badania symulacyjne układu napędu posuwowego trzyosiowego

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE
35, s. 93-100, Gliwice 2008
ISSN 1896-771X
BADANIA SYMULACYJNE UKŁADU NAPĘDU POSUWOWEGO
TRZYOSIOWEGO CENTRUM OBRÓBKOWEGO
MIROSŁAW PAJOR, ARKADIUSZ PARUS, ANDRZEJ BODNAR,
MARCIN HOFFMANN
Instytut Technologii Mechanicznej, Politechnika Szczecińska
e-mail: [email protected], [email protected], [email protected], [email protected]
Streszczenie. Niniejsza praca zawiera analizę własności dynamicznych nowo
projektowanego frezarskiego centrum obróbkowego, które przeznaczone będzie
do obróbki przedmiotów o stosunkowo o dużej długości. W obrabiarce tej
rozważano zastosowanie dwóch typów napędu posuwowego odpowiedzialnego za
ruch wzdłużny. Jednym z rozwiązań było wykorzystanie śruby pociągowej
z silnikiem asynchronicznym. W drugiej koncepcji ruch wzdłużny realizowano za
pomocą silnika liniowego. Praca obejmuje budowę modelu matematycznego
układu MDS obrabiarki oraz modeli dwóch typów napędu posuwowego. W pracy
zaprezentowano wyniki symulacji obu typów napędu posuwowego oraz
porównano ich własności dynamiczne.
1. WSTĘP
We współczesnych obrabiarkach w napędach posuwu coraz częściej śrubę pociągową
zastępuje się układem z silnikiem liniowym. Napęd posuwu decyduje o istotnych
własnościach obrabiarki takich jak prędkość, ruch i przyspieszenie, błędach statycznych
i dynamicznych, czy błędach pozycjonowania. Jest to istotny element konstrukcji obrabiarki,
który w dużym stopniu wpływa na wielkość błędu położenia narzędzia względem przedmiotu
obrabianego. W niniejszej pracy, na podstawie badań symulacyjnych, przeprowadzono ocenę
i porównanie napędu posuwu ze śrubą pociągowa oraz z silnikiem liniowym na wielkość
wyżej wymienionych błędów.
Analizę układów napędowych przeprowadzono dla centrum frezarskiego (rys.1a). Jest to
frezarka trzyosiowa, przeznaczona do obróbki elementów o długości do 2 metrów. Układ
korpusowy składa się z kilku podstawowych elementów: stół, sanie wzdłużne, kolumna oraz
wrzeciennik i elektrowrzeciono. Poszczególne elementy obrabiarki poruszają się po
prowadnicach szynowych, a ich ruch zapewniają trzy śruby pociągowe. W innej wersji tej
obrabiarki ruch wzdłużny zapewnia silnik liniowy.
94
M. PAJOR, A. BODNAR, A.PARUS, M. HOFFMANN
2. MODEL UKŁADU KORPUSOWEGO OBRABIARKI
W celu przeprowadzenia badań symulacyjnych własności dynamicznych napędu posuwu
należy w pierwszej kolejności zamodelować sam układ napędowy oraz zbudować masowodyssypacyjno-sprężysty (MDS) model układu obrabiarki.
Do budowy modelu MDS obrabiarki wykorzystano metodę SES [4,5]. Matematyczny
opisu ruchu obrabiarki wymagana znajomości macierzy mas, tłumienia i sztywności.
W pierwszym kroku wyznaczono macierz mas. W tym celu dokonano podziału, wzdłuż
połączeń prowadnicowych, układu korpusowego na cztery SES-y. Podział frezarki na bryły
sztywne pokazano na rys.1. Na rysunku widoczne są również układy odniesienia przyjęte dla
modelu obrabiarki, tj. układ globalny UG związany z narożnikiem stołu frezarki oraz układy
lokalne poszczególnych SES-ów (U1, U2, U3,U4).
a)
b)
Rys.1. a) Podział układu korpusowego na SES-y
b) Typy wózków tocznych zastosowane w połączeniach prowadnicowych
Na podstawie modelu 3D oraz dokumentacji technicznej poszczególnych elementów
korpusowych wyznaczono ich parametry bezwładnościowe (tensor momentów bezwładności)
