geometria Euklidesa

2. O „Elementach” Euklidesa
Powszechnie wiadomo, Ŝe księgi, jak ludzie, starzeją się, najczęściej dość szybko.
Nieliczne tylko dzieła trwają przez wieki. Tymczasem geometrię według Euklidesa
studiowano w ciągu tysięcy lat i chociaŜ „Elementy” Euklidesa przestały być juŜ w XX w.
podręcznikiem w szkołach, to dla filozofów, historyków a takŜe matematyków, wciąŜ Ŝyją
Ŝyciem twórczym oraz inspirują do twórczej refleksji. Niestety brakuje juŜ nowych
przekładów tego dzieła, a te które są, są dostępne w czytelniach niektórych wielkich bibliotek.
W bibliotekach takich jak Biblioteka Jagielońska są teŜ dostępne przekłady na język polski,
np. Euklidesa początków geometryi ksiąg ośmioro, to iest sześć pierwszych, jedenesta i
dwunasta z przypisami dla poŜytku młodzi akademickiey wytłumaczone przez Józefa Czecha,
nakładem i drukiem Iózefa Zawadzkiego typografa Imperatowskiego Wileńskiego
Uniwersytetu, Wilno 1817. Większa część treści „Elementów” dostępna jest jednak, w wersji
dostosowanej do wykładu geometrii, w podręcznikach szkolnych z XIX w. i pierwszej
połowy XX w.
O Ŝyciu Euklidesa wiadomo bardzo mało. JuŜ pierwszy komentator „Elementów”,
neoplatonik Proklos (410-485 n.e.), nie mógł wskazać ani miejsca urodzenia, ani daty jego
urodzin i zgonu. Korzystając z wielu źródeł, drogą pośrednią, Proklos doszedł do wniosku, Ŝe
Euklides Ŝył w Aleksandrii za czasów Ptolemeusza I (323-283 p.n.e.), moŜna więc rok 300
p.n.e. uznać w przybliŜeniu za rok powstania „Elementów”. Według Proklosa Euklides był
zwolennikiem Platona, o czy miała świadczyć docelowa, XIII księga „Elementów”
poświęcona wielościanom foremnym, a skądinąd wiadomo, Ŝe wielościany te szczególnie
waŜną rolę odgrywały w teorii kosmologicznej Platona. Jednak, na silny wpływ filozofii
Platona wskazuje całe dzieło Euklidesa, w którym opisywane są najbardziej elementarne i
idealne cechy przedmiotów składające się na wszelkie inne idealne cechy, ponadto, aby
zrozumieć pewne niejasne i osobliwe dla późniejszych komentatorów i matematyków miejsca
wykładu Euklidesa, naleŜy sięgnąć do poglądów Platona, innymi słowy, naleŜy załoŜyć, Ŝe
Euklides był zwolennikiem Platona. Np. Euklides posługuje się pojęciem ruchu, uŜywając je
w definicjach, postulatach oraz konstrukcjach, ale nie jest to pojęcie ruchu substancji czy
Ŝywiołów, lecz ruchu wiecznych idei, ruchu idealnego, określającego takie relacje między
ideami, jak zstępowanie, podstawianie, przedłuŜanie i kontynuację, nakładanie przez
przesuwanie i obrót. Są to więc relacje niezaleŜne od upływu czasu. Zgodnie z poglądami
Platona, geometria jest nauką dotycząca poznania bytu wiecznego, poznania idei, które
nadają kształt temu co się kiedyś czymś staje i znowu ginie. Np. wielościany foremne nadają
kształt elementarnym Ŝywiołom: Ŝywiołowi ognia jako najbardziej lekkiemu i ruchliwemu
przysługuje kształt czworościanu, powietrzu – kształt ośmiościanu, ziemi - sześcianu, zaś
wodzie – dwudziestościanu, wielościan piąty, dwunastościan, pozostaje niewykorzystany i jak
sądził Platon, bóstwo postanowiło go uŜyć do nadania kształtu wszechświatowi. Oprócz
wpływu filozoficznej szkoły Platona na wybór przez Euklidesa idei pierwotnych
przyświecających pisaniu „Elementów” był wpływ panującego wtedy systemu logicznego
oraz koncepcji nauki dedukcyjnej rozpowszechnionych przez Arystotelesa. KaŜda nauka
dedukcyjna (wiedza demonstratywna) – mówi Arystoteles w Analitykach – opiera się na
pewnych „pierwszych elementach”: definicjach, postulatach i aksjomatach, a dowodami są
sylogizmy, w których występują zdania kategoryczne wynikające z postulatów i aksjomatów.
