Rozszerzenia Lubina-Tate`a i przekształcenia Artina

TERUYOSHI YOSHIDA, LOCAL CLASS FIELD THEORY VIA LUBIN-TATE THEORY (III)
Warsztaty z lokalnej teorii ciaª klas, Warszawa 13-14 grudnia 2011
przetªumaczyª Joachim Jelisiejew <[email protected]>, student MIM UW
4
Rozszerzenia Lubina-Tate'a i funkcja Artina
Ustalmy zupeªne nierozgaª¦zione rozszerzenie L ciaªa K . Przypomnijmy, »e O ⊆ K jest
CDVR tzn. zupeªnym pier±cieniem waluacji dyskretnej; p jest ideaªem maksymalnym O .
pier±cienia DVR nazwiemy element generuj¡cy ideaª maksymalny tego pier±cienia.
ciaªa L b¦dziemy nazywa¢ parametr O .
1
2
Parametrem (lokalnym)
Parametrem (lokalnym)
Denicja 4.1.
Niech
f ∈ OL [X] b¦dzie wielomianem unormowanym speªniaj¡cym warunki3
f ≡ πX
dla
π
L
f ≡X
(mod deg 2)
q
(mod pL )
L.
m−2
ϕm−1
m ≥ 1 oznaczmy przez Lm
◦ fϕ
◦ · · · ◦ f4
f ciaªo rozkªadu fm = f
m
µf,m ⊆ Lf zbiór pierwiastków fm .
L,
a przez
Zauwa»my, »e skoro f jest unormowany, to deg f = q, wi¦c deg f
m
Przykªad 4.2.
ϕ
f =f
L (µpm ) 6 .
a wi¦c
Lemat 4.3.
(i)
5
= qm
a pL = pOL jest maksymalnym ideaªem OL ,
bo
rozszerzenie
jest
nierozgaª¦zione,
p
dalej
pL
tam, gdzie nie rodzi to
piszemy
zamiast
nie±cisªo±ci
2
ang. uniformizer
b¦d¡cego parametrem ciaªa
Dla ka»dego
1
nad
3
z 3.2.1
4
3.9
5
gdy»
dla m ≥ 1.
L = K = Qp oraz f (X) = (1 + X)p − 1 ∈ O[X],
m
= f ◦ f · · · ◦ f = (1 + X)p − 1, µf,m = {ζ − 1 | ζ ∈ µpm } , Lm
f =
W przykªadzie 3.6 mieli±my
, st¡d
fm
ϕ
zachowuje
K,
patrz def. w 2.2
Niech
µf,m ⊆ pL0
m≥1
i
f
b¦d¡ j.w., dla zwi¦zªo±ci kªadziemy
i mo»emy ewaluowa¢ szeregi formalne o wspóªczynnikach w
x ∈ K∗
(ii) Dla ka»dego
o waluacji
ν(x) = m
i
α ∈ pLsep
6
µpm jest zbiorem pierm
wiastków z jedno±ci p
L0 = Lm
f .
OL
na
µf,m .7
zachodz¡ równowa»no±ci
α ∈ µf,m ⇐⇒ [x]f (α) = 0 ⇐⇒ ∀a∈pm [a]f (α) = 0.
[·]f
(i) Z Appendix II wynika, »e O jest CDVRem, wi¦c mo»emy ewaluowa¢ szeregi
z O [[X]] na elementach p .
O jest caªkowitym domkni¦ciem O , wi¦c µ
⊆ O . Gdyby pewne α ∈ µ
nie
le»aªoby w p to otrzymaliby±my 0 = f (α) ≡ α 6≡ 0 mod p , czyli sprzeczno±¢.
(ii) Mamy
[x] = [x/π ]
◦ [π ]
= [x/π ]
◦f
element x/π jest odwracalny, wi¦c [x/π ] ma odwrotno±¢, wi¦c [x] (α) = 0 ⇐⇒
f (α) = 0 ⇐⇒ α ∈ µ . W drugiej równowa»no±ci jedna implikacja jest oczywista,
a druga wynika z 3.5, gdy» p = (x).
