Wst¦p do logiki i teorii mnogo±ci Kartkówka 5., grupa A.

Wst¦p do logiki i teorii mnogo±ci
Kartkówka 5., grupa A.
17.01.2017
Imi¦ i nazwisko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zadanie 1.
Wyka», »e relacja
∼
okre±lona na zbiorze liczb caªkowitych
Z
jako
x ∼ y ⇔ 5|x + 4y
jest relacj¡ równowa»no±ci.
Sprawdzamy, czy relacja ∼ jest zwrotna, symetryczna i przechodnia.
∀x ∈ Z 5|5x, czyli ∀x ∈ Z x ∼ x. Zatem ∼ jest zwrotna.
Je±li x ∼ y , to 5|x + 4y , a zatem 5|5x + 5y − (x + 4y), wi¦c 5|y + 4x, czyli y ∼ x. Zatem ∼ jest symetryczna.
Je±li x ∼ y i y ∼ z , to 5|x + 4y i 5|y + 4z , a zatem 5|x + 4y + y + 4z , wi¦c 5|x + 4z , czyli x ∼ z . Zatem ∼
Rozwi¡zanie.
1.
2.
3.
jest
przechodnia.
Zadanie 2.
Narysuj diagram Hassego relacji podzielno±ci na zbiorze
{2, 3, 4, 6, 8, 12}.
Wska» elementy maksymalne i
najwi¦ksze w tym porz¡dku.
Rozwi¡zanie.
Elementy maksymalne to 8 i 12 (nie istnieje w podanym zbiorze liczba b¦d¡ca wielokrotno±ci¡ 8 lub 12).
Nie istnieje element najwi¦kszy (nie istnieje w podanym zbiorze liczba, która byªaby wielokrotno±ci¡ ka»dej liczby w
zbiorze).
Zadanie 3.
Na zbiorze
R\ {0}
okre±lamy relacj¦ równowa»no±ci
≈
a≈b⇔a·b>0
Opisz klasy abstrakcji tej relacji równowa»no±ci. Z ilu elementów skªada si¦ przestrze« ilorazowa
Rozwi¡zanie.
Zauwa»my, »e je±li
x, y > 0,
to
x·y >0
oraz je±li
x, y < 0,
to
x · y > 0.
Zatem jedn¡ klas¦ abstrakcji tworz¡ liczby dodatnie, jest to klasa abstrakcji np. jedynki:
[1]≈ = (0, ∞) .
Drug¡ klas¦ abstrakcji tworz¡ liczby ujemne, jest to klasa abstrakcji np. minus jedynki:
[−1]≈ = (−∞, 0) .
Zatem przestrze« ilorazowa ma dwa elementy:
(R\ {0}) / ≈= [1]≈ , [−1]≈ = {(0, ∞) , (−∞, 0)}
(R\ {0}) / ≈?
Wst¦p do logiki i teorii mnogo±ci
Kartkówka 5., grupa B.
17.01.2017
Imi¦ i nazwisko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zadanie 1.
Wyka», »e relacja
∼
okre±lona na zbiorze liczb caªkowitych
Z
jako
x ∼ y ⇔ 5|3x + 2y
jest relacj¡ równowa»no±ci.
Sprawdzamy, czy relacja ∼ jest zwrotna, symetryczna i przechodnia.
∀x ∈ Z 5|5x, czyli ∀x ∈ Z x ∼ x. Zatem ∼ jest zwrotna.
Je±li x ∼ y , to 5|3x + 2y , a zatem 5|5x + 5y − (3x + 2y), wi¦c 5|3y + 2x, czyli y ∼ x. Zatem ∼ jest symetryczna.
Je±li x ∼ y i y ∼ z , to 5|3x + 2y i 5|3y + 2z , a zatem 5|3x + 2y + 3y + 2z , wi¦c 5|3x + 2z , czyli x ∼ z . Zatem ∼
Rozwi¡zanie.
1.
2.
3.
jest
przechodnia.
Zadanie 2.
Narysuj diagram Hassego relacji podzielno±ci na zbiorze
{2, 4, 5, 8, 10, 20}.
Wska» elementy minimalne i
najmniejsze w tym porz¡dku.
Rozwi¡zanie.
Elementy minimalne to 2 i 5 (nie istnieje w podanym zbiorze liczba b¦d¡ca dzielnikiem wªa±ciwym 2 lub
5).
Nie istnieje element najmniejszy (nie istnieje w podanym zbiorze liczba, która byªaby dzielnikiem ka»dej liczby w zbiorze).
Zadanie 3.
Na zbiorze
Z\ {0}
okre±lamy relacj¦ równowa»no±ci
≈
a≈b⇔a·b>0
Opisz klasy abstrakcji tej relacji równowa»no±ci. Z ilu elementów skªada si¦ przestrze« ilorazowa
Rozwi¡zanie.
Zauwa»my, »e je±li
x, y > 0,
to
x·y >0
oraz je±li
x, y < 0,
to
x · y > 0.
Zatem jedn¡ klas¦ abstrakcji tworz¡ liczby dodatnie, jest to klasa abstrakcji np. jedynki:
[1]≈ = {1, 2, 3, ...} = Z+ .
Drug¡ klas¦ abstrakcji tworz¡ liczby ujemne, jest to klasa abstrakcji np. minus jedynki:
[−1]≈ = {−1, −2, −3, ...} = Z− .
Zatem przestrze« ilorazowa ma dwa elementy:
(Z\ {0}) / ≈= [1]≈ , [−1]≈ = {Z+ , Z− }
(Z\ {0}) / ≈?