Definicje nie twierdzą nic o istnieniu lub nieistnieniu definiowanego przedmiotu. Istnienie
przedmiotów, którym przysługują terminy pierwotne (nie dające się zdefiniować w oparciu o
wcześniejsze terminy) przyjmujemy; istnienie wśród przyjętych przedmiotów tych, którym
przysługują inne terminy niŜ pierwotne – dowodzimy. Z tego punktu widzenia „Elementy”
Euklidesa w pełni spełniają wymagania Arystotelesa.
2.1 Definicje grupy pierwszej
Zgodnie z załoŜeniami nauki dedukcyjnej propagowanymi juŜ przez Arystotelesa, definicje
podane w „Elementach” są określeniami terminów geometrii przy pomocy najogólniejszych
terminów, wspólnych dla wszystkich nauk a opisanych przez aksjomaty. Z tego powodu,
pojęcia pierwotne geometrii Euklides określa w sposób następujący:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Punkt jest tym, co nie ma części lub nie ma Ŝadnej wielkości.
A linia jest to długość bez szerokości.
A końcami (kresami) linii są punkty.
Linią prostą jest ta, która jest jednakowo połoŜona względem punktów na niej leŜących.
Powierzchnią jest to, co ma tylko długość i szerokość.
A kresami powierzchni są linie.
Powierzchnią płaską jest ta, która jest jednakowo połoŜona względem prostych na niej
leŜących.
8. A kąt płaski jest to wzajemne nachylenie dwóch linii schodzących się w płaszczyźnie, ale
nie połoŜonych wzdłuŜ prostej.
9. A gdy linie zawierające kąt są proste, to kąt nazywamy prostoliniowym.
10. A kiedy prosta wystawiona na prostej tworzy kąty przyległe równe między sobą, to kaŜdy
z tych równych kątów jest prosty, a wystawiona prostą nazywamy prostopadłą do tej, na
której została wystawiona.
11. Kąt rozwarty jest większy od prostego.
12. A kąt ostry jest mniejszy od prostego.
13. Granicą jest to co jest czegoś kresem.
14. Figurą jest to, co się zawiera wewnątrz jakiegokolwiek lub jakichkolwiek kresów.
15. Koło jest figurą płaską ograniczoną linią, zwaną okręgiem, taką Ŝe wszystkie proste
poprowadzone z jednego punktu wewnątrz figury połoŜonego do tej linii są między sobą
równe.
16. Punkt ten nazywamy środkiem okręgu.
17. Średnica koła to prosta przechodząca przez środek i kończąca się z obu stron na okręgu.
Dzieli ona koło na polowy.
18. Półkole to figura ograniczona średnica i tą częścią okręgu koła, którą obejmuje średnica.
Środkiem półkola jest środek koła.
19. Figury prostokreślne to figury ograniczone prostymi. Trójkąt to figura prostokreślna
ograniczona trzema prostym. Czworobok lub czworokąt to figura prostokreślna , która jest
ograniczona czterema prostymi. Wielobok lub wielokąt to figura prostokreślna
ograniczona więcej niŜ czterema prostymi.