Dowód.
stopnia
7
Appendix I
patrz 3.7, 3.5
L0
L0
L
L0
L
L0
L0
f,m
qm
m
f,m
L0
8
9
f
m
f ϕm ,f
m
f,f ϕm
m
f ϕm ,f
m
m f ϕm ,f
m
m
f
8
gdy»
f ≡ X q mod pL
9
W 3.9 mamy
[πm ]f,f ϕm ,
fm =
korzystamy
te» z 3.5
f,m
m
Stwierdzenie 4.4.
(i) Zbiór
f ∈ OL [X], m ≥ 1
jest
O/pm 3 a
W szczególno±ci
(ii) Je»eli
j.w., wtedy
O-moduªem z dziaªaniami +Ff
izomorzm O -moduªów zadany przez
µf,m
indukuje
Niech
α ∈ µ×
f,m ,
[·]f .
wi¦c
fm
i
Lm
f
m−1
Lm
(−α) = π ϕ
f = L(α), NLm
f /L
L ⊆ Lm
f jest
× m−1
(q − 1).
µf,m = q
Rozszerzenie
Ka»de
α ∈ µ×
f,m := µf,m \ µf,m−1
mod pm 7→ [a]f (α) ∈ µf,m .
|µf,m | = q m = deg fm ,
to
i
s¡ rozdzielcze.
i
α
jest parametrem ciaªa
Lm
f .
10
11
caªkowicie rozgaª¦zionym
rozszerzeniem Galois
stopnia
(iii) Mamy kanoniczne izomorzmy grup abelowych
10
tzn., z denicji, pOL
rozpada si¦ na iloczyn
[Lm
f : L] ideaªów pierwszych
11
ρf,m : Gal
Lm
f /L
m ∗
∗
m
→ AutO (µf,m ) → (O/p ) ' O /(1 + p ).
przy czym drugi z nich jest zadane przez warunek: element
u mod pm .
chodzi na
1
∀α∈µf,m α → [u]f (α)
w sensie naszych de-
nicji, patrz 2.5
prze-
(i) Obierzmy x ∈ K taki, »e ν(x) = m. Skoro x ∈ O to mo»emy rozwa»y¢
. Rozszerzamy [x] do [x] : p → p przez ewaluacj¦ szeregu [x] .
p jest O-moduªem z dziaªaniami + [·] i zachodzi µ
= ker[x] , a wi¦c µ
jest
O-moduªem z dziaªaniami + [·] i homomorzm O 3 a → [a] (α) ∈ µ
jest dobrze
okre±lony (gdzie α ∈ µ ).
Skoro p anihiluje µ , to homomorzm ten opuszcza si¦ do homomorzmu
∗
Dowód.
[x]f : pL → pL
f
L0
F,
F,
L0
f
L0
f
12
f
f,m
f
f
13
f,m
f
f,m
×
f,m
m
f,m
ϕ : O/pm 3 a mod pm → [a]f (α) ∈ µf,m .
Zale»no±¢ α 6∈ µ implikuje, »e dla ka»dego a ∈ p zachodzi [a] (α) 6= 0 .
Moduª p /p przecina si¦ niezerowo z ka»dym niezerowym podmoduªem O/p
i przecina si¦ zerowo z ker ϕ, wi¦c ker ϕ = 0, czyli ϕ jest iniekcj¡.
Skoro |O/p | = q = deg f ≥ µ , to ϕ jest równie» surjekcj¡, a wi¦c izomorzmem
(i |µ | = q ).
(ii) Niech L := L(α). Mo»emy ewaluowa¢ szeregi z O [[X]] na elementach p , wi¦c z (i)
wynika, »e µ ⊆ p , czyli L = L i rozszerzenie jest Galois, w zwykªym sensie tego
sªowa, a wi¦c w sensie naszych denicji, bo pokrywaj¡ si¦ dla sko«czonych rozszerze« .
