Arkusz 5. Analiza matematyczna 4

Arkusz 5. Analiza matematyczna 4
5
Hiperpowierzchnie
p
Zadanie 5.1 Pokaza´c, ·ze : ( 1; 1) ! R2 , (x) = x; 1 x2 jest homeomor…zmem na
(( 1; 1)). Wykaza´c z de…nicji hiperpowierzchni, ·ze S 1 jest 1-wymiarowa¾hiperpowierzchnia¾
klasy C 1 w R2 biorac
¾ jako parametryzacje odwzorowania tego typu:
1
: ( 1; 1) ! R2 ;
2
: ( 1; 1) ! R2 ;
3
: ( 1; 1) ! R2 ;
4
: ( 1; 1) ! R2 ;
p
1 x2 ;
p
1 x2 ;
2 (x) = x;
p
(y)
=
1 y2; y ;
3
p
1 y2; y :
4 (y) =
1
Zadanie 5.2 Pokaza´c, ·ze
: (0; 2 ) ! S 1 n f(1; 0)g
(x) = x;
R2 ;
(t) = (cos t; sin t)
jest homeomor…zmem, na którym rozwa·zamy topologie¾ indukowana.¾ Pokaza´c z de…nicji, ·ze
S 1 jest 1-wymiarowa¾hiperpowierzchnia¾rozwa·zajac
¾ parametryzacje powy·zszego typu.
Zadanie 5.3 Znale´z´c punkty krytyczne i warto´sci regularne odwzorowania
a) f : R3 ! R2 , f (x; y; z) = (xy; z);
b) f : R3 ! R2 , f (x; y; z) = (x + y 2 ; y + z 2 );
c) f : R3 ! R2 , f (x; y; z) = (x3 + xy 2 2y 2 ; z).
Zadanie 5.4 Znale´z´c warto´sci regularne odwzorowa´n
ga : R2 ! R;
ga (x; y) = x2 + y 2
2
4a x3 + y 2 (a + x) ; a 2 R n f0g :
Zadanie 5.5 Znale´z´c warto´sci regularne odwzorowa´n
ga : R2 n f(0; 0)g ! R;
ga (x; y) = x2 + y 2
2
4a x3 + y 2 (a + x) ;
a 2 R n f0g :
Zadanie 5.6 Znale´z´c warto´sci regularne odwzorowa´n
ga : R2 n f(0; 0)g ! R;
ga (x; y) = x x2 + y 2
1
2ay 2 ;
a 2 R n f0g :
Zadanie 5.7 Zbada´c, czy 0 jest warto´scia¾regularna¾odwzorowa´n
ga : R2 n f(0; 0)g ! R;
ga (x; y) = x2 + y 2
3
a2 x 2 y 2 ;
a 2 R n f0g :
Zadanie 5.8 Wykaza´c, ·ze sfera S n jest n-wymiarowa¾ hiperpowierzchnia¾ klasy C 1 wykazujac,
¾ ·ze S n jest przeiwobrazem warto´sci regularnej pewnego odwzorowania.
Wskazówka. Rozwa·zy´c odwzorowanie f : Rn+1 ! R, f (x1 ; :::; xn+1 ) = x21 + ::: + x2n+1 ;
S n = f 1 (f1g).
Zadanie 5.9 Pokaza´c, ·ze sfera S n = (x1 ; :::; xn+1 ) 2 Rn+1 : x21 + ::: + x2n+1 = 1 jest nwymiarowa¾ hiperpowierzchnia¾ z mapami „rzuty stereogra…czne" h+ , h okre´slonymi przez
przeciecie
¾ pó÷prostych wychodzacych
¾
z bieguna i przechodzacych
¾
przez punkt wspólny sfery z
hiperp÷aszczyzna¾styczna¾do sfery w przeciwleg÷ym biegunie (rys.).
Znale´z´c wzory bezpo´srednie map h+ , h oraz parametryzacji (h+ ) 1 , (h ) 1 . Znale´z´c funkcje
przej´scia.
Wsk.
2xn
2x1
; :::;
1 xn+1
1 xn+1
!
