Algebra EDM04

Spis treści
1 Arytmetyka liczb ca÷
kowitych
3
1.1
Podzielność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
Liczby pierwsze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3
Podstawowe Twierdzenie Arytmetyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.4
Arytmetyka modulo m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.5
Funkcja Eulera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2 Liczby zespolone
12
2.1
Liczby rzeczywiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2
Liczby "urojone" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3
Arytmetyka liczb zespolonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4
Geometria liczb zespolonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5
Pierwiastki z jedynki i wielokaty
¾ foremne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6
Zasadnicze Twierdzenie Algebry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Geometria analityczna
20
4 Uk÷
ady równań liniowych i macierze
21
4.1
Uk÷ad równań liniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2
Macierze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.3
Iloczyn skalarny i mnoz·enie macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.4
Algebraiczne w÷asności dzia÷
ań na macierzach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.5
Metody rozwiazywania
¾
uk÷
adów równań liniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1
4.6
Macierze odwracalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.7
Wyznacznik macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.8
Rozwiniecie
¾ Laplace’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.9
Odwrotność macierzy
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.10 Regu÷a Cramera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5 Przestrzenie wektorowe
69
5.1
De…nicja przestrzeni wektorowej
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2
Podprzestrzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.3
Liniowa niezalez·ność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.4
Baza i wymiar przestrzeni wektorowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6 Przekszta÷
cenia liniowe
78
2
1
Arytmetyka liczb ca÷
kowitych
Zbiór liczb ca÷kowitych oznaczamy przez Z = f:::; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; :::g. Zbiór liczb naturalnych oznaczamy przez N = f1; 2; 3; :::g.
1.1
Podzielność
De…nicja 1 Niech a; b 2 Z. Mówimy, ·ze b dzieli a (co zapisujemy jako b j a) je·zeli istnieje
liczba ca÷kowita n 2 Z taka, ·ze a = bn. Liczbe¾ b nazywamy dzielnikiem liczby a. Liczbe¾ a
nazywamy wielokrotnościa¾ liczby b.
Twierdzenie 2 Niech a; b; c; n bed
¾ a¾ liczbami ca÷kowitymi. Wówczas:
1. 1 j a i a j a.
2. Je·zeli a j b i b j c, to a j c.
3. Je·zeli n j a i n j b, to n j ax + by, dla dowolnych x; y 2 Z.
Twierdzenie 3 (O dzieleniu z reszta)
¾ Niech a 2 Z i b 2 N. Wówczas istnieje dok÷adnie jedna
para liczb ca÷kowitych q, r taka, ·ze
a = bq + r i 0
r < b:
Liczbe¾ q nazywamy ilorazem, a liczbe¾ r nazywamy reszta¾ (z dzielenia a przez b).
3
Dowód. Przyjmujac
¾ q=
a
b
ir=a
b
a
b
dostajemy pare¾ spe÷
niajac
¾ a¾ teze¾ twierdzenia.
Ponadto, warunki twierdzenia okraślaja¾te¾ pare¾ jednoznacznie. W istocie, przypuśćmy, z·e mamy
równiez· a = bq 0 + r0 i 0
r0 < b. Wówczas b(q
q 0 ) = r0
r. Stad
¾ q
q 0 = 0.
Najwiekszy
¾
wspólny dzielnik liczb ca÷kowitych a i b oznaczamy przez (a; b).
De…nicja 4 Je·zeli (a; b) = 1, to mówimy, ·ze liczby a i b sa¾ wzglednie
¾
pierwsze.
Twierdzenie 5 (Euklides) Niech a; b 2 N. Je·zeli (a; b) = 1 to istnieja¾ liczby ca÷kowite x; y
takie, ·ze
ax + by = 1:
Dowód. Niech a
b. Jez·eli a = b = 1, to moz·na przyjać
¾ x = 1 i y = 0. Przypuśćmy, z·e
twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich par liczb wzglednie
¾
pierwszych, których suma jest
mniejsza niz· a + b. Niech
b = aq + r
gdzie r < a jest reszta¾ z dzielenia b przez a. Z w÷asności podzielności wynika, z·e 1 = (a; b) =
(a; r). Poniewaz·
a+b
a+a>a+r
wiec,
¾ na mocy za÷oz·enia indukcyjnego, istnieja¾ liczby ca÷
kowite x0 ; y 0 takie, z·e
ax0 + ry 0 = 1:
Podstawiajac
¾ do tego równania r = b
aq dostajemy
ax0 + (b
a(x0
Zatem, x = x0
aq)y 0 = 1
qy 0 ) + by 0 = 1:
qy 0 i y = y 0 sa¾ liczbami ca÷kowitymi spe÷niajacymi
¾
równanie ax + by = 1.
Wniosek 6 Je·zeli (a; b) = 1 i a j bc, to a j c.
4
Dowód. Niech x; y bed
¾ a¾ liczbami ca÷kowitymi, które spe÷
niaja¾ równanie ax + by = 1.
Wówczas
acx + bcy = c:
Poniewaz· a j bc, wiec
¾ a j acx + bcy = c.
1.2
Liczby pierwsze
De…nicja 7 Liczbe¾ naturalna¾ p nazywamy liczba¾ pierwsza¾ je·zeli p > 1 i jedynymi jej dzielnikami sa¾1 i p. Liczbe¾ naturalna¾n > 1, która nie jest liczba¾pierwsza¾nazywamy liczba¾ z÷oz·ona.
¾
Jez·eli n > 1 jest liczba¾ z÷
oz·ona,
¾ to istnieje rozk÷
ad n = ab na iloczyn liczb naturalnych
spe÷niajacych
¾
warunek 1 < a; b < n. Jez·eli p jest liczba¾ pierwsza¾ i p = ab, to musi być a = 1 i
b = p (lub a = p i b = 1).
Liczby pierwsze moz·emy zde…niować równiez· w nastepuj
¾ acy
¾ geometryczny sposób. Dla
kaz·dego k 2 N zde…niujmy zbiór punktów Ak = f(k; kn) : n = 1; 2; :::g i rozwaz·my sume¾
A = A1 [ A2 [ :::. Liech Ln bedzie
¾
prosta¾ o równaniu x = n. Wówczas p jest liczba¾ pierwsza¾
wtedy i tylko wtedy, gdy jLp \ Aj = 2.
Twierdzenie 8 Je·zeli p jest liczba¾ pierwsza¾ i p j ab, to p j a lub p j b.
Dowód. Jez·eli p nie dzieli a, to mamy (p; a) = 1. Stad,
¾ na mocy Wniosku ?, p j b.
Podobnie, jez·eli p nie dzieli b, to musi dzielić a.
Twierdzenie 9 Niech n > 1 bedzie
¾
liczba¾ naturalna.¾ Najmniejszy dzielnik liczby n wiekszy
¾
od
p
1 jest liczba¾ pierwsza.
¾ Ponadto, je·zeli n jest liczba¾ z÷o·zona,
¾ to dzielnik ten nie przekracza n.
Dowód. Niech p > 1 bedzie
¾
najmniejszym dzielnikiem liczby n. Przypuśćmy, z·e p jest
liczba¾ z÷oz·ona¾ i p = ab, 1 < a; b < p. Wówczas a j n i a < p, co przeczy minimalności p. Zatem
p musi być liczba¾ pierwsza.
¾
Jez·eli n jest liczba¾ z÷oz·ona,
¾ to n = ab, przy czym 1 < a
b < n. Zauwaz·my, z·e a
p
n
a2 ). Niech q bedzie
¾
najmniejszym dzielnikiem pierwszym liczby a.
p
p
n, a wiec
¾ p
n.
Poniewaz· q jest dzielnikiem n, wiec
¾ p q. Z drugiej strony q a
(poniewaz· n = ab
aa
5
Twierdzenie 10 (Euklides) Liczb pierwszych jest niesko´nczenie wiele.
Dowód. Niech pk oznacza k-ta¾z kolei liczbe¾ pierwsza¾i niech a = p1 p2 :::pk bedzie
¾
iloczynem
wszystkich liczb pierwszych od p1 do pk . Rozwaz·my liczbe¾
n = a + 1 = p1 p2 :::pk + 1:
Niech p bedzie
¾
najmniejszym dzielnikiem pierwszym liczby n. Pokaz·emy, z·e p > pk . W istocie,
przypuśćmy, z·e p = pi dla pewnego i = 1; :::; k. Poniewaz·, p j n i p j a, wiec
¾
pjn
a = 1:
To jest sprzeczność. Zatem p nie moz·e być z·adna¾ z liczb pierwszych p1 ; :::; pk . Wobec tego zbiór
liczb pierwszych nie moz·e być skończony.
Twierdzenie 11 Istnieja¾ dowolnie du·ze odstepy
¾ miedzy
¾ kolejnymi liczbami pierwszymi.
Dowód. Niech n
2 bedzie
¾
dowolna¾ liczba¾ naturalna.
¾ Rozwaz·my ciag
¾ n
1 kolejnych
liczb naturalnych
n! + 2; n! + 3; :::; n! + n:
·
Zadna
z tych liczb nie jest liczba¾ pierwsza.
¾
Twierdzenie 12 (Postulat Bertranda) Dla ka·zdego n, miedzy
¾ n a 2n znajduje sie¾ liczba pierwsza.
Rozwaz·my naturalne ustawienie liczb 1; 2; :::; n2 w kwadrat Kn . Na przyk÷ad, dla n = 5
mamy
2
1
2
3
4
6
6
6 6 7 8 9
6
6
K5 = 6 11 12 13 14
6
6
6 16 17 18 19
4
21 22 23 24
5
3
7
7
10 7
7
7
15 7 :
7
7
20 7
5
25
Conjecture 13 (Sierpiński) W ka·zdym wierszu kwadratu Kn znajduje sie¾ liczb pierwsza.
6
De…nicja 14 Mówimy, ·ze funkcje f (n) i g(n) sa¾ równe asymptotycznie (co zapisujemy jako
f (n)
g(n)) je·zeli
lim
n!1
f (n)
= 1:
g(n)
Niech (n) oznacza liczbe¾ liczb pierwszych nie wiekszych
¾
od n. Poniz·sze twierdzenie orzeka,
z·e prawdopodobieństwo tego, z·e losowo wybrana liczba spośród 1; :::; n jest pierwsza da¾z·y do
1= ln n przy n ! 1.
Twierdzenie 15 (Twierdzenie o Liczbach Pierwszych) (n)
n
ln n :
Twierdzenie 16 (Dirichlet) Je·zeli (a; b) = 1, to ciag
¾ arytmetyczny an + b, n = 0; 1; 2; :::
zawiera niesko´nczenie wiele liczb pierwszych.
Twierdzenie 17 (Green & Tao, 2004) Istnieja¾ dowolnie d÷ugie ciagi
¾ arytmetyczne sk÷adajace
¾
sie¾ z samych liczb pierwszych.
1.3
Podstawowe Twierdzenie Arytmetyki
Kaz·da liczba ca÷
kowita n > 1 rozk÷
ada sie¾ na iloczyn liczb pierwszych. Oczywiście czynniki
w iloczynie moga¾ sie¾ powtarzać; moz·emy je wówczas pogrupować, zapisać w postaci poteg
¾ i
uporzadkować
¾
wed÷ug wielkości podstaw. W ten sposób otrzymamy rozk÷ad kanoniczny liczby
n:
n = pk11 pk22 :::pks s ;
gdzie p1 < p2 < ::: < ps sa¾ róz·nymi liczbami pierwszymi, a ki
1 dla i = 1; 2; :::; s.
Twierdzenie 18 (Podstawowe Twierdzenie Arytmetyki) Rozk÷ad kanoniczny liczby ca÷kowitej
n > 1 jest jednoznaczny.
Dowód. Za÷óz·my, z·e istnieja¾ liczby z÷
oz·one, które maja¾ róz·ne rozk÷
ady kanoniczne. Niech
N bedzie
¾
najmniejsza¾ z takich liczb. Mamy wiec
¾
N = p1 p2 :::pk = q1 q2 :::qm ;
7
gdzie pi ; qj sa¾ liczbami pierwszymi. Zauwaz·my, z·e p1 nie moz·e być równe z·adnej z liczb qj ,
poniewaz· wtedy liczba N=p1 by÷aby liczba¾ mniejsza¾ od N posiadajac
¾ a¾ dwa róz·ne rozk÷
ady
kanoniczne. Niech aj = qj qj+1 :::qm . Poniewaz· p1 j q1 a2 , wiec
¾ p j q1 lub p j a2 . W pierwszym
przypadku mamy p1 = q1 , co juz· wykluczyliśmy, zatem musi być p1 j a2 . Ale wówczas mamy
p1 j q2 a3 i stad
¾ p1 j q2 lub p1 j a3 . Podobnie, pierwszy przypadek oznacza, z·e p1 = q2 co
przeczy minimalności N , a wiec
¾ mamy p1 j a3 . Kontynuujac
¾ w ten sposób dostajemy w końcu
p j am = qm , czyli p1 = qm , co tak samo przeczy minimalności N . To kończy dowód.
1.4
Arytmetyka modulo m
Niech m > 0 bedzie
¾
ustalona¾ liczba¾ ca÷
kowita.
¾ Rozwaz·my zbiór wszystkich reszt z dzielenia
przez m
Zm = f0; 1; :::; m
1g:
W zbiorze reszt Zm określamy dzia÷
ania dodawania i mnoz·enia modulo m przyjmujac
¾ za wynik
reszte¾ z dzielenia przez m zwyk÷
ej sumy a + b i zwyk÷
ego iloczynu ab liczb a; b 2 Zm . Dzia÷
ania
modulo m oznaczamy zwyk÷ymi symbolami dzia÷
ań arytmetycznych z ewentualnym dopiskiem
(mod m). Na przyk÷
ad
3 + 4 = 2 (mod 5); 2
4 = 3 (mod 5):
Dopisek (mod m) zwykle opuszczamy jez·eli liczba m jest ustalona i jasna z kontekstu.
Wyniki dodawania i mnoz·enia (mod m) dogodnie jest przedstawiać w formie tabliczki (na
wzór tabliczki mnoz·enia). Na przyk÷ad, dla m = 6 mamy
+
0
1
2
3
4
5
0
0
1
2
3
4
5
1
1
2
3
4
5
2
2
3
4
5
3
3
4
5
4
4
5
5
5
0
0
1
2
3
4
5
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
0
1
2
0
2
4
0
2
4
0
1
2
3
0
3
0
3
0
3
0
1
2
3
4
0
4
2
0
4
2
1
2
3
4
5
0
5
4
3
2
1
8
De…nicja 19 Niech a 2 Zm . Je·zeli równanie ax = 1 ma rozwiazanie
¾
w Zm , to a nazywamy
elementem odwracalnym w Zm . Zbiór wszystkich elementów odwracalnych w Zm oznaczamy
symbolem Zm .
Na przyk÷
ad, Z6 = f1; 5g.
Twierdzenie 20 Element a 2 Zm jest odwracalny wtedy i tylko wtedy, gdy liczby a i m sa¾
wzglednie
¾
pierwsze.
Dowód. Przypuśćmy, z·e a jest elementem odwracalnym w Zm . Niech x 2 Zm bedzie
¾
rozwiazaniem
¾
równania ax = 1. To oznacza, z·e liczba ca÷kowita ax zostawia reszte¾ 1 przy
dzieleniu przez m:
ax = mq + 1.
Niech d = (a; m). Poniewaz· d j a i d j m wiec
¾ d j ax i d j mq i w konsekwencji d j ax
mq = 1.
Stad
¾ d = 1.
Na odwrót, przypuśćmy, z·e (a; m) = 1. Niech x < y bed
¾ a¾ dowolnymi elementami z Zm .
Przypuśćmy, z·e ax = ay w Zm . Wówczas a(y
Wniosku ? otrzymujemy m j y
x) = 0, co oznacza, z·e m j a(y
x. Ale 0 < y
x). Na mocy
x < m co daje sprzeczność. Zatem, jez·eli
x 6= y, to ax 6= ay w Zm . Wobec tego, wśród elementów
a 0; a 1; :::; a (m
1)
z·adne dwa nie sa¾ identyczne, a poniewaz· jest ich tyle samo ile wszystkich reszt (mod m), wiec
¾
któryś z nich musi być równy 1. Stad,
¾ ax = 1 dla pewnego x 2 Zm , co oznacza, z·e a jest
elementem odwracalnym.