Chcemy teraz pokaza¢, »e f /f jest wielomianem minimalnym α . Wspóªczynnikiem staªym f /f jest iloraz wspóªczynników liniowych π = Q
−α,
wi¦c
X
e(L |L) = ν (π) =
ν (−α) ≥ µ gdy» ν (−α) ≥ 1∀
ale z fundamentalnej równo±ci dla ciaª lokalnych wynika [L : L] ≥ e(L |L) ≥ µ ≥
deg f /f
≥ [L(α) : L] = [L : L], a wi¦c zachodz¡ równo±ci, f /f
jest minimalnym dla α, wi¦c
nierozkªadalnym,
st¡d N (−α) = π , stopie« rozszerzenia
(q − 1) i rozszerzenie to jest caªkowicie rozgaª¦zione.
[L : L] wynosi µ = q
(iii) Drugi izomorzm jest trywialny, bo µ ' O/p jest cykliczny.
Z denicji F , [x] (dla ka»dego x ∈ O) maj¡ wspóªczynniki w L, wi¦c struktura O
moduªu jest zachowywana przez Gal (L /L), czyli ta grupa dziaªa przez O-homomorzmy.
Dziaªanie to jest iniektywne, a grupy maj¡ równe moce, wi¦c jest to izomorzm.
m−1
f,m−1
m−1
m−1
m
14
f
i
4.3(i),
3.5
[x]f
patrz
nie
3.7
wa»ne,
ma
»e
wyrazu
pL0 zamkni¦te ze wzgl¦du na
wolnego, wi¦c
mno»enie przez
[x]f .
13
4.3(ii)
14
4.3(ii)
15
4.3(i)
16
uwaga: def. 2.5
m−1
m
m
f,m
m
f,m
0
L0
L
0
L0
f,m
15
m
f
16
m
m
17
m−1
ϕm
m−1
α∈µ×
f,m
18
0
L0
×
f,m
L0
L0
α
0
m
12
m−1
m
×
f,m
f
18
ϕ
nie
zmienia
ν,
patrz 2.2
m−1
m−1
m
f,m
f
nikaj¡ z 3.9
ϕm−1
Lm
f /L
m
f
podzielno±¢ fm /fm−1
i dalsze obliczenia wy-
×
f,m
0
0
17
19
19
3.5
20
3.9, warto doda¢, »e
0
4.1
Funkcja Artina
Dla urozmaicenia skracamy oznaczenia: piszemy ( ) zamiast ( ) oraz µ zamiast µ
dla wszystkich i ∈ Z.
Do tej pory zdeniowali±my π dla j ≥ 0 . Deniujemy π := π
dla j < 0.
Zauwa»my, »e zachodzi
π
=π π
dla wszystkich j, j ∈ Z.
(1)
Zaiste, powy»sza równo±¢ zachodzi dla j, j ≥ 0 oraz dla j, j < 0 przez bezpo±rednie przeliczenie i dla j + j = 0 z denicji , a st¡d wynika, »e zachodzi ona wszystkich przypadkach.
Skoro ϕ nie zmienia waluacji , to ν (π ) = j dla wszystkich j ∈ Z.
(i)
20
j
(j)
j
j0
j+j 0
Je»eli
j
−1
|j|
f (i) ,m
(j)
0
21
22
23
Lemat 4.5.
(i)
f,m
0
0
0
ϕi
L
24
θ ∈ ΘL
π,π 0
to
j
θ(j) /θ = πj0 /π 0
dla wszystkich
j ∈ Z.
W szczególno±ci
π j ∈ ΘL
.
π,π (j)
=
Obliczamy, »e =
mujemy przez trywialn¡ indukcj¦ po |j|.
Zachodzi π ∈ Θ , wi¦c bior¡c θ := π, π
dokªadnie znaczy, »e π ∈ Θ .
0
πj+1
πj+1
Dowód.
π 0 (j) πj0
π (j) πj
L
π,π (1)
j
L
π,π (j)
θ
(1)
(j)
θ
0
πj0
πj
=
θ
(j+1)
:= π (1)
θ (j)
πj0
πj
, wi¦c pierwsz¡ cz¦±¢ otrzy-
otrzymujemy π
(1)
(j)
/π =
πj
πj
, a to
L jest stopnia n,
L = Kn , to πn =
NL/K (π).
je±li
tzn.
