Rozdzia l 6. Implikacyjna logika Hilberta

Rozdzial 6. Implikacyjna logika Hilberta
§1. Implikacyjna logika Hilberta zdefiniowana aksjomatycznie
Implikacyjna logika Hilberta jest określona na czysto implikacyjnym jȩzyku
LI = (LI , →) przez nastȩpuja̧cy zbiór regul: H = {(H1), (H2), (M P )}, gdzie
(H1), (H2) sa̧ regulami aksjomatycznymi:
(H1) α → (β → α),
(H2) (α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ))
oraz (M P ) jest regula̧ modus ponens:
(M P ) α, α → β/β.
Zatem z definicji, konsekwencja `H jest logika̧ implikacyjna̧ Hilberta. Każda̧
formulȩ postaci (H1) bȩdziemy nazywać aksjomatem (H1) logiki `H i każda̧
formulȩ postaci (H2) bȩdziemy nazywać aksjomatem (H2) tej logiki.
Niech α ∈ LI . Nastȩpuja̧cy cia̧g formul jest dowodem tezy
(H0) α → α
logiki `H :
(α → ((β → α) → α)) → ((α → (β → α)) → (α → α)) (H2),
α → ((β → α) → α) (H1),
α → (β → α) (H1),
α → α (M P ).
Twierdzenie o dedukcji dla `H : Dla dowolnych X ⊆ LI , α, β ∈ LI : jeżeli
X ∪ {α} `H β, to X `H α → β.
Dowód: Zauważmy najpierw, że powyższe twierdzenie o dedukcji jest równoważne nastȩpuja̧cemu wyrażeniu:
(DT’) ∀X ⊆ LI ∀α ∈ L ∀n ∈ {0, 1, . . .} (n),
gdzie wyrażenie (n) jest postaci:
(n) ∀β ∈ L (jeżeli istnieje dowód formuly β ze zbioru X ∪ {α}, w którym
regulȩ (M P ) zastosowano n razy, to X `H α → β).
Wykazujemy zatem (DT’). Niech wiȩc X ⊆ LI oraz α ∈ LI . Aby dowieść,
że ∀n ∈ {0, 1, . . .} (n), wykazujemy najpierw iż zachodzi warunek (0), a potem,
że zachodzi:
(*) ∀n ∈ {1, 2, . . .} ((0)&(1)& . . . &(n − 1) ⇒ (n)).
Wówczas bowiem z (*) dla n = 1 mamy: (0) ⇒ (1), a sta̧d i z (0) otrzymujemy
(1). Lecz z (*) dla n = 2 mamy: (0)&(1) ⇒ (2), dlatego otrzymujemy (2) itd.
Aby dowieść warunku (0) zalóżmy, że w dowodzie formuly β ze zbioru X∪{α}
nie zastosowano reguly (M P ). Oznacza to, iż (i) β ∈ X ∪ {α} lub (ii) β jest
aksjomatem (H1) ba̧dź (H2). Gdy zachodzi (ii), to cia̧g: β, β → (α → β), α →
§1. Implikacyjna logika Hilberta zdefiniowana aksjomatycznie
2
β jest dowodem formuly α → β ze zbioru X. Gdy zaś zachodzi (i), to wówczas
ten sam cia̧g jest dowodem formuly α → β ze zbioru X, gdy β ∈ X, natomiast
gdy β jest identyczna z formula̧ α, to α → β ma postać α → α, skoro wiȩc
zachodzi: `H α → α, to tym samym X `H α → α, zatem X `H α → β.
Aby dowieść (*) zalóżmy że dla jakiegoś n ∈ {1, 2, . . .} zachodzi (0)&(1)& . . .
&(n − 1). Zalożenie to jest koniunkcja̧ wyrażeń postaci: ∀β ∈ LI ((i)0 ⇒ X `H
α → β), gdzie dla i ∈ {0, 1, . . . , n − 1} zdanie (i)0 ma postać: “istnieje dowód
formuly β ze zbioru X ∪ {α}, w którym regulȩ (M P ) zastosowano i razy”. Dlatego zalożenie to jest równoważne wyrażeniu: ∀β ∈ LI ((0)0 lub (1)0 lub . . . lub
(n − 1)0 ⇒ X `H α → β), tzn. ostatecznie zakladamy że
(zal) ∀β ∈ LI (jeżeli istnieje dowód formuly β ze zbioru X ∪ {α}, w którym
regulȩ (M P ) zastosowano mniej niż n razy, to X `H α → β).
