Prezentacja Beaty Zalesińskiej kl. 1 F – Potęgi i pierwiastki

POTĘGI I PIERWIASTKI Beata Zalesińska Kl. 1f Potęga o wykładniku naturalnym Potęgowanie to mnożenie jednakowych czynników przez siebie: n
a
=
a⋅a⋅…⋅a
n − razy
Potęga o wykładniku naturalnym W zapisie : a
n
a
-­‐ podstawa potęgi n -­‐ wykładnik potęgi Ponadto przyjmujemy, że: 1
=
a
a
a
0
= 1 , dla
a≠0
Przykłady 3
2 = 2⋅2⋅2 = 8
3 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 81
⎛ 1 ⎞ = ⎛ 1 ⎞ ⋅ ⎛ 1 ⎞ = 1
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 16
4
2
Własności potęg Mnożenie potęg o tej samej podstawie Dla dowolnej liczby rzeczywistej a
oraz liczb naturalnych m,
n
zachodzi wzór: m
n
m+ n
⋅
=
a a
a
Przykłady 2
4
2+ 4
6
3 ⋅3 = 3 = 3
⎛ 2 ⎞ ⋅ ⎛ 2 ⎞ = ⎛ 2 ⎞ = ⎛ 2 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠
(−1) ⋅ (−1) ⋅ (−1) = (−1) = 1
5
3
5
3
5+ 3
2
8
10
Własności potęg Dzielenie potęg o tej samej podstawie: Dla dowolnej liczby rzeczywistej a ≠0
oraz liczb naturalnych m
≥ n
zachodzi wzór: m
n
m− n
:
=
a a a
Przykłady 6
5
6 −5
1
7 :7 = 7 = 7 = 7
(−1) : (−1) = (−1) = 1
⎛ 2 ⎞ : ⎛ 2 ⎞ = ⎛ 2 ⎞ = ⎛ 2 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠
2014
12
2000
5
14
12 −5
7
Własności potęg Podnoszenie potęgi do potęgi: Dla dowolnej liczby rzeczywistej a
oraz liczb naturalnych m,
n
zachodzi wzór: n
m = m⋅ n
(a )
a
Przykłady (3 ) 3 3
(1100) = (1)
2
3
2⋅3
=
100
=
6
100⋅100
2
2 ⎞
⎛ ⎛ 1 ⎞
⎜ ⎜ ⎟ ⎟
⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎟
⎝
⎠
10000
=1
2⋅2
1 ⎞
⎛
= ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
=1
4
1 ⎞
⎛
= ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
1
=
16
Własności potęg Mnożenie potęg o tym samym wykładniku: Dla dowolnych liczb rzeczywistych a,
b
oraz liczby naturalnej n
zachodzi wzór: n
n
n
⋅
=
a b
(a⋅b)
Przykłady 4
4
3 ⋅ 5 = (3⋅5) = (15)
2 ⋅ 5 = (2⋅5) = (10) = 10000000000
⎛ 3 12 ⎞
⎛ 3 ⎞ ⋅
⎜ ⎟ (12) = ⎜⎜ ⋅ ⎟⎟ = 9
⎝ 4 ⎠
⎝ 4 1 ⎠
4
10
4
10
10
10
5
5
5
5
Własności potęg Dzielenie potęg o tym samym wykładniku: Dla dowolnej liczby rzeczywistej a
oraz liczby rzeczywistej b ≠ 0
i liczby naturalnej n
zachodzi wzór: a ⎞
⎛
: b = (a:b) = ⎜
⎟
a
⎝ b ⎠
n
n
n
n
Przykłady 5
10
5
:5 =
(10 :5)
5
5
= 2 = 32
6
6
6
100 : (−10) = (100:(−10)) = (−10) = 1000000
⎛ 1 ⎞ : = ⎛ 1 ⎞ = ⎛ 1 1 ⎞ = ⎛ 1 ⎞ = 1
⎜ ⎟ 2 ⎜ :2 ⎟ ⎜ ⋅ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 64
5
3
3
3
3
3
Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym Dla dowolnej liczby naturalnej n
oraz liczby rzeczywistej a ≠ 0
przyjmujemy: 1 ⎞
⎛
a = ⎜ ⎟
⎝ a ⎠
n
−n
Przykłady 3
1 ⎞ 1
⎛
2 = ⎜ ⎟ =
⎝ 2 ⎠ 8
⎛ 3 ⎞ = ⎛ 4 ⎞ = − 16
⎜ − ⎟
⎜ − ⎟
9
⎝ 4 ⎠
⎝ 3 ⎠
3 ⎞
2 ⎞ 16
⎛
⎛
(1,5) = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ =
⎝ 2 ⎠
⎝ 3 ⎠ 81
−3
−2
2
−4
−4
4
Pierwiastek arytmetyczny Pierwiastek arytmetyczny stopnia n z liczby nieujemnej a, to liczba nieujemna b, spełniająca b = a . Zapisujemy symbolicznie n a
i czytamy pierwiastek n-­‐tego stopnia z a -­‐ liczba liczby ap. odpierwiastkowa, n
b -­‐ pierwiastek n-­‐tego stopnia z a n -­‐ stopień pierwiastka, Pierwiastek arytmetyczny stopnia drugiego (n = 2) nazywany jest pierwiastkiem kwadratowym. Zapisujemy go w następujący sposób: a
Pierwiastek arytmetyczny stopnia trzeciego (n = 3) nazywany jest pierwiastkiem sześciennym. Zapisujemy go: 3 a
Przykład Chcąc obliczyć np. 25
szukamy takiej liczby dodatniej, której kwadrat jest równy 25, czyli : 25 = 5, bo
2
5
=
25
Przykłady Obliczając pierwiastek trzeciego stopnia z liczby 27 3 27
, szukamy takiej liczby, której trzecia potęga jest równa 27. Czyli, 3
27 = 3, bo
3
3 = 27
Przykładów c.d 9
3
=
25
5
3
8
2
−
=−
125
5
9
1
=
16
0 =0
3
− 1 = −1
25
5
1
= =1
16
4
4
Własności Jeżeli x, y są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, zaś n dodatnią liczbą naturalną to: n x⋅ y = n x ⋅n y
n
x
=
y
n
n
x
y
,y ≠0
Przykłady 2 ⋅ 8 = 2 ⋅ 8 = 16 = 4
3
54 : 3 2 = 3 54 : 2 = 3 27 = 3
20 = 4 ⋅ 5 = 4 ⋅ 5 = 2 5
3
3
3
3
3
54 = 27 ⋅ 2 = 27 ⋅ 2 = 3 2
Pierwiastkowanie a liczby wymierne Działanie pierwiastkowania może wyprowadzić poza liczby wymierne, tzn. pierwiastek z liczby wymiernej nie musi być liczbą wymierną. Przykładem tego jest liczba 2
KONIEC Dziękuje za uwagę.