"Stopien topologiczny"
Transkrypt
"Stopien topologiczny"
Krzysztof Rykaczewski Stopień topologiczny Stopień Brouwera [email protected] http://www.mat.uni.torun.pl/˜mozgun/ Nicolaus Copernicus University 2007 Spis treści §1 Wstęp 1 §2 Cel i metoda 1 §3 Podstawowe twierdzenie analizy nieliniowej 1 §4 Szukamy rozwiązań. Wprowadzenie stopnia. 3 §4.1 Indeks odwzorowania względem krzwej zamkniętej . . . . . . . . 3 §5 Stopień dla odwzorowań klasy C1 4 §6 Stopień dla funkcji ciągłych 6 §6.1 Własności stopnia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 §6.2 Stopień topologiczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 §7 Zastosowania w topologii 9 §1. Wstęp §1 Wstęp J ednym z najważniejszych osiągnięć topologii algebraicznej jest teoria stopnia topologicznego. Od początku swojego powstania znalazł on szerokie zastosowanie w analizie matematycznej. Jego początki siegają historycznej już pracy dotyczącej ukłądów gładkich rzeczywistych funkcji f0 , . . . , fn , o n zmiennych, takich, że 0 jest wartością regularną f0 , K = f0−1 ((−∞, 0]), jest ograniczony i nie wszystkie f j znikają na ∂K. Niech f = ( f1 , . . . , fn ). Kronecker w 1869 [2] udowodnił, że Z X 1 ∗ χ[ f0 , . . . , fn ] = f ω = sgn det f 0 (x), (1) vol(Sn−1 ) ∂K −1 x∈ f (0)∩∂K P gdzie ω = nj=1 (−1) j−1 kxk−n x j dx1 ∧ . . . ∧ dx j−1 ∧ dx j+1 ∧ . . . ∧ dxn . Następnie Hadamard rozszerzył je i zdefiniował stopień na zwartych rozmaitościach skończonego wymiaru. Wzór Kroneckera jest specjanym przypadkiem stopnia Brouwera. §2 Cel i metoda Naszym głównym celem jest rozwiązanie równania postaci F(x) = 0, (2) przy czym natura zmiennej x może być bardzo różna. Przykład. Równanie wielomianowe w R a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x + an = 0, ai ∈ R, a0 , 0, x ∈ R. (3) Przykład. Równanie różniczkowe w C1 [a, b], np. u0 − au + sin(u) = 0, gdzie a ∈ R oraz a , 0, u ∈ C1 [a, b]. §3 (4) Podstawowe twierdzenie analizy nieliniowej Definicja 1: Niech X, Y będą przestrzeniami topologicznymi. Powiemy, że dwa odwzorowania ciągłe f, g : X → Y są homotopijne, o ile istnieje odwzorowanie ciągłe F : I × X → Y (homotopia), gdzie I = [0, 1], takie że ∀x∈X F(0, x) = f (x) oraz F(1, x) = g(x). (5) Oznaczamy to przez f ∼ g. Relacja ta jest relacją równoważności w zbiorze wszystkich odwzorowań ciągłych z X do Y. Jej klasy oznaczamy przez [X, Y]. Mówimy, że odwzorowanie jest homotopijnie trywialne, jeśli f ∼ ∗, gdzie ∗ jest odwzorowaniem stałym, tj. ∀x ∗ (x) = x0 . Konferencja na Helu, 2007 1 §3. Podstawowe twierdzenie analizy nieliniowej Oznaczmy Dn = {x ∈ Rn : kxk 6 1} ⊂ Rn oraz odwzorowanie ciągłe F : Dn → Rk , będzie takie, że ∀x∈∂Dn =Sn−1 F(x) , 0. (6) Niech dalej φ : ∂Dn → Rk \ {0}, tzn. φ = F|∂Dn (7) Twierdzenie 1: (Podstawowe twierdzenie analizy nieliniowej) Niech φ : ∂Dn → Rk \ {0} jak wyżej oraz ψ : Sn−1 → Sn−1 określmy wzorem ψ(x) = φ(x) kφ(x)k (8) Wtedy równanie F̃(x) = 0 ma co najmniej jedno rozwiązanie x ∈ IntDn , dla każdego przedłużenia F̃ odwzorowania φ wtedy i tylko wtedy, gdy ψ jest homotopijnie nietrywialne. Dowód (⇐) Przypuśćmy, że istnieje przedłużenie F̃ : Dn → Rk odwzorowania φ, takie że ∀x∈Dn F̃(x) , 0. Zauważmy, że Dn jest obrazem homeomorficznym (I × Sn−1 )/({0} × Sn−1 ), tj. sklejamy do punktu {0} × Sn−1 , a para (t, x) przechodzi na punkt tx ∈ Dn . Oznaczmy przez [(t, x)] obraz pary (t, x) po sklejeniu. Określmy homotopię H̃(t, x) = F̃([(t, x)]) (9) Zauważmy, że H̃(0, x) = F̃([(0, x)]) = F̃(0) oraz H̃(1, x) = F̃([(1, x)]) = F(x) = φ(x). Połóżmy dalej H(t, x) = H̃(t, x) . kH̃(t, x)k (10) Widzimy więc, że H(1, x) = φ(x) oraz H(0, x) = F̃(0) = ∗, co oznacza, że φ jest homotopijnie trywialne. Sprzeczność. (⇒) Niech będzie dana homotopia H : I × Sn−1 → Sk−1 , taka że H(1, x) = ψ(x) ∈ Sn−1 oraz H(0, x) = ∗ ∈ Sn−1 . Definiujemy F̃ : Dn → Sk−1 dla [(t, x)] ∈ Dn przez H(t, x), t , 0, F̃([(t, x)]) = (11) F([(t, x)]) = H(0, x) = ∗, t = 0. Ponieważ H(0, x) = ∗, więc F̃ jest dobrze określona. Jest ono niezerowe na Dn i jest rozszerzeniem ψ. Zdefiniujmy teraz odwzorowanie F : Dn → Sk−1 , kładąc dla [(t, x)] ∈ Dn (tkφ(x)k + (1 − t))H(t, x), t , 0, F([(t, x)]) = (12) H(0, x) = ∗, t = 0. Skoro H(0, x) = ∗, więc F jest dobrze określone. Dla t = 1 mamy F([(t, x)]) = kφ(x)kψ(x) = φ(x), więc F jest rozszerzeniem φ. Jednocześnie, to że tkφ(x)k + (1 − t) , 0 oraz H(t, x) przekonują nas, że F([(t, x)]) , 0 dla [(t, x)] ∈ Dn . Otrzymaliśmy sprzeczność. Konferencja na Helu, 2007 2 §4. Szukamy rozwiązań. Wprowadzenie stopnia. Mamy więc trzy przypadki: 1◦ n < k - można wykazać, że wtedy wszystkie odwzorowania są homotopijnie równoważne (są homotopijnie trywialne) 2◦ n > k - zadanie trudne (wyższe grupy homotopii sfer) 3◦ n = k - jedyny ciekawy. Fakt 1: S1 = {z ∈ C : |z| = 1}. Jeśli f (z) = zm , g(z) = zk , m, k ∈ Z, f, g : S1 → S1 , to łatwo pokazać, że m , k ⇔ f / g. Ponadto dla każdego odwzorowania f : S1 → S1 , istnieje takie m ∈ Z takie, że f ∼ zm . Fakt 2: #[R, R] = 1, tzn. każde dwa odwzorowania są homotopijne. Fakt 3: #[R, R \ {0}] = 2 §4 Szukamy rozwiązań. Wprowadzenie stopnia. Zajmiemy się teraz rozwiazaniami równania postaci F(x) = 0, gdzie x ∈ Rn , , a F : Rn → Rn (13) jest dowolnym odwzorowaniem ciąłym. Oczywiście rozwiązanie znajduje się na pewnym odpowiednio dużym dysku (możemy założyc, że jest on jednostkowy). Jak wiemy już z podtawowego twierdzenia analizy nieliniowej, wystarczy skonstruować pewien niezmiennik, umożliwiający stwierdzenie, że ψ : Sn−1 → Sn−1 (lub co na jedno wychodzi φ : ∂Dn → Rn \ {0}), nie jest homotopijnie trywialne. §4.1 Indeks odwzorowania względem krzwej zamkniętej Niech f : C → C, będzie funkcją ciągłą, określoną na krzywej zamkniętej γ : [a, b] → C (tzn. γ(a) = γ(b)) i nie zerującą się na niej. Przez log(w(θ)) oznaczmy jakąkolwiek funkcję spełniającą warunek elog(w(θ)) = w(θ). Definicja 2: Przez przyrost logarytmu funkcji f wzdłuż krzywej γ rozumie się