1.5
Funkcja Eulera
Niech n bedzie
¾
liczba¾ naturalna.
¾ Symbolem '(n) oznaczamy liczbe¾ nieskracalnych u÷amków
w÷aściwych o mianowniku n. Na przyk÷
ad, '(18) = 6:
1 5 7 11 13 17
; ; ; ; ; :
18 18 18 18 18 18
9
Funkcja n 7! '(n) nosi nazw¾
e funkcji Eulera.
Twierdzenie 21 Niech n = pk11 pk22 :::pkr r , bedzie
¾
rozk÷adem kanonicznym liczby n. Wówczas
'(n) = (pk1
pk 1
1
)(pk2
pk2
1
):::(pkr
pkr
1
):
Dowód. Rozwaz·my zbiór Un wszystkich u÷amków w÷aściwych o mianowniku n. Spośród
nich dok÷
adnie
n
p1
=n 1
1
p1
n
p1
u÷amków skraca sie¾ przez p1 . Odrzucajac
¾ kaz·dy taki u÷amek pozostanie n
1
p1
u÷amków. Wśród tych n 1
u÷amków znajduje sie¾ dok÷adnie
1
p2 n
1
1
p1
takich, których licznik dzieli sie¾ przez p2 . Zatem, po ich odrzuceniu pozostanie
n 1
1
p1
1
n 1
p2
1
p1
=n 1
1
p1
1
1
p2
u÷amków. Postepuj
¾ ac
¾ dalej w ten sam sposób az· do ostatniego czynnika pr , usuniemy ze zbioru
Un wszystkie u÷
amki skracalne, a liczba tych, które pozostana¾ wyniesie dok÷adnie
n 1
1
p1
1
1
p2
::: 1
1
pr
:
Podstawiajac
¾ za n rozk÷ad kanoniczny otrzymujemy wzór stanowiacy
¾ teze¾ twierdzenia.
Wniosek 22 Je·zeli (a; b) = 1, to '(ab) = '(a)'(b).
Twierdzenie 23 (Euler) Je·zeli a jest elementem odwracalnym w Zm , to a'(m) = 1(mod m).
Dowód. Niech a 2 Zm i niech r1 ; :::; rk 2 Zm bedzie
¾
dowolnym ustawieniem wszystkich
elmentów odwracalnych w ciag.
¾ Na mocy Twierdzenia ? mamy k = '(m). Rozwaz·my ciag
¾
·
ar1 ; ar2 ; :::; ark . Zadne
dwa z jego wyrazów nie sa¾ równe poniewaz· ari = arj implikuje ri = rj .
Ponadto kaz·dy z wyrazów ari jest odwracalny (odwrotnościa¾ elementu ari jest iloczyn a
Stad
¾ ciag
¾ ar1 ; :::; ark jest permutacja¾ wyrazów ciagu
¾ r1 ; :::; rk . Zatem
(ar1 )(ar2 ):::(ark ) = r1 r2 :::rk :
Stad
¾
ak r1 r2 :::rk = r1 r2 :::rk :
10
1 r 1 ).
i
Wobec tego, z·e kaz·dy element ri jest odwracalny, ostatnia równość implikuje ak = 1.
11
2
Liczby zespolone
2.1
Liczby rzeczywiste
Zbiór liczb rzeczywistych bedziemy
¾
oznaczać przez R. Zbiór liczb wymiernych oznaczamy litera¾
Q. Przpomnijmy, z·e kaz·da¾liczbe¾ wymierna¾moz·emy przedstawić w postaci u÷amka ab , gdzie a i b
sa¾liczbami ca÷kowitymi, przy czym b 6= 0. Bedziemy
¾
w dalszym ciagu
¾ wykorzystywać naturalna¾
geometryczna¾ interpretacje¾ liczb rzeczywistych jako punktów na prostej (osi liczbowej).
Twierdzenie 24 Ka·zdy odcinek o dodatniej d÷ugo´sci na osi liczbowej zawiera liczbe¾ wymierna.¾
Dowód. Niech x i y bed
¾ a¾ dowolnymi róz·nymi punktami na prostej i niech d oznacza
odleg÷ość miedzy
¾
x i y. Wybierzmy liczbe¾ naturalna¾ n tak, aby
odcinek o d÷ugości
1
n
1
n
< 2d. Wówczas odk÷
adajac
¾
odpowiednia¾ liczbe¾ razy, powiedzmy m, dostaniemy liczbe¾
m
n
znajdujac
¾ a¾
sie¾ miedzy
¾
x a y.
Twierdzenie 25 Zbiór liczb wymiernych mo·zna ustawi´c w ciag.
¾
Dowód. Najpierw ustawimy w ciag
¾ liczby wymierne dodatnie. Moz·na to zrobić na przyk÷ad
wed÷ug wzrostu sumy licznika i mianownika:
1 1 2 1 3 1 2 3 4
; ; ; ; ; ; ; ; ; ::: .
1 2 1 3 1 4 3 2 1
W ten sposób, kaz·dy u÷amek nieskracalny dodatni (czyli kaz·da liczba wymierna dodatnia) ma
swoje miejsce w tym ciagu.
¾
U÷amki ujemne ustawiamy tak samo i przeplatamy z dodatnimi
12
umieszczajac
¾ dodatkowo na poczatku
¾
liczbe¾ 0:
1
0; ;
1
1 1
; ;
1 2
1 2
; ;
2 1
2 1
; ;
1 3
1 3
; ;
3 1
3 1
; ;
1 4
1
; ::: .
4
Twierdzenie 26 Zbioru liczb rzeczywistych nie da sie¾ ustawi´c w ciag.
¾
Dowód. Przypuśćmy, z·e ciag
¾ P1 ; P2 ;... zawiera wszystkie liczby rzeczywiste. Niech I bedzie
¾
dowolnym odcinkiem o dodatniej d÷ugości. Wybierzmy odcinek I1 zawarty w I tak aby punkt
P1 nie nalez·a÷do I1 . Nastepnie
¾
wybierzmy odcinek I2
tak dalej otrzymamy ciag
¾ odcinków I1
I2
I1 , tak aby P2 2
= I2 . Postepuj
¾ ac
¾
::: takich, z·e Pi 2
= Ii , dla i = 1; 2; :::. Niech P
bedzie
¾
punktem nalez·acym
¾
do kaz·dego z odcinków Ii . Wówczas P 6= Pi dla kaz·dego i = 1; 2; :::.
Zatem, ciag
¾ P1 ; P2 ; ::: nie moz·e zawierać wszystkich liczb rzeczywistych.
Twierdzenie 27 D÷ugo´s´c przekatnej
¾
kwadratu o boku 1 nie jest liczba¾ wymierna.¾
Dowód. Niech x oznacza d÷ugość przekatnej
¾
kwadratu o boku 1. Przypuśćmy, z·e x = ab ,
dla pewnych liczb naturalnych a i b. Z Twierdzenia Pitagorasa dostajemy
12 + 12 = x2 :
Stad
¾
a2 = 2b2 :
Ale to równanie jest sprzeczne z Podstawowym Twierdzeniem Arytmetyki. W istocie, kwadrat
kaz·dej liczby naturalnej zawiera w rozk÷
adzie parzysta¾ liczbe¾ dwójek. Zatem liczba dwójek w
rozk÷adzie a2 jest parzysta, natomiast liczba dwójek w rozk÷
adzie 2b2 jest nieparzysta.
De…nicja 28 Liczbe¾ rzeczywista¾ nazywamy liczba¾algebraiczna¾ je·zeli istnieje wielomian f (x)
o wspó÷czynnikach wymiernych taki, ·ze f ( ) = 0. Stopniem liczby algebraicznej
nazywamy
najmniejsza¾ liczbe¾ ca÷kowita¾ n = deg( ) taka,¾ ·ze istnieje wielomian f (x) o wspó÷czynnikach
wymiernych stopnia n, którego
jest pierwiastkiem.
13
Na przyk÷ad, kaz·da liczba wymierna q jest liczba¾ algebraiczna¾ stopnia 1, poniewaz· jest
pierwiastkiem wielomianu f (x) = x q. Na odwrót, kaz·da liczba algebraiczna stopnia 1 musi
p
byc liczba¾ wymierna.
¾ Liczba 2 jest liczba¾ algebraiczna¾ stopnia 2, poniewaz· jest niewymierna
i pierwiastkiem wielomianu kwadratowego f (x) = x2
2.
Twierdzenie 29 Zbiór liczb algebraicznych mo·zna ustawi´c w ciag.
¾
Dowód. Zbiór wszystkich skończonych ciagów
¾
liczb naturalnych moz·na ustawić w ciag,
¾ np.
wed÷ug wielkości sumy wyrazów ciagu:
¾
1; 11; 2; 111; 12; 21; 3; 1111; 112; 121; 13; 211; 22; 31; 4; ::::
Stad,
¾ moz·na ustawić w ciag
¾ wszystkie wielomiany o wspó÷
czynnikach wymiernych, a poniewaz·
wielomian stopnia n ma co najwyz·ej n pierwiastków, wiec
¾ takz·e ich wszystkie pierwiastki.
Z tego twierdzenia wynika w szczególności, z·e istnieja¾ liczby, które nie sa¾ algebraiczne.
Nazywamy je liczbami przestepnymi.
¾
Chociaz· wiemy, z·e musi istnieć nieskończenie wiele liczb
przestepnych,
¾
to jednak w przypadku konkretnej liczby stwierdzenie czy jest ona przestepna
¾
czy
· liczba
nie jest na ogó÷trudne. Ze
jest przestepna
¾
udowodni÷dopiero Lindemann w roku 1882,
a jego dowód rozstrzygna÷ostatecznie
¾
kwestie¾ s÷ynnej kwadratury ko÷a. Problem ten polega÷
na skonstruowaniu kwadratu o polu równym polu danego ko÷a jednostkowego. D÷ugość boku
p
tego kwadratu powinna wynosić zatem
. Jak sie¾ okaza÷
o znacznie później zadanie to jest
niewykonalne.
Przypuśćmy, z·e mamy dany odcinek o d÷ugości 1 i chcemy skonstruować (cyrklem i linijka)
¾
odcinek o zadanej d÷
ugości x. Czy dla kaz·dej liczby rzeczywistej dodatniej x taka konstrukcja
istnieje? Liczby konstruowalne to d÷ugości odcinków, które moga¾ być skonstruowane geometrycznie.
Twierdzenie 30 Liczba rzeczywista x > 0 jest konstruowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest
liczba¾ algebraiczna,¾ której stopie´n jest poteg
¾ a¾ dwójki.
Poniewaz· liczba
p
nie jest nawet algebraiczna wiec
¾ nie jest równiez· konstruowalna.
Podzielmy odcinek [0; 1] na dwa równe odcinki, lewy L i prawy P . Nastepnie
¾
podzielmy
kaz·da¾ z po÷ówek L i P znowu na po÷
owy i oznaczmy je symbolicznie jako LL, LP , P L i P P . I
14
tak dalej. Otrzymujemy w ten sposób s÷owa zbudowane z dwóch liter L i P , a kaz·demu s÷
owu
d÷ugości n odpowiada pewien odcinek d÷
ugości
1
2n .
Niech x 2 [0; 1] bedzie
¾
liczba¾ rzeczywista¾ i niech S1 , S2 , ... bedzie
¾
ciagiem
¾
s÷
ów takich, z·e
kaz·dy z odpowiednich przedzia÷ów zawiera liczbe¾ x. Zamieniajac
¾ L na 0 i P na 1 w s÷owie Sn
dostaniemy rozwiniecie
¾ dwójkowe liczby x z dok÷
adnościa¾ do n miejsc po przecinku.
Podobnie ma sie¾ rzecz z rozwinieciami
¾
dziesietnymi,
¾
z tym, z·e teraz dzielimy odcinki na
10 identycznych cześci.
¾
W÷aśnie dlatego potrzebujemy az· dziesieciu
¾ cyfr do zapisywania takich
rozwinieć.
¾ Oto kilka przyk÷adów rozwinieć
¾ dziesietnych
¾
waz·nych sta÷
ych matematycznych:
p
1+ 5
2
p
= : 618 033 988 749 894 848 204 586 834 365 638 117 720 309 179 805 8
2 = 1: 414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 9
= 3: 141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 1
e = 2: 718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757 247 093 7
ln 2 = : 693 147 180 559 945 309 417 232 121 458 176 568 075 500 134 360 26.
2.2
Liczby "urojone"
Rozwaz·my równanie x2 + 1 = 0. Oznaczmy "liczbe"
¾ spe÷niajaca¾ to równanie symbolem i (od
ang. imaginary = urojony). Oczywiście i nie jest liczba¾ rzeczywista.
¾ Wszystko co na razie
moz·emy powiedzieć o tej "urojonej liczbie" to w÷asność
i2 =
1:
Zbiór liczb zespolonych powstaje jako efekt końcowy w÷
aczenia
¾
liczby i do systemu arytmetycznego liczb rzeczywistych.
De…nicja 31 Liczba¾zespolona¾nazywamy dowolne wyra·zenie postaci a+bi, gdzie a; b sa¾liczbami
rzeczywistymi.
Zbiór liczb zespolonych bedziemy
¾
oznaczać przez C.
15
2.3
Arytmetyka liczb zespolonych
W zbiorze C określamy dzia÷ania dodawania i mnoz·enia jak nastepuje.
¾
Niech z1 = a + bi,
z2 = c + di, gdzie a; b; c; d 2 R bed
¾ a¾ liczbami zespolonymi. Sume¾ i iloczyn liczb zespolonych
z1 ; z2 de…niujemy wzorami
z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i
z1 z2 = (ac
bd) + (ad + bc)i:
Twierdzenie 32 Mno·zenie liczb zespolonych jest dzia÷aniem przemiennym, ÷¾
acznym i rozdzielnym wzgledem
¾
dodawania. Ponadto, dla ka·zdej liczby zespolenej z 6= 0 istnieje liczba zespolona
t taka, ·ze zt = 1.
Dowód. Dowód twierdzenia zostawiamy do samodzielnego przeprowadzenia.
2.4
Geometria liczb zespolonych
Liczbe¾ zespolona¾ z = x + yi określa para liczb rzeczywistych (x; y). Naturalna¾ geometryczna¾
interpretacja¾liczb zespolonych jest wiec
¾ zbiór punktów p÷aszczyzny; liczbie z = x+yi odpowiada
punkt o wspó÷
rzednych
¾
(x; y).
Niech P = (x; y) bedzie
¾
punktem odpowiadajacym
¾
liczbie z i niech r =
odleg÷ościa¾punktu P od środka uk÷
adu wspó÷rzednych
¾
O. Niech
p
x2 + y 2 bedzie
¾
oznacza kat
¾ (skierowany prze-
ciwnie do ruchu wskazówek zegarka) miedzy
¾
odcinkiem P O a dodatnia¾cześci
¾ a¾osi X. Wówczas,
z de…nicji funkcji trygonometrycznych dostajemy
z = r(cos
+ i sin ):
Ten zapis nazywamy postacia¾ trygonometryczna¾ liczby z.
Twierdzenie 33 Niech z = r(cos
+ i sin ), t = s(cos
+ i sin ) bed
¾ a¾ liczbami zespolonymi
w postaci trygonometrycznej. Wówczas
zt = rs(cos( + ) + i sin( + )):
16
Dowód. Korzystajac
¾ z wzorów trygonometrycznych na sinus i cosinus sumy dwóch katów
¾
dostajemy:
zt = r(cos
+ i sin ) s(cos
= rs ((cos cos
+ i sin )
sin sin ) + i(sin cos
+ cos sin ))
= rs(cos( + ) + i sin( + )):
To kończy dowód.
+ i sin ). Wówczas z n = rn (cos n + i sin n ).
Wniosek 34 Niech z = r(cos
2.5
Pierwiastki z jedynki i wielokaty
¾ foremne
De…nicja 35 Niech t bedzie
¾
liczba¾ zespolona¾ i niech n bedzie
¾
liczba¾ naturalna.¾ Pierwiastkiem
stopnia n z liczby t nazywamy dowolne rozwiazanie
¾
równania z n = t w zbiorze liczb zespolonych.