Aby dowieść wyrażenia (n) przypuśćmy, że dla jakiejś ustalonej formuly
β ∈ LI mamy jej dowód ze zbioru X ∪ {α}, w którym regulȩ (M P ) zastosowano
dokladnie n razy. Oczywiście, gdy β ∈ X ∪ {α} lub β jest aksjomatem, to
wykazujemy, że X `H α → β tak jak w przypadku dowodu zdania (0). Niech
wiȩc β jest uzyskana w dowodzie na mocy zastosowania reguly (M P ). Wówczas
dla jakiejś γ ∈ LI formuly: γ oraz γ → β sa̧ wyrazami dowodu formuly β
ze zbioru X ∪ {α}. Zatem istnieje dowód formuly γ ze zbioru X ∪ {α}, w
którym zastosowano regulȩ (M P ) mniej niż n razy oraz istnieje dowód formuly
γ → β ze zbioru X ∪ {α}, w którym zastosowano regulȩ (M P ) mniej niż n
razy. Wówczas bezpośrednio z zalożenia (zal) otrzymujemy: (iii) X `H α → γ
oraz (iv) X `H α → (γ → β). Ponieważ zbiór {δ ∈ LI : X `H δ} jest teoria̧
logiki `H , wiȩc jest zamkniȩty na reguly (H2), (M P ), zatem na mocy (iii), (iv)
należy do niego formula α → β, tzn. X `H α → β. (Naturalnie można
równie dobrze rozumować nastȩpuja̧co: wyrażenia (iii), (iv) implikuja̧ istnienie
dowodów formul α → γ, α → (γ → β) ze zbioru X, zatem la̧cza̧c te dowody w
jeden cia̧g i stosuja̧c reguly (H2), (M P ) otrzymujemy dowód formuly α → β ze
zbioru X, co oznacza, że X `H α → β.) 2
Jest oczywiste, że przy użyciu aksjomatyki H, na dowolnym jȩzyku zdaniowym ze spójnikiem → można zdefiniować logikȩ `H . Spelnione jest dla niej
twierdzenie o dedukcji. Co wiȩcej, jak wynika z dowodu twierdzenia o dedukcji,
dla dowolnej aksjomatyki R takiej, że H ⊆ R oraz jedyna̧ regula̧ nieaksjomatyczna̧ w R jest (M P ), dla logiki `R zachodzi twierdzenie o dedukcji.
Stosuja̧c twierdzenie o dedukcji latwo wykazać, że nastȩpuja̧ce formuly sa̧
tezami implikacyjnej logiki Hilberta:
(H3) (α → β) → ((β → γ) → (α → γ)),
(H4) (β → α) → ((γ → δ) → ((α → γ) → (β → δ))),
(H5) (α → (α → β)) → (α → β).
Twierdzenie 6.1: Dla dowolnej logiki ` na dowolnym jȩzyku L ze spójnikiem
→: (M P ) jest regula̧ logiki ` wtw dla dowolnych X ⊆ L, α, β ∈ L: jeżeli
X ` α → β, to X ∪ {α} ` β.
§2. Semantyka Kripkego dla implikacyjnej logiki Hilberta
3
Dowód: (⇒): Zalóżmy, że (M P ) jest regula̧ logiki ` oraz X ` α → β. Wówczas
na mocy warunku (2) definicji konsekwencji mamy: X ∪ {α} ` α → β, zaś na
mocy warunku (1) tej definicji: X ∪ {α} ` α. Ponieważ zbiór formul {γ ∈ L :
X ` γ} jest teoria̧ logiki `, wiȩc z zalożenia jest on zamkniȩty na (M P ), zatem
X ∪ {α} ` β.
(⇐): Zalóżmy, że ∀X ⊆ L ∀α, β ∈ L (X ` α → β ⇒ X ∪ {α} ` β).
Wówczas, ponieważ wedlug warunku (1) definicji konsekwencji: {α → β} `
α → β, wiȩc {α → β} ∪ {α} ` β, co oznacza, że (M P ) jest regula̧ logiki `. 2
Wniosek: Dla dowolnej logiki ` na jȩzyku L ze spójnikiem → nastȩpuja̧ce
warunki sa̧ równoważne:
(i) spelnione jest twierdzenie o dedukcji dla ` oraz (M P ) jest regula̧ `,
(ii) ∀X ⊆ L ∀α, β ∈ L : X ∪ {α} ` β wtw X ` α → β.
