algebra - struktury algebraiczne

Lista zadań z algebry – struktury algebraiczne
PERMUTACJE
Niech n będzie ustaloną liczbą naturalną, a f funkcją wzajemnie jednoznaczną
przekształcającą zbiór {1,2,…,n} w siebie. Wtedy permutacją f zbioru {1,2,…,n}
oznaczamy symbolem i definiujemy
f({1,2,…,n}) =def (f(1), f(2), …, f(n)) piszemy w skrócie f = (f(1), f(2), …, f(n))
Definiujemy superpozycję (składanie) permutacji
f*g =def (f(g(1)), f(g(2)), …, f(g(n)))
Definiujemy grupę Gn permutacji zbioru {1,2,…,n} z działaniem mnożenia f1* f2
Twierdzenie
Jeśli n > 2 to grupa Gn nie jest przemienna (abelowa).
Zad. 1 Dla grupy G3 sprawdzić, że gdy f = (2,3,1) i g = (1,3,2) to f*g
Znaleźć elementy odwrotne f-1 i g-1.
g*f .
Zad. 2 Znaleźć w grupie G4 wszystkie potęgi f k , k = 1,2,3,4 permutacji f = (2,4,1,3).
Pokazać, że zbiór ten jest pewną podgrupą H grupy G4 i H jest grupą abelową i grupą
cykliczną o generatorze f. Znaleźć drugi generator tej podgrupy.
Zad. 3 W zbiorze liczb A = {0,1,2} określamy dwa działania: dodawanie i mnożenie
tabelkami. Sprawdzić, że zbiór A tworzy ciało.
+
0
1
2
0
0
1
2
1
1
2
0
2
2
0
1
*
0
1
2
0
0
0
0
1
0
1
2
2
0
2
1
Zad. 4 W zbiorze B = {0,1,2,3} określamy dwa działania: dodawanie i mnożenie
tabelkami. Pokazać, że jest to pierścień przemienny z jedynką i dzielnikami zera.
Pokazać, że nie jest to ciało.
+
0
1
2
3
0
0
1
2
3
1
1
2
3
0
2
2
3
0
1
3
3
0
1
2
*
0
1
2
3
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
2
0
2
0
2
3
0
3
2
1
KONGRUENCJE
Definicja Niech m będzie ustaloną liczbą naturalną. Mówimy, że liczba całkowita a
przystaje do liczby całkowitej b modulo m : a b(mod m) ↔def
Tak określoną relację aρb nazywamy kongruencją. Liczbę m nazywamy modułem
kongruencji. Jeśli m jest ustaloną liczbą naturalną to
r – nazywamy resztą z dzielenia a przez m,
dzielenia a przez m
np.
q – nazywamy częścią całkowitą z
17
-19
FUNKCJA EULERA
Definicja Funkcję (m)=def liczba reszt (mod m) względnie pierwszych z m
nazywamy funkcją Eulera.
np.
(9)=6
reszty(mod9) względnie pierwsze z 9 to 1,2,4,5,7,8.
Twierdzenie Eulera
Jeśli m > 1 i NWD(a, m)=1
to
W szczególności jeśli m = p liczba pierwsza to prawdziwe jest Małe twierdzenie
Fermata
Ciało liczb całkowitych modulo p - liczba pierwsza
Jest to zbiór reszt Z/(p) = {0,1, …, p - 1} (mod p) z działaniami dodawania i
mnożenia (mod p).
Grupa multiplikatywna G(p) = {1,2, …, p - 1} zbiór reszt (mod p) z działaniem
mnożenia (mod p)
Zad. 5
Znaleźć wszystkie generatory grupy G(7).
Wskazówka:
Jeśli g jest generatorem (pierwiastkiem pierwotnym) grupy G(p)
k
to g gdzie NWD(k, p-1) = 1 jest także pierwiastkiem pierwotnym grupy G(p).
Zad. 6 Znaleźć wszystkie pierwiastki kongruencji kwadratowej x2 + x + 1
(mod7)
Zad. 7 Pokazać, że kongruencja kwadratowa x2 + 3x +1
rozwiązania
0
(mod7) nie ma
Zad. 8 Pokazać, że kongruencja x4 - 6x3 + 13x2 - 24x + 36
ma
podwójny pierwiastek x=3. Znaleźć pozostałe pierwiastki tej kongruencji o ile istnieją.
Zad. 9 Pokazać, że zbiór wszystkich pierwiastków p-tego stopnia (p - ustalona
liczba pierwsza) z jedności jest grupą. Każdy pierwiastek różny od 1 jest
generatorem tej grupy.
dr Krzysztof Orłowski