20. Trójkąt równoboczny to trójką, który ma trzy boki równe. Trójkąt równoramienny to
trójkąt, który ma tylko dwa boki równe. Trójkąt róŜnoboczny to trójkąt, który ma trzy
boki nierówne.
21. Ponadto: trójkąt prostokątny to trójkąt, który ma kąt prosty. Trójkąt rozwartokątny to
trójkąt, który ma kąt rozwarty. Trójkąt ostrokątny to trójkąt, który ma trzy kąty ostre.
22. Kwadrat jest to czworobok mający równe boki i równe kąty. Romb (kwadrat ukośny) jest
to czworobok mający równe boki, ale nie mający katów prostych. Równoległobok jest to
czworobok mający boki przeciwległe równe, ale nie mający katów prostych. Wszystkie
czworoboki inne niŜ wyŜej wymienione nazywamy czworokątami.
23. Linie równolegle, czyli mówiąc krócej równoległe to są proste, które leŜą na tej samej
płaszczyźnie i przedłuŜane z obu strony w nieskończoność, z Ŝadnej strony się nie przetną.
2.2 Postulaty – „wymagania”, „Ŝądania”
Proklos w swoich komentarzach do „Elementów” Euklidesa pisał o aksjomatach i
postulatach, Ŝe „Postulat i aksjomat róŜnią się od siebie tak, jak róŜnią zadanie i twierdzenie,
nawet jeŜeli obydwa są niedowodliwe; postulat ujmujemy w tym sensie, Ŝe coś da się łatwo
wykonać, w przypadku aksjomatu zaś jesteśmy zgodni, Ŝe chodzi o coś, co łatwo jest
pojmowalne. ... inni chcieliby powiedzieć, Ŝe postulaty dotyczą tego, co właściwe materii
geometrycznej, aksjomaty zaś są tym, co naleŜy do ogólnej teorii ilości (liczbowych) i
wielkości (przestrzennych) ...” . Te wyjaśnienia Proklosa oddają niestety tylko dobór treści
postulatów, ale nic nie mówią o celu formułowania postulatów – postulaty wykorzystywane
są we wszystkich konstrukcjach geometrycznych oraz w dowodach do wykazywania istnienia
przedmiotów o danych cechach. Postulaty zakładają potencjalne istnienie wszystkich
rozwaŜanych w geometrii przedmiotów, wyznaczanych przez punkty: linie proste, okręgi,
kąty, przecinające się proste. Oto wykaz postulatów, które Euklides nazywa wymaganiami
lub Ŝądaniami:
1. Zakłada się, Ŝe od kaŜdego punktu do kaŜdego punktu moŜna poprowadzić linię prostą.
2. I Ŝe ograniczoną prostą moŜna ciągle przedłuŜać po prostej.
3. I z kaŜdego środka kaŜdym rozwarciem moŜna zakreślić okrąg.
4. I Ŝe wszystkie kąty proste są równe między sobą.
5. I jeŜeli prosta padająca na dwie równe proste tworzy po jednej stronie kąty wewnętrzne,
które w sumie są mniejsze od dwóch prostych kątów, to proste przedłuŜone
nieograniczenie schodzą się po tej stronie, po której kąty te są w sumie mniejsze od
dwóch prostych.
2.3 Aksjomaty – „pojęcia ogólne”
Aksjomaty nazywane są przez Euklidesa pojęciami ogólnymi, gdyŜ opisują najbardziej
ogólne w naukach dedukcyjnych terminy i stosunki pomiędzy tymi terminami. Znanych jest
pięć aksjomatów:
1.
2.
3.
4.
5.
Równe jednemu i temu samemu są między sobą równe.
I jeŜeli do równych dodaje się równe, to i otrzymane całości są równe.
I jeŜeli od równych odejmuje się równe, to reszty są równe.
I wzajemnie przystające są między sobą równe.
I całe jest większe od części.
