek, inaczej mówiąc
70 jedności. Na trzeciej natomiast pozycji jest cyfra 2. Trzecia pozycja to pozycja setek, czyli mam dwie setki. Innymi słowy,
liczba 274 to dwie setki, siedem dziesiątek i 4 jedności. Można to zapisać następująco: 4*1 + 7*10 + 2*100. Po dokonaniu
tegoż działania, wyjdzie 274. Jak widać, każdy kolejny składnik zawiera cyfrę z powyższej liczby oraz ciągle zwiększający
mnożnik. Mnożnik ten najpierw jest równy 1, potem 10, a na końcu 100. Znaczy to, że każdy następny jest pomnożony przez
10. Można więc zapisać to jeszcze inaczej. Liczba 274 to tak jak: 4*100 + 7*101 + 2*102. Jak widzimy, mnożnik to liczba 10 z
ciągle zwiększającą się potęgą.
Zapisz liczbę dziesiętną będącą rokiem Twojego urodzenia z wykorzystaniem kolejnych potęg liczby dziesięć,
Zapisz liczbę 1456(10) z wykorzystaniem kolejnych potęg liczby dziesięć
3. System dwójkowy czyli binarny
Składa się tylko z dwóch cyfr: 0 (zero) i 1 (jeden). Działa on analogicznie tak samo jak poprzedni systemy. Weźmy na
przykład kilka pierwszych liczb naszego systemu dziesiętnego. Będziemy je konwertować na system dwójkowy, zwany również
binarnym. Pierwsza liczba w naszym systemie to 0 (zero). W systemie dwójkowym, liczba ta również jest równa 0, gdyż istnieje
tam taka cyfra. Kolejna liczba to 1 (jeden). W systemie dwójkowym, również taka cyfra istnieje, więc zapisujemy 1. Kolejna
liczba to 2 (dwa). Wiemy, że nie istnieje tam taka cyfra, więc dodajemy kolejną pozycję, a pozycję wysuniętą na prawo,
zerujemy. Zatem liczba 2 w systemie dziesiętnym ma postać "10" w systemie dwójkowym. Bynajmniej nie jest to "dziesięć"
tylko "jeden, zero". Kolejne liczby w systemie dziesiętnym to: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 itd. W systemie dwójkowym wyglądają one
odpowiednio: 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001. Jak widzimy, zasada jest cały czas taka sama.
4. Komputer składa się z części elektronicznych. Wymiana informacji polega na odpowiednim przesyłaniem sygnałów. Podstawą
elektroniki jest prąd elektryczny, który w układach elektronicznych albo płynie albo nie. Zatem, aby łatwiej było komputerowi
rozpoznawać sygnały, interpretuje on płynący prąd jako "1" (jeden), a jego brak jako "0" (zero). Nie trudno się domyślić, że
komputer operując odpowiednim ustawieniem, kiedy ma płynąc prąd, a kiedy nie ustawia różne wartości zer i jedynek. Procesor
Poniżej przedstawiony został przebieg lekcji. Część lekcji oznaczona została kolorem czerwonym – są
to między innymi zadania do zrobienia. Podpisz kartkę papieru swoim nazwiskiem, imieniem oraz
klasą. Napisz dzisiejszą datę i tytuł „Systemy liczbowe”. W trakcie omawiania zagadnień wykonaj
zadania i oddaj rozwiązania nauczycielowi.
konwertuje je na liczby i w ten sposób powstają czytelne dla nas obrazy, teksty, dźwięk itd. Również na wszelkich nośnikach, np.
płyta CD, na której nagrywarka wypala malutkie wgłębienia. Właśnie te wgłębienia są jedynkami, a "równiny".
Komputer zna tylko zera i jedynki. Bity przyjmują tylko jedną z tych dwóch wartości. Osiem bitów to jeden bajt.
Ustawienie ośmiu bitów decyduje o numerze, który może przyjąć maksymalnie 256. Numer decyduje o znaku, jaki
komputer ma wykorzystać.
