STATYSTYKA MATEMATYCZNA i STOSOWANA Lista nr 6

STATYSTYKA MATEMATYCZNA i STOSOWANA
Lista nr 6
UWAGA. Zajȩcia w środȩ 19 grudnia zaczniemy od rozwia̧zania
dwóch ostatnich zadań z poprzedniej listy.
Zadania 1-5 pochodza̧ z ksia̧żki “Statistics for the Life Sciences”, trzecie
wydanie, autorstwa Myry L. Samuels i Jeffreya A. Witmera.
1. Wiȩkszość salamander z gatunku P. cinereus ma czerwone paski, ale
niektóre osobniki sa̧ jednolicie czerwone. Przypuszcza siȩ, że formy
czerwone powstaja̧ w wyniku naśladownictwa salamandry N. viridescens,
która jest toksyczna dla ptaków. Aby sprawdzić czy formy czerwone
sa̧ faktycznie lepiej przystosowane 161 salamander w paski i 41 czerwonych wypuszczono w środowisku zamieszkanym przez liczna̧ populacjȩ ptaków. Po dwóch godzinach przeliczono salamandry i okazalo
siȩ, że przeżylo 65 osobników w paski i 23 czerwonych.
a) Czy nasze dane potwierdzaja̧ hipotezȩ, że kolor czerwony daje
wiȩksza̧ szansȩ na przeżycie ? Użyj poziomu istotności α = 0.05.
b) Wyznacz 95% przedzial ufności na różnicȩ p-stw przeżycia dla
salamander “pasiastych” i “czerwonych”.
2. Porównujemy dzialanie dwóch leków lecza̧cych epilepsjȩ. 37 pacjentów
losowo podzielono na dwie grupy. 20 bralo valporate a 17 phenytoinȩ.
W każdej z obu grup bylo sześciu pacjentów, którzy w cia̧gu roku
nie mieli ataku epilepsji. Porównaj dzialanie obu lekarstw za pomoca̧
odpowiedniego testu chi-kwadrat na poziomie istotności α = 0.1.
3. Rozważmy fikcyjna̧ populacjȩ myszy. Każda myszka może być czarna
(C) lub szara (S) i może mieć futro gladkie (G) lub “faluja̧ce” (F).
Wyraź nastȩpuja̧ce twierdzenia za pomoca̧ p-stw warunkowych.
a) Gladkie futro wystȩpuje czȩściej u myszek czarnych niż u szarych.
b) Gladkie futro czȩściej wystȩpuje u czarnych myszek niż futro “faluja̧ce”.
c) Gladkie futra sa̧ czȩściej czarne niż futra faluja̧ce.
d) Gladkie futra sa̧ czȩściej czarne niż szare.
e) Gladkie futra wystȩpuja̧ czȩściej niż faluja̧ce.
4. Przeprowadzono zrandomizowany eksperyment porównuja̧cy dwa zabiegi A i B stosowane w leczeniu choroby wieńcowej. W poniṡzej tabeli
zestawiono czȩstość wystȩpowania bólu piersi piȩć lat po zabiegu.
zabieg
A
B
ból Tak 111 74
Nie 402 441
a) Oszacuj P(Tak|A), P(Tak|B), P(A|Tak) i P(A|Nie).
b) Porównaj oba zabiegi za pomoca̧ odpowiedniego testu chi-kwadrat
na poziomie istotności α = 0.05 .
5. Badaja̧c żyja̧ca̧ na wolności populacjȩ muszek Drosophila subobscura,
badacze umieścili pulapki w dwóch miejscach na terenie zalesionym i
jednym na terenie otwartym. Liczba samców i samic zlapanych w cia̧gu
jednego dnia jest zestawiona w poniższej tabeli.
pleć
las I
samiec 89
samica 31
polożenie
las II teren otwarty
34
74
20
136
Zastosuj test chi-kwadrat na poziomie istotności α = 0.05 do weryfikacji hipotezy, że stosunek liczby samców do liczby samic nie zależy
od środowiska.
6. W wyniku analizy regresji dopasowano do danych prosta̧ ŷ = 25 + 2x.
(a) Wyznacz przewidywana̧ wartość y dla x = 15.
(b) Wyznacz wartość resztowa̧ odpowiadaja̧ca̧ punktowi x = 15 i y =
58.
7. Wyjaśnij różnicȩ miȩdzy dwoma równaniami:
Ŷ = b0 + b1 x
Y = β0 + β1 x + 8. Rozważmy model regresji linowej Y = 20 + 5x + , gdzie x jest mierzone w stopniach Fahrenheita. Wykorzystaj ten model do wyznaczenia
zależności miȩdzy Y a x? , gdzie x? jest temperatura̧ wyrażona̧ w stop).
niach Celsiusza . (Wykorzystaj fakt, że x? = x−32
1.8
9. W wyniku dopasowania modelu prostej regresji liniowej
Y = β0 + β1 X + ξ uzyskaliśmy estymatory b0 = 1, b1 = 3 i s = 4.0.
(a) Do dopasowania tego modelu użyto 20 obserwacji a estymator
standardowego odchylenia b1 , s(b1 ), wynosi 1. Skonstruuj 95 %
przedzial ufności dla β1 .
(b) Czy mamy wystarczaja̧ce przeslanki, żeby twierdzić, że Y zależy
od X ?
(c) 95% przedzial ufności dla E(Y) gdy X=5 wynosi [13,19]. Znajdź
odpowiedni przedzial predykcyjny.
Malgorzata Bogdan