Dowód: oczywisty na mocy Tw.6.1. 2
Twierdzenie 6.2: Logika `H jest najmniejsza̧ spośród wszystkich logik ` określonych na jȩzyku L ze spójnikiem →, dla których spelnione jest twierdzenie o
dedukcji i których regula̧ jest (M P ).
Dowód: Niech ` bȩdzie dowolna̧ logika̧ z regula̧ (M P ) i twierdzeniem o dedukcji. Aby wykazać, że `H ⊆ ` wystarcza dowieść, iż H ⊆ R(`). Wówczas
bowiem mamy: `H ⊆ `R(`) ⊆ ` (zob. Tw.5.11(1),5.14). Zatem wykazujemy,
że (H1), (H2) sa̧ regulami konsekwencji `. Ponieważ {α} ∪ {β} ` α, wiȩc z
twierdzenia o dedukcji mamy po kolei: {α} ` β → α, ` α → (β → α). Ponadto
cia̧g formul: α → (β → γ), α → β, α, β → γ, β, γ, jest dowodem formuly γ
ze zbioru {α → (β → γ), α → β, α}, na gruncie regul z R(`) (zastosowano tam
spośród regul tylko (M P )). Zatem {α → (β → γ), α → β, α} ` γ, stosuja̧c wiȩc
trzykrotnie twierdzenie o dedukcji otrzymujemy: ` (α → (β → γ)) → ((α →
β) → (α → γ). 2
Lemat fundamentalny dla `H : Dla dowolnej teorii X ∈ RM ax(`H ) oraz
dowolnych α, β ∈ LI :
α → β ∈ X wtw ∀Y ∈ RM ax(`H ) (X ⊆ Y ⇒ (α ∈ Y ⇒ β ∈ Y )).
Dowód: (⇒): Niech X, Y ∈ RM ax(`H ) oraz α → β ∈ X, X ⊆ Y, α ∈ Y .
Wówczas α → β ∈ Y , zatem β ∈ Y , bo teoria Y jest zamkniȩta na (M P ).
(⇐): Niech α → β 6∈ X. Wówczas X 6`H α → β, zatem na mocy twierdzenia
o dedukcji: X ∪ {α} 6`H β. Niech wiȩc na mocy lematu Lindenbauma, Y bȩdzie
teoria̧ relatywnie maksymalna̧ logiki `H taka̧, że X ∪ {α} ⊆ Y oraz β 6∈ Y . To
dowodzi falszywości poprzednika dowodzonej implikacji. 2
§2. Semantyka Kripkego dla implikacyjnej logiki Hilberta
Niech H bȩdzie klasa̧ wszystkich uogólnionych modeli Kripkego m =
< Wm , |=m > takich, że dla każdego m ∈ H relacja |=m jest wyznaczona przez
§2. Semantyka Kripkego dla implikacyjnej logiki Hilberta
4
dwa parametry: dowolna̧ czȩściowo porza̧dkuja̧ca̧ relacjȩ ≤m na zbiorze Wm
oraz dowolna̧ funkcjȩ vm : V ar −→ P (Wm ) spelniaja̧ca̧ warunek:
(*) ∀p ∈ V ar ∀x, y ∈ Wm (x ≤m y ⇒ (x ∈ vm (p) ⇒ y ∈ vm (p))),
mówia̧cy, że dla każdej zmiennej p ∈ V ar, vm (p) jest podzbiorem dziedzicznym
w górȩ zbioru czȩściowo uporza̧dkowanego < Wm , ≤m >. Relacja |=m jest
określona nastȩpuja̧co: dla dowolnych x ∈ Wm , α, β ∈ LI ,
x |=m p wtw x ∈ vm (p),
x |=m α → β wtw ∀y ∈ Wm (x ≤m y ⇒ (y |=m α ⇒ y |=m β)).
Relacjȩ konsekwencji |=H bȩdziemy nazywać implikacyjna̧ logika̧ Hilberta
zdefiniowana̧ semantycznie.
Twierdzenie 6.3: Dla dowolnego modelu m ∈ H:
∀α ∈ LI ∀x, y ∈ Wm (x ≤m y ⇒ (x |=m α ⇒ y |=m α)).
Dowód: (indukcyjny ze wzglȩdu na ksztalt formuly). Dla α ∈ V ar dowodzony
warunek jest spelniony dziȩki (*) i warunkowi prawdziwości dla zmiennych zdaniowych. Niech wiȩc α jest postaci: β → γ, gdzie β, γ ∈ LI . Zalóżmy, że x ≤m y
oraz x |=m β → γ. Wówczas ∀z ∈ Wm (x ≤m z ⇒ (z |=m β ⇒ z |=m γ)).