5. Konwersja liczby dwójkowej (binarnej) na dziesiętną
Skoro już wiesz, po co nam system binarny, dowiesz się jak przeliczać go na nasz system dziesiętny. Weźmy sobie zatem
jakąś liczbę zapisaną w systemie dwójkowym, np. 1000011. Jak już wcześniej mówiliśmy, zaczynamy od cyfr najsłabszych, czyli
wysuniętych najbardziej na prawo. Najbardziej na prawo wysunięta jest cyfra 1, a więc tak jak poprzednio mnożymy ją przez
podstawę systemu z odpowiednią potęgą. Podstawą systemu jest 2. Zatem, cała konwersja ma postać: 1*20 + 1*21 + 0*22 +
0*23 +0*24 + 0*25 +1*26, a to się równa: 1 + 2 + 0 + 0 + 0 + 0 + 64, czyli jest to 67 w systemie dziesiętnym.
Przelicz liczbę binarną 0101(2) na system dziesiętny,
Przelicz liczbę binarną 01001(2) na system dziesiętny,
Przelicz liczbę binarną 1100111(2) na system dziesiętny,
5. Konwersja liczby dziesiętnej na dwójkową (binarną)
Teraz, skoro już umiesz konwertować liczby z zapisu dwójkowego na dziesiętny warto by było skonwertować je odwrotnie, to
znaczy z zapisu dziesiętnego na dwójkowy. Gdybyśmy liczyli na piechotę, byśmy musieli sprawdzać kolejne wielokrotności liczby
2. Sposób ten raczej jest mało stosowany, zajmijmy się trochę lepszym. Jest to prosty sposób, wcale nie wymaga myślenia.
Najpierw bierzemy liczbę, jaką chcemy skonwertować na zapis dwójkowy. Weźmy liczbę z poprzedniego rozdziału i sprawdźmy,
czy nam się to zgadza. Zatem, liczba którą będziemy konwertować to 67. Sposób jest następujący: liczbę dzielimy przez 2 i
jeżeli wynik będzie z resztą: zapisujemy 1, jeżeli nie - zapisujemy 0. Następnie znowu dzielimy przez 2 to co zostało z liczby, ale
bez reszty. Taki proces trwa, aż zostanie 0 (zero). Otrzymane zera i jedynki zapisujemy w odwrotnej kolejności. Wyjaśni się to
wszystko na konkretnym przykładzie. Zatem do dzieła:
67
:2 |
1
33
:2 |
1
16
:2 |
0
8
:2 |
0
4
:2 |
0
2
:2 |
0
1
:2 |
1
Co daje 1000011. Jak widzimy, wynik zgadza się. Widać również, że zawsze na samym końcu po podzieleniu będzie 0, zatem
ostatnia liczba jest równa 1. Jeden podzielić na dwa zawsze wyjdzie 0,5 zatem wynik z resztą. Co za tym idzie - pierwsza cyfra w
zapisie dwójkowym jest ZAWSZE RÓWNA 1. Nie tylko matematycznie można to udowodnić. W elektronice, również musi być
taka postać rzeczy. Przyjęliśmy bowiem, że dla komputera brak przepływu prądu oznacza "0", natomiast przepływ prądu - "1".
Sygnał zatem nie może zaczynać się od "0", gdyż jest to brak sygnału. Procesor nie wie, czy sygnał już się zaczął, czy jeszcze
nie. Początek musi być "1" (jest sygnał).
Przelicz liczbę 56(10) na system binarny,
Przelicz liczbę 79(10) na system binarny,
Przelicz liczbę 99(10) na system binarny,
Poniżej przedstawiony został przebieg lekcji. Część lekcji oznaczona została kolorem czerwonym – są
to między innymi zadania do zrobienia. Podpisz kartkę papieru swoim nazwiskiem, imieniem oraz
klasą. Napisz dzisiejszą datę i tytuł „Systemy liczbowe”. W trakcie omawiania zagadnień wykonaj
zadania i oddaj rozwiązania nauczycielowi.
