Warunki równowagi płaskich układów sił ∑ ∑ ∑ ∑

Warunki równowagi płaskich układów sił
W praktyce najczęściej mamy do czynienia z układami prostszymi niż układy przestrzenne dowolne. Zaliczamy do nich
układy sił: płaskie, zbieżne, działające wzdłuż jednej prostej, itp.
Płaski dowolny układ sił
W przypadku, gdy wszystkie siły rozpatrywanego układu leżą w jednej płaszczyźnie x, y, to równania (2.5), (2.6) i (2.7)
stają się trywialne (0 = 0) i pozostają tylko trzy równania równowagi:
n
∑
i =1
Pxi = 0 ,
n
∑
i =1
n
Pyi = 0 ,
∑
i =1
M zi =
n
∑ ( xi Pyi − yi Pxi ) = 0 .
(2.9)-(2.11)
i =1
P1
Pi
y
i
ri
yi
O
xi
Pn
x
Płaski dowolny układ sił
Warunkiem koniecznym i dostatecznym równowagi płaskiego dowolnego układu sił jest zerowanie się sum rzutów sił na
dwie nierównoległe (np. prostopadłe w układzie prostokątnym) osie leżące w płaszczyźnie działania sił oraz
zerowanie się sumy momentów tych sił względem dowolnie obranego punktu O, leżącego na tej płaszczyźnie.
Rozpatrując płaski dowolny układ sił możemy mieć tylko trzy niewiadome.
Prof. Edmund Wittbrodt
Płaski zbieżny układ sił
W przypadku, gdy wszystkie siły układu działają w jednej płaszczyźnie xy oraz ich linie działania przecinają się w jednym
punkcie (rys. 2.5), to równanie (2.14) staje się trywialne i mamy tylko dwa równania równowagi:
n
∑ Pxi = 0 ,
(2.15)
i =1
n
∑ Pyi = 0 .
(2.16)
i =1
y
P2
Pn
P1
x
Płaski zbieżny układ sił
Warunkiem koniecznym i dostatecznym równowagi płaskiego zbieżnego układu sił jest zerowanie się sum rzutów sił na
osie układu prostokątnego, leżącego w płaszczyźnie działania tych sił.
Rozpatrując płaski zbieżny układ sił możemy mieć tylko dwie niewiadome.
Prof. Edmund Wittbrodt
Płaski równoległy układ sił
Jeżeli wszystkie siły rozpatrywanego układu leżą w płaszczyźnie xy oraz dodatkowo są równoległe do osi x (rys. 2.8), to
równanie (2.10) jest trywialne i mamy dwa równania równowagi:
n
∑ Pxi = 0 ,
(2.21)
i =1
n
n
i =1
i =1
∑ M zi = ∑ ( xi Pyi − yi Pxi ) = 0 .
(2.22)
y
P1
P2
x
Pn
Płaski równoległy układ sił
Warunkiem koniecznym i dostatecznym równowagi płaskiego równoległego układu sił jest zerowanie się sumy rzutów sił
na oś równoległą do sił oraz zerowanie się sumy momentów względem dowolnie obranego punktu O, leżącego w
płaszczyźnie działania sił.
Rozpatrując płaski równoległy układ sił możemy mieć tylko dwie niewiadome.
Prof. Edmund Wittbrodt
Układ sił działających na jednej prostej
Jeżeli wszystkie siły rozpatrywanego układu leżą na jednej prostej, np. osi x, to równanie (2.16) staje się trywialne i
pozostaje tylko jedno równanie
n
∑ Pxi = 0 .
(2.17)
i =1
x
Pn
P2
P1
Układ sił działających na jednej prostej
Warunkiem koniecznym i dostatecznym równowagi układu sił leżących na jednej prostej jest zerowanie się sumy rzutów
sił na oś równoległą do linii działania sił.
Rozpatrując układ sił działających na jednej prostej możemy mieć tylko jedną niewiadomą.
Prof. Edmund Wittbrodt
Zestawienie warunków równowagi układów sił
Schemat układu sił
Równania równowagi
P2
P1
y
x
P3
z
Pn
P1
P3
P2
Pn
xi
=0
yi
=0
zi
=0
∑P
∑P
∑P
∑M
∑M
∑M
z
zbieżny przestrzenny
dowolny przestrzenny
Układ sił
xi
=0
yi
=0
zi
=0
xi
=0
yi
=0
zi
=0
∑P
∑P
∑P
y
x
równoległy
przestrzenny
z
P2
P1
∑P
∑M
∑M
zi
P3
Pn
y
=0
xi
=0
yi
=0
dowolny
płaski
x
P2
y
P1
Pn
A
P3
x
xi
=0
yi
=0
∑P
∑P
∑M
Ai
=0
Prof. Edmund Wittbrodt
zbieżny płaski
równoległy
płaski
działający na jednej
prostej
P1
y
P3
P2
Pn
y
P2
P1
A
xi
=0
yi
=0
∑P
∑M
=0
x
Pn
P3
∑P
∑P
yi
Ai
=0
x
Pn
P3
P2
x
∑P
xi
=0
P1
Ponadto:
2 SIŁY
Jeżeli układ dwóch sił jest w równowadze, to siły te muszą być dwójką zerową
3 SIŁY
Jeżeli układ trzech sił jest w równowadze, to linie działania tych sił muszą przecinać się w jednym punkcie i leżeć w jednej
płaszczyźnie (muszą stanowić płaski zbieżny układ sił)
Prof. Edmund Wittbrodt