Najbardziej kontrowersyjny dla komentatorów okazał się aksjomat 4, o którym sądzono, Ŝe
nie jest ogólny, gdyŜ dotyczy tylko geometrii a nie takŜe innych nauk. Jednak, jeśli uwzględni
się zwrot „wzajemnie przystające”, mogący oznaczać przedmioty tego samego kształtu
(równokształtne, czy tak samo zbudowane), o tych samych cechach i tych samych rozmiarów,
to widzimy, Ŝe aksjomat ten i współcześnie jest niezbędny do zrozumienia oraz ustalenia tego
kiedy dwa przedmioty są identyczne, jest więc jak najbardziej ogólny oraz ma zastosowanie
we wszystkich naukach. Niesłuszne jest dodawanie przez niektórych komentatorów
postulatów 4 i 5 jako ustalających pojęcia ogólne oraz aksjomatów o odejmowaniu,
podwajaniu i o połowach wielkości, gdyŜ moŜna je sylogistycznie uzasadnić na podstawie
wyŜej wymienionych pojęć ogólnych.
2.4 Spis treści „Elementów”
Księga I - elementarne konstrukcje, twierdzenia, o przystawaniu, pola wielokątów,
twierdzenia Pitagorasa
Księga II – arytmetyka geometryczna
Księga III – geometria koła
Księga IV – konstrukcje wielokątów foremnych
Księga V – Eudoksosa teoria stosunków
Księga VI – figury podobne
Księgi VII-VIII – teoria liczb
Księga X – Teajteta klasyfikacja pewnych liczb niewymiernych
Księga XI – stereometria, objętości brył
Księga XII – znajdowanie pól i objętości Eudoksosa „metodą wyczerpywania” (całkowania)
Księga XIII – konstrukcja pięciu wielościanów foremnych oraz nieistnienie innych
foremnych.
2.5 Wybrane fragmenty zagadnień „Elementów” (Filozofia matematyki,
Wybór i opracowanie Roman Mórawski, WN UAM, Poznań 1994, s. 43-49)
Zagadnienie 1: problem
Na danej prostej wykreślić trójkąt równoboczny.
Niech dana będzie prosta AB, na prostej AB trzeba wykreślić trójkąt równoboczny (rys. 1).
Ze środka A długością prostej AB zakreślamy (postulat 3) koło BCD; ze środka B długością
AB zakreślamy koło ACE; z punktu C, w którym okręgi tych kół przecinają się poprowadzimy
(postulat 2) do punktów A, B proste CA, CB. Trójkąt ABC będzie równoboczny.
PoniewaŜ punkt A jest środkiem koła BCD, więc prosta A będzie równa prostej AB
(definicja 15); poniewaŜ równieŜ punkt B jest środkiem koła CAE więc prosta BC będzie
równa prostej BA; dowiedziono, Ŝe prosta CA jest równa prostej BA; kaŜda więc z dwóch
linii prostych CA, CN jest równa prostej AB. Wielkości zaś równe tej samej wielkości są
równe między sobą (aksjomat 1); zatem prosta CA jest równa prostej CB; proste więc CA,
AB, BC są sobie równe, a stąd trójkąt ABC jest równoboczny i wykreślony na danej prostej
AB. Co było do rozwiązania.
Zagadnienie 2: problem
Z danego punktu poprowadzić prostą równą prostej danej.
Niech będzie dany punkt A i prosta BC; z punktu A poprowadzić naleŜy prostą równą prostej
BC (rys.2).
Poprowadzimy z punktu A do punktu B prostą AB (postulat 1) i na niej wykreślimy
trójkąt równoboczny DAB (zagadnienie 1); przedłuŜmy proste AE, BF w kierunku w
kierunku boków DA, DB (postulat 2) i ze środka B długością prostej BC zakreślmy koło
CGH (postulat 3), a ze środka D długością prostej DG koło DGH.
