zestaw 4

Zad. domowe nr 4: fale mechaniczne i akustyczne, kalorymetria i pierwsza zasada termodynamiki
Grupa 1 – fale mechaniczne
1. Zamkniętą z obu stron rurę o długości L = 3 m wypełniono nieznanym gazem, a następnie wytworzono
w niej falę stojącą. Stwierdzono, że czwarta częstość rezonansowa licząc od najniższej (podstawowej
pierwszej) wyniosła f3=100 Hz. Jaka jest prędkość dźwięku w tym gazie?
2. Liniowa gęstość masy struny wynosi 2,2·10-4 kg/m, po której biegnie fala
y ( x , t ) = 0, 024 ⋅ sin [3 ⋅ x + 40 ⋅ t ] . Podaj/oblicz: prędkość fali i naprężenie struny.
3. Fala poprzeczna biegnąca w sznurze ma postać (w SI) y(x,t) = 0,35·sin(10πt – 3πx + π/5). Ile wynosi
prędkość c i jaki jest kierunek rozchodzenia się tej fali? Jakie jest wychylenie punktów ośrodka dla t = 0
i x = 0,1 m? Ile wynosi długość i częstość tej fali? Ile wynosi maksymalna wartość prędkości poprzecznej?
4. Fala podłużna biegnąca w stalowym pręcie o gęstości 7400 kg/m3 i polu przekroju porzecznego 4·10-4 m2
postaci u(x,t) = 3,2·10-6 ·cos(4,5·103πt – 0,67πx). Ile wynosi średnia energia fali we fragmencie tego pręta
o długości ∆x = 0,001 m?
5. Fala podłużna biegnąca w stalowym pręcie o gęstości 7000 kg/m3 i polu przekroju porzecznego 5·10-4 m2
postaci (w SI) postaci u(x,t) = 4,2·10-6 ·cos(1,5·103πt+ 0,7πx). Ile wynosi średnia moc tej fali?
6. Fala podłużna biegnąca w stalowym pręcie o gęstości 6900 kg/m3 i polu przekroju porzecznego
5,6·10-4 m2 postaci postaci u(x,t) = 5,3·10-6 ·cos(2,5·103πt+ 0,98πx). Ile wynosi średnia intensywność tej
fali?
Grupa 2 – fale akustyczne
1. Wyznaczyć długości i częstości pierwszego i czwartego tonu (pierwszej i trzeciej harmonicznej) fal
akustycznych w tubie o długości 0,57 cm wypełnionej powietrzem: a) dwustronnie otwartej, b) jednostronnie
zamkniętej.
2. Do obrazowania fragmentów ciała lub narządów w ciele człowieka używa się ultradźwięków
(nieinwazyjne badanie USG) o częstości 4,5 MHz. Jaka jest długość tych fal w powietrzu? Aby metoda
obrazowania USG była skuteczna długość zastosowanej fali ultradźwiękowej nie może być mniejsza od
liniowych rozmiarów badanej/diagnozowanej części ciała/narządu. Jaka co najmniej powinna być częstość
ultradźwięków, jeżeli urolog w badaniu USG może rozpoznawać w nerce człowieka kamienie nerkowe
o rozmiarach liniowych 0.6 mm? Prędkość dźwięku w tkance miękkiej człowieka wynosi 1,5 km/s.
3. Wyznaczyć długość i częstość pierwszego tonu (pierwszej harmonicznej) dźwięku rozchodzącego się
w powietrzu i wytwarzanego przez strunę o długości 0,36 cm, liniowej gęstości masy 0,015 kg/m
naciągniętej siłą 210 N.
4. Prędkość dźwięku w metalu rury wynosi 4500 m/s. Uderzono w jeden z końców tej rury o długości 38 m.
Człowiek stojący na drugim końcu rury słyszy dwa dźwięki, jeden pochodzi od fali biegnącej w metalu rury,
a drugi propagujący się w powietrzu. Zakładając, że prędkość dźwięku w powietrzu wynosi 349 m/s,
wyznacz odstęp czasu ∆t, jaki upływa między recepcją obu dźwięków.
