Zestaw zagadnień na egzamin dyplomowy, Matematyka studia
Transkrypt
Zestaw zagadnień na egzamin dyplomowy, Matematyka studia
INSTYTUT MATEMATYKI Zestaw zagadnień na egzamin dyplomowy, Matematyka studia pierwszego stopnia 1. 2. 3. 4. 5. Omówić różne definicje prawdopodobieństwa. Sformułować i udowodnić twierdzenie Bayesa oraz wskazać jego zastosowanie. Podać typy zmiennych losowych i ich charakterystyki funkcyjne. Omówić charakterystyki lokalizacyjne i charakterystyki rozrzutu zmiennej losowej. Sformułować i udowodnić twierdzenie Poissona oraz podać zastosowanie tego twierdzenia. 6. Sformułować centralne twierdzenie graniczne i podać jego zastosowanie. 7. Sformułować twierdzenie o rozkładzie chi-kwadrat i podać jego zastosowanie. 8. Podać twierdzenie o rozkładzie średniej arytmetycznej i przykład jego zastosowania. 9. Podać twierdzenie o rozkładzie t-Studenta i jego zastosowanie. 10. Omówić rodzaje błędów przy weryfikacji hipotez statystycznych. Co to jest istotność testu i moc testu? 11. Konstrukcja Dedekinda zbioru liczb rzeczywistych. 12. Podstawowe twierdzenia o kresach zbiorów. 13. Ciągi monotoniczne, ograniczone i zbieżne. Związki między tymi pojęciami. 14. Przykłady zastosowań twierdzenia Bolzano-Weierstrassa w teorii ciągów liczbowych. 15. Kryteria zbieżności szeregów szeregów o wyrazach nieujemnych. 16. Podstawowe własności granicy funkcji w punkcie. 17. Ciągłość funkcji. Własności funkcji ciągłych na przedziale domkniętym. Twierdzenie Darbouix. 18. Pochodna funkcji w punkcie. Podstawowe własności pochodnych. 19. Twierdzenia o wartości średniej dla rachunku różniczkowego. 20. Badanie przebiegu zmienności funkcji. 21. Reguła de l'Hospitala i jej zastosowanie do rozmaitych wyrażeń nieoznaczonych. 22. Pochodne wyższych rzędów. Rozwijanie funkcji w szereg Maclaurina. 23. Promień zbieżności szeregu potęgowego. Twierdzenie Cauchy’ego-Hadamarda. 24. Podstawowe metody całkowania. 25. Twierdzenia o wartości średniej dla rachunku całkowego. 26. Geometryczne zastosowania całek oznaczonych. 27. Pochodne cząstkowe rzędu pierwszego i drugiego dla funkcji wielu zmiennych. Twierdzenie Schwarza o pochodnych mieszanych. 28. Warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum dla funkcji wielu zmiennych. 29. Poszukiwanie ekstremów funkcji uwikłanej. 30. Całki wielokrotne i ich zastosowanie. 31. Całki krzywoliniowe. 32. Twierdzenie Greena i jego zastosowania. 33. Całki niewłaściwe. Kryterium całkowe zbieżności szeregów. 34. Twierdzenie o własności minimum współczynników Fouriera. Nierówność Bessela. 35. Twierdzenia o zbieżności szeregu Fouriera. 36. Funkcja Γ i β Eulera. 37. Przestrzeń liniowa : wektory liniowo zależne i wektory liniowo niezależne, wymiar i baza przestrzeni liniowej. 38. Rząd macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego. 39. Iloczyn skalarny, wektorowy i iloczyn mieszany wektorów w przestrzeni – definicja i zastosowania. 40. Wybrane równania płaszczyzny i prostej w przestrzeni. 41. Postać algebraiczna i trygonometryczna liczby zespolonej. 42. Określoność formy kwadratowej i kryterium Sylvestera. 43. Przestrzeń euklidesowa, baza ortogonalna - definicje. 44. Krzywe stożkowe – definicje i równania. 45. Powierzchnie 2 stopnia - definicje i równania.