Twierdzenie 36 Niech t = s(cos + i sin ), n 2 N. Wówczas wszystkie rozwiazania
¾
równania
z n = t dane sa¾ wzorami:
zk =
p
n
+ 2k
+ i sin
n
s cos
+ 2k
n
; k = 0; 1; :::; n
1:
Dowód. Na mocy Wniosku ? dostajemy
p
n
+ 2k
+ i sin n
n
= s (cos( + 2k ) + i sin( + 2k ))
zkn =
n
s
= s (cos
cos n
+ 2k
n
+ i sin ) :
Ponadto zi 6= zj dla i 6= j, (i; j = 0; 1; :::; n
1). Zatem sa¾ to wszystkie rozwiazania
¾
równania
z n = t, poniewaz· wielomian stopnia n nie moz·e mieć wiecej
¾ niz· n pierwiastków.
Wniosek 37 Wszyskie pierwiastki stopnia n z liczby t = 1 dane sa¾ wzorami
"k = cos
2k
2k
+ i sin
; k = 0; 1; :::; n
n
n
17
1:
Punkty p÷aszczyzny odpowiadajace
¾ liczbom "k tworza¾ n-kat
¾ foremny wpisany w okrag
¾ jednostkowy, którego jednym z wierzcho÷ków jest punkt (1; 0). Ponadto,
"k "l = "k+l(mod n)
dla dowolnych k; l = 0; 1; :::; n
1.
Liczbe¾ zespolona¾ z = x + yi nazywamy liczba¾ konstruowalna¾ jez·eli liczby rzeczywiste x i y
sa¾ konstruowalne. Liczby ca÷
kowite postaci
k
Fk = 22 + 1; k
0;
nazywamy liczbami Fermata. Pierwszych pieć
¾ liczb Fermata to 3; 5; 17; 257; 65537. Wszystkie sa¾
liczbami pierwszymi. Nie wiadomo, czy istnieje choćby jeszcze jedna liczba pierwsza Fermata.
Twierdzenie 38 (Gauss) Wielokat
¾ foremny jest konstruowalny wtedy i tylko wtedy, gdy liczba
jego wierzcho÷ków ma posta´c n = 2r p1 p2 :::ps ;gdzie r; s
0, a p1 ; p2 ; :::; ps sa¾ ró·znymi liczbami
pierwszymi Fermata.
Dowód. Niech
GN = cos
2
2
+ i sin .
N
N
Moz·na pokazać, z·e GN jest liczba¾ algebraiczna¾ stopnia '(N ). Wystarczy wiec
¾ zobaczyć, z·e
'(N ) jest poteg
¾ a¾ dwójki wtedy i tylko wtedy, gdy N ma postać opisana¾ w tezie twierdzenia.
Niech N = 2r q1r1 :::qsrs bedzie
¾
rozk÷adem liczby N na czynniki pierwsze, w którym r
0; ri
1,
a liczby qi sa¾ nieparzyste i parami róz·ne. Wówczas
r
'(N ) = '(2 )
s
Y
qiri
1
(qi
1):
i=1
Stad
¾ ri = 1 i qi musza¾ być potegami
¾
dwójki. To kończy dowód.
Z tego tiwerdzenia wynika w szczególności, z·e nie istnieje konstrukcja geometryczna 9-kata
¾
foremnego, natomiast moz·na skonstruować 17-kat
¾ foremny.
18
2.6
Zasadnicze Twierdzenie Algebry
19
3
Geometria analityczna
20
4
Uk÷
ady równań liniowych i macierze
4.1
Uk÷
ad równań liniowych
Równanie liniowe moz·na zapisać w ogólnej postaci nastepuj
¾ aco
¾
a1 x1 + a2 x2 + ::: + an xn = b:
(4.1)
Liczby a1 ; :::; an nazywamy wspó÷czynnikami równania, a liczbe¾ b - wyrazem wolnym. Te liczby
sa¾ w danym równaniu sta÷e. Natomiast x1 ; :::; xn to zmienne lub niewiadome.
Rozwiazaniem
¾
równania liniowego (1.1) nazywamy dowolny ciag
¾ liczb s1 ; :::; sn spe÷niajacych
¾
to równanie, to znaczy takich, z·e jez·eli podstawimy x1 = s1 ; :::; xn = sn do równania (1.1)
to otrzymamy prawdziwa¾ równość. Na przyk÷
ad, liczby 2; 3; 4 stanowia¾ jedno z moz·liwych
rozwiazań
¾
równania
6x1
poniewaz· k÷adac
¾ x1 = 2, x2 = 3 i x3 =
6(2)
3x2 + 4x3 =
13;
4 dostajemy
3(3) + 4( 4) = 12
9
16 =
13:
Bardziej ogólnie, zbiór sk÷adajacy
¾ sie¾ z m równań liniowych, z których kaz·de ma n niewiadomych
21
nazywamy uk÷adem równa´n liniowych. Taki uk÷ad zapisujemy nastepuj
¾ aco
¾
a11 x1 + a12 x2 + ::: + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + ::: + a2n xn = b2
(4.2)
:::::
am1 x1 + am2 x2 + ::: + amn xn = bm
Rozwiazaniem
¾
uk÷adu równań liniowych (1.2) jest ciag
¾ liczb s1 ; :::; sn spe÷niajacych
¾
ka·zde
równanie tego uk÷
adu. Aby znaleźć wszystkie rozwiazania
¾
danego uk÷adu równań liniowych
moz·na zastosować metode¾eliminacji. Polega ona, zgrubsza, na eliminowaniu kolejnych niewiadomych
z kolejnych równań, az· do otrzymania równania z jedna¾niewiadoma.
¾ Do tego celu s÷
uz·a¾operacje
mnoz·enia równania przez niezerowa¾ sta÷
a¾ i dodawania równań stronami.
Przyk÷
ad 39 Rozwa·zmy nastepuj
¾ acy
¾ uk÷ad równa´n.
x
3y =
3
2x + y = 8:
Aby wyeliminowa´c x z drugiego równania dodajemy do niego pierwsze równanie pomno·zone
przez ( 2). Otrzymujemy wówczas równanie
7y = 14;
skad
¾ dostajemy natychmiast y = 2. Nastepnie
¾
podstawiamy y = 2 do pierwszego równania i
otrzymujemy x = 3. Podstawiajac
¾ obie liczby do równa´n uk÷adu widzimy, ·ze oba równania sa¾
spe÷nione.
Przyk÷
ad 40 (brak rozwiaza´
¾ n)
x
2x
3y =
7
6y = 7:
22
Przyk÷
ad 41 (x = 1; y =
2; z = 3)
x + 2y + 3z = 6
2x
3y + 2z = 14
3x + y
z=
2:
Przyk÷
ad 42 (niesko´nczenie wiele rozwiaza´
¾ n, x = r + 4; y = r
x + 2y
3z =
2x + y
3z = 4:
4; z = r)
4
Przyk÷
ad 43 (x = 2; y = 4)
x + 2y = 10
2x
2y =
4
3x + 5y = 26:
Przyk÷
ad 44 (brak rozwiaza´
¾ n)
x + 2y = 10
2x
2y =
4
3x + 5y = 20:
Metoda eliminacji polega wiec
¾ na wielokrotnym powtarzaniu nastepuj
¾ acych
¾
trzech operacji.
1. Zamiana miejscami dwóch równań.
2. Mnoz·enie równania stronami przez niezerowa¾ sta÷
a.
¾
3. Dodawanie pomnoz·onego równania do innego równania stronami.
4.2
Macierze
Na poczatek
¾ przedstawimy szereg podstawowych de…nicji wraz z ilustrujacymi
¾
je przyk÷adami.
De…nicja 45 Macierza¾ A wymiaru m
n nazywamy prostokatn
¾ a¾ tablice¾ zawierajac
¾ a¾ mn liczb
23
u÷o·zonych w m poziomych wierszach i n pionowych kolumnach:
2
a11
a12
:::
a1n
6
6
6 a21 a22 ::: a2n
A=6
6
6 :::
::: ::: :::
4
am1 am2 ::: amn
3
7
7
7
7:
7
7
5
W przypadku m = n mówimy, ·ze A jest macierza¾ kwadratowa¾wymiaru n, a elementy a11 ; a22 ; :::; ann
stanowia¾ jej g÷
ówna¾ przekatn
¾ a.
¾ Macierz A zapisujemy równie·z skrótowo jako
A = [aij ] ;
gdzie 1
i
m oraz 1
j
n:
Przyk÷
ad 46 Rozwa·zmy macierze
2
1 2 3
A = 4
2
1 0 1
1
6
6
D = 6 2
4
3
1 0
3
2
5; B = 4
3
1
2
2
3
1
6
5; C = 6
6
4
3
4
7
h
7
0 1 7 ; E = [3] ; F =
5
1 2
7
7
1 7;
5
2
1 0 2
Na przyk÷ad A jest macierza¾wymiaru 2 3, w której a12 = 2, a21 =
kwadratowymi wymiarów 2, 3 i 1, odpowiednio. Ponadto, b22 =
3
i
:
1. B, D i E sa¾macierzmi
3, d32 =
1 i e11 = 3, a liczby
1, 0, 2 le·za¾ na g÷ównej przekatnej
¾
macierzy D. Warto podkre´sli´c, ·ze macierze takie jak C i F
moga¾ by´c równie·z traktowane jako wektory.
De…nicja 47 Macierz kwadratowa¾A = [aij ], w której ka·zdy element le·zacy
¾ poza g÷ówna¾przekatn
¾ a¾
jest zerem, to znaczy, aij = 0, gdy i 6= j, nazywamy macierza¾ diagonalna.
¾
24
Przyk÷
ad 48 Macierze
2
G=4
4
0
2
3
3
6
5; H = 6
6
4
2
0
0 0
3
7
7
2 0 7
5
0 0
0
0
sa¾ diagonalne.
De…nicja 49 Macierz diagonalna¾ A = [aij ], której wszystkie elementy na g÷ównej przekatnej
¾
sa¾ równe, nazywamy macierza¾ skalarna.
¾ W notacji matematycznej aij = c, dla i = j, oraz
aij = 0, je·zeli i 6= j.
Przyk÷
ad 50 Nastepuj
¾ ace
¾ macierze sa¾ skalarne
2
1 0 0
6
6
I3 = 6 0 1 0
4
0 0 1
3
2
7
7
7; J = 4
5
2
0
0
2
3
5:
De…nicja 51 Dwie macierze A = [aij ] i B = [bij ] wymiaru m
dla wszystkich 1
i
m, 1
j
n sa¾ równe je·zeli aij = bij ,
n. Macierze ró·znych wymiarów nigdy nie sa¾ porównywane.
De…nicja 52 (Dodawanie macierzy) Je·zeli A = [aij ] i B = [bij ] sa¾macierzami wymiaru m n,
to ich suma¾ jest macierz C = [cij ], tak·ze wymiaru m
cij = aij + bij ; (1
i
n, okre´slona warunkiem
m; 1
j
n):
Innymi s÷owy, C powstaje przez dodanie odpowiadajacych
¾
sobie elementów macierzy A i B.
Oczywi´scie sume¾ macierzy A i B zapisujemy jako A + B.
Przyk÷
ad 53 Je·zeli
to
2
A=4
2
A+B =4
1
2 4
2
1 3
3
2
5 iB=4
0 2
4
1 3
1
1+0
2 + 2 4 + ( 4)
2+1
1+3
3+1
25
3
2
5=4
3
5;
1 0 0
3 2 4
3
5:
De…nicja 54 (Mnoz·enie macierzy przez liczbe)
¾ Je·zeli A = [aij ] jest macierza¾wymiaru m
n,
a r jest liczba¾rzeczywista,¾ to iloczynem macierzy A przez liczbe¾ r jest macierz B = [bij ] wymiaru
m
n spe÷niajaca
¾ warunek
bij = raij ; (1
i
m; 1
j
n):
Iloczyn macierzy A przez liczbe¾ r oznaczamy jako rA.
Przyk÷
ad 55 Je·zeli r =
3i
2
4
2
6
6
A=6 2
4
3
to
2
4
2
6
6
rA = ( 3) 6 2
5
4
3
6
2
12
6
6
6
= 6
6
15
4
9
18
3
3
5
6
2
3
3
7
7
0 7;
5
2
( 3)4 ( 3)( 2)
( 3)(3)
7 6
7 6
0 7 = 6 ( 3)2 ( 3)( 5)
( 3)(0)
5 4
2
( 3)(3)
( 3)(6) ( 3)( 2)
3
9
7
7
0 7:
5
6
Róz·nice¾ macierzy A i B de…niujemy jako A
i
7
7
7
5
B = A + ( 1)B.
De…nicja 56 (Transpozycja macierzy) Je·zeli A = [aij ] jest macierza¾m
h i
aTij wymiaru n m okra´slona¾ warunkiem
aTij = aji ; (1
3
m; 1
j
n, to macierz AT =
n);
nazywamy transpozycja¾ macierzy A. Innymi s÷owy, Macierz AT powstaje z macierzy A poprzez
zamiane¾ wierszy na kolumny.
26
Przyk÷
ad 57 Niech
2
A = 4
D =
h
4
0
3
2
3
6
2
6
6
5; B = 6 3
1
4
5
2
0
4
2
3
2
6
7
i
6
7
5 1 ; E = 6 1 7:
4
5
3
2
3
4
3
2
7
6
7
6
;
C
=
6
2 7
5
4
3
5
4
3
7
7
2 7;
5
3
3
2
Wówczas
AT
DT
4.3
2
6
6
= 6
4
2
6
6
= 6
4
4
0
2
3
3
3
2
3
7
6
7
6
T
5 7; B = 6
5
4
2
7
h
7
T
5 7; E = 2
5
1
3 0
2
4
1 3
3
2
7
5
7
T
1 4 7; C = 4
5
4
2 3
6
i
3
2
2
3
3
5;
:
Iloczyn skalarny i mnoz·enie macierzy
W tej cześci
¾ wprowadzimy operacje¾ mno·zenia macierzy. Inaczej niz· w przypadku dodawnia
macierzy, operacja ta posiada posiada cechy znacznie odróz·niajace
¾ ja¾ od zwyk÷ego mnoz·enia
liczb.
De…nicja 58 Iloczynem skalarnym dwóch wektorów
a=
h
a1 a2 ::: an
27
i
2
b1
3
7
6
7
6
6 b2 7
7
ib=6
7
6
6 ::: 7
5
4
bn
nazywamy liczbe¾ a b okre´slona¾ wzorem
a b = a1 b1 + a2 b2 + ::: + an bn =
n
X
ai bi :
i=1
Iloczyn skalarny jest waz·na¾ operacja,
¾ która bedzie
¾
wykorzystywana takz·e w nastepnych
¾
cześciach
¾
wyk÷adu.
Przyk÷
ad 59 Iloczyn skalarny wektorów
u=
h
1
2 3 4
i
2
6
6
6
iv=6
6
6
4
2
3
7
7
3 7
7
7
2 7
5
1
wynosi
u v = (1)(2) + ( 2)(3) + (3)( 2) + (4)(1) =
6:
De…nicja 60 (Mnoz·enie macierzy) Je·zeli A = [aij ] jest macierza¾ wymiaru m
jest macierza¾ wymiaru p
C = [cij ] wymiaru m
p, a B = [bij ]
n, to iloczyn macierzy A i B, oznaczany przez AB, jest macierza¾
n; okre´slona¾ wzorem
cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ::: + aip bpj =
p
X
aik bkj ;
(4.3)
k=1
dla wszystkich 1
i
m; 1
j
n.
Równanie (1.3) mówi, z·e element na pozycji (i; j) w iloczynie macierzy A i B jest iloczynem
skalarnym i-tego wiersza macierzy A i j-tej kolumny macierzy B. Oznaczmy przez wi (A) i
kj (B) ów wiersz i owa¾ kolumne.
¾ Wówczas wzór (1.3) moz·e być zapisany jako
cij = wi (A) kj (B):
Zauwaz·my ponadto, z·e iloczyn macierzy A i B jest określony jedynie wtedy, gdy liczba elementów w wierszu macierzy A jest taka sama jak liczba elementów w kolumnie macierzy B, lub
inaczej, gdy liczba kolumn macierzy A zgadza sie¾ z liczba¾ wierszy w macierzy B.
