lista 9 - Uniwersyteckie Koło Matematyczne

Wydział Matematyki i Informatyki UMK w Toruniu
Uniwersyteckie Koło Matematyczne dla uczniów szkół średnich
Lista zadań nr 9 – spotkanie w dniu 19.01.2008.
Niezmienniki w zadaniach olimpijskich
1. Na tablicy wypisano wszystkie liczby naturalne od 1 aż do 2009. Następnie dwie
z nich ścieramy i na tablicy zapisujemy ich różnicę. Operację tę powtarzamy
w stosunku do liczb będących na tablicy tak długo, aż pozostanie jedna liczba.
Czy może to być zero?
2. Na polu B3 szachownicy 8 × 8 napisano +1, a na pozostałych −1. Przy pomocy
jednej „operacji” można zmienić wszystkie znaki w jednej kolumnie lub jednym wierszu. Wykazać, że przy pomocy tak określonych „operacji” nigdy nie
otrzymamy +1 na wszystkich polach szachownicy.
3. Mamy daną liczbę 2007! = 1 · 2 · . . . · 2007. Obliczamy sumę cyfr tej liczby,
następnie sumę cyfr tak otrzymanej liczby i tak dalej. Postępujemy tak, aż
otrzymamy liczbę jednocyfrową. Jaka to będzie liczba?
4. Czy można pokryć kwadrat o wymiarach 10 × 10 kostkami o wymiarach 4 × 1?
5. Tarczę koła dzielimy średnicami na sześć jednakowych sektorów. W każdym
z nich ustawiamy jeden pionek. Jeden ruch polega na przesunięciu dwóch
dowolnych pionków do sąsiedniego sektora: jednego zgodnie z ruchem wskazówek zegara, drugiego przeciwnie. Czy po skończonej liczbie takich operacji
wszystkie pionki mogą znaleźć się w jednym sektorze?
6. Na stole leży pięć kawałków papieru. Dowolnie wybrany kawałek rozrywamy
na cztery części. Proces ten kontynuujemy, tzn. za każdym razem wybieramy
jakiś kawałek i rozrywamy go na cztery części. Czy w ten sposób, po pewnej
liczbie kroków naszego procesu możemy uzyskać dokładnie 2007 kawałków
papieru?
7. (Zad. dom.) Smok ma 2000 głów. Rycerz może zadawać cztery rodzaje cięć
mieczem: przy pierwszym rodzaju rycerz ścina smokowi 33 głowy, ale 48 nowych odrasta, przy drugim rodzaju rycerz ścina 21 głów i żadna nie odrasta,
przy trzecim rycerz ścina 17 głów, a odrasta 14, a przy czwartym rycerz ścina
jedną głowę, na miejscu której odrasta aż 349 nowych. Smok zostanie zabity, gdy wszystkie głowy zostaną ścięte tak, aby żadna nie odrosła. Czy rycerz
może zabić smoka?