7. System szesnastkowy czyli heksadecymalny
https://pl.wikipedia.org/wiki/Szesnastkowy_system_liczbowy
Znamy już 2 systemy liczbowe: dziesiętny i dwójkowy. Wszystkie one działają analogicznie tak samo, zmienia się tylko
podstawa, czyli ilość cyfr. Teraz zajmiemy się nieco systemem szesnastkowym inaczej zwanym heksadecymalnym. Jest on dość
szeroko stosowany w dzisiejszej informatyce. Podstawą tego systemu jest 16. Musi istnieć więc szesnaście cyfr. Pierwsze
dziesięć już znasz. Są nimi odpowiednio: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 oraz 9. W naszym systemie, kolejną liczbą jest 10, natomiast w
systemie szesnastkowym jest ono reprezentowane przez A. Kolejne liczby to: 11 - B, 12 - C, 13 - D, 14 - E, 15 - F. Zatem, np.
liczby w systemie dziesiętnym: 2, 6, 9, 11, 14, w systemie szesnastkowym wyglądają odpowiednio: 2, 6, 9, B, E. Widać od razu,
że duże liczby zajmują w systemie szesnastkowym mało miejsca. Dlatego właśnie jest on tak przydatny.
8. Konwersja liczby szesnastkowej na dziesiętną
Konwersja ta odbywa się podobnie jak w przypadku liczb binarnych, z tym, że podstawą jest nie 2 a 16. Weźmy dowolnie
wymyśloną liczbę w zapisie szesnastkowym, na przykład AB12 (co czytamy: a b jeden dwa). Bierzemy cyfrę wysuniętą
najbardziej w prawo i postępujemy tak samo jak w przypadku liczb dwójkowych, ale zamiast mnożnika 2 mamy 16. Zatem jest
to: 2*160 + 1*161 + 11*162 + 10*163 , a więc jest to 2 + 16 + 2816 + 40960, a więc jest to liczba 43794 w zapisie
dziesiętnym.
8. Konwersja liczby dziesiętnej na szesnastkowy
No to warto by było teraz z powrotem odwrócić liczbę 43794 w zapisie dziesiętnym na AB12 w szesnastkowym.
Najpierw musimy sobie napisać jakie są kolejne wielokrotności liczby 16. A są to: 1, 16, 256, 4096, 65536 itd. Jak widać nasza
liczba w systemie dziesiętnym, czyli 43794 jest między liczbą 4096, a 65536. Bierzemy pod uwagę liczbę mniejszą od naszej,
czyli 4096. Jest ona czwartą wielokrotnością, więc nasza liczba w systemie szesnastkowym będzie miała 4 cyfry (na razie
wszystko się zgadza). Teraz sprawdzam, ile razy liczba 4096 mieści się w naszej liczbie konwertowanej, czyli 43794. Okazuje
się, że mieści się 10 razy. 10 w systemie szesnastkowym to A, zatem pierwsza cyfra to A. Jak widać, w dalszym ciągu wszystko
się zgadza. Teraz, skoro liczba 4096 zmieściła się dziesięć razy w 43794, to jeszcze zapewne została jakaś reszta. Obliczamy
sobie tą resztę. Mnożymy zatem 4096*10 co daje 40960. Teraz odejmujemy wynik od naszej liczby i obliczamy resztę. Zatem
43794 - 40960 = 2834. To jest nasza reszta. Następnie z resztą postępujemy tak samo, jak na początku konwersji. Już na oko
widać, że w następnym kroku sprawdzamy ile razy 256 mieści się w 2834. Mieści się 11 razy, zatem kolejna cyfra szukanego
zapisu to B. Następnie znowu: obliczamy resztę, itd. Końcowy wynik powinien wynosić AB12. Tak oto skonwertowaliśmy liczbę z
zapisu dziesiętnego na szesnastkowy.