5. Nietoperze latają po jaskini wykorzystując do nawigacji przestrzennej piski ultradźwięków. Przyjmijmy,
że pewien nietoperz emituje ultradźwięki o częstotliwości 40 kHz. Nietoperz goni z prędkością 9,4 m/s
komara uciekającego przed nim z prędkością 0.2 m/s. Ile wynosi częstotliwość ultradźwięków odbitych od
komara, które słyszy nietoperz?
6. Natężenie I fali jest iloczynem gęstości energii u fali (tj. energii fali przypadającej na jednostkę ośrodka,
w którym propaguje się fala) i jej prędkości c. Prędkość fal radiowych wynosi 3·108 m/s. Wyznacz gęstość
energii u w odległości 320 km od punktowej anteny radiowej o mocy 60 kW.
Grupa 3 – Kalorymetria i pierwsza zasada termodynamiki
1. Temperatura kołowej płyty metalowej o początkowym promieniu r0 wzrasta o ∆T. Pokaż, że jeśli
współczynnik cieplnej rozszerzalności liniowej metalu płyty wynosi α, to – z dokładnością do
członów liniowych w α – powierzchnia tej płyty powiększyła się o 2π·(r0)2·α·∆T. Czy prawdą
jest, że jeśli zastąpić płytę kulą z tego samego metalu o początkowym promieniu r0, to po ogrzaniu
kuli o ∆T jej objętość – z dokładnością do członów liniowych w α – zwiększy się
o 4π·(r0)3·α·∆T/3?
2. Porcelanowy dzbanek o objętości jednego litra jest całkowicie wypełnia woda o temperaturze
25oC. Ile wody wyleje się lub nie, jeśli dzbanek wraz z woda ogrzejemy do temperatury 45oC?
Liniowy współczynnik rozszerzalności cieplnej wody wynosi 210·10-6/K a porcelany 3,6·10-6/K.
Jaka powinna być objętość dzbanka w temp. 25oC, w którym znajdował się jeden litr wody o tej
samej temperaturze, aby po podgrzaniu wody i dzbanka do temp. 60oC, woda nie wylała się?
3. Scharakteryzuj przemiany gazu idealnego A, B (∆Q = 0), C i D przedstawione na diagramie po
prawej stronie. Załóżmy, że w otwartym naczyniu poddanym
działaniu ciśnienia atmosferycznego 105 Pa wrze 1 gram wody
o objętości jednego cm3 (zaniedbano rozszerzalność cieplną wody).
Para wodna zajmuje objętość 1,671 cm3. Oblicz wartość pracy
wykonanej przez parę wodną oraz pracy wykonanej przez otoczenie
nad parą wodną. Ile ciepła ∆Q pobrał jeden gram wody podczas
całkowitego odparowania? Jak zmieniła się
w tym zjawisku parowania energia wewnętrzna ∆Uwew. jednego grama wody? Ciepło parowania wody 2,26·106J/kg. Ile
wynosi ∆Uwew./∆Q i co z tego wynika?
4. Dwie płyty o grubościach L1 i L2 współczynnikach przewodności cieplnej, odpowiednio, k1 i k2 są w kontakcie cieplnym, co ilustruje rysunek po
lewej stronie. Temperatury powierzchni zewnętrznych płyt wynoszą Th i Tc,
przy czym Th > Tc. Wyznacz temperaturę powierzchni styku obu płyt
w stanie ustalonym przewodzenia ciepła
5. Gaz idealny poddano 4 przemianom, które ilustruje
diagram po prawej stronie. Przemiana od A do B jest
procesem adiabatycznym; przemiana od B do C jest
procesem izobarycznym, w którym gaz pobiera ciepło w
ilości 100 kJ; od C do D proces jest izotermiczny; od D
do A proces jest ponownie izobaryczny, w którym gaz
oddaje ciepło w ilości 150 kJ. Wyznacz różnicę energii
wewnętrznych tego gazu ∆UB-A= UB – UA.
6. Gaz idealny znajdujący się w początkowym stanie określonym
przez wartości Pi, Vi i Ti poddano zamkniętemu cyklowi przemian
pokazanych na diagramie po lewej stronie. A) Wyznacz pracę
wykonaną przez gaz w jednym cyklu. B) Ile energii dostarczono
układowi w jednym cyklu? C) Oblicz wartość pracy wykonywanej
przez jeden mol gazu w jednym cyklu, jeśli początkowa
temperatura gazu wynosiła 0oC.