oraz położenie środków ciężkości względem układów lokalnych poszczególnych SES-ów.
W środkach ciężkości poszczególnych brył zaczepiono układy współrzędnych kartezjańskich,
w których zdefiniowano współrzędne uogólnione. Wyznaczone dane wykorzystano do
budowy macierzy bezwładności modelu oraz do przeprowadzenia odpowiednich
transformacji przy budowie macierzy sztywności i tłumień.
Elementy korpusowe obrabiarki traktowane są jako bryły nieodkształcalne, jednak podczas
ruchów posuwowych bryły korpusowe wykonują drgania w wyniku odkształceń elementów
sprężysto-tłumiących (EST-y). Do elementów tych zaliczono śruby pociągowe i wózki
toczne. Analizowana obrabiarka wyposażona jest w trzy układy śrub pociągowych. Na
całkowitą sztywność układu śrubowego wypływ mają poszczególne składowe tego systemu,
m.in.: przekładnia pasowa, sprzęgła, łożyska, śruby, nakrętki i sama śruba pociągowa.
Sztywność poszczególnych układów śrub pociągowych jest zależna od czynnej długości
śruby i przyśpieszenia ruchu, które decyduje o poosiowej sile obciążającej układ [9].
Parametry tłumieniowe EST-ów opracowywanego modelu wyznaczono, przyjmując model
proporcjonalny tłumienia do sztywności z wykorzystaniem stałych czasowych tłumienia
zaczerpniętych z literatury [5].
W badanej frezarce zostały zastosowane trzy rodzaje wózków tocznych firmy RexrothBosch (rys.1b). Parametry sztywnościowe poszczególnych wózków wyznaczono w badaniach
identyfikacyjnych przeprowadzonych zgodnie z metodyką prezentowaną w pracy [2].
Parametry tłumieniowe wózków wyznaczono analogicznie jak przy śrubach pociągowych.
BADANIA SYMULACYJNE UKŁADU NAPĘDU POSUWOWEGO…
95
Położenie elementów korpusowych ma wpływ na parametry elementów sprężystotłumiących modelujących toczne połączenia prowadnicowe oraz śruby pociągowe obrabiarki.
W niniejszej pracy wytypowano dziewięć wariantów wzajemnego ustawienia elementów
korpusowych obrabiarki do badań symulacyjnych, dla których zbudowano modele zgodnie
z konwencją metody SES. Na rys.2 przedstawiono niektóre warianty ustawienia elementów
korpusowych obrabiarki.
1.
2.
3.
4.
Rys. 2. Wybrane warianty wzajemnego położenia elementów korpusowych obrabiarki
Określone parametry masowe poszczególnych elementów korpusowych i parametry
elementów sprężysto-tłumiących posłużyły do budowy macierzowego modelu obrabiarki
w konwencji SES [4,5]. Dla każdej bryły zdefiniowano po sześć przemieszczeń uogólnionych
oraz określono siły zewnętrze działające na elementy korpusu. W sumie model składający się
z czterech SES-ów ma 24 stopnie swobody. Zapis macierzowy modelu ma następującą
postać:
oo
o
M u(t ) + H u(t ) + Ku(t ) = Q(t )
(1)
gdzie: M - macierz bezwładności, K - macierz sztywności, H - macierz tłumień, u(t) - wektor
przemieszczeń uogólnionych, Q(t) - wektor sił uogólnionych.
3. MODEL UKŁADU NAPĘDOWEGO
3.1. Model napędu z silnikiem indukcyjnym
Pierwszą wersją zastosowanego napędu posuwu wzdłużnego był synchroniczny silnik
indukcyjny. Dokonując transformacji trójfazowej maszyny elektrycznej do uogólnionej
maszyny dwufazowej oraz przyjmując układ współrzędnych (u-v) wirujący z prędkością
kątową ωk, napęd można opisać następującymi układami równań (założono pełną symetrię
uzwojeń, pominięto straty na histerezę i prądy wirowe oraz braku nasycenia) [1,3]:
dla stojana (indeksy 1):
dla wirnika (indeksy 2):
dψ 1u