Mamy zaś wykazać, że y |=m β → γ, tzn, że ∀z ∈ Wm (y ≤m z ⇒ (z |=m β ⇒
z |=m γ)). Jak widać jest to bezpośredni wniosek z zalożenia i przechodniości
relacji ≤m . 2
Twierdzenie o przystosowaniu: `H ⊆ |=H .
Dowód: Wystarcza wykazać, że każda regula z H jest regula̧ logiki |=H . Zalóżmy
nie wprost, że (H1) nie jest regula̧ tej logiki. Zatem dla pewnych formul
α, β ∈ LI mamy: 6|=H α → (β → α). Czyli dla pewnych m ∈ H, x ∈ Wm :
x 6|=m α → (β → α). Wówczas dla pewnego y ∈ Wm takiego że x ≤m y otrzymujemy: y |=m α oraz y 6|=m β → α. Sta̧d dla pewnego z ∈ Wm takiego że
y ≤m z : z |=m β oraz z 6|=m α. Lecz wobec Tw.6.3: z |=m α; sprzeczność.
Zalóżmy, że (H2) nie jest regula̧ logiki |=H . Wówczas dla pewnych formul
α, β, γ oraz pewnych m ∈ H, x ∈ Wm mamy: x 6|= (α → (β → γ)) → ((α →
β) → (α → γ)). Wówczas dla pewnego y ∈ Wm takiego, że x ≤m y zachodzi:
y |=m (α → (β → γ)) oraz y 6|=m (α → β) → (α → γ). Zatem dla pewnego
z ∈ Wm takiego, że y ≤m z mamy: z |=m α → β oraz z 6|=m α → γ. Sta̧d dla
pewnego u ∈ Wm takiego, że z ≤m u : u |=m α oraz u 6|=m γ. Ponieważ y ≤m u
wiȩc na mocy Tw.6.3 otrzymujemy: u |=m α → (β → γ), a skoro u ≤m u i
u |=m α, wiȩc u |=m β → γ. Naturalnie, u |=m α → β (na mocy Tw.6.3, bo
z ≤m u), zatem, rozumuja̧c jak powyżej, otrzymujemy: u |=m β. Ostatecznie:
u |=m γ; sprzeczność.
Aby wykazać, że (M P ) jest regula̧ konsekwencji |=H zalóżmy, że dla jakichś
m ∈ H, x ∈ Wm zachodzi: x |=m α oraz x |=m α → β. Wobec zwrotności
relacji ≤m mamy: x |=m α ⇒ x |=m β. Ostatecznie, x |=m β. W ten sposób
uzyskaliśmy: {α, α → β} |=H β. 2
§3. Semantyka algebraiczna dla implikacyjnej logiki Hilberta
5
Aby wykazać, że aksjomatyka H jest pelna wzglȩdem semantyki H rozważmy
tzw. model kanoniczny k ∈ H postaci: k = < RM ax(`H ), |=k >, gdzie relacja
|=k jest wyznaczona przez relacjȩ inkluzji na zbiorze RM ax(`H ) oraz funkcjȩ
vk : V ar −→ P (RM ax(`H )) określona̧ nastȩpuja̧co: ∀p ∈ V ar : vk (p) = {X ∈
RM ax(`H ) : p ∈ X} (oczywiście dla funkcji vk warunek (*), tutaj postaci:
∀p ∈ V ar ∀X, Y ∈ RM ax(`H ) (X ⊆ Y ⇒ (p ∈ X ⇒ p ∈ Y )), jest spelniony).
Lemat glówny: W modelu kanonicznym k dla logiki `H , dla dowolnych X ∈
RM ax(`H ) oraz α ∈ LI zachodzi: X |=k α wtw α ∈ X.
Dowód: (indukcyjny ze wzglȩdu na ksztalt formuly) Niech X ∈ RM ax(`H ).
Gdy α ∈ V ar to z definicji funkcji vk mamy: X |=k α wtw X ∈ vk (α) wtw
α ∈ X.
Niech α bȩdzie postaci: β → γ. Przyjmujemy zalożenie indukcyjne: dla
dowolnego X ∈ RM ax(`H ), X |=k β wtw β ∈ X oraz X |=k γ wtw γ ∈ X.