21
patrz 3.9
22
π0 = 1
23
bo zachowuje
K , a wi¦c
m
i pL ∀m
24
tzn.
i
O ⊆
OL = Ō
θ(1) /θ = π 0 /π ,
patrz 3.3
Lemat 4.6.
f, f 0 ∈ OL [X]
Niech
25
b¦d¡ okre±lone j.w.
ze wspóªczynnikami liniowymi
π, π 0
odpowiednio tzn.
25
f0
Oczywi±cie
NIE
f.
oznacza pochodnej
f ≡ f 0 ≡ Xq,
f ≡ πX
mod p
f 0 ≡ π0 X
mod deg 2,
π, π 0 jest parametrem ideaªu p.
26
θ ∈ ΘL,×
deniuje dla wszystkich m ≥ 1
π,π 0
m
: µf,m → µf 0 ,m implikuj¡cy Lm
f = Lf 0 .
mod deg 2.
gdzie ka»de z
Element
[θ]f,f 0
Z okre±lenia [θ] w 3.5 mamy f ◦ [θ] = [θ] ◦ f . Przez indukcj¦ dowodzimy, »e
= [θ]
◦f .
Zachodzi [θ] = [θ ]
, wi¦c [θ] = [θ ]
dla m ≥ 1, st¡d
◦ [θ]
= [θ]
◦f
. To jest dokªadnie krok indukcyjny.
Otrzymujemy f ([θ](α)) = [θ] ◦ f (α) = 0 dla ka»dego α ∈ µ , wi¦c [θ] przenosi
na µ . Jest to O-homomorzm z odwrotno±ci¡ [θ ] .
Mamy [θ], [θ ] ∈ O [[X]], wi¦c µ = [θ]µ ⊆ L , st¡d (anal.) L = L .
0
Dowód.
0
fm
◦ [θ]
f
O-moduªów27 [θ] :=
izomorzm
(m)
(1)
f (1) ,f 0(1)
(m)
f,f 0
[·]f,f 0
28
3.8
patrz 3.5
(1)
(m)
f,f 0
28
(m−1) (1)
f (m−1) ,f 0 (m−1)
(m−1)
0
m
µf,m
3.7ii
27
m
(1)
f,f 0
(m−1)
f,f 0
0 (m−1)
26
(m)
m
f,m
−1 29
f 0 ,m
−1
L
Stwierdzenie 4.7.
(i) Rozszerzenie
30
Niech
Lm
f
f, π
f 0 ,m
f,m
b¦d¡ jak wy»ej,
K.
jest Galois nad
m
f
m
f
m
f0
m ≥ 1.31
Dla ka»dego
α ∈ µ×
f,m
nast¦puj¡ca funkcja jest
bijekcj¡
29
3.5
30
por. 4.4i
31
K̂ .
Z
K̂ = K̂ ur ,
w szcze-
gólno±ci
rozdziaªu
2.
K ∗ /(1 + pm ) 3 x mod 1 + pm 7→ [xπj ]f,f (j) (α) ∈
a
(j),×
µf,m
gdy
jest
ν(x) = −j
L = K̂ .
Wtedy funkcje
rzaj¡ si¦ do izomorzmów grup
wieraj¡cym
m ×32
ρf,m : Gal Lm
f /L → (O/p )
wszystkich stopni, wi¦c
jest równe algebraicznego
W (K̂fm /K)
∗
m
domkni¦ciu
czyli
→ K /(1 + p )
j
m
ϕ na K̂ taki, »e α → [xπj ](α)∀α∈µf,m 7→ x mod 1 + p
(oczywi±cie wtedy ν(x) = −j ).