28
Moz·na zadać sobie naturalne pytanie, dlaczego mnoz·enie macierzy zosta÷
o zde…niowane w
tak skomplikowany sposób, podczas gdy równość macierzy czy dodawanie sa¾ tak naturalne?
Otóz·, jedynie dog÷ebne
¾
zrozumienie zwiazku
¾
pomiedzy
¾
macierzami a przekszta÷ceniami liniowymi, oraz operacja¾ sk÷
adania funkcji, pokazuje, z·e ta de…nicja jest równiez· ca÷
kowicie naturalna.
Przyk÷
ad 61 Niech
2
A=4
AB = 4
1
3 1
4
2
5
3
7
7
3 7:
5
1
(1)( 2) + (2)(4) + ( 1)(2) (1)(5) + (2)( 3) + ( 1)(1)
(3)( 2) + (1)(4) + (4)(2)
2
3
4
2
5:
= 4
6 16
Przyk÷
ad 62 Niech
2
6
5 iB=6
6
4
4
1 2
Wówczas
2
2
3
2
1
2
6
6
A=6 4
4
0
2
1
3
(3)(5) + (1)( 3) + (4)(1)
3
2
1
7
6
7
6
i
B
=
7
6
1
5
4
2
3
2
4
3
5
3
7
7
1 7:
5
2
Obliczmy jedynie element znajdujacy
¾ sie¾ na pozycji (3; 2) w macierzy AB. Zgodnie z de…nicja¾
mno·zenia macierzy, przy oznaczeniu AB = C, mamy
c32 = w3 (A) k2 (B)
=
h
0 1
2
2
i 6
6
6
4
4
3
7
7
1 7=
5
2
5:
Jak juz· wspomnieliśmy wcześniej, mnoz·enie macierzy róz·ni sie¾ pod wieloma wzgledami
¾
od
mnoz·enia liczb. Na przyk÷
ad, nie jest ono przemienne, to znaczy AB nie musi być równe BA.
Jest kilka powodów, dla których tak sie¾ dzieje.
29
1. BA moz·e nie być wogóle określone; tak jest wtedy, gdy n 6= m.
2. Jez·eli BA jest określone, co oznacza, z·e m = n, to macierz BA ma wymiar p
AB jest macierza¾ wymiaru m
p, zaś
m, stad,
¾ jez·eli m 6= p, to AB i BA sa¾ róz·nych wymiarów i nie
moga¾ być równe.
3. Nawet jeśli AB i BA sa¾ tego samego wymiaru, to nie musza¾ być równe.
4. Nalez·y podkreślić, z·e jez·eli AB i BA sa¾ tego samego wymiaru, to moz·e sie¾ zdarzyć, z·e
AB = BA.
Zilustrujemy te cztery moz·liwe sytuacje na przyk÷
adach.
Przyk÷
ad 63 Je·zeli A jest macierza¾ 2
3, a B jest macierza¾ 3
4, to AB ma wymiar 2
4,
3, a B jest macierza¾ 3
2, to AB ma wymiar 2
2,
za´s BA nie istnieje.
Przyk÷
ad 64 Je·zeli A jest macierza¾ 2
za´s BA ma wymiar 3
3.
Przyk÷
ad 65 Niech
2
1 2
A=4
Wtedy
2
AB = 4
1 3
2 3
2 2
3
2
5; B = 4
2 1
0 1
3
2
5 ; natomiast BA = 4
3
5:
1 7
1 3
3
5:
Przyk÷
ad 66 Je·zeli A i B sa¾ macierzami diagonalnymi tego samego wymiaru, to z pewno´scia¾
zachodzi równo´s´c AB = BA.
Czasami potrzebne jest jedynie obliczenie jednej kolumny macierzy AB bez wyznaczania
ca÷ego iloczynu. ×atwo widać, z·e j-ta kolumna macierzy AB jest iloczynem macierzy A i j-tej
kolumny macierzy B, co moz·na zapisać wzorem
kj (AB) = A(kj (B)):
30
(4.4)
Przyk÷
ad 67 Je·zeli
2
6
6
A=6
4
3
2
7
7
3 4 7 iB=4
5
1 5
1 2
2 3 4
3 2 1
3
5;
to druga kolumna iloczynu AB jest równa
2
6
6
A(k2 (B)) = 6
4
3
1 2
2
3
2
7
7 3
6
7
6
3 4 7 4 5 = 6 17
5 2
4
1 5
7
3
7
7
7:
5
Pokaz·emy teraz pewien zapis wykorzystujacy
¾ mnoz·enie macierzy, który bedzie
¾
szczególnie
przydatny przy uk÷adach równań liniowych. Niech
2
a11
a12
:::
a1n
6
6
6 a21 a22 ::: a2n
A=6
6
6 :::
::: ::: :::
4
am1 am2 ::: amn
31
3
2
c1
3
7
6
7
7
6
7
7
6 c 7
7 i C = 6 2 7:
7
6
7
7
6 ::: 7
5
4
5
cn
Wówczas moz·emy napisać
2
a11
a12
:::
32
a1n
c1
3
2
6
76
7 6
6
76
7 6
6 a21 a22 ::: a2n 7 6 c2 7 6
6
7
6
7=6
AC = 6
76
7 6
6 :::
::: ::: ::: 7 6 ::: 7 6
4
54
5 4
am1 am2 ::: amn
cn
3
2
a11 c1 + a12 c2 + ::: + a1n cn
7
6
7
6
6 a21 c1 + a22 c2 + ::: + a2n cn 7
7
= 6
7
6
6
::: 7
5
4
am1 c1 + am2 c2 + ::: + amn cn
2
3
2
3
2
a12
a11
7
6
7
6
6
6
7
6
7
6
6
6 a22 7
6 a21 7
7
6
7
6
6
+
:::
+
c
+
c
= c1 6
n
2
6
6
7
7
6
6 ::: 7
6 ::: 7
5
4
5
4
4
am2
am1
= c1 k1 (A) + c2 k2 (A) + ::: + cn kn (A):
w1 (A) C
3
7
7
w2 (A) C 7
7
7
::: 7
5
wm (A) C
a1n
3
7
7
a2n 7
7
7
::: 7
5
amn
To ostatnie wyraz·enie nazywamy kombinacja¾ liniowa¾ kolumn macierzy A. Widzimy zatem, z·e
iloczyn macierzy A wymiaru m
n i macierzy C wymiaru n
1 moz·e być przedstawiony w
postaci kombinacji liniowej kolumn macierzy A, której wspó÷czynniki sa¾ elementami macierzy
C:
AC = c1 k1 (A) + c2 k2 (A) + ::: + cn kn (A):
Przyk÷
ad 68 Niech
2
A=4
2
1
4
2
3
2
6
5 iC=6
6
4
2
3
32
2
3
7
7
3 7:
5
4
(4.5)
Wówczas
2
AC = 4
2
1
4
2
2
= 24
2
4
3
5
3
2
2
34
3
2
7
7
3 7=4
5
4
3
2
1
3
5 + 44
2
2
3 6
56
6
2 4
2
5
6
3
3
5
5:
Wobec wzorów (1.4) i (1.5) moz·emy wiec
¾ napisać
kj (AB) = A(kj (B)) = b1j k1 (A) + b2j k2 (A) + ::: + bpj kp (A):
Przyk÷
ad 69 Dla macierzy z Przyk÷adu 20 mamy
2
6
6
AB = 6
4
1 2
3
2
7
7
3 4 74
5
1 5
3
2
4
7
6
3
6
7
7
5=6
6 6 17 16 7 :
4
5
3 2 1
17 7 1
2 3 4
Kolumny macierzy AB moga¾ by´c rozpisane nastepuj
¾ aco.
¾
2
3
2
4
6
7
6
6
7
6
k1 (AB) = 6 6 7 = A(k1 (B)) = 2 6
4
5
4
17
2
3
2
7
6
7
6
6
7
6
k2 (AB) = 6 17 7 = A(k2 (B)) = 3 6
4
5
4
7
2
3
2
6
6
7
6
6
7
6
k3 (AB) = 6 16 7 = A(k3 (B)) = 4 6
4
5
4
1
33
1
3
2
3
2
7
6 7
7
6 7
3 7 + 36 4 7
5
4 5
1
5
3
2 3
1
2
7
6 7
7
6 7
3 7 + 26 4 7
5
4 5
1
5
3
2 3
2
1
7
6 7
7
6 7
3 7 + 16 4 7:
5
4 5
1
5
Rozwaz·my teraz ogólna¾ postać uk÷
adu równań liniowych
a11 x1 + a12 x2 + ::: + a1n xn = b1
a12 x1 + a22 x2 + ::: + a2n xn = b2
:
:::::
am1 x1 + am2 x2 + ::: + amn xn = bm
Nastepnie
¾
zde…niujmy macierze
2
a11
a12
:::
a1n
6
6
6 a21 a22 ::: a2n
A=6
6
6 :::
::: ::: :::
4
am1 am2 ::: amn
2
3
x1
3
2
b1
3
7
6
7
6
7
7
6
7
6
7
6 b2 7
6 x2 7
7
7:
7; B = 6
7; X = 6
7
6
7
6
7
6 ::: 7
6 ::: 7
7
5
5
4
5
4
bm
xn
Wówczas
2
a11
a12
:::
a1n
6
6
6 a21 a22 ::: a2n
AX = 6
6
6 :::
::: ::: :::
4
am1 am2 ::: amn
32
x1
3
2
a11 x1 + a12 x2 + ::: + a1n xn
76
7 6
76
7 6
7 6 x2 7 6 a12 x1 + a22 x2 + ::: + a2n xn
76
7=6
76
7 6
7 6 ::: 7 6
:::::
54
5 4
xn
am1 x1 + am2 x2 + ::: + amn xn
3
7
7
7
7:
7
7
5
Elementy iloczynu AX to nic innego jak lewe strony równań rozwaz·anego uk÷
adu, zatem ca÷y
uk÷ad równań moz·na zapisać w postaci jednego równania macierzowego
AX = B:
Macierz A nazywamy macierza¾ wspó÷czynników uk÷adu, a macierz
2
a11
a12
:::
a1n
6
6
6 a21 a22 ::: a2n
6
6
6 :::
::: ::: :::
4
am1 am2 ::: amn
34
b1
3
7
7
b2 7
7;
7
::: 7
5
bn
nazywamy macierza¾rozszerzona.¾ Macierz rozszerzona moz·e być równiez· zapisana w skrócie jako
[Aj b]. Na odwrót, kaz·da macierz zawierajaca
¾ wiecej
¾ niz· jedna¾ kolumne¾ moz·e być traktowana
jako macierz rozszerzona pewnego uk÷adu równań. Obie macierze odgrywaja¾ kluczowa¾ role¾ w
metodach rozwiazywania
¾
uk÷adów równań.
Przyk÷
ad 70 Rozwa·zmy uk÷ad równa´n
2x + 3y
2x
4z = 7
+z = 5
3x + 2y + 2z = 3:
Podstawiajac
¾
2
6
6
A=6
4
2 3
4
2
3
x
7
6
6
7
1 7; X = 6 y
5
4
2
z
2 0
3 2
mo·zemy zapisa´c uk÷ad równa´n w postaci macierzowej
3
2
5
3
7
6 7
6 7
7
7; B = 6 7 7;
5
4 5
3
AX = B:
Macierza¾ wspó÷czynników uk÷adu jest A, za´s macierz rozszerzona ma posta´c
2
6
6
6
4
Przyk÷
ad 71 Macierz
jest macierza¾ rozszerzona¾ uk÷adu
2
4
2 3
4
2 0
1
3 2
2
5
3
3
7
7
7 7:
5
3
2
1 3
4
3
0 2
5
5
2x
y + 3z = 4
3x
+ 2z = 5:
35
Z naszej poprzedniej dyskusji wynika, z·e uk÷
ad równań moz·e być takz·e zapisany w postaci
kombinacji liniowej kolumn macierzy A:
2
a11
6
6
6 a21
x1 6
6
6 :::
4
am1
3
2
a12
7
6
7
6
7
6 a
7 + x2 6 22
7
6
7
6 :::
5
4
am2
3
2
a1n
3
2
b1
3
7
6
7 6
7
7
6
7 6
7
7
6 a 7 6 b 7
7 + ::: + xn 6 2n 7 = 6 2 7 :
7
6
7 6
7
7
6 ::: 7 6 ::: 7
5
4
5 4
5
amn
bm
Odwrotnie, kaz·de równanie tego typu przedstawia jakiś uk÷
ad równań.
4.4
Algebraiczne w÷
asności dzia÷
ań na macierzach
W tej cześci
¾ przedstawimy szereg podstawowych w÷
asności zde…niowanych wcześniej dzia÷
ań na
macierzach. W÷asności te bed
¾ a¾prezentowane w postaci twierdzeń, których dowody, w wiekszości
¾
przypadków, zostana¾ pominiete,
¾ lub pozostawione do samodzielnego przeprowadzenia.
Twierdzenie 72 (W÷asności dodawania macierzy) Niech A, B, C i D bed
¾ a¾macierzami wymiaru m
n. Wówczas zachodza¾ nastepuj
¾ ace
¾ w÷asno´sci.
(a) A + B = B + A:
(b) A + (B + C) = (A + B) + C:
(c) Istnieje dok÷adnie jedna macierz O wymiaru m
n taka, ·ze
A + O = A;
dla ka·zdej macierzy A. Macierz O nazywamy macierza¾ zerowa.
¾
(d) Dla ka·zdej macierzy A istnieje dok÷adnie jedna macierz D, tego samego wymiaru, spe÷niajaca
¾ równanie
A + D = O:
Macierz D oznaczamy przez
A i nazywamy macierza¾ przeciwna¾ do A.
Twierdzenie 73 (W÷asności mnoz·enia macierzy) Przy za÷o·zeniu, ·ze macierze A, B i C sa¾
odpowiednich wymiarów mamy:
36
(a) A(BC) = (AB)C;
(b) A(B + C) = AB + AC;
(c) (A + B)C = AC + BC:
Przyk÷
ad 74 Niech
2
A=4
2
3
2
6
2 3
5; B = 6
6 0
4
3 4
3
5
2
Wówczas
2
A(BC) = 4
2 3
2
(AB)C = 4
19
1
16
8
A=4
2
3
0
2
A(B + C) = 4
2
AB + AC = 4
2
3
3
0
15
1
7
4
3
3
3
2
1
7
6
7
6
i
C
=
6
2 7
5
4
1
2
0
6
56
6 3
1 2 4
5
2 3
7
7
3 0 7
7:
7
0 3 7
5
1 0
7 2
3
7
7
3 0
43 16 56
7=4
5:
7
7
0 3
12 30 8
5
1 0
2
Wtedy
i
0 2
1
6
6
5; B = 6 2
4
1 2
3
2 3
3
2
3
7
43
16
56
7
5
4 6 7=4
5
12 30 8
3 3
1
36
6
6 13 6 2
56
6
8 6 6 0
4
2
3
0 2
3
3 7
2
Przyk÷
ad 75 Niech
2
1 0
2
2
1
6
6
7
6 2
7
2 2 7 iC=6
6
5
6 0
4
1 3
2
1
0
6
6
56 8
3 4 4
9
5
i
2
3
2
3
2
5+4
37
6
2
2
3
0
2
3
2
5=4
7
7
0 7:
5
2
1
2
7
21
7
2 7=4
5
7
3
2
2
3
1
2
21
1
7
2
3
5
3
5:
Szczególna¾ role¾ odgrywa macierz skalarna wymiaru n
sie¾ z samych jedynek:
2
1
0 :::
0
n, której g÷ówna przekatna
¾
sk÷
ada
3
6
7
6
7
6 0 1 ::: 0 7
6
7:
In = 6
7
6 ::: ::: ::: ::: 7
4
5
0 0 ::: 1
Nazywamy ja¾ macierza¾ jednostkowa.¾ Jez·eli A jest macierza¾ wymiaru m
n, to, jak ÷atwo
sprawdzić,
Im A = AIn = A:
Jez·eli A jest macierza¾ kwadratowa¾ wymiaru n, a p jest liczba¾ naturalna,
¾ to w znany sposób
moz·emy określić poteg
¾ e¾
Ap = A
| A{z::: A}:
p czynników
Podobnie, de…niujemy równiez·
A0 = In :
×atwo sprawdzić, z·e zachodza¾ znane wzory
Ap Aq = Ap+q ;
oraz
(Ap )q = Apq :
Nalez·y jednak zwrócić uwage¾ na to, z·e w ogólności
(AB)p 6= Ap B p ;
chyba, z·e AB = BA.