2
4y
jjyjj
4
4y
1
n
(h+ ) 1 : Rn ! S n n f(0; :::; 0; 1)g, (h+ ) 1 (y) =
;
2 ; :::;
4 + jjyjj
4 + jjyjj2 4 + jjyjj2
2x1
2xn
h : S n n f(0; :::; 0; 1)g ! Rn , h (x) =
; :::;
1 + xn+1
1 + xn+1
!
2
4y
4y
4
jjyjj
1
n
1
1
(h ) : Rn ! S n n f(0; :::; 0; 1)g, (h ) (y) =
; :::;
;
4 + jjyjj2
4 + jjyjj2 4 + jjyjj2
Funkcje przejścia
4
h+ (h ) 1 : Rn n f0g ! Rn n f0g, h+ (h ) 1 (y) =
y
jjyjj
h+ : S n n f(0; :::; 0; 1)g ! Rn , h+ (x) =
Zadanie 5.10 S 2 jest jest dwuwymiarowa¾ hiperpowierzchnia¾ w R3 . Udowodni´c, ·ze odwzorowanie : R2 ! R3 dane wzorem
(u; v) =
4u
4v
4 u2 v 2
;
;
4 + u 2 + v 2 4 + u 2 + v 2 4 + u2 + v 2
jest parametryzacja¾sfery S 2 .
2
Zadanie 5.11 Niech U1 = f(x; y) 2 R2 : x2 + y 2 < 1g. Pokaza´c, ·ze odwzorowanie
p
3
1 x2 y 2
1 : U1 ! R , 1 (x; y) = x; y;
jest parametryzacja¾S 2 . Pokaza´c, ·ze S 2 jest hiperpowierzchnia¾rozwa·zajac
¾ sze´s´c parametryzacji powy·zszego typu (rys.).
Zadanie 5.12 Wykaza´c, ·ze f
1
(0) jest hiperpowierzchnia¾klasy C 1 , gdzie:
a) f : R3 ! R, f (x; y; z) = x2 + y 2
z2
1,
b) f : R3 ! R, f (x; y; z) = x2
z2
1,
y2
c) f : R3 ! R, f (x; y; z) = x3 + 2y 3 + z 3 + 6x2 y
1.
Zadanie 5.13 Wykaza´c, ·ze dowolna hiperp÷aszczyzna k-wymiarowa H w Rm jest k-wymiarowa¾
hiperpowierzchnia¾klasy C 1 .
k-wymiarowa¾ (k
m) hiperp÷
aszczyzna¾ w Rm prechodzac
¾ a¾ przez punkt xo 2 Rm i
równoleg÷
a¾ do k-wymiarowej podprzestrzeni liniowej Vo Rm nazywamy zbiór
H = fxo + x 2 Rm : x 2 Vo g :
(1)
Wymiarem hiperp÷
aszczyzny (1) nazywamy dim Vo . H moz·na przedstawić w postaci
(
)
k
X
H = x 2 Rm : 9t1 ; :::; tk 2 R x = xo +
ti Y i ;
i=1
gdzie Y 1 ; :::; Y k
Rm jest zbiorem liniowo niezalez·nym w przestrzeni wektorowej Rm .
3
Niech H bedzie
¾
zbiorem postaci (1) jak w powyz·szej de…nicji. Jako parametryzacje¾ moz·na
wziać
¾ wówczas odwzorowanie
k
:R !H
m
R ;
o
(t1 ; :::; tk ) = x +
k
X
ti Y i :
i=1
Zbiorem wartości jest
Rk = H. Róz·nowartościowość wynika z linowej niezalez·ności
zbioru Y 1 ; :::; Y k . Istotnie, weźmy dowolne punkty s; t 2 Rk , dla których (s) = (t).
Wówczas
xo +
k
X
si Y i = x o +
i=1
k
X
(si
i=1
k
X
ti Y i
i=1
ti ) Y i = 0 2 Rm ;
skad
¾ z liniowej niezalez·ności zbioru Y 1 ; :::; Y k w przestrzeni wektorowej Rm wynika, z·e
si = ti dla kaz·dego i 2 f1; :::; kg, wiec
¾ s = t.