Konwersja liczby dwójkowej na szesnastkowy
Konwersja ta jest bardzo prosta i wcale nie wymaga skomplikowanych obliczeń. Zobaczcie, jaka jest maksymalna liczba w
zapisie dwójkowym składająca się z 4 bitów. Jeżeli liczba ma być maksymalna, wszystkie jej cyfry muszą mieć maksymalne
wartości. Ma ona zatem postać: 1111. Po przeliczeniu, otrzymamy 15 w zapisie dziesiętnym. Jak pewnie zauważyliście, 15 jest
to maksymalna cyfra w zapisie szesnastkowym, czyli F. Daje to trochę do myślenia, ale najważniejszy jest jeden fakt: każda
liczba składająca się z czterech cyfr w zapisie dwójkowym da się zapisać jako jedna cyfra w zapisie szesnastkowym. Zatem,
kolejne liczby w zapisie dwójkowym i szesnastkowym to:
Zapis dwójkowy:
Zapis szesnastkowy:
0000
0
0001
1
0010
2
0011
3
0100
4
0101
5
0110
6
0111
7
1000
8
1001
9
1010
A
Poniżej przedstawiony został przebieg lekcji. Część lekcji oznaczona została kolorem czerwonym – są
to między innymi zadania do zrobienia. Podpisz kartkę papieru swoim nazwiskiem, imieniem oraz
klasą. Napisz dzisiejszą datę i tytuł „Systemy liczbowe”. W trakcie omawiania zagadnień wykonaj
zadania i oddaj rozwiązania nauczycielowi.
1011
B
1100
C
1101
D
1110
E
1111
F
Weźmy dla przykładu wcześniej już wspomnianą liczbę 67 w systemie dziesiętnym. Przekształciliśmy ją na 1000011 w zapisie
dwójkowym. Jak teraz z tego otrzymać zapis szesnastkowy? Otóż bardzo prosto. Dzielimy kod binarny na czterocyfrowe grupy
od prawej strony zaczynając. Jeżeli z lewej strony nie będzie czterech cyfr - dopisujemy z przodu zera. Zatem, otrzymamy dwie
grupy. Są to: 0100 oraz 0011. Teraz wystarczy zamienić je na odpowiednie cyfry z zapisu szesnastkowego (można się posłużyć
powyższą tabelą). W efekcie otrzymamy: 43 w zapisie szesnastkowym. Warto by było jeszcze sprawdzić czy wynik się zgadza
konwertując zapis szesnastkowy na dziesiętny. Zatem jest to: 3*160 + 4*161, czyli 3 + 64, czyli 67 w zapisie dziesiętnym. Jak
widzimy, wszystko się zgadza.
Konwersja liczby szesnastkowej na dwójkową
A wykonuje ją się odwrotnie jak dwójkową na szesnastkową. Po prostu kolejne cyfry w zapisie szesnastkowym zapisujesz jako
cztery cyfry w zapisie dwójkowym. Pamiętaj, że każda cyfra w zapisie szesnastkowym odpowiada jako 4 cyfry w zapisie
dwójkowym (nie więcej i nie mniej). Ewentualnie możesz pozbyć się zer znajdujących się na najbardziej w lewo wysuniętej
pozycji, aż znajdziesz tam jedynkę, gdyż mówiliśmy o tym, że kod binarny zawsze zaczyna się od 1 (np. jeśli wyjdzie
0001100101110 to możesz to zapisać jako 1100101110 pozbywając się zer z początku).
10. Sposób przypisywania znakom kodów ASCII.
Wejdź na stronę https://pl.wikipedia.org/wiki/ASCII
Napisz co to jest kod ASCII?
Napisz jaki jest podział znaków ASCII
Jaki znak w kodzie ASCII kryje się pod 0111 0110(2)
Jaki znak w kodzie ASCII kryje się pod 0010 1010 (2)
Jaki znak w kodzie ASCII kryje się pod 0010 0000 (2
12. Sposób przypisywania znakom kodów UNICODE.
Wejdź na stronę https://pl.wikipedia.org/wiki/Unicode
Czym się różni kodowanie UNICODE od ASCII?
Wyszukaj i napisz co to jest UTF-8 – system kodowania.