Wyrażenie X |=k β → γ jest równoważne wedlug warunku prawdziwości dla
formuly postaci implikacji wyrażeniu: ∀Y ∈ RM ax(`H ) (X ⊆ Y ⇒ (Y |=k
β ⇒ Y |=k γ)). Lecz ostatnie wyrażenie jest na mocy zalożenia indukcyjnego
równoważne wyrażeniu: ∀Y ∈ RM ax(`H ) (X ⊆ Y ⇒ (β ∈ Y ⇒ γ ∈ Y ). Na
mocy lematu fundamentalnego dla `H jest to równoważne temu, że β → γ ∈ X.
2
Twierdzenie o pelności: |=H ⊆ `H .
Dowód: Dowodzimy, że dla dowolnych X ⊆ LI , α ∈ LI : X 6`H α ⇒ X 6|=H
α. Zalóżmy wiȩc, że X 6`H α. Na mocy lematu Lindenbauma niech Y ∈
RM ax(`H ) bȩdzie teoria̧ taka̧, że X ⊆ Y oraz α 6∈ Y . Wówczas wedlug lematu
glównego, w modelu kanonicznym otrzymujemy: ∀β ∈ X : Y |=k β oraz
Y 6|=k α, co oznacza, że X 6|=H α. 2
§3. Semantyka algebraiczna dla implikacyjnej logiki Hilberta
Niech MH bȩdzie klasa̧ wszystkich matryc m = < (A, →), {1} >, gdzie (A, →)
jest algebra̧ implikacyjna̧ oraz 1 jest jej jedynka̧.
Twierdzenie o przystosowaniu: `H ⊆ |=MH .
Dowód: Wystarcza wykazać, że każda regula ze zbioru H jest regula̧ każdej
konsekwencji |=m dla m ∈ MH . Niech wiȩc (A, →) bȩdzie dowolna̧ algebra̧
implikacyjna̧ z jedynka̧ 1 oraz h ∈ Hom((LI , →), (A, →)).
Dla (H1): Ponieważ wedlug warunków (i), (iii) definicji algebry implikacyjnej, dla dowolnych a, b ∈ A : a → (b → a) = 1, wiȩc h(α → (β → α)) =
h(α) → (h(β) → h(α)) = 1, co oznacza, iż |=<(A,→),{1}> α → (β → α).
(H2) jest regula̧ konsekwencji |=<(A,→),{1}> na mocy faktu, iż dla dowolnych
a, b, c ∈ A : (a → (b → c)) → ((a → b) → (a → c)) = 1, wynikaja̧cego
bezpośrednio z warunków (i), (iv) definicji algebry implikacyjnej.
§3. Semantyka algebraiczna dla implikacyjnej logiki Hilberta
6
Aby wykazać, że (M P ) jest regula̧ konsekwencji |=<(A,→),{1}> zalóżmy, że
h(α) = h(α → β) = 1. Wówczas h(α) → h(β) = 1. Z warunku (i) definicji algebry implikacyjnej mamy wiȩc h(α) ≤ h(β), gdzie ≤ jest czȩściowym porza̧dkiem
algebry implikacyjnej. Wówczas wedlug warunku (ii) tej definicji oraz faktu, iż
h(α) = 1 otrzymujemy: h(β) = 1. 2
Naturalnie twierdzenie o przystosowaniu aksjomatyki implikacyjnej logiki
Hilberta wzglȩdem semantyki algebraicznej MH jest równoważne twierdzeniu:
Dla dowolnej algebry implikacyjnej (A, →) : < (A, →), {1} > ∈ Matr(`H ).
Lemat fundamentalny algebraiczny dla `H : Dla dowolnej teorii Y ∈
T h(`H ):
(i) relacja ρ określona na LI nastȩpuja̧co: < α, β > ∈ ρ wtw α → β ∈ Y ,
jest zwrotna i przechodnia,
(ii) relacja ≈Y określona na LI jak nastȩpuje: α ≈Y β wtw α → β, β →
α ∈ Y , jest relacja̧ równoważności oraz relacja ≤ określona na zbiorze ilorazowym LI / ≈Y nastȩpuja̧co: [α] ≤ [β] wtw α → β ∈ Y jest czȩściowo
porza̧dkuja̧ca,
(iii) relacja ≈Y jest relacja̧ kongruencji algebry LI = (LI , →),
(iv) dla dowolnej β ∈ LI : [β] = Y wtw β ∈ Y , tzn., Y /≈Y = {Y },
(v) algebra (LI /≈Y , →, Y ), gdzie dla dowolnych α, β ∈ LI : [α] → [β] =
[α → β], jest algebra̧ implikacyjna̧.