u1u = R1i1u + dt − ω kψ 1v

u = R i + dψ 1v + ω ψ
1 1v
k 1u
 1v
dt

ψ 1u = L1i1u + Lm i2u
ψ 1v = L1i1v + Lm i2 v
dψ 2 u

u 2 u = 0 = R2 i 2u + dt − (ω k − ω e )ψ 2 v

u = 0 = R i + dψ 2 v + (ω − ω )ψ
2 2v
k
e
2u
 2v
dt

ψ 2 u = L2 i2 u + Lm i2 u
ψ 2 v = L2 i2 v + Lm i1v

oraz dla części mechanicznej:
(2)
96
M. PAJOR, A. BODNAR, A.PARUS, M. HOFFMANN
3 pb Lm (ψ 1ui1v − ψ 1v i1u )

M e =
2 L2
 dω
− Mo)
(
p
M
2

= b e

dt
J2
(3)
gdzie: L, R, ψ – indukcyjność własna, rezystancja oraz strumień uzwojenia stojana i wirnika,
Lm – indukcyjność wzajemna, pb – liczba par biegunów, ω2 – prędkość kątowa, wirnika, iu, iv,
uu, uv – prądy i napięcia stojana i wirnika dla fazy u i v, Me – moment elektromagnetyczny
silnika, Mo – moment obciążenia, J2 – moment bezwładności wirnika.
Zastosowany silnik posiadał sterowanie wektorowe z obserwatorem stanu. Założeniem
tego typu sterowania jest utrzymywanie kąta π/2 między wybranymi składowymi pola
elektromagnetycznego. Wobec tego przyjęto układ współrzędnych (uv) związany z wirującym
strumieniem wirnika tak, aby oś u pokrywała się z wektorem strumienia ψ2. Wtedy:
r
ψ 2u = ψ 2 , ψ 2 v = 0
(4)
Realizując sterowanie w postaci:
 u 1 u = a 1U ku + U 1u

 u 1 v = a 1U kv + U 1 v
r
U ku = − a2 a3 ψ 2 − ωk i1v
L1 L2 − L2m
L
L
,
gdzie: 
a
=
, a 2 = 2 , a3 = m
r
1
L2
R2
a1L2
 U kv = a3ω k ψ 2 + ω k i1u
(5)
(6)
otrzymuje się model odprzężony, w którym oś u jest odpowiedzialna za sterowanie
strumieniem, a oś v za sterowanie momentem. Układ sterowania przedstawiono
schematycznie na rys. 3.
Rys. 3 Schemat blokowy układu sterowania wektorowego silnika indukcyjnego
Układ kształtowania strumienia (UKS) odpowiedzialny jest za zmniejszenie wartości
strumienia przy wzroście prędkości obrotowej silnika powyżej wartości nominalnej. Na
podstawie zadanej wartości prędkości obrotowej ωzad wyznaczane są wartości prądów
w osiach u i v, a następnie na ich podstawie wartości napięć, które transformowane są do
stacjonarnego układu (ab), a następnie do układu trójfazowego i poprzez modulator PWM
sterują silnikiem.
BADANIA SYMULACYJNE UKŁADU NAPĘDU POSUWOWEGO…
97
3.2. Model liniowego silnika synchronicznego
Zasada działania liniowego silnika elektrycznego – zarówno asynchronicznego, jak i synchronicznego – jest analogiczna jak odpowiedniego silnika obrotowego. Główna różnica
występuje w kształcie geometrycznym zasilanej części ruchomej (pierwotnej) oraz
nieruchomej (wtórnej). Na podstawie analogii, modelowanie silnika liniowego sprowadza się
do modyfikacji równań silnika obrotowego [7,8]. Siła generowana przez silnik liniowy, przy
zachowaniu takiej samej mocy, jak dla silnika obrotowego, wyrażona jest równaniem:
FSL =
π Me
τ pb
(7)
gdzie τ jest szerokością bieguna, natomiast liniowe przemieszczenie x oraz prędkość v można
wyznaczyć z zależności:
x=
τ
τ
ϕ, v = ω
π
π
(8)
W celu syntezy układu regulacji model silnika opisany układem równań (5,6) został
transformowany do układu współrzędnych (dq) zorientowanego tak, aby oś d pokrywała się
z wektorem prądu. Wiruje on z prędkością obrotową wirnika (ωk=ω2=dΘ/dt). Model
matematyczny silnika synchronicznego z magnesami trwałymi w układzie (dq) opisują
równania [7,8]:
dψ 1d

