Zestaw zagadnień na egzamin dyplomowy, Matematyka studia

INSTYTUT MATEMATYKI
Zestaw zagadnień na egzamin dyplomowy,
Matematyka studia pierwszego stopnia
1.
2.
3.
4.
5.
Omówić różne definicje prawdopodobieństwa.
Sformułować i udowodnić twierdzenie Bayesa oraz wskazać jego zastosowanie.
Podać typy zmiennych losowych i ich charakterystyki funkcyjne.
Omówić charakterystyki lokalizacyjne i charakterystyki rozrzutu zmiennej losowej.
Sformułować i udowodnić twierdzenie Poissona oraz podać zastosowanie tego
twierdzenia.
6. Sformułować centralne twierdzenie graniczne i podać jego zastosowanie.
7. Sformułować twierdzenie o rozkładzie chi-kwadrat i podać jego zastosowanie.
8. Podać twierdzenie o rozkładzie średniej arytmetycznej i przykład jego
zastosowania.
9. Podać twierdzenie o rozkładzie t-Studenta i jego zastosowanie.
10. Omówić rodzaje błędów przy weryfikacji hipotez statystycznych. Co to jest istotność
testu i moc testu?
11. Konstrukcja Dedekinda zbioru liczb rzeczywistych.
12. Podstawowe twierdzenia o kresach zbiorów.
13. Ciągi monotoniczne, ograniczone i zbieżne. Związki między tymi pojęciami.
14. Przykłady zastosowań twierdzenia Bolzano-Weierstrassa w teorii ciągów
liczbowych.
15. Kryteria zbieżności szeregów szeregów o wyrazach nieujemnych.
16. Podstawowe własności granicy funkcji w punkcie.
17. Ciągłość funkcji. Własności funkcji ciągłych na przedziale domkniętym. Twierdzenie
Darbouix.
18. Pochodna funkcji w punkcie. Podstawowe własności pochodnych.
19. Twierdzenia o wartości średniej dla rachunku różniczkowego.
20. Badanie przebiegu zmienności funkcji.
21. Reguła de l'Hospitala i jej zastosowanie do rozmaitych wyrażeń nieoznaczonych.
22. Pochodne wyższych rzędów. Rozwijanie funkcji w szereg Maclaurina.
23. Promień zbieżności szeregu potęgowego. Twierdzenie Cauchy’ego-Hadamarda.
24. Podstawowe metody całkowania.
25. Twierdzenia o wartości średniej dla rachunku całkowego.
26. Geometryczne zastosowania całek oznaczonych.
27. Pochodne cząstkowe rzędu pierwszego i drugiego dla funkcji wielu zmiennych.
Twierdzenie Schwarza o pochodnych mieszanych.
28. Warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum dla funkcji wielu
zmiennych.
29. Poszukiwanie ekstremów funkcji uwikłanej.
30. Całki wielokrotne i ich zastosowanie.
31. Całki krzywoliniowe.
32. Twierdzenie Greena i jego zastosowania.
33. Całki niewłaściwe. Kryterium całkowe zbieżności szeregów.
34. Twierdzenie o własności minimum współczynników Fouriera. Nierówność Bessela.
35. Twierdzenia o zbieżności szeregu Fouriera.
36. Funkcja Γ i β Eulera.
37. Przestrzeń liniowa : wektory liniowo zależne i wektory liniowo niezależne, wymiar i
baza przestrzeni liniowej.
38. Rząd macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego.
39. Iloczyn skalarny, wektorowy i iloczyn mieszany wektorów w przestrzeni – definicja i
zastosowania.
40. Wybrane równania płaszczyzny i prostej w przestrzeni.
41. Postać algebraiczna i trygonometryczna liczby zespolonej.
42. Określoność formy kwadratowej i kryterium Sylvestera.
43. Przestrzeń euklidesowa, baza ortogonalna - definicje.
44. Krzywe stożkowe – definicje i równania.
45. Powierzchnie 2 stopnia - definicje i równania.