S
LT
Je»eli poªo»ymy K̂f
:= m≥1 K̂fm to ρf,m przedªu»aj¡ si¦ to izomorzmu
zdeniowanych przez
Fq zawszystkie
pierwiastki z jedno±ci
rozsze-
33
ρf,m :
Ô/p̂
»e
algebraicznym
rozszerzeniem
j∈Z
(ii) Rozwa»my przypadek
z
wynika,
denicji
Fq ,
Fq .
32
4.4(iii)
33
Denicja grupy We-
ila
W , patrz 2.5,
ρf,m 4.4
de-
nicja
ρf : W (K̂fLT /K) → K ∗ .
(i) Mamy π ∈ Θ
i x ∈ K , st¡d xπ ∈ Θ jest elementem o waluacji
ν(π x) = 0, czyli xπ ∈ Θ
.
Z lematu 4.6 wynika teraz, »e [xπ ] : µ → µ jest izomorzmem. Z O-liniowo±ci
przeksztaªcenia wynika, »e obraz ν (i)/(1 + p ) zawiera si¦ w µ . Na mocy
4.4(iii) przeksztaªcenie ν (i)/(1 + p ) → µ jest bijekcj¡ .
Pozostaje wykaza¢, »e rozszerzenie jest Galois. Przypomnijmy, »e L(α) = L = L .
Wynika st¡d, »e L jest caªkowicie rozgaª¦zione, co wi¦cej ϕ ∈ Aut (L/K) rozszerza
si¦ do L na dokªadnie |µ | = [L : L] sposobów , czyli speªnione s¡ warunki na
to, »eby L (⊇ L) byªo Galois nad K .
(ii) Rozwa»my σ ∈ W (K̂ /K), σ = ϕ . Zauwa»my, »e σ (µ ) ⊆ µ . Obierzmy
α ∈ µ , wtedy σ(α) ∈ µ
, wi¦c z (i) istnieje dokªadnie jeden x mod 1 + p
o waluacji −j taki, »e σ(α) = [xπ ](α).
Równo±¢ σ(β) = [xπ ](β) zachodzi dla wszystkich β ∈ µ , gdy» dla ka»dego a ∈ O
mamy σ ([a] (α)) = [a] σ(α) = [a] σ(α) = [a] [xπ ] (α) = [xπ a] (α) =
[xπ ]
[a] (α) = σ([a] (α)) a O dziaªa tranzytywnie na µ .
Dowód.
j
j
j
∗
L
34
π,π (j)
L,× 35
π,π (j)
j
(j)
f,m
m
f,m
−1
−1
L
π,π (j)
j
(i),× 36
f,m
(i)
f,m
m
37
m
f
m
f (j)
m
f
j
m
f
f,m
m
f
m
f
×
f,m
39
j
40
f,m
|K̂
(j),×
f,m
(j) 41
f,m
m
j
j
f
j f,f (j)
f
m 38
f (j)
34
4.5
35
3.7ii
36
z warunku z 4.3(ii)
37
trzeba
popatrze¢
38
pierwsza= na mocy
4.4(ii),
druga=
f (j)
f (j)
j f,f (j)
f,m
3
j
f,f (j)
na
mocy 4.5 i 4.6
39
4.4(iii)
40
2.5
41
bo
σ(f ) = f (j)
f,m
(j)
f
f
na
O∗ = ν −1 (0) które pa−1
rametryzuje ν
(i).
3.8
(j)
[a]f (j) = [a]f
na mocy
Wynika st¡d, »e przyporz¡dkowanie ρ jest dobrze okre±lone. Jest ono homomorzmem
grup, gdy» je±li ρ (σ) = x, ρ (τ ) = y i ν(x) = −j, ν(y) = −j , to
f
f
0
f
(j)
στ (α) = σ ([yπj 0 ](α)) = [yπj 0 ](j) [xπj ](α) = [yπj 0 xπj ](α) = [xyπj+j 0 ](α).