Odnotujemy teraz dwie kolejne osobliwości dotyczace
¾ mnoz·enia macierzy. Jez·eli a i b sa¾
liczbami rzeczywistymi, to równość ab = 0 moz·e mieć miejsce tylko wtedy, gdy jedna z liczb a
lub b jest zerem. Inaczej jest w przypadku macierzy.
38
Przyk÷
ad 76 Je´sli
2
A=4
to
1 2
2 4
3
2
5 iB=4
2
AB = 4
0 0
0 0
pomimo, ·ze ani A ani B nie jest macierza¾ zerowa.¾
4
6
2
3
3
3
5;
5;
Jez·eli a, b i c sa¾ liczbami rzeczywistymi, dla których zachodzi równość ab = ac i a 6= 0,
to w konsekwencji a = b. Ta w÷asność, zwana prawem skracania, nie zachodzi w przypadku
macierzy, jak pokazuje nastepny
¾
przyk÷
ad.
Przyk÷
ad 77 Je´sli
2
A=4
1 2
2 4
3
2
5; B = 4
to
2 1
3 2
2
AB = AC = 4
ale B 6= C.
3
2
5 iC=4
8
5
16 10
2
7
5
1
3
5;
3
5;
Twierdzenie 78 (W÷asności iloczynu macierzy przez liczbe)
¾ Je·zeli r i s sa¾ liczbami rzeczywistymi, a A i B sa¾ macierzami, to
(a) r(sA) = (rs)A;
(b) (r + s)A = rA + sA;
(c) r(A + B) = rA + rB;
(d) A(rB) = r(AB) = (rA)B:
Twierdzenie 79 (W÷asności transpozycji macierzy) Je·zeli r jest liczba¾rzeczywista,¾ a A i B sa¾
macierzami, to
(a) AT
T
= A;
(b) (A + B)T = AT + B T ;
39
(c) (AB)T = B T AT ;
(d) (rA)T = rAT :
Przyk÷
ad 80 Niech
2
A=4
3 2
2
2
(AB)T = 4
2
B T AT = 4
0
12
7
5
3
3
6
5 iB=6
6 2
4
1 3
3
1
Wówczas
i
2
3
0 2
1 2
3
2
1
6
6
56 3
1 4
2
3
3
1
3
7
7
2 7:
5
1
5
2
7
12
7
1 7=4
5
5
3
2
7
3
3
5:
De…nicja 81 Macierz A = [aij ] nazywamy symetryczna¾ je·zeli
AT = A:
Inaczej mówiac,
¾ A jest symetryczna je´sli jest kwadratowa i aij = aji , dla wszystkich i; j =
1; 2; :::; n. W takiej macierzy elementy po÷o·zone symetrycznie wzgledem
¾
g÷ównej przekatnej
¾
sa¾
równe.
Przyk÷
ad 82 Macierze
2
1 2 3
6
6
A=6 2 4 5
4
3 5 6
3
2
1 0 0
7
6
7
6
i
I
=
7
6 0 1 0
3
5
4
0 0 1
sa¾ symetryczne.
40
3
7
7
7
5
4.5
Metody rozwiazywania
¾
uk÷
adów równań liniowych
W tej cześci
¾ usystematyzujemy znana¾ juz· metode¾ rozwiazywania
¾
uk÷adu równań, polegajac
¾ a¾
na sukcesywnej eliminacji niewiadomych. Punktem wyjścia jest macierz rozszerzona danego
uk÷adu, która nastepnie
¾
poddawana jest transformacjom przekszta÷
cajacym
¾
ja¾do pewnej szczególnej postaci. Otrzymana w ten sposób nowa macierz reprezentuje uk÷ad równań o dok÷adnie tych
samych rozwiazaniach
¾
co wyjściowy, ale ma o wiele dogodniejsza¾ postać. Na przyk÷
ad, jez·eli
macierz rozszerzona pewnego uk÷adu ma postać
2
1 0 0
2
6
6
6 0 1 0
4
0 0 1
1
3
4
3
7
7
5 7;
5
6
to jego rozwiazania
¾
moga¾ być znalezione bardzo ÷
atwo. Zadanie polega wiec
¾ na takim manipulowaniu macierza¾rozszerzona¾uk÷adu, aby przybra÷
a ona podobna¾postać, bez naruszenia zbioru
rozwiazań.
¾
De…nicja 83 (Postać kanoniczna macierzy) Mówimy, ·ze macierz ma postać kanoniczna¾ je´sli
spe÷nia nastepuj
¾ ace
¾ warunki:
(a) Wszystkie wiersze sk÷adajace
¾ sie¾ z samych zer, o ile wogóle wystepuj
¾ a¾ znajduja¾ sie¾ na
samym dole.
(b) Pierwsza od lewej niezerowa liczba (o ile wiersz nie sk÷ada sie¾ z samych zer) jest równa
1. Nazywamy ja¾ wiodac
¾ a¾ jedynka¾ tego wiersza.
(c) Wiodaca
¾ jedynka ni·zszego wiersza znajduje sie¾ na prawo od wiodacej
¾ jedynki wy·zszego
wiersza.
(d) Je·zeli kolumna zawiera wiodac
¾ a¾ jedynke¾ pewnego wiersza, to wszystkie pozosta÷e jej elementy sa¾ zerami.
41
Przyk÷
ad 84 Macierze
2
1
6
6
A = 6 0
4
0
2
1
6
6
6 0
6
6
C = 6 0
6
6
6 0
4
0
0 0 4
3
2
1 2 0 0 2
7
6
7
6
5 7; B = 6 0 0 1 0 1
5
4
2
0 0 0 1 0
3
3 0
7
7
0 0 7
7
7
0 1 7;
7
7
0 0 7
5
0 0
1 0
0 1
0 0
0 1
0 0
0 0
0 0
3
7
7
7;
5
znajduja¾ sie¾ w postaci kanonicznej.
Przyk÷
ad 85 Macierze
2
1
6
6
A = 6 0
4
0
2
1
6
6
6 0
C = 6
6
6 0
4
0
2 0
4
0 0
0 1
0
3
1
2
1
2
0
0
3
2
7
6
7
6
;
B
=
7
6
0
5
4
3
3
2
4
7
6
7
6
6
5 7
7; D = 6
7
6
6
2 7
5
4
0
1 0
3 4
0 2
2
0 0
1
1 2
3
0 1
2
0 0
1
0 0
0
3
7
7
5 7;
5
2
3
4
7
7
5 7
7;
7
2 7
5
0
nie sa¾ w postaci kanonicznej, poniewa·z nie spe÷niaja¾ warunku (a), (b), (c), i (d), odpowiednio.
Zajmiemy sie¾ teraz procedura¾ doprowadzajac
¾ a¾ macierz do postaci kanonicznej. Opiera sie¾
ona na wierszowych operacjach elementarnych, które odpowiadaja¾ w oczywisty sposób znanym
operacjom na równaniach.
De…nicja 86 Trzy nastepuj
¾ ace
¾ rodzaje operacji na wierszach macierzy A nazywamy operacjami
elementarnymi:
(a) Zamiana miejscami dwóch wierszy macierzy A.
(b) Pomno·zenie wszystkich elementów wiersza przez liczbe¾ c 6= 0.
42
(c) Dodanie do wiersza innego wiersza pomno·zonego przez pewna¾ liczbe.
¾
Przyk÷
ad 87 Niech
2
0 0 1
6
6
A=6 2 3 0
4
3 3 6
2
3
7
7
2 7:
5
9
Wówczas zamiana wierszy pierwszego i trzeciego, co zapisujemy jako w1 (A)
macierz
2
3 3 6
6
6
B=6 2 3 0
4
0 0 1
9
w3 (A), daje
3
7
7
2 7:
5
2
Po pomno·zeniu trzeciego wiersza macierzy B przez 31 , w skrócie 13 w3 (B), dostajemy
2
0 0 1
6
6
C=6 2 3 0
4
1 1 2
2
3
7
7
2 7:
5
3
Wreszcie, dodajac
¾ do trzeciego wiersza macierzy C drugi wiersz pomno·zony przez ( 2), w notacji ( 2)w2 (C) + w3 (C), otrzymujemy
2
6
6
D=6
4
0
0 1
2
3 0
1
3 6
De…nicja 88 Macierze A i B wymiaru m
2
3
7
7
2 7:
5
5
n nazywamy równowaz·nymi (wierszowo), je·zeli
jedna¾ znich mo·zemy otrzyma´c z drugiej w wyniku sko´nczonego ciagu
¾ wierszowych operacji elementarnych.
Przyk÷
ad 89 Macierz
2
1
6
6
A=6 2
4
1
2 4 3
3
7
7
1 3 2 7
5
1 2 3
43
jest wierszowo równowa·zna macierzy
2
2
6
6
D=6 1
4
4
4 8 6
3
7
7
1 2 3 7:
5
1 7 8
W istocie, wykonujac
¾ operacje¾ 2w3 (A) + w2 (A) dostaniemy
2
1
6
6
B=6 4
4
1
2 4 3
3
7
7
1 7 8 7;
5
1 2 3
a nastepnie
¾
zamieniajac
¾ w2 (B) i w3 (B), otrzymujemy
2
1
6
6
C=6 1
4
4
2 4 3
3
7
7
1 2 3 7:
5
1 7 8
Wreszcie, po wykonaniu operacji 2w1 (C) otrzymamy macierz D.
Twierdzenie 90 Ka·zda macierz jest równowa·zna dok÷adnie jednej macierzy w postaci kanonicznej.
Zilustrujemy dowód tego waz·nego twierdzenia na przyk÷adzie, pokazujac
¾ kolejne kroki doprowadzajace
¾ pewna¾ macierz A do postaci kanonicznej. Dowód jednoznaczności tej postaci
pominiemy.
Przyk÷
ad 91 Niech
2
0 2
3
6
6
6 0 0
A=6
6
6 2 2
4
2 0
2
5
6
4 1
3
7
7
3 4 7
7:
7
2 4 7
5
9 7
Krok 1. Znajdujemy pierwsza¾ od lewej kolumne¾ zawierajac
¾ a¾ element niezerowy (kolumne¾
wiodac
¾ a)
¾ i zaznaczamy w niej pierwszy od góry taki element. Nazywamy go elementem wioda¾
44
cym.
2
0 2
6
6
6 0 0
A=6
6
6 2 2
4
2 0
3
4 1
3
7
7
3 4 7
7:
7
2 4 7
5
9 7
2
5
6
Krok 2. Je´sli trzeba, zamieniamy wiersze tak aby zaznaczony element znalaz÷sie¾ w lewym
górnym rogu.
2
2 2
5
6
6
6 0 0
A1 = 6
6
6 0 2
4
2 0
2 4
3
7
7
3 4 7
7 ; (w1
7
4 1 7
5
9 7
2
3
6
w3 ) :
Krok 3. Mno·zymy pierwszy wiersz A1 przez odwrotno´s´c elementu wiodacego,
¾
aby otrzyma´c
wiodac
¾ a¾ jedynke.
¾
2
5
2
1 1
6
6
6 0 0
A2 = 6
6
6 0 2
4
2 0
1 2
3
7
7
3 4 7
7;
7
4 1 7
5
9 7
2
3
6
1
w1 :
2
Krok 4. Teraz dodajemy pierwszy wiersz pomno·zony przez odpowiednie sta÷e do pozosta÷ych
wierszy, po to by wszystkie elementy wiodacej
¾ kolumny, oprócz wiodacej
¾ jedynki, sta÷y sie¾zerami.
2
1
6
6
6 0
A3 = 6
6
6 0
4
0
1
5
2
0
2
2
3
2
1
1 2
3
7
7
3 4 7
7 ; ( 2w1 + w4 ) :
7
4 1 7
5
7 3
Krok 5. Nastepnie
¾
powtarzamy wszystko od poczatku
¾ na macierzy, która powstaje przez pominiecie
¾ pierwszego wiersza macierzy A3 .
2
0
6
6
B=6 0
4
0
0
2
2
3
2
1
45
3 4
3
7
7
4 1 7;
5
7 3
2
0
6
6
B1 = 6 0
4
0
2
2
3
0
2
2
1
0
6
6
B2 = 6 0
4
0
2
4 1
7
7
3 4 7 ; (w1
5
7 3
1
3
2
2
0
2
3
2
1
7
0 1
6
6
B3 = 6 0 0
4
0 0
3
3
2
2
2
3
2
3
1
2
1
2
3
3
7
7
4 7;
5
3
w2 )
1
w2
2
7
7
4 7 ; (2w1 + w3 ) :
5
4
Krok 6. Podobnie powtarzamy kroki 1-4 na macierzy ograniczonej do nastepnych
¾
wierszy.
2
C=4
2
C1 = C2 = 4
2
C3 = 4
0 0 2 3 4
0 0 2 3 4
0 0 1
3
2
0 0 2
3 4
0 0 1
3
2
0 0 0
0 0
2
2
3
3
5;
3
1
w1
2
5;
5 ; ( 2w1 + w2 ) :
Krok 7 (ostatni). Kiedy ju·z wszystkie wiodace
¾ jedynki sie¾ ujawni÷y, mo·zemy, po dopisaniu
pominietych
¾
wcze´sniej wierszy, przystapi´c
¾ do zerowania elementów znajdujacych
¾
nad nimi. W
tym celu wygodnie jest wykonywa´c odpowiednie operacje w odwrotnym kierunku, z do÷u do góry.
2
1 1
6
6
6 0 1
D=6
6
6 0 0
4
0 0
46
5
2
1
3
2
2
1
3
2
0
0
2
3
7
7
7
7;
7
2 7
5
0
1
2
2
5
2
1
0
17
4
1
3
2
0
0
1 1 0
19
4
1 1
6
6
6 0 1
D1 = 6
6
6 0 0
4
0 0
2
6
6
6 0 1 0
D2 = 6
6
6 0 0 1
4
0 0 0
2
1 0 0
6
6
6 0 1 0
D3 = 6
6
6 0 0 1
4
0 0 0
17
4
3
2
0
2
7
7
7
7;
7
2 7
5
0
5
2
7
19
2
17
4
5
2
0
3
7
7
7
7;
7
2 7
5
0
5
2
9
3
2
3
3
w3 + w2
2
5
w3 + w1
2
3
7
7
7
7 ; ( 1w2 + w1 ) :
7
2 7
5
0
Ta ostatnia macierz ma nareszcie upragniona¾ posta´c kanoniczna.¾
Twierdzenie 92 Niech AX = B i CX = D bed
¾ a¾dwoma uk÷adami m równa´n z n niewiadomymi.
Je·zeli macierze rozszerzone [Aj B] i [Cj D] sa¾równowa·zne, to uk÷ady te maja¾takie same zbiory
rozwiaza´
¾ n.
Wniosek 93 Je·zeli A i C sa¾równowa·zne, to uk÷ady równa´n AX = 0 i CX = 0 maja¾ten sam
zbiór rozwiaza´
¾ n.
Metoda rozwiazywania
¾
uk÷
adu równań, przedstawiona w Przyk÷
adzie 35, znana jest równiez·
pod nazwa¾ redukcji Gaussa-Jordana. Sk÷
ada sie¾ ona z trzech g÷
ównych kroków:
Krok 1. Utworzenie macierzy rozszerzonej uk÷adu [Aj B].
Krok 2. Doprowadzenie macierzy rozszerzonej do postaci kanonicznej, poprzez operacje
elementarne na wierszach.
Krok 3. Uzyskanie rozwiazania
¾
uk÷adu poprzez wyznaczenie niewiadomych odpowiadajacych
¾
wiodacym
¾
jedynkom.