Ponadto z liniowej niezalez·ności tego zbioru wynika, z·e dla dowolnego t = (t1 ; :::; tk ) 2 Rk
macierz Jacobiego odwzorowania
3
2
Y1k
Y11 Y12 Y13
6 Y1 Y2 Y3
Y2k 7
2
2
7
6 2
1
2
jY k 2 M (m k)
(J )t = 6 ..
..
.. . .
.. 7 = Y jY j
5
4 .
.
.
.
.
Ymk
Ym1 Ym2 Ym3
ma rzad
¾ maksymalny równy k (Y p = (Y1p ; Y2p ; :::; Ymp )). Zatem jest odwzorowaniem regularnym.
Funkcja¾ odwrotna¾ do jest wielomian ' : H ! Rk – jest wiec
¾ funkcja¾ ciag÷
¾ a.
¾
jako
1
k
regularny homeomor…zm klasy C z R na H jest parametryzacja¾ H. Zatem H jest kwymiarowa¾ hiperpowierzchnia¾ klasy C 1 w Rm z jedna¾ parametryzacja¾ .
Przyk÷
ad 1-wymiarowa¾ hiperp÷
aszczyzna¾ w R3 jest kaz·da prosta
l = (xo ; yo ; zo ) + t (a; b; c) 2 R3 : t 2 R , gdzie (a; b; c) 6= 0R3 , (xo ; yo ; zo ) 2 R3 :
Za÷
óz·my, z·e c 6= 0. Parametryzacja¾l jest odwzorowanie R 3 t 7 ! (xo ; yo ; zo ) + t (a; b; c) 2 l,
z zo
zaś odpowiadajaca¾ jej mapa¾ jest l 3 (x; y; z) 7 !
2R
c
Zadanie
(m 1)-wymiarowej
hiperp÷aszczyzny w Rm ) Niech
( 5.14 (Przypadek szczególny
)
m
X
H = (x1 ; :::; xm ) 2 Rm : a0 +
ai xi = 0 dla pewnych a0 ; a1 ; :::; am 2 R, dla których
m
X
i=1
(m
i=1
jai j > 0 (co najmniej jedna z liczb a1 ; :::; am jest ró·zna od zera). Wykaza´c, ·ze H jest
1)-wymiarowa¾hiperpowierzchnia¾klasy C 1 w Rm .
4
H=
(
(x1 ; :::; xm ) 2 Rm : a0 +
dla pewnych a0 ; a1 ; :::; am 2 R, dla których
m
X
i=1
m
X
)
ai x i = 0
i=1
jai j > 0 (co najmniej jedna z liczb a1 ; :::; am
jest róz·na od zera).
Jez·eli as 6= 0 dla pewnego s 2 f1; :::; mg, to punkt (a1 ; :::; am ), gdzie ak =
do H: Zatem H 6= ?.
De…niujemy odwzorowanie
f : Rm ! R, f (x1 ; :::; xm ) = a0 +
Zauwaz·my, z·e H = f
1
m
X
a0
as
k
s
nalez·y
ai x i :
i=1
(0). Ponadto dla dowolnego x = (x1 ; :::; xm ) rzad
¾ macierzy Jacobiego
(Jf )x = [a1 ; a2 ; :::; am ]
równy jest 1, bo co najmniej jedna z liczb a1 ; :::; am jest róz·na od zera. Skoro rzad
¾ macierzy
Jacobiego w kaz·dym punkcie jest maksymalny, to kaz·da wartość f jest regularna.
Skoro H = f 1 (f0g) jest niepustym podzbiorem Rm , 0 jest wartościa¾ regularna¾ odwzorowania f : Rm ! R klasy C 1 , to z twierdzenia o przeciwobrazie wartości regularnej
wynika, z·e f 1 (f0g) jest (m 1)-wymiarowa¾ hiperpowierzchnia¾ klasy C 1 w Rm .
Zadanie 5.15 Niech L R2 bedzie
¾
1-wymiarowa¾hiperpowierzchnia¾w R2 o parametryzacji
k
c = (x; y) : (a; b) ! L klasy C (k 1), gdzie x > 0. Wykaza´c, ·ze powierzchnia obrotowa
powsta÷a z obrotu L wokó÷osi OY jest hiperpowierzchnia¾2-wymiarowa¾klasy C k .