u
R
i
=
+
− ω2ψ 1q
1
d
1
1
d

dt

dψ 1q

u1q = R1i1q + dt + ω2ψ 1d

ψ 1d = L1i1d + ψ 2
 ψ = Li
1q
1 1q

Me =
3 pb (ψ 1d i1q −ψ 1qi1d )
2 L2
d ω2 pb (M e − M o )
=
dt
J2
(9)
gdzie ψ 2 jest strumieniem magnesów trwałych wirnika, a pozostałe oznaczenia są identyczne,
jak dla silnika indukcyjnego.
Rys. 4 Schemat blokowy układu sterowania wektorowego silnika synchronicznego
z magnesami trwałymi
W celu uzyskania maksymalnej wartości momentu napędowego, dąży się do zapewnienia
przesunięcia fazowego strumienia i prądu o kat π/2. Warunek ten będzie spełniony, gdy
i1d = 0. W układzie tym, podobnie jak dla silnika indukcyjnego, istnieje możliwość
98
M. PAJOR, A. BODNAR, A.PARUS, M. HOFFMANN
zmniejszenia strumienia poprzez wymuszenie i1d<0 w przypadku pracy silnika z prędkościami
przekraczającymi wartość nominalną. Schematycznie układ sterowania wektorowego
przedstawiony jest na rys. 4.
4. SYNTEZA MODELU SILNIKA ELEKTRYCZNEGO Z MODELEM UKŁADU MDS
Przed przystąpieniem do symulacji własności napędu posuwu należy model tego napędu
połączyć z modelem obiektu napędzanego, czyli z układem MDS obrabiarki. Schemat
połączenia przedstawiono na rys. 5.
Rys. 5. Połączenie modelu silnika elektrycznego z modelem układu MDS obrabiarki
Podukład I składa się z silnika elektrycznego ze śrubą pociągową. Działa na niego
wymuszenie w postaci momentu obciążającego Mobc. Drugi podukład to model układ MDS
obrabiarki (ruch translacyjny), który wymuszany jest kinematyczne przez nakrętkę u(t). Oba
podsystemy sprzężone są poprzez nakrętkę N, która przenosi reakcję dynamiczną, jaką
oddziałuje układ MDS na silnik, zmieniając siłę poosiową na moment Mobc obciążający śrubę
pociągową. Równania ruchu obu podukładów przyjmą następującą postać.
Podukład I:
 J wφ&&w + hwφ&w + hsprz (φ&w − φ&sp ) + k sprz (φ w − φ sp ) = M e
(10)