PoniewaŜ punkt B jest środkiem koła CGH, więc prosta BC będzie równa prostej BG
(definicja 15) oraz poniewaŜ punkt D jest środkiem koła GKI, więc prosta DI będzie równa
prostej DG. PoniewaŜ prosta DA jest równa DB, więc w konsekwencji prosta AI jest równa
prostej BG (aksjomat 3). KaŜda więc z dwóch prostych AL, BC jest równa prostej BG;
wielkości zaś równe tej samej wielkości są między sobą równe, stąd prosta AI jest równa
prostej BC. Z danego więc punktu A poprowadzona została prosta AI równa danej prostej
BC. Co było do rozwiązania.
Zagadnienie 3: problem
Mając dane dwie nierówne proste odciąć z większej z nich prostą mniejszą.
Niech dane będą dwie proste nierówne AB oraz C, z których AB niech będzie większa; z
prostej AB naleŜy odciąć prostą C .
Z punktu A wyprowadzimy prostą AD równą prostej C (zagadnienie 1) i ze środka A
długością prostej AD zakreślimy koło DEF (postulat 3). PoniewaŜ A jest środkiem koła
DEF, więc prosta AE będzie równa prostej AD; ale równieŜ prosta C jest równa prostej C
(aksjomat 1) . Mając więc dane dwie proste nierówne AB i C, z większej odcięta została
prosta AE równa mniejszej z prostych, czyli C. Co było do rozwiązania.
Zagadnienie 4: twierdzenie
JeŜeli dwa boki jednego trójkąta są równe dwom bokom drugiego trójkąta i jeŜeli równe są
teŜ kąty zawarte między tymi równymi bokami, to podstawa jednego trójkąta będzie równa
podstawie drugiego, trójkąty te będą sobie równe oraz równe będą i pozostałe kąty zawarte
między równymi bokami.
Niech będą dane dwa trójkąty ABC, DEF, które mają dwa boki AB, AC równe dwom
bokom DE, DF, tzn. bok AB niech będzie równy bokowi DE, a bok AC bokowi DF. Niech
teŜ kąt BAC będzie równy kątowi EDF. Twierdzę, Ŝe podstawa BC jest równa podstawie EF
oraz Ŝe trójkąt ABC jest równy trójkątowi DEF i pozostałe kąty obu trójkątów teŜ są równe,
tj. kąt ABC jest równy kątowi DEF, a kąt ACB równy kątowi DFE.
JeŜeli przyłoŜymy do trójkąta DEF, tak by punkt A pokrył się z punktem D, prosta zaś
AB przystawała do prostej DE, to punkt B pokryje się z punktem E, poniewaŜ prosta AB jest
równa prostej DE, to równieŜ prosta AC przystawać będzie do prostej DF, poniewaŜ kąt BAC
jest równy kątowi DEF. RównieŜ punkt C pokryje się z punktem F, gdyŜ prosta AC jest
równa prostej DF. Punkt B pokrył się jednak z punktem E, zatem podstawa BC przystaje do
podstawy EF. Gdyby bowiem, mimo Ŝe punkt B pokrywa się z punktem E, a punkt C z
punktem F, podstawa BC nie przystawała do podstawy EF, to obie proste zawierałyby
miejsce, co jest niemoŜliwe (bowiem dwie proste nie zawierają miejsca – współczesny
komentarz ). Zatem podstawa BC przystawać będzie do podstawy EF i będzie jej równa. Stąd
teŜ cały trójkąt ABC przystawać będzie do całego trójkąta DEF i będzie mu równy, a
pozostałe kąty przystawać będą do siebie i będą sobie równe, tzn. kąt ABC katowi DEF i kąt
ACB katowi DFE. JeŜeli więc dwa boki w jednym trójkącie równe są dwom bokom w
drugim trójkącie i jeŜeli kąty zawarte między tymi bokami równymi są takŜe równe, to
podstawa jednego trójkąta będzie równa podstawie drugiego trójkąta i te dwa trójkąty będą
sobie równe oraz kąty pozostałe zawarte między równymi bokami tych dwu trójkątów będą
sobie równe.