Wskazówka: Wykorzystać twierdzenie: Jez·eli jest otwartym podzbiorem Rn , F : ! Rm
odwzorowaniem klasy C k , Q Rm hiperpowierzchnia¾wymiaru r oraz kaz·dy punkt y 2 Q jest
wartościa¾ regularna¾ odwzorowania F , to F 1 [Q] jest tez· hiperpowierzchnia¾ kl. C k wymiaru
dim F 1 [Q], gdzie n dim F 1 [Q] = m dim Q.
Zadanie 5.16 (Powierzchnia obrotowa) Wykaza´c, ·ze obracajac
¾ wokó÷osi Oz jednowymi3
k
arowa¾hiperpowierzchnie¾ L (krzywa)
¾ w R klasy C zawart
(0; 1) f0g o
n a¾w pó÷p÷aszczy´znie
p
3
R otrzymamy dwuwymiarowa¾hiperpowierzchnie¾ M = (x; y; z) 2 R ;
x2 + y 2 ; z 2 L
klasy C k .
p
Wskazówka. Rozwa·zy´c odwzorowanie F : R3 nosOz ! R2 ; F (x; y; z) =
x2 + y 2 ; z ; dla
którego F 1 (L) = M .
Uwaga. Je´sli L jest zadana równaniem uwik÷anym f (x; z) = 0, tzn. L = f 1 (0) dla
warto´sci regularnej 0 dla pewnej funkcji f : D ! R klasy C k , gdzie D
(0; 1) R, to
p
M = G 1 (0), gdzie G (x; y; z) = f
x2 + y 2 ; z .
Zadanie 5.17 Pokaza´c, ·ze torus T powsta÷y z obrotu okregu
¾ K o równaniu (x
2
R (r < R ) wokó÷osi Oz jest dwuwymiarowa¾hiperpowierzchnia.¾
Równanie torusa:
p
x2 + y 2 ; z 2 K;
5
r)2 + z 2 =
tj.
p
x2 + y 2
2
r
+ z 2 = R2 :
Zauwa·zy´c, ·ze 0 jest warto´scia¾ regularna¾ odwzorowania G : R3 nosOz ! R, G (x; y; z) =
2
p
x2 + y 2 r + z 2 R 2 .
Zadanie 5.18 Rozwa·zmy iloczyn kartezja´nski S 1 S 1
R4 , tj. dwuwymiarowa¾ hiper4
1
1
powierzchnia w R : Pokaza´c, ·ze S
S jest dyfeomor…czna z torusem T .
Wskazówka. Rozwa·zy´c odwzorowanie
: R3 n f(0; 0; z) : z 2 Rg ! R4 ;
p
x2 + y 2
x
y
(x; y; z) = p
;p
;
R
x2 + y 2
x2 + y 2
r z
;
R
!
; 0 < r < R:
jest klasy C 1 oraz (T ) S 1 S 1 : Rozwa·zy´c takie odwzorowanie : R4 ! R3 klasy C 1 ,
·ze (u; v; w; t) = (u (Rw + r) ; v (Rw + r) ; Rt). (S 1 S 1 ) T oraz jT : T ! S 1 S 1 i
jS 1 S 1 : S 1 S 1 ! T sa¾wzajemnie odwrotne.
Zadanie 5.19 Korzystajac
¾ z twierdzenia o warto´sciach regularnych pokaza´c, ·ze zbiór
n
o
2
3
2
2
2
2
2
T = (x; y; z) 2 R :
x + y + z + 3 = 16 x + y
jest 2-wymiarowa¾ hiperpowierzchnia.¾ Pokaza´c, ·ze jest to torus powsta÷y z obrotu okregu
¾
2
2
(y 2) + z = 1 dooko÷a osi Oz. Znale´z´c atlas T z÷o·zony z trzech map.
Zadanie 5.20 Wykaza´c, ·ze na zwartej hiperpowierzchni nie istnieje atlas z jedna¾mapa.¾
Zadanie 5.21 Sprawdzi´c, ·ze zbiór
x2
y2 + z3 =
1
opisuje powierzchnie.
¾ Znale´z´c jej pewna¾parametryzacje¾ w otoczeniu punktu (0; 1; 0).
