WMiI - Algebra - Ćwiczenia Arkusz 3
Transkrypt
WMiI - Algebra - Ćwiczenia Arkusz 3
WMiI - Algebra - Ćwiczenia Arkusz 3 - WARSTWY, DZIELNIKI NORMALNE, GRUPY ILORAZOWE Zadanie 1. Wyznacz wszystkie warstwy grupy G względem podgrupy H oraz określ indH (G): a) G = Z20 i H =< 5 >, f) G = Z8 i H =< 2 >, b) G = Z20 i H =< 2 >, g) G = Φ(11) i H =< 10 >, c) G = Φ(16) i H =< 5 >, h) G = (R, +) i H = R, d) G = Φ(10) i H =< 3 >, i) G = (R∗ , ·) i H = {−1, 1}, e) G = R∗ i H = R+ , j) G = (Z, +) i H = 3Z. Przeanalizuj na tych przykładach twierdzenie Lagrange’a. Zadanie 2. Wyznacz wszystkie warstwy lewostronne i prawostronne grupy Z12 względem poniższej podgrupy H: a) {0} c) {0, 4, 8} e) {0, 2, 4, 6, 8, 10} b) {0, 6} d) {0, 3, 6, 9} f) Z12 Zadanie 3. Wyznacz wszystkie warstwy lewostronne i prawostronne grupy Φ(13) względem poniższej podgrupy H: a) {1} c) {1, 3, 9} e) {1, 3, 4, 9, 10, 12} b) {1, 12} d) {1, 5, 8, 12} f) Φ(13) Zadanie 4. Sprawdź, czy elementy x i y należą do tej samej warstwy grupy G względem podgrupy H: a) G = R∗ ; H = {−1, 1}, x = −3, y = 3, b) G = R∗ ; H = R+ , x = −3, y = 3, √ √ c) G = C∗ ; H = {z ∈ C∗ : |z| = 1}, x = −3 + 2i, y = 2 2 + i 5, d) G = C; H = {z ∈ C : 2Rez = 5Imz}, x = 3 − 4i, y = 6 − 2i, 2 4 −1 2 , y = e) G = GL(2, R); H = {A ∈ G : detA > 0}, x = −1 1 , 3 0 −1 2 2 4 . f) G = GL(2, R); H = {A ∈ G : |detA| = 1}, x = , y = 3 0 −1 1 Zadanie 5. Wyznacz i opisz wszystkie warstwy grupy G względem podgrupy H. Który ze zbiorów H jest dzielnikiem normalnym grupy G? Tam, gdzie to możliwe wyznacz elementy odpowiedniej grupy ilorazowej oraz zbuduj tabelkę działania w tej grupie. a) G = C∗ ; H = {z ∈ C∗ : |z| = 1}, d) G = GL(2, R); H = {A ∈ G : |detA| = 1}, b) G = C; H = {z ∈ C : 2Rez = 5Imz}, e) G = C; H = R, c) G = GL(2, R); H = {A ∈ G : detA > 0}, f) G = Z; H = 5Z. Zadanie 6. Niech a b a 0 1 ∗ ∗ : a ∈ R : a ∈ R , b ∈ R ,F= G= ,H = 0 0 1 0 1 1 b : b ∈ R Sprawdź, czy: 1 WMiI - Algebra - Ćwiczenia a) H jest podgrupą grupy G c) F jest podgrupą grupy G b) H jest dzielnikiem normalnym grupy G d) F jest dzielnikiem normalnym grupy G Zadanie 7. Niech H = {f ∈ S(N) : f (n) = n dla prawie wszystkichn ∈ N}. Sprawdź, czy H jest dzielnikiem normalnym grupy S(N). Zadanie 8. Sprawdź, że jeśli S jest niżej podanym podzbiorem zbioru R∗ i H = {λI ∈ GL(n, R) : λ ∈ S}, to H jest dzielnikiem normalnym grupy GL(n, R). b) R+ , a) R∗ , d) Q+ . c) Q∗ , Zadanie 9. Udowodnij, że zbiór L wszystkich funkcji f : R → R, które są postaci f (x) = ax + b, gdzie a ∈ R∗ , b ∈ R tworzy grupę przekształceń zbioru R. Wykaż, że: a) podzbiór H grupy L utworzony przez wszystkie funkcje postaci f (x) = ax, gdzie a ∈ R∗ jest podgrupą lecz nie jest dzielnikiem normalnym grupy L, b) podzbiór F grupy L utworzony przez wszystkie funkcje postaci f (x) = x + b, gdzie b ∈ R jest dzielnikiem normalnym grupy L. Zadanie 10. Niech G będzie grupą i niech H będzie podgrupą grupy G oraz F będzie dzielnikiem normalnym grupy G. Wykaż, że zbiór HF := {hf : h ∈ H, f ∈ F} jest podgrupą grupy G. Zadanie 11. Wskaż elementy grupy ilorazowej Φ(n)/H oraz utwórz tabelkę działania w tej grupie jeśli a) n = 7 b) n = 27 H = {1, 2, 4} c) n = 15 H = {1, 11} H = {1, 8, 10, 17, 19, 26} Zadanie 12. Wykaż, że zbiór funkcji ciągłych określonych na < 0, 1 > takich, że f (x0 ) = 0, dla pewnego x0 ∈< 0, 1 > jest dzialnikiem normalnym w grupie wszystkich funkcji ciągłych określonych na < 0, 1 > z działaniem dodawania funkcji. Znajdź odpowiednią grupę ilorazową. 2