Przedstawimy teraz szereg przyk÷
adów stosowania tej metody, prowadzacych
¾
do róz·nych
moz·liwych sytuacji.
47
Przyk÷
ad 94 (Dok÷adnie jedno rozwiazanie)
¾
Rozwia¾·zemy nastepuj
¾ acy
¾ uk÷ad równa´n
x + 2y + 3z = 9
2x
y+z = 8
3x
z = 3
metoda¾ Gaussa-Jordana.
Krok 1. Tworzymy macierz rozszerzona:
¾
2
1
6
6
6 2
4
3
2
3
1
1
0
1
9
3
7
7
8 7:
5
3
Krok 2. Przekszta÷camy macierz rozszerzona¾ do postaci kanonicznej
2
1 0 0
2
6
6
6 0 1 0
4
0 0 1
3
7
7
1 7;
5
3
za pomoca¾ (raczej sporej liczby) operacji elementarnych.
Krok 3. Odczytujemy rozwiazanie:
¾
x = 2
y =
1
z = 3:
Przyk÷
ad 95 (Nieskończenie wiele rozwiazań)
¾
Dany jest uk÷ad równa´n
x + y + 2z
2x + 5y
2x + y
x
z
5w = 3
9w =
3
z + 3w =
11
3y + 2z + 7w =
5:
48
Krok 1. Tworzymy macierz rozszerzona¾
2
1
6
6
6 2
6
6
6 2
4
1
1
2
5
5
1
9
1
1
3
3
2
7
3
3
7
7
3 7
7:
7
11 7
5
5
Krok 2. Redukcja Gaussa-Jordana
2
1 0 0
5
2
6
6
6 0 1 0
6
6
6 0 0 1
4
0 0 0
3
7
7
2 7
7:
7
3 7
5
0
3
2
0
Krok 3. Wyznaczamy niewiadome odpowiadajace
¾ wiodacym
¾
jedynkom
x =
5
2w
y = 2 + 3w
z = 3 + 2w
i zapisujemy rozwiazanie
¾
x =
5
2r
y = 2 + 3r
z = 3 + 2r
w = r;
gdzie r oznacza dowolna¾ liczbe¾ rzeczywista.
¾
49
Przyk÷
ad 96 (Nieskończenie wiele rozwiazań)
¾
Dany jest (raczej nieprzyjemny) uk÷ad równa´n
x1 + 2x2
x1 + 2x2 + x3
3x4 + x5
= 2
3x4 + x5 + 2x6 = 3
x1 + 2x2
3x4 + 2x5 + x6 = 4
3x1 + 6x2 + x3
9x4 + 4x5 + 3x6 = 9:
Krok 1. Macierz rozszerzona ma posta´c
2
1 2
6
6
6 1 2
6
6
6 1 2
4
3 6
0
3 1 0
1
3 1 2
0
3 2 1
1
9 4 3
2
3
7
7
3 7
7:
7
4 7
5
9
Krok 2. Po redukcji Gaussa-Jordana otrzymujemy
2
1 2 0
6
6
6 0 0 1
6
6
6 0 0 0
4
0 0 0
3 0
1
0 0
2
0 1
1
0 0
0
0
3
7
7
1 7
7:
7
2 7
5
0
Krok 3. Wyznaczamy niewiadome odpowiadajace
¾ wiodacym
¾
jedynkom
x1 =
2x2 + 3x4 + x6
x3 = 1
2x6
x5 = 2
x6 ;
50
i zapisujemy pe÷ne rozwiazanie
¾
x1 =
2r + 3s + t
x2 = r
x3 = 1
2t
x4 = s
x5 = 2
t
x6 = t;
gdzie r; s i t oznaczaja¾ dowolne liczby rzeczywiste.
Przyk÷
ad 97 (Brak rozwiazań)
¾
Niech dany bedzie
¾
uk÷ad równa´n
x + 2y + 3z + 4w = 5
x + 3y + 5z + 7w = 11
x
z
2w =
6:
Po zredukowaniu macierzy rozszerzonej do postaci kanonicznej otrzymujemy macierz
2
1 0
6
6
6 0 1
4
0 0
1
2
2
3
0
0
0
3
7
7
0 7:
5
1
Ostatnie równanie odpowiadajacego
¾
jej uk÷adu
0x + 0y + 0z + 0w = 1
nie ma ·zadnych rozwiaza´
¾ n. W konsekwencji, ca÷y uk÷ad równa´n, tak·ze nie posiada rozwiaza´
¾ n.
51
De…nicja 98 Uk÷ad równa´n postaci
a11 x1 + a12 x2 + ::: + a1n xn = 0
a12 x1 + a22 x2 + ::: + a2n xn = 0
:::::
am1 x1 + am2 x2 + ::: + amn xn = 0
nazywamy uk÷adem jednorodnym. Rozwiazanie
¾
x1 = x2 = ::: = xn = 0
nazywamy rozwiazaniem
¾
trywialnym, natomiast rozwiazanie,
¾
w którym cho´cby jedna z liczb xi
jest ró·zna od zera, nazywamy rozwiazaniem
¾
nietrywialnym.
Oczywiście, kaz·dy jednorodny uk÷
ad równań posiada co najmniej jedno rozwiazanie,
¾
mianowicie rozwiazanie
¾
trywialne. Moz·e sie¾ zdarzyć, z·e jest ono jedynym rozwiazaniem
¾
takiego
uk÷ady, ale moz·y być równiez· tak, z·e rozwiazań
¾
bedzie
¾
nieskończenie wiele.
Przyk÷
ad 99 Rozwa·zmy jednorodny uk÷ad równa´n
x + 2y + 3z = 0
x + 3y + 2z = 0
2x + y
2z = 0:
Posta´c kanoniczna macierzy tego uk÷adu jest równa I3 , zatem jedynym rozwiazaniem
¾
jest rozwiazanie
¾
trywialne
x = y = z = 0:
Przyk÷
ad 100 Rozwa·zmy uk÷ad równa´n
x+y+z+w = 0
x +w = 0
x + 2y + z
52
= 0:
Macierz
2
1 0 0
6
6
6 0 1 0
4
0 0 1
1
0
3
7
7
0 7
5
0
1
1
przedstawia posta´c kanoniczna¾macierzy rozszerzonej tego uk÷adu. Otrzymujemy wiec
¾ niesko´nczenie wiele rozwiaza´
¾ n postaci
x =
r
y = r
z =
r
w = r;
gdzie r jest dowolna¾ liczba¾ rzeczywista.
¾
Twierdzenie 101 Je·zeli liczba równa´n jednorodnego uk÷adu jest mniejsza od jego liczby niewiadomych,
to uk÷ad ten posiada rozwiazanie
¾
nietrywialne.
4.6
Macierze odwracalne
W tej cześci
¾ skupimy uwage¾ na macierzach kwadratowych i określimy pojecie
¾ macierzy odwrotnej, stanowiace
¾ uogólnienie odwrotności liczby niezerowej.
De…nicja 102 Macierz A wymiaru n n nazywamy odwracalna¾(lub nieosobliwa),
¾ je´sli istnieje
taka macierz B wymiaru n
n, ·ze
AB = BA = In :
Macierz B nazywamy wówczas odwrotno´scia¾macierzy A. Je·zeli taka macierz B nie istnieje, to
A nazywamy nieodwracalna¾ (lub osobliwa).
¾
Przyk÷
ad 103 Niech
2
A=4
2 3
2 2
3
2
5;B = 4
53
1
1
3
2
1
3
5:
Wówczas
AB = BA = I2 ;
co oznacza, ·ze A jest macierza¾ odwracalna¾ i B jest odwrotno´scia¾ A.
Twierdzenie 104 Je·zeli macierz A jest odwracalna, to jej odwrotno´s´c jest jednoznaczna.
Dowód. Niech B i C bed
¾ a¾ odwrotnościami macierzy A. Wówczas
BA = AC = In :
Stad
¾
B = BIn = B(AC) = (BA)C = In C = C;
co kończy dowód.
Od tej pory bedziemy
¾
oznaczać odwrotność macierzy A przez A
Przyk÷
ad 105 Niech
Aby znale´z´c A
1
2
A=4
oznaczmy
A
Równanie AA
1
1
1 2
3 4
2
=4
3
5:
3
a b
5:
c d
= I2 prowadzi do uk÷adu równa´n z rozwiazaniem
¾
a=
2; b = 1; c =
Stad
¾
A
Przyk÷
ad 106 Niech
1
2
=4
2
A=4
3
id=
2
2
3
2
1 2
2 4
54
1
1
2
3
5:
3
5:
1
:
2
1.
Podobny uk÷ad równa´n tym razem nie ma rozwiazania.
¾
Wnioskujemy wiec,
¾ ·ze macierz A jest
osobliwa.
Twierdzenie 107 (W÷asności odwrotności)
1
(a) Je·zeli A jest macierza¾ nieosobliwa,
¾ to A
(A
1
)
1
te·z jest macierza¾ nieosobliwa¾ i
= A:
(b) Je·zeli macierze A i B sa¾ nieosobliwe, to macierz AB te·z jest nieosobliwa i
(AB)
1
=B
(AT )
1
= (A
1
A
1
:
(c) Je·zeli A jest nieosobliwa, to
1 T
) :
Dowód. Punkt (a) wynika wprost z de…nicji odwrotności. W punktach (b) i (c) wystarczy
sprawdzić, z·e macierze B
1A 1
i (A
1 )T
spe÷nieja¾ de…nicje¾ macierzy odwrotnej, odpowiednio.
Wniosek 108 Je·zeli macierze A1 ; A2 ; :::; Ar wymiaru n
n sa¾ nieosobliwe, to ich iloczyn te·z
jest macierza¾ nieosobliwa¾ i
(A1 A2 :::Ar )
1
= Ar 1 Ar 11 :::A1 1 :
Twierdzenie 109 Przypu´s´cmy, ·ze A i B sa¾macierzami wymiaru n n. Wówczas, je´sli AB =
In , to równie·z BA = In .
Opiszemy teraz praktyczna¾ metode¾ wyznaczania macierzy odwrotnej A
dana¾ macierza¾ wymiaru n
n, to poszukujemy macierzy B takiej, z·e
AB = In :
55
1.
Jez·eli A jest
Oznaczmy kolumny macierzy B przez X1 ; X2 ; :::; Xn , gdzie
2
b1j
6
6
6 b2j
Xj = 6
6
6 :::
4
bnj
3
7
7
7
7 ; (1
7
7
5
j
n):
Natomiast kolumny macierzy jednostkowej In oznaczmy przez E1 ; :::En .
Na mocy wzoru
kj (AB) = Akj (B) wnioskujemy, z·e problem znalezienia macierzy B jest równoznaczny ze
znalezieniem macierzy Xj spe÷niajacych
¾
równania
AXj = Ej ; (1
j
n):
Zatem, wyznaczenie B jest równowaz·ne rozwiazaniu
¾
n uk÷adów równań liniowych, z których
kaz·dy ma n równań i n niewiadomych. Kaz·dy z tych uk÷adów moz·e być rozwiazany
¾
z osobna
metoda¾ Gaussa - Jordana, ale, poniewaz· macierz wspó÷czynników kaz·dego uk÷adu jest ta sama,
wiec
¾ moz·emy przeprowadzić redukcje¾ na wspólnej macierzy rozszerzonej, postaci
[Aj E1 E2 :::En ] = [Aj In ] :
Po przeprowadzeniu redukcji tej macierzy do postaci kanonicznej [Cj D] moz·liwe sa¾ dwie sytuacje.
(1) C = In . Wtedy oczywiście mamy B = D.
(2) C 6= In . Wtedy macierz C musi zawierać wiersz zerowy i któryś z rozpatrywanych
uk÷adów równań nie ma rozwiazania.
¾
Zatem, macierz odwrotna do A w tym wypadku nie
istnieje.
Procedure¾ wyznaczania macierzy odwrotnejdo A moz·emy zatem streścić w trzech krokach.
Krok 1. Tworzymy macierz rozszerzona¾ [Aj In ] wymiaru n
2n przez dopisanie do A
macierzy jednostkowej In .
Krok 2. Sprowadzamy macierz [Aj In ] do postaci kanonicznej metoda¾ Gaussa - Jordana.
Krok 3. Niech [Cj D] bedzie
¾
otrzymana¾ postacia¾ kanoniczna.
¾ Moz·liwe sa¾ dwie sytuacje.
(a) Jez·eli C = In , to A
1
= D.
56
(b) Jez·eli C 6= In , to A
1
nie istnieje.
Przyk÷
ad 110 Znajdziemy (o ile istnieje) odwrotno´s´c macierzy
2
3
1 1 1
6
6
A=6 0 2 3
4
5 5 1
7
7
7:
5
Krok 1. Tworzymy macierz [Aj I3 ]
2
1 1 1
6
6
[Aj I3 ] = 6 0 2 3
4
5 5 1
1 0 0
3
7
7
0 1 0 7:
5
0 0 1
Krok 2. Redukujemy te¾ macierz do postaci kanonicznej
2
13
8
1 0 0
6
6
[Cj D] = 6 0 1 0
4
0 0 1
1
2
15
8
1
2
5
4
0
1
2
1
8
3
8
1
4
Krok 3. Odczytujemy rozwiazanie
¾
A
1
2
6
6
=6
4
13
8
15
8
1
2
5
4
0
3
8
1
4
3
7
7
7:
5
Przyk÷
ad 111 Znale´z´c (o ile istnieje) odwrotno´s´c macierzy
2
1
6
6
A=6 1
4
5
2
2
2
57
3
3
7
7
1 7:
5
3
1
8
3
7
7
7:
5
Krok 1. Formujemy macierz rozszerzona¾
2
1
6
6
[Aj I3 ] = 6 1
4
5
2
3
2
2
1
3
1 0 0
3
7
7
0 1 0 7:
5
0 0 1
Krok 2. Przeprowadzamy redukcje¾ Gaussa - Jordana, w wyniku której otrzymujemy macierz
2
1
2
6
6
6 0
4
0
1
3
4
0
4
1
0
2
0
0
3
7
7
0 7:
5
3 1
1
Krok 3. W tym momencie jest jasne, ·ze nie jest mo·zliwe aby C = In . Wnioskujemy zatem, ·ze
A
1
nie istnieje.
Twierdzenie 112 Macierz wymiaru n n jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy jest równowa·zna
macierzy jednostkowej.
Przypuśćmy, z·e A jest macierza¾ nieosobliwa¾ i rozwaz·my uk÷
ad równań
AX = B:
Poniewaz· istnieje macierz odwrotna do A, wiec
¾ moz·emy rozwiazać
¾
ten uk÷ad równań mnoz·ac
¾
obie strony przez A
1:
A
(A
1
(AX) = A
1
B
1
A)X = A
1
B
In X = A
1
B
X = A
1
B:
Zatem, w przypadku gdy macierz wspó÷
czynników uk÷adu jest nieosobliwa, uk÷ad ma dok÷adnie
jedno rozwiazanie
¾
X=A
1 B.
58
Twierdzenie 113 Je·zeli A jest macierza¾ wymiaru n
n, to jednorodny uk÷ad równa´n
AX = 0
ma rozwiazanie
¾
nietrywialne wtedy i tylko wtedy, gdy macierz A jest osobliwa.
Twierdzenie 114 Macierz wymiaru n
n jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy uk÷ad
równa´n
AX = B
ma dok÷adnie jedno rozwiazanie,
¾
dla dowolnej macierzy B wymiaru n
1.
Podsumujmy nasze spostrzez·enia w postaci listy zdań równowaz·nych w÷asności nieosobliwości.
Nastepuj
¾ ace
¾ zdania sa¾ równowaz·ne.
1. Macierz A jest nieosobliwa.
2. Uk÷ad AX = 0 ma tylko trywialne rozwiazanie.
¾
3. Macierz A jest równowaz·na macierzy In .
4. Uk÷ad AX = B ma dok÷
adnie jedno rozwiazanie,
¾
przy dowolnej macierzy B, wymiaru
n
1.
4.7
Wyznacznik macierzy
De…nicja 115 Niech S = f1; 2; :::; ng bedzie
¾
zbiorem liczb naturalnych od 1 do n. Dowolne
ustawienie elementów zbioru S w jakimkolwiek porzadku
¾
j1 j2 :::jn nazywamy permutacja¾ zbioru
S.