Obci¦cie ρ to Gal K̂ /K̂ jest izomorzmem , a iloraz W (K̂/K) = Frob
przechodzi bijektywnie na K /O ' Z, innymi sªowy mamy diagram
m
f
f
42
∗
o
∨
> O∗ /(1 + pm )
0
42
4.4(iii)
43
gdy»
j
∗
> Gal K̂fm /K̂
0
Z
K
patrz 1., okre±laj¡ce π
> W (K̂fm /K)
> W (K̂/K)
ρf,m
∨
> K ∗ /(1 + pm )
>0
o
∨
> K ∗ /O∗
>0
i ±rodkowa strzaªka jest izomorzmem np. z lematu o pi¦ciu, czy bezpo±redniego przeliczenia. Przeksztaªcenie ρ jest wi¦c izomorzmem jako granica ρ .
f
f,m
Do caªkowitego szcz¦±cia potrzeba nam tylko dostatecznie du»o przej±¢ pomi¦dzy parami
, czyli potrzeba nam nast¦pnego stwierdzenia
f, f 0
Stwierdzenie 4.8.
ψ : Ô 3 θ → θϕ /θ ∈ Ô∗ jest surjekcj¡. W szczególno±ci
0
ΘK̂,×
π,π 0 6= ∅ dla ka»dych parametrów π, π ∈ K̂ .
∗
Dowód.
Ô∗ ' lim Ô/p̂m ' lim Ô∗ /(1 + p̂m ) ψ(1 + p̂m ) ⊆ 1 + p̂m43
←−
←−
u ∈ Ô∗
(θm )44
ψ(θm ) ≡ u mod p̂m
θ1
Ô/p̂ ' Fq 45
ψ̄ : α → αq−1
46
θ1
u
θ1 , . . . , θ m
u/ψ(θm ) = 1 + απ̃ m47
∗ 48
q
ϕ̄
α → α −α = α −α
Fq
β
βϕ − β ≡ α
m
mod p̂
θm+1 := θm (1 + β π̃ )
Funkcja
i
, wi¦c wystarMamy
czy pokaza¢, »e dla ka»dego
istnieje nitka
w granicy projektywnej taka, »e
.
Najpierw otrzymajmy . Mamy
. Funkcja
na tym ciele jest
surjekcj¡ , wybieramy jako dowolny przeciwobraz .
Zaªó»my, »e skonstruowali±my
. Mamy wi¦c
. Funkcja
jest równie» surjekcj¡ na , wi¦c istnieje takie, »e
. Je»eli
, to
ψ(θm+1 ) = ψ(θm )ψ(1 + β π̃ m ) ≡ u
1 + β ϕ π̃ m
≡
(1 + β π̃ m )(1 + απ̃ m )
u(1 + β ϕ π̃ m )(1 − β π̃ m )(1 − απ̃ m ) ≡ u (1 + (β ϕ − β − α)π̃ m ) ≡ 1
mod p̂m+1 = (π̃)m+1 .
i
ϕ
44
1+p̂m
jest grup¡
zachowuje
p̂.
tzn. element projek-
tywnej,
co
sprowadza
si¦ do warunku
θm mod p̂m .
45
patrz def.
K̂
θm+1 ≡
we wcze-
±niejszym przypisie.
46
bo Fq jest algebraicznie domkni¦te.
47
π̃ jest parameK̂, π̃ ∈ K , korzy-
gdzie
trem
stamy tutaj z nierozga-
Wniosek 4.9.
Ciaªa
K̂fm
i funkcje
ρf,m ,
a wi¦c i
K̂fLT
ª¦zienia
i
ρf
s¡ niezale»ne(!) od
f.
Od tej
pory b¦dziemy je zapisywa¢ bez subskryptu f .
Rozwa»my f, f z liniowymi wspóªczynnikami π, π i θ ∈ Θ . Zadaje ono izomorzm [θ] : µ → µ . Wobec tego K̂ = K̂ . Je»eli σ(α) = [xπ ](α) jest elementem
W (K̂ /K), to σ([θ](α)) = [θ] [xπ ](α) = [xπ ][θ](α) , st¡d ρ
=ρ
.