Dowód: Niech Y ∈ T h(`H ).
dla (i): Zwrotność relacji ρ jest konsekwencja̧ faktu, że (H0) jest teza̧ logiki
`H , natomiast przechodniość wynika z faktu, iż (H3) jest teza̧ oraz zamkniȩcia
teorii Y na regulȩ (M P ).
Warunek (ii) jest bezpośrednia̧ konsekwencja̧ (i) oraz Tw.1.5.
dla (iii): Zalóżmy, że α ≈Y β oraz γ ≈Y δ. Wykażemy, że α → γ ≈Y β → δ.
Z zalożenia mamy: α → β, β → α ∈ Y oraz γ → δ, δ → γ ∈ Y . Zatem
wobec zamkniȩcia teorii Y na (M P ) oraz faktu, że (H4) jest teza̧ otrzymujemy:
(α → γ) → (β → δ) ∈ Y . Natomiast wykorzystuja̧c tezȩ (H4) w postaci: (α →
β) → ((δ → γ) → ((β → δ) → (α → γ))) mamy: (β → δ) → (α → γ) ∈ Y , czyli
ostatecznie, α → γ ≈Y β → δ.
dla (iv) : (⇒): Dowód oczywisty.
(⇐): Niech β ∈ Y .
(⊆): Przypuśćmy, że γ ∈ [β]. Wówczas β ≈Y γ, zatem β → γ ∈ Y i wobec
zamkniȩcia teorii Y na (M P ) : γ ∈ Y .
(⊇): Niech γ ∈ Y . Ponieważ β → (γ → β) ∈ Y oraz γ → (β → γ) ∈ Y na
mocy (H1), wiȩc z zalożenia: γ → β, β → γ ∈ Y , zatem β ≈Y γ, co implikuje:
γ ∈ [β].
dla (v): Wykazujemy, że spelnione sa̧ cztery warunki definicyjne bycia algebra̧ implikacyjna̧.
Warunek (i): Naturalnie, na mocy (iv) : Y ∈ LI / ≈Y . Zauważmy, że
również wedlug (iv) : [α] → [β] = Y wtw [α → β] = Y wtw α → β ∈ Y wtw
[α] ≤ [β], zaś wedlug (ii) relacja ≤ jest czȩściowo porza̧dkuja̧ca.
§3. Semantyka algebraiczna dla implikacyjnej logiki Hilberta
7
Warunek (ii) definicji: Niech β ∈ Y . Wówczas dla dowolnej α ∈ LI : α →
β ∈ Y (bo β → (α → β) ∈ Y oraz Y jest zamkniȩty na (M P )). Zatem na
mocy (iv) mamy: [α → β] = Y , czyli [α] → [β] = Y , zatem [α] ≤ [β], tzn.
znowu wedlug (iv) : [α] ≤ Y . Ostatecznie, Y jest elementem najwiȩkszym w
< LI /≈Y , ≤>.
Warunek (iii): Ponieważ β → (α → β) ∈ Y , wiȩc na mocy (iv) : [β → (α →
β)] = Y , czyli [β] → ([α] → [β]) = Y , a zatem z warunku (i) definicji algebry
implikacyjnej: [β] ≤ [α] → [β].
Warunek (iv) definicji: Na mocy (H2) : (α → (β → γ)) → ((α → β) →
(α → γ)) ∈ Y , zatem wedlug waruku (iv) lematu: ([α] → ([β] → [γ])) →
(([α] → [β]) → ([α] → [γ])) = Y . Sta̧d i z warunku (i) definicji algebry
implikacyjnej otrzymujemy: [α] → ([β] → [γ]) ≤ ([α] → [β]) → ([α] → [γ]). 2
Twierdzenie o pelności: |=MH ⊆ `H .
Dowód: Zalóżmy, że X 6`H α. Polóżmy: Y = {β ∈ LI : X `H β}. Oczywiście
Y ∈ T h(`H ) oraz X ⊆ Y i α 6∈ Y . Na mocy lematu fundamentalnego algebraicznego: mY = < (LI /≈Y , →), {Y } > ∈ MH . Rozważmy homomorfizm
kanoniczny k≈Y : (LI , →) −→ (LI / ≈Y , →), zatem ∀α ∈ LI , k≈Y (α) = [α].
→
Wówczas na mocy lematu fundamentalnego algebraicznego (iv) : k≈Y (X) =
{[β] : β ∈ X} ⊆ {Y } oraz k≈Y (α) = [α] 6= Y . Ostatecznie, X 6|=mY α, zatem
X 6|=MH α. 2