Dla przyk÷
adu, 4231 jest permutacja¾ zbioru S = f1; 2; 3; 4g. ×atwo zauwaz·yć, z·e istnieje
dok÷adnie n! róz·nych permutacji zbioru S. Pare¾ elementów jr i js nazywamy inwersja¾ w permutacji j1 j2 :::jn jez·eli r < s, ale jr > js . Na przyk÷ad, 4 i 2 stanowia¾ inwersje¾ w permutacji
4231. Permutacje dzielimy na parzyste i nieparzyste w zalez·ności od parzystości liczby inwersji w nich wystepuj
¾ acych.
¾
Na przyk÷
ad, permutacja 4231 jest nieparzysta poniewaz· zawiera 5
inwersji 42; 43; 41; 21; 31.
59
De…nicja 116 Niech A = [aij ] bedzie
¾
macierza¾ wymiaru n
n. Wyznacznikiem macierzy A
nazywamy liczbe¾ okre´slona¾ wzorem
det A = jAj =
X
( )a1j1 a2j2 :::anjn ;
gdzie sumowanie przebiega po wszystkich permutacjach j1 j2 :::jn zbioru S = f1; 2; :::; ng. Znak
+ lub
jest zgodny z parzysto´scia¾ permutacji j1 j2 :::jn .
3
2
a11 a12
5. Wówczas det A = a11 a22
Przyk÷
ad 117 Niech A = 4
a21 a22
2
a11 a12 a13
6
6
Przyk÷
ad 118 Niech A = 6 a21 a22 a23
4
a31 a32 a33
a12 a21 .
3
7
7
7. Wówczas
5
det A = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32
a13 a22 a31
a12 a21 a33
2
a11 a23 a32 :
1 2 3
6
6
Przyk÷
ad 119 Obliczymy wyznacznik macierzy A = 6 2 1 3
4
3 1 2
3
7
7
7.
5
det A = 1 1 2 + 2 3 3 + 3 2 1
3 1 3
= 2 + 18 + 6
2 2 2
9
8
1 3 1
3
= 6:
Uderzajacy
¾ jest fakt szybkiego wzrostu liczby operacji arytmetycznych potrzebnych do
obliczenia wyznacznika stopnia n. W istocie, juz· dla n = 10 dostajemy 10! = 3628 800 permutacji, a dla n = 100 mamy ich juz· 100! = 93 326 215 443 944 152 681 699 238 856 266 700 490 715
968 264 381 621 468 592 963 895 217 599 993 229 915 608 941 463 976 156 518 286 253 697 920 827 223 758 251
185 210 916 864 000 000 000 000 000 000 000 000. Bedziemy
¾
zatem potrzebować innych, bardziej
efektywnych metod obliczania wyznaczników. W tym celu przyjrzymy sie¾ najpierw w÷
asnościom
60
wyznacznika.
Twierdzenie 120 Wyznaczniki macierzy A i jej transpozycji sa¾ równe, to znaczy,
det A = det AT .
Twierdzenie 121 Je·zeli macierz B powsta÷a z macierzy A w wyniku zamiany miejscami dwóch
wierszy (lub dwóch kolumn), to det B =
2
Przyk÷
ad 122 Niech A = 4
2
1
3
2
det A.
3
2
5iB=4
3
2
2
1
3
5. Wtedy det A = 7 i det B =
7.
Wniosek 123 Je·zeli dwa wiersze (lub dwie kolumny) macierzy A sa¾identyczne, to det A = 0.
Twierdzenie 124 Je·zeli macierz A zawiera wiersz (lub kolumne)
¾ sk÷adajacy
¾ sie¾ z samych zer,
to det A = 0.
Twierdzenie 125 Je·zeli macierz B powsta÷a z macierzy A w wyniku pomno·zenia wiersza (lub
kolumny) przez pewna¾ liczbe¾ c, to det B = c det A.
Przyk÷
ad 126 Stosujac
¾ powy·zsze twierdzenia mo·zemy upraszcza´c rachunki wyciagaj
¾ ac
¾ wspólne
czynniki z wierszy i kolumn przed wyznacznik. Na przyk÷ad,
1 2 3
1 2 3
1 2 1
1 5 3
=2 1 5 3
=2 3 1 5 1
2 8 6
1 4 3
1 4 1
= 2 3 0 = 0:
Twierdzenie 127 Je·zeli macierz B zosta÷a otrzymana z macierzy A w wyniku dodania do
pewnego wiersza kombinacji liniowej pozosta÷ych wierszy, to det B = det A.
Przyk÷
ad 128 Mamy
1
2 3
2
1 3
1
0 1
=
5
0 9
2
1 3
1
0 1
poprzez operacje¾ 2w2 + w1 .
61
= 4;
Twierdzenie 129 Je·zeli A jest macierza¾ trójkatn
¾ a¾ (aij = 0 gdy i > j), to
det A = a11 a22 :::ann .
Ostatnie twierdzenie sugeruje pewna¾ metode¾ obliczania wyznacznika poprzez sprowadzenie
macierzy do postaci trójkatnej.
¾
Zilustrujemy to w nastepnym
¾
przyk÷
adzie.
Przyk÷
ad 130 Mamy
4
3 2
4
3 2
3
2 5
=2 3
2 5
2
4 6
1
2 3
=
=
1
w
2 3
1
2
3
2 0
8
4
0
5
10
=
1
2 3
2 3
2 5
4
3 2
w1 $w3
3w1 +w2 ; 4w1 +w3
1 2 3
=
1
w $
4 2
( 2)( 4)( 5) 0 1 2
0 2 1
1
w
5 3
1 2
3
( 2)( 4)( 5) 0 1
2
0 0
3
= 2 4 5 ( 3) =
2w2 +w3
120:
Twierdzenie 131 Wyznacznik iloczynu dwóch macierzy jest równy iloczynowi ich wyznaczników,
to znaczy
det(AB) = (det A)(det B):
2
Przyk÷
ad 132 Niech A = 4
1 2
3 4
3
2
5iB=4
2
det(AB) = det 4
2
1
1
2
4 3
10 5
3
3
5. Wtedy det A =
5 = 20
30 =
= ( 2)(5) = (det A)(det B):
62
10
2, det B = 5 i
Wniosek 133 Je·zeli A jest macierza¾ nieosobliwa,
¾ to det A 6= 0 i
1
det A
2
Przyk÷
ad 134 Niech A = 4
1 2
3 4
4.8
1
=
1
2
=
1
:
det A
3
5. Wówczas det A =
A
Ponadto, det A
=
1
2
=4
2
1
3
2
1
2
2i
3
5:
1
det A .
Rozwiniecie
¾
Laplace’a
W tej cześci
¾ poznamy inna¾ metode¾ obliczania wyznacznika wykorzystujac
¾ a¾ tzw. rozwiniecie
¾
Laplace’a. Bedziemy
¾
potrzebować nastepuj
¾ acych
¾
de…nicji.
De…nicja 135 Niech A = [aij ] bedzie
¾
macierza¾n
(n
1)
(n
n. Niech Mij oznacza podmacierz wymiaru
1) otrzymana¾ z A poprzez usuniecie
¾ i-tego wiersza i j-tej kolumny. Wyznacznik
det Mij nazywamy minorem elementu aij . Wyra·zenie
Aij = ( 1)i+j det Mij
nazywamy dope÷nieniem (algebraicznym) elementu aij .
Przyk÷
ad 136 Niech
2
2
Wówczas det M12 = det 4
(
1)1+2 det M
12
4 6
3
3
1 2
6
6
A=6 4
4
7
5 =
3
7
7
5 6 7:
5
1 2
2
34, det M23 = det 4
3
1
3
5 = 10. Ponadto, A12 =
7 2
7
2
2+3
= ( 1)( 34) = 34, oraz A23 = ( 1)
det M23 = ( 1)(10) =
63
10.
Wyraz·enie ( 1)i+j określa znak
w zalez·ności od parzystości sumy i + j. Znaki te moga¾
uk÷adaja¾ sie¾ naprzemiennie zarówno wed÷
ug wierszy jak i kolumn:
3
2
2
6
+
4
5;6
6
4
+
3
2
+
+
3
6
7
7
7 6
+
+ 7
7 6
6
7:
7;6
+
7
5 6 +
7
+
4
5
+
+
+
+
+
+
Nastepuj
¾ ace
¾ twierdzenie przedstawia nowy, rekurencyjny sposób obliczania wyznaczników.
Twierdzenie 137 (Rozwiniecie
¾ Laplace’a) Niech A = [aij ] bedzie
¾
macierza¾ wymiaru n
Wówczas dla ka·zdego 1
i
n.
n,
det A = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + ::: + ain Ain
oraz dla ka·zdego 1
j
n,
det A = a1j A1j + a2j A2j + ::: + anj Anj .
Pierwszy z tych wzorów nosi nazwe¾ rozwiniecia
¾ wyznacznika det A wed÷ug i-tego wiersza, drugi
za´s nazywany jest rozwinieciem
¾
wed÷ug j-tej kolumny.
Przyk÷
ad 138 W celu obliczenia wyznacznika macierzy
2
6
6
6
A=6
6
6
4
1 2
3
4 2
1
3 0
0
2 0
2
4
3
7
7
3 7
7
7
3 7
5
3
zauwa·zmy wpierw, ·ze najlepiej bedzie
¾
rozwija´c go wed÷ug trzeciego wiersza lub drugiej kolumny
64
( z uwagi na zera). Przy wyborze pierwszej mo·zliwo´sci otrzymujemy
2
3 4
det A = 3 2
1 3
0
2 3
+3
1 2
3
4 2
1
2 0
2
=3
20 + 3
( 4)
= 48
Przyk÷
ad 139 Ten sam wyznacznik mo·zemy równie·z obliczy´c nieco inaczej, wykorzystujac
¾
poprzednie w÷asno´sci.
det A =
1 2
3
4
1 2
3
5
4 2
1
3
4 2
1
1
3 0
0
3
3 0
0
0
2 0
2
3
2 0
2
5
2
3
5
= 3 0
4
6
0
2
=
k1 +k4
=3
2
4
6
2
5
=3
2
2
3
5
=3 2
1
1
0
2
5
(20
w1 +w2
12)
5
= 48:
4.9
Odwrotność macierzy
Przyjrzymy sie¾ teraz wyraz·eniu
ai1 Ak1 + ai2 Ak2 + ::: + ain Akn ;
w przypadku gdy i 6= k. To doprowadzi nas do nowego wzoru na odwrotność macierzy nieosobliwej.
Twierdzenie 140 Je·zeli A = [aij ] jest macierza¾ wymiaru n
65
n, to dla wszystkich i; j 6= k
zachodza¾ wzory
ai1 Ak1 + ai2 Ak2 + ::: + ain Akn = 0;
a1j A1k + a2j A2k + ::: + anj Ank = 0:
De…nicja 141 Macierz DA okre´slona¾ wzorem
DA = [Aij ]T
nazywamy macierza¾ dope÷nień stowarzyszona¾ z macierza¾ A.
Przyk÷
ad 142 Niech
2
3
2
6
6
A=6 5
4
1
1
3
7
7
2 7:
5
3
6
0
Obliczymy macierz dope÷nie´n DA . W tym celu najpierw znajdujemy wszystkie dope÷nienia algebraiczne elementów macierzy A, a nastepnie
¾
ustawiamy je odpowiednio w macierz. Poniewa·z
wiec
¾
A11 =
18; A12 = 17; A13 =
6;
A21 =
6; A22 =
2;
A31 =
10; A32 =
2
6
6
DA = 6
4
10; A23 =
1; A33 = 28;
18
6
17
10
6
2
Twierdzenie 143 Je·zeli A = [aij ] jest macierza¾ n
10
3
7
7
1 7:
5
28
n, to
ADA = DA A = (det A)In :
66
Przyk÷
ad 144 Rozwa·zmy macierze A i DA z poprzedniego przyk÷adu. Mamy
ADA
2
3
6
6
= 6 5
4
1
2
1
32
18
76
76
6
2 7 6 17
54
0
3
6
2
3
1 0 0
6
7
6
7
= ( 94) 6 0 1 0 7 :
4
5
0 0 1
6
10
2
Wniosek 145 Je·zeli A = [aij ] jest macierza¾ n
A
1
=
10
3
2
7 6
7 6
1 7=6
5 4
28
94
0
0
0
94
0
0
0
94
3
7
7
7
5
n i det A 6= 0, to
1
DA :
det A
Wniosek 146 Macierz A jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy det A 6= 0.
Wniosek 147 Je·zeli A = [aij ] jest macierza¾ n
n, to jednorodny uk÷ad równa´n AX = 0 ma
rozwiazanie
¾
nietrywialne wtedy itylko wtedy, gdy det A = 0.
4.10
Regu÷
a Cramera
Wykorzystamy rezultaty poprzedniej sekcji do wyprowadzenia jeszcze jednej metody rozwiazy¾
wania uk÷
adów równań liniowych o n równaniach i n niewiadomych.
Twierdzenie 148 (Regu÷
a Cramera) Niech AX = B bedzie
¾
uk÷adem n równa´n z n niewiadomymi.
Je·zeli det A 6= 0, to uk÷ad ten ma dok÷adnie jedno rozwiazanie
¾
wyra·zajace
¾ sie¾ wzorami
xi =
det Ai
; i = 1; 2; :::; n;
det A
gdzie Ai oznacza macierz otrzymana¾ w wyniku zastapienia
¾
i-tej kolumny macierzy A przez
kolumne¾ wyrazów wolnych B.
67
Przyk÷
ad 149 Rozwa·zmy nastepuj
¾ acy
¾ uk÷ad równa´n.
2x1 + 3x2
x3 = 1
x1 + 2x2
x3 = 4
2x1
Mamy
2
oraz
2
6
6
A1 = 6
4
Stad
¾ det A =
6
6
A=6
4
1
3
4
2
3
1
2, det A1 =
1
x2 + x3 =
2
3
1
2
2
1
3
2
7
6
6
7
1 7 ; A2 = 6
5
4
1
4, det A2 =
x1 =
x2 =
x3 =
1
3:
2
3
6
7
6
7
;
B
=
6
7
1
4
5
1
2
1
1
4
2
3
1
6, det A3 =
det A1
=
det A
det A2
=
det A
det A3
=
det A
68
3
1
3
7
7
4 7
5
3
2
6
7
7
6
1 7 ; A3 = 6
4
5
1
8i
4
=2
2
6
=3
2
8
= 4:
2
2
3
1
2
2
1
1
3
7
7
4 7:
5
3
5
Przestrzenie wektorowe
W tym rozdziale zapoznamy sie¾ z najwaz·niejszym pojeciem
¾
Algebry Liniowej - przestrzenia¾wektorowa.¾ Ograniczymy sie¾ przy tym do przestrzeni rzeczywistych, w których zbiorem skalarów
jest R. Podstawowym modelem przestrzeni wektorowej jest zbiór wektorów p÷
aszczyzny lub
przestrzeni 3-wymiarowej z dobrze znanymi operacjami dodawania wektorów i mnoz·enia wektora przez skalar. W÷
asności tych przestrzeni stanowia¾punkt wyjścia ogólnej de…nicji przestrzeni
wektorowej.
5.1
De…nicja przestrzeni wektorowej
De…nicja 150 Niech V bedzie
¾
pewnym zbiorem z okre´slonymi dzia÷aniami ”dodawania” u
”mno·zenia” r
vi
u; dla dowolnych elementów u; v 2 V i r 2 R. Zbiór V nazywamy przestrzenia¾
wektorowa¾ nad R je·zeli dla dowolnych elementów u; v; w 2 V i dowolnych liczb rzeczywistych
r; s 2 R spe÷nione sa¾ nastepuj
¾ ace
¾ warunki.
1) u
v 2 V:
2) u
(v
3) u
v=v
w) = (u
v)
w:
u:
4) Istnieje element neutralny 0 2 V taki, ·ze
u
0 = u:
69
5) Dla ka·zdego u 2 V istnieje element przeciwny
u
a) r
u 2 V:
b) r
(u
v) = (r
u)
(r
v):
c) (r + s)
u = (r
u)
(s
u):
d) r
(s
u) = (rs)
e) 1
u = u:
u 2 V spe÷niajacy
¾ równo´s´c
( u) = 0:
u:
Elementy zbioru V nazywamy oczywi´scie wektorami natomiast liczby rzeczywiste okre´slane
sa¾ tutaj mianem skalarów.