Caªy ten rozdziaª sªu»yª w zasadzie zdeniowaniu
Denicja 4.10 (Funkcja Artina).
f ∈ O [X]
0
Dowód.
f,m
50
f 0 ,m
m
f
K̂,× 49
π,π 0
0
(j)
m
f
j
m
f0
j
Dla ka»dego
j
51
L
f,m
f 0 ,m
L ⊇ K
bo Fq jest algebraicznie domkni¦te
49
istniej¡cego
mocy
jest sko«czone) kªadziemy
rozszerzeniem Lubina-Tate'a
funkcj¡ Artina
stwierdzenia
50
4.6
51
4.5
52
dla
denicji,
patrz
podrozdziaª 2.2
53
4.7(i)
54
gdy»
w
przypadku
sko«czonym
termino-
logia
i
Galois
Weila
pokrywaj¡ si¦ z naturalnymi
4
na
poprzedniego
speªniaj¡cego warunki z pocz¡tku
52
m
K m := K ur Lm
. Wtedy K /K jest
f
53
m
m
m
sko«czenie rozgaª¦zione i Galois . Na mocy lematu 2.2 uzupeªnienie K
to K̂Lf := K̂
m
i K
= K̂ m ∩ K sep , jest
S wi¦c to niezale»ne od wyboru f .
LT
Kªadziemy K
:= m≥1 K m = K̂ LT ∩K sep . Zauwa»my, »e W (K LT /K) ' W (K̂ LT /K)54 .
Nazywamy sko«czone rozszerzenie K
je»eli jest zawarte
LT
∗
LT
wK
. Odwrotno±¢ ρ nazywamy
ciaªa K i piszemy ArtK : K → W (K
/K).
Funkcja Artina zachowuje waluacj¦: ν ◦ ArtK = ν .
rozdziaªu (gdzie
K ⊆ K̂ .
48
5
Appendix II
Uwaga: materiaª w tym appendiksie nie wyst¦puje w oryginalnym tek±cie, jest on uproszczeniem za cen¦ odwoªa« do literatury.
Twierdzenie 5.1 (Krull-Akizuki).
Je»eli
O
jest dziedzin¡ noetherowsk¡ wymiaru jeden (tzn.
ka»dy niezerowy ideaª pierwszy jest maksymalny),
niem
K,
to domkni¦cie caªkowite
Stwierdzenie 5.2.
O⊆L
Na sko«czenie wymiarowej przestrzeni
s¡ równowa»ne. W szczególno±ci je»eli
moduªem, to na
Je»eli
K
i
L
jest sko«czonym rozszerze-
K
55
V
nad ciaªem
jest ciaªem waluacji, a
L
L
K
wszystkie normy
jest sko«czonym
istnieje dokªadnie jedna waluacja rozszerzaj¡ca waluacj¦ z
56
byªo zupeªne to i L jest zupeªne.
Twierdzenie 5.3.
ciaª to
K = (O)
55
jest Dedekinda.
OL = OK
Je»eli
OK
K
K.
(OK ) = K ⊆ L jest sko«czonym rozszerzeniem
domkni¦ciem OK w L jest CDVRem.
jest CDVRem i
b¦d¡cy caªkowitym
57
Z twierdzenia wiemy, »e O jest Dedekinda, wi¦c O jest przeci¦ciem wszystkich pier±cieni waluacji dyskretnej zawieraj¡cych go. Pier±cienie te s¡ pier±cieniami waluacji na L
rozszerzaj¡cych waluacj¦ z K , a wi¦c zbiór tych pier±cieni jest jednoelementowy (waluacje
równowa»ne zadaj¡ ten sam pier±cie« waluacji). Tym samym O jest DVRem, który jest
zupeªny, gdy» L jest zupeªne na mocy stwierdzenia.
Dowód.
L
L
L
5
™ródªo: Nie udaªo mi
si¦ znale¹¢ sensownego
¹ródªa, natomiast w internecie jest
∞
dów.
56
™ródªo:
Neukirch.
Algebraic
dowo-
number
theory, prop. 4.9
57
Teza tego twierdzenia
ró»ni si¦ od Appendixu
I brakiem zaªo»enia separowalno±ci.