&&
&
&
 J spφ sp + hsprz (φ sp − φ w ) + k sprz (φ sp − φ w ) = − M obc
Podukład II:
M&x& + Hx& + Kx = hu& + ku
przy czym
u (t ) = φ sp
ρ
ρ
, M obc =
[k (u − x ) + h(u& − x& )]
2π
2π
(11)
(12), (13)
gdzie: Jw, hw – moment bezwładności i współczynnik tłumienia wirnika silnika; ksprz, hsprz –
współczynnik sztywności i tłumienia sprzęgła; Jsp – moment bezwładności śruby; φw, φsp –
kąty obrotu wirnika silnika i śruby; Me – moment elektromagnetyczny; Mobc – moment
obciążenia; h, k – współczynnik tłumienia i sztywność śruby zależna od czynnej długości
śruby; u, x – przemieszczenia nakrętki i elementu napędzanego; ρ – skok śruby.
W wersji obrabiarki z silnikiem liniowym idea połączenia podukładów jest analogiczna.
Przy czym „nakrętka” jest częścią ruchomą silnika liniowego, a sztywność śruby jest
zastąpiona sztywnością połączenia części ruchomej silnika z korpusem obrabiarki.
BADANIA SYMULACYJNE UKŁADU NAPĘDU POSUWOWEGO…
99
5. SYMULACJA PRACY UKŁADU NAPĘDOWEGO
Badania symulacyjne obejmowały wyznaczanie odpowiedzi układu MDS obrabiarki wraz
z napędami na zadane sterowanie ruchu kolumny frezarki wzdłuż osi X, ponieważ ten układ
posuwowy był źródłem największych błędów ruchu. Spośród wielu analizowanych wariantów
ustawienia elementów korpusowych obrabiarki przedstawione tu będą jedynie wyniki analiz
jednego wariantu, mianowicie wariantu o dużej podatności oznaczonego cyfrą 3 (rys.2).
W symulacjach wykorzystano modele silników – obrotowego i liniowego. Rozruch obu
napędów odbywał się do prędkości 5000 mm/min (0.083 m/s) przy trapezowym profilu
zmiany prędkości. Czas rozruchu ustalono na 0.1 s tak, aby zbliżyć się do ograniczeń prądu
dla silnika obrotowego, ale ich nie przekroczyć. Parametry regulatorów dobrano tak, by
zapewnić dobrą odpowiedź dynamiczną, nie przekraczając ograniczeń prądowych silników.
Dla silnika obrotowego przyjęto model matematyczny opisany przez równania (2) i (3)
natomiast dla silnika liniowego model ten opisują zależności (7-9). Wartości poszczególnych
parametrów zaczerpnięto z literatury [6].
Rys. 6 Wyniki symulacji przebiegu rozruchu przy zastosowaniu napędu ze śrubą toczną (a, b)
oraz napędu liniowego (c, d): (a) wykres prędkości zadanej i rzeczywistej;
(b, c, d) dynamiczne przemieszczenia względne końcówki wrzeciona
Wykres prędkości zadanej oraz prędkości rzeczywistej w czasie rozruchu napędu ze śrubą
toczną pokazano na rys. 6a. Rzeczywista prędkość ruchu narzędzia (oś wrzeciona) wykazuje
wyraźne przeregulowanie, lecz mieszczące się w granicach błędu. Rys. 6b pokazuje względne
dynamiczne przemieszczenie końcówki wrzeciona (narzędzia) w stosunku do zadanego ruchu
nakrętki u(t) na kierunku X. Odejmując od ruchu końcówki wrzeciona zadany ruch nakrętki,
usunięto przemieszczenie duże, pozostawiając jedynie wywołane rozruchem drgania
sprężyste układu na kierunku X. Drgania w pozostałych kierunkach były w badanym
przypadku bardzo małe. Z wykresu widać, że odchylenie końcówki wrzeciona od trajektorii
ruchu w momencie startu układu jest na poziomie 22 µm, a oscylacje z częstotliwością 35 Hz
mają maksymalną amplitudę międzyszczytową ok. 5 µm.
W wariancie nr 3 z silnikiem liniowym maksymalne przemieszczenie końcówki wrzeciona
pod wpływem sił bezwładności jest na poziomie 2.4 µm, a poziom drgań końcówki wrzeciona
wywołanych rozruchem jest bardzo mały. Brak przeregulowania wynika z nastaw regulatora.
100
M. PAJOR, A. BODNAR, A.PARUS, M. HOFFMANN
Ponad ośmiokrotnie mniejszy błąd ruchu wynika z braku wpływu odkształceń śruby
pociągowej.
Dodatkowo zbadano rozruch z silnikiem liniowym, przy czasie rozbiegu skróconym do
granicy możliwości silnika. Uzyskano przyspieszenie rzędu 0.8g. Na rys. 6d przedstawiono
przebieg „błędu położenia”. Jest on na poziomie 13 µm, a maksymalna amplituda drgań
układu wynosi ok. 6 µm.
6. WNIOSKI
Wzdłużny napęd kolumny frezarki, zaopatrzony w śrubę toczną, wykazuje co prawda
poprawne własności dynamiczne, jednak z powodu stosunkowo nisko położonego rezonansu
(35 Hz) i dużego dynamicznego błędu położenia (22 µm) wskazane jest zwiększenie
sztywności na tym kierunku. Można to osiągnąć przez zastosowanie napędu liniowego.
Gwarantuje on zdecydowanie lepsze własności dynamiczne frezarki i wysokie przyspieszenia.
Wyeliminowany jest też wpływ miejsca ustawienia kolumny frezarki na prowadnicach.
LITERATURA
1. Afonin A., Kramarz W., Cierzniewski P.: Elektromechaniczne przetworniki energii
z komutacją elektroniczną. Szczecin: Wyd. Uczelniane Pol. Szczec. 2000.
2. Jastrzębski D., Szwengier G.: Analiza statycznych właściwości układów nośnych obrabiarek
hybrydową metodą elementów skończonych. „Postępy technologii maszyn i urządzeń” 1993,
vol.17, nr 2, s. 21-41.
3. Kaźmierowski M.P., Tunia H.: Automatic control of converter-fed drivers. Warszawa: PWN,
1994.
4. Kruszewski J. i in: Metoda elementów skończonych w dynamice konstrukcji. Warszawa: Arkady,
1984.
5. Marchelek K.: Dynamika obrabiarek. Warszawa: WNT, 1991.
6. Pajor M., Hofmann M., Okulik X.: Modelowanie układu napędowego obrabiarki. Kraków 2007
7. Rinkieviciene R., Petrovas A.: Dynamic models of linear induction driv. “Information Technology
and Control” 2005, vol. 34(1).
8. Strubin J.-M., Veenstra M., Rufer, A.: Linear induction motor demo-track: a tool for renewed
motivation in electrical engineering. W: 3-rd Int. Symp. on Linear Drives for Ind. Appl., Nagano,
Japan, 17-19.10.2001
9. Mechanizmy śrubowo-toczne Rexroth Bosch RPL 83 301/10.00.
A SIMULATION OF FEED DRIVE SYSTEM
OF 3-AXIS MILLING MACHINE
Summary. The paper contains the analysis of dynamic properties of the milling
machine, designed to machine long components. Two types of feed drive were
considered for longitudinal movement. In first solution a screw with asynchronous
motor was used. In second concept, a longitudinal movement was realized by
linear motor. The paper includes the construction of the mathematical model of
the MDS system of the machine tool as well as models of two types of the feed
drive. The paper presents results of simulation of both types of the feed drive as
well as comparison of their dynamic properties.