Przedstawimy teraz kilka typów przestrzeni wektorowych.
Przyk÷
ad 151 Podstawowym typem przestrzeni wektorowych sa¾ przestrzenie, w których V =
Rn , a operacje dodawania i mno·zenia okre´slone sa¾ nastepuj
¾ aco.
¾
Niech u; v 2 Rn i r 2 R.
Wówczas, je·zeli u = [u1 ; u2 ; :::un ] i v = [v1 ; v2 ; :::; vn ], to
u
v = [u1 + v1 ; u2 + v2 ; :::; un + vn ];
r
u = [ru1 ; ru2 ; :::; run ]:
Przyk÷
ad 152 Symbolem Mm
n (R)
oznaczamy przestrze´n wektorowa¾ macierzy wymiaru m
n o elementach rzeczywistych. Wektorami sa¾ wiec
¾ tu macierze ustalonego wymiaru m
n,
skalarami liczby rzeczywiste, a operacjami zwyk÷e dodawanie macierzy i mno·zenie macierzy
przez liczbe.
¾
Przyk÷
ad 153 Kolejnego przyk÷adu przestrzeni wektorowej dostarczaja¾wielomiany. Przestrze´n
wielomianów o wspó÷czynnikach rzeczywistych stopnia co najwy·zej n oznaczamy symbolem Pn (R).
Przyk÷
ad 154 Istnieja¾ równie·z ca÷kiem ”egzotyczne” przestrzenie wektorowe o do´s´c przewrotnie okre´slonych operacjach. Je·zeli przyjmiemy V = fx 2 R : x > 0g oraz
u
v = uv; r
70
u = ur ;
to równie·z otrzymamy przestrze´n wektorowa.¾
Twierdzenie 155 Je·zeli V jest przestrzenia¾ wektorowa,¾ to dla ka·zdego u 2 V i r 2 R mamy
a) 0u = 0,
b) r0 = 0;
c) je·zeli ru = 0, to r = 0 lub u = 0;
d) ( 1)u =
u.
W÷asności podane w twierdzeniu sa¾ prostymi konsekwencjami de…nicji przestrzeni wektorowej.
5.2
Podprzestrzenie
De…nicja 156 Niech V bedzie
¾
przestrzenia¾ wektorowa.¾ Podzbiór W
V nazywamy pod-
przestrzenia¾ V je·zeli W równie·z jest przestrzenia¾ wektorowa¾ z tymi samymi operacjami co V .
Twierdzenie 157 Podzbiór W przestrzeni wektorowej V jest jej podprzestrzenia¾wtedy i tylko
wtedy, gdy spe÷nione sa¾ nastepuj
¾ ace
¾ warunki.
1) Je·zeli u; v 2 W , to u
v 2 W:
2) Je·zeli u 2 W i r 2 R, to r
u 2 W.
Przyk÷
ad 158 Niech A bedzie
¾
macierza¾ wymiaru m
n. Wówczas zbiór
W = fx 2 Rn : Ax = 0g
jest podprzestrzenia¾ w Rn .
Przyk÷
ad 159 Niech V = Mn (R) i niech W = fA 2 V : A = AT g. Poniewa·z suma dwóch
macierzy symetrycznych jest macierza¾symetryczna¾i iloczyn macierzy symetrycznej przez liczbe¾
tak·ze jest macierza¾ symetryczna¾ , wiec
¾ W jest podprzestrzenia¾ V .
De…nicja 160 Niech v1 ; :::; vn bed
¾ a¾ wektorami przestrzeni V i niech c1 ; :::; cn bed
¾ a¾ liczbami
rzeczywistymi. Wówczas wektor
v = c1 v1 + ::: + cn vn
71
nazywamy kombinacja¾ liniowa¾ wektorów v1 ; :::; vn o wspó÷czynnikach c1 ; :::; cn .
Przyk÷
ad 161 Na przyk÷ad wektor (1; 2) jest kombinacja¾liniowa¾wektorów (1; 1) i (1; 0), poniewa·z
(1; 2) = 2(1; 1) + ( 1)(1; 0):
De…nicja 162 Zbiór wszystkich kombinacji liniowych wektorów v1 ; :::vn nazywamy pow÷
oka¾
liniowa¾ generowana¾ przez zbiór S = fv1 ; :::; vn g i oznaczamy symbolem Lin(S).
Twierdzenie 163 Niech S = fv1 ; :::vk g bedzie
¾
sko´nczonym zbiorem wektorów pewnej przestrzeni
V . Wówczas pow÷oka liniowa Lin(S) jest podprzestrzenia¾ w V .
Dowód. Oznaczmy W = Lin(S) i rozwaz·my sume¾ u + v dwóch wektorów z W . Jez·eli
u; v 2 W , to
u = b1 v1 + ::: + bn vn ;
v = c1 v1 + ::: + cn vn :
Wówczas
u + v = (b1 v1 + ::: + bn vn ) + (c1 v1 + ::: + cn vn )
= (b1 + c1 )v1 + ::: + (bn + cn )vn ;
co oznacza, z·e u + v 2 W . Podobnie moz·na sie¾ upewnić, z·e ru 2 W , co kończy dowód.
5.3
Liniowa niezalez·ność
De…nicja 164 Mówimy, ·ze wektory v1 ; v2 ; :::; vn 2 V rozpinaja¾ (lub generuja)
¾ przestrze´n V
je·zeli
Lin(v1 ; v2 ; :::; vn ) = V:
Przyk÷
ad 165 Na przyk÷ad wektory v1 = (1; 1) i v2 = (1; 0) rozpinaja¾ p÷aszczyzne.
¾ Aby to
72
zobaczy´c rozwa·zmy dowolny wektor v = (a; b). Je·zeli poka·zemy, ·ze równanie
x1 (1; 1) + x2 (1; 0) = (a; b)
zawsze ma rozwiazanie,
¾
to tym samym poka·zemy, ·ze v 2 Lin(v1 ; v2 ). Poniewa·z macierz tego
uk÷adu
2
A=4
1 1
1 0
3
5
jest nieosobliwa, wiec,
¾ bez wzgledu
¾ na a i b, zawsze istnieje (dok÷adnie jedno) rozwiazanie.
¾
De…nicja 166 Wektory v1 ; v2 ; :::; vn 2 V nazywamy liniowo niezalez·nymi je·zeli równanie
x1 v1 + x2 v2 + ::: + xn vn = 0
ma dok÷adnie jedno rozwiazanie
¾
w liczbach x1 ; :::; xn . W przeciwnym razie mówimy, ·ze wektory
sa¾ liniowo zalez·ne.
Przyk÷
ad 167 Wektory z poprzedniego przyk÷adu sa¾liniowo niezale·zne poniewa·z, wobec odwracalno´sci macierzy A, uk÷ad AX = 0, a tym samym równanie
x1 (1; 1) + x2 (1; 0) = (0; 0);
ma dok÷adnie jedno rozwiazanie.
¾
Przyk÷
ad 168 Wektory (1; 1) i (2; 2) sa¾ liniowo zale·zne. W istocie, równanie
x1 (1; 1) + x2 (2; 2) = (0; 0)
prowadzi do uk÷adu jednorodnego o macierzy
2
A=4
1 2
1 2
3
5;
której wyznacznik jest równy 0. Rozwiaza´
¾ n jest wiec
¾ niesko´nczenie wiele.
73
Przyk÷
ad 169 Wektory (1; 1), (1; 0) i (0; 1) równie·z sa¾ liniowo zale·zne. Równanie
x1 (1; 1) + x2 (1; 0) + x3 (0; 1) = (0; 0)
prowadzi do uk÷adu jednorodnego o macierzy
2
A=4
1 1
0
1 0
1
3
5:
Rozwiaza´
¾ n jest wiec
¾ niesko´nczenie wiele, z uwagi nawymiar tej macierzy. W istocie, z tego
samego powodu ka·zdy zbiór sk÷adajacy
¾ sie¾ wiecej
¾ ni·z n wektorów przestrzeni Rn bedzie
¾
liniowo
zale·zny.
Twierdzenie 170 Wektory niezerowe v1 ; v2 ; :::; vn 2 V sa¾ liniowo zale·zne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje w´sród nich wektor vj , bed
¾ acy
¾ liniowa¾kombinacja¾poprzedzajacych
¾
go wektorów
v1 ; v2 ; :::; vj
1.
Dowód. Przypuśćmy najpierw, z·e istnieje wektor vj taki, z·e
vj = c1 v1 + ::: + cj
1 vj 1 :
Wówczas, równanie
x1 v1 + ::: + xj vj + ::: + xn vn = 0
posiada rozwiazanie
¾
niezerowe
xi = ci , dla 1
i
j
1;
xi = 0; dla j + 1
i
n;
xj
=
1;
a wiec
¾ wektory v1 ; v2 ; :::; vn sa¾ liniowo zalez·ne.
74
Na odwrót, przypuśćmy, z·e wektory v1 ; v2 ; :::; vn sa¾ liniowo zalez·ne i niech j bedzie
¾
najwiek¾
sza¾ liczba¾ spośród 1; 2; :::; n taka,
¾ z·e xj 6= 0. Wówczas, xi = 0, dla i > j i moz·emy napisać
x1 v1 + ::: + xj vj
= 0
xj vj
=
vj
=
x1 v1 ::: xj 1 vj 1
xj 1
x1
v1 + ::: +
xj
xj
vj
1;
co kończy dowód.
5.4
Baza i wymiar przestrzeni wektorowej
De…nicja 171 Mówimy, ·ze wektory v1 ; v2 ; :::; vn 2 V tworza¾ baze¾ przestrzeni V je´sli sa¾liniowo
niezale·zne oraz Lin(v1 ; v2 ; :::; vn ) = V:
Twierdzenie 172 Niech S = fv1 ; v2 ; :::; vn g bedzie
¾
zbiorem niezerowych wektorów przestrzeni
V i niech W = Lin(S). Wówczas pewien podzbiór zbioru S jest baza¾ przestrzeni W .
Dowód. Jez·eli wektory zbioru S sa¾ liniowo niezalez·ne to S jest baza¾ W . Przypuśćmy wiec,
¾
z·e S jest liniowo zalez·ny i niech vj bedzie
¾
wektorem z poprzedniego twierdzenia
vj = c1 v1 + ::: + cj
1 vj 1 :
×atwo zauwaz·yć, z·e usuniecie
¾ wektora vj ze zbioru S nie zmieni pow÷
oki liniowej generowanej
przez S. W istocie, zastepuj
¾ ac
¾ vj w dowolnej kombinacji liniowej zbioru S przez c1 v1 + ::: +
cj
1 vj 1
otrzymamy kombinacje¾ wektorów zbioru S
Lin(S) = Lin(S
Jez·eli zbiór T = S
fvj g. Zatem
fvj g):
fvj g jest liniowo niezalez·ny, to T jest baza¾ W . W przeciwnym razie
powtarzamy to samo postepowanie
¾
w stosunku do zbioru T , usuwajac
¾ z niego kolejny zbedny
¾
wektor. Poniewaz· liczba wektorów jest skończona, wiec
¾ predzej
¾
czy później otrzymamy zbiór
niezalez·ny generujacy
¾ przestrzeń W , co by÷
o do udowodnienia.
75
Przyk÷
ad 173 Niech S = f(1; 1), (1; 0); (0; 1)g. Z poprzednich przyk÷adów wiemy, ·ze S jest
liniowo zale·zny oraz Lin(S) = R2 . Jednak mamy
(0; 1) =
(1; 1) + (1; 0):
Zatem Lin(S) = Lin(T ), gdzie T = f(1; 1), (1; 0)g. Poniewa·z T jest niezale·zny, wiec
¾ T jest
baza¾ Lin(S).
Twierdzenie 174 Niech S = fv1 ; v2 ; :::; vn g bedzie
¾
baza¾przestrzeni V i niech T = fw1 ; w2 ; :::; wm g
bedzie
¾
zbiorem wektorów liniowo niezale·znych z V . Wówczas m
Dowód. Poniewaz· S jest baza¾ przestrzeni V , wiec
¾ T
n.
Lin(S) i w szczególności
w1 = c1 v1 + ::: + cn vn :
Zbiór T jest niezalez·ny, a zatem w1 6= 0 i stad
¾ ci 6= 0 dla pewnego 1
i
n. Dla wygody
przyjmijmy, z·e i = 1 po ewentualnym przenumerowaniu wektorów zbioru S. Wobec tego wektor
v1 moz·e być przedstawiony w postaci kombinacji liniowej wektorów zbioru S1 = fw1 ; v2 ; :::; vn g
i w konsekwencji
Lin(S) = Lin(S1 ):
Innymi s÷owy, wymiana wektora v1 na w1 nie zmieni÷a pow÷
oki rozpietej
¾ przez S. Ponadto
zauwaz·my, z·e zbiór S1 pozostaje liniowo niezalez·ny. Rzeczywiście, przypuśćmy, z·e jakiś wektor
vj jest kombinacja¾ wektorów w1 ; v2 ; :::; vj
1
vj = b1 w1 + b2 v2 + ::: + bj
1 vj 1 :
Zauwaz·my, z·e musi być b1 6= 0, gdyz· w przeciwnym razie zbiór fv2 ; :::; vn g, a co za tym idzie
takz·e S, by÷by zalez·ny. Stad
¾ otrzymujemy
vj
= b1 (c1 v1 + ::: + cn vn ) + b2 v2 + ::: + bj
0 = (b1 c1 )v1 + d2 v2 + ::: + dn vn ;
76
1 vj 1
przy czym b1 c1 6= 0, co jest sprzeczne z niezalez·nościa¾ zbioru S. Zatem zbiór S1 jest baza¾
przestrzeni V .
Powtarzajac
¾ to samo postepowanie
¾
do zbioru S1 i wektora w2 dostaniemy nowa¾ baze¾
S2 = fw1 ; w2 ; v3 ; :::; vn g;
itd. Gdyby m > n, to otrzymalibyśmy w końcu zbiór Sn = fw1 ; :::; wn g generujacy
¾ ca÷
a¾
przestrzeń i wektory wn+1 ; wn+2 ; :::; wm nie nalez·ace
¾ do Sn . Stad,
¾ na przyk÷
ad
wn+1 2 Lin(Sn )
co przeczy niezalez·ności zbioru W . Dowód twierdzenia jest wiec
¾ zakończony.
Wniosek 175 Dwie dowolne bazy przestrzeni wektorowej V maja¾ te¾ sama¾ liczbe¾ elementów.
Przyk÷
ad 176 Najprostsza¾ baze¾ przestrzeni R2 stanowia¾ wektory e1 = (1; 0) i e2 = (0; 1).
Wobec powy·zszego wniosku, ka·zda inna baza musie mie´c równie·z dok÷adnie dwa wektory. Podobnie, ka·zda baza przestrzeni Rn sk÷ada sie¾ z dok÷adnie n wektorów.
De…nicja 177 Wymiarem niezerowej przestrzeni wektorowej V nazywamy liczbe¾wektorów dowolnej bazy V . Wymiar przestrzeni V oznaczamy symbolem dim V .
Przyk÷
ad 178 ×atwo zauwa·zy´c, ·ze dim Rn = n, dim Mm
n
= mn oraz dim Pn = n + 1.
Podamy jeszcze bez dowodów dwa uz·yteczne twierdzenia dotyczace
¾ baz przestrzeni wektorowych.
Twierdzenie 179 Je·zeli S jest zbiorem liniowo niezale·znych wektorów przestrzeni V , to istnieje baza przestrzeni V zawierajaca
¾ zbiór S.
Twierdzenie 180 Niech V bedzie
¾
przestrzenia¾wektorowa¾wymiaru n i niech S = fv1 ; v2 ; :::; vn g
bedzie
¾
podzbiorem V . Wówczas
1) Je·zeli S jest linowo niezale·zny, to S jest baza¾ V .
2) Je·zeli S generuje V , to S jest baza¾ V .
77
6
Przekszta÷
cenia liniowe
78