Zadanie 5.22 Niech a; b 2 R n f0g. Korzystajac
¾ z twierdzenia o przeciwobrazie warto´sci
1
1
regularnej pokaza´c, ·ze podzbiory f (0), g (0), h 1 (0) sa¾ hiperpowierzchniami kl. C 1 w
R3 , gdzie
f : R3 ! R;
g : R3 ! R;
h : R 3 ! R2 ;
Pokaza´c, ·ze h
1
(x; y; z) 7 ! x2 + y 2
a2 ;
z
sinh ;
b
2
2
(x; y; z) 7 ! x + y
a2 ; y
(x; y; z) 7 ! y
sinh
z
:
b
(0) jest linia¾´srubowa.¾
Zadanie 5.23 Niech a > 0. Korzystajac
¾ z twierdzenia o przeciwobrazie warto´sci regularnej
1
pokaza´c, ·ze podzbiory M = f (0), N = g 1 (0), oraz M \ N sa¾ hiperpowierzchniami kl.
C 1 w R3 , gdzie
f : R3 ! R;
g : R3 ! R;
(x; y; z) 7 ! x2 + y 2 + z 2 a2 ;
(x; y; z) 7 ! x2 + y 2 2ax:
6
Zadanie 5.24 Korzystajac
¾ z twierdzenia o przeciwobrazie warto´sci regularnej pokaza´c, ·ze
1
M = h (0) jest krzywa¾kl. C 1 , gdzie
h : R3 ! R2 ;
(x; y; z) 7 ! x2 + y 2 + z 2
1; x2 + y 2
2x :
Zadanie 5.25 Wykaza´c, ·ze hiperpowierzchniami klasy C 1 w R3 sa¾zbiory:
D = f(x; y; z) 2 R3 : x3 + y 3 + z 3
E = f(x; y; z) 2 R3 : x2
2xyz = 1g,
y 2 + 2xz
2yz = 1; 2x
y + z = 0g,
F = f(x; y; z) 2 R3 : y 3 + z 4 = 2; x2 + z = 2g,
G = f(x; y; z) 2 R3 : x2
xy
4yz
H = f(x; y; z) 2 R3 : xy = z 2
8z 2
4z + 2y = 0; xz = 1g :
3; yz = x + x2 g :
Wskazówka. Przedstaw te podzbiory R3 jako przeciwobrazy wartości regularnych pewnych
odwzorowań –niekoniecznie określonych na ca÷
ej przestrzeni R3 .
Zadanie 5.26 Wykaza´c, ·ze je·zeli funkcja F : Rn
f : Rn ! R,
1
! R jest klasy C 1 , to funkcja
f (x1 ; :::; xn ) = F (x1 ; :::; xn 1 )
de…niuje strukture¾ hiperpowierzchni f
1
xn
(0) klasy C 1 w Rn .
2
Zadanie 5.27 Zbiór Rn uto·zsamiamy ze zbiorem M (n; R) rzeczywistych macierzy n
Pokaza´c, ·ze dla funkcji
det : M (n; R) ! R
n.
ka·zda liczba ró·zna od zera jest warto´scia¾regularna.¾ Wywnioskowa´c stad,
¾ ·ze
SL (n; R) = fA 2 M (n; R) : det A = 1g
2
jest hiperpowierzchnia¾w Rn .
Zadanie 5.28 Wykaza´c, ·ze O (n) = A 2 M (n; R) : AT A = I
2
w Rn wymiaru 21 n (n 1).
jest hiperpowierzchnia¾
Wskazówka. Dla dowolnej macierzy A 2 M (n; R) macierz AT A jest symetryczna. Zbiór
1
macierzy symetrycznych moz·na identy…kować z przestrzenia¾ R 2 n(n+1) . Rozwaz·yć moz·na
1
2
odwzorowanie h : Rn ! R 2 n(n+1) , h (A) = AT0A, dla którego O (n) = h 1 (I);
1 oczywiście
1
identy…kujac
¾ macierz jednostkowa¾I z punktem @1; 0; :::; 0; 1; 0; :::; 0; :::; 1; 0 ; 1A 2 R 2 n(n+1) .
| {z } | {z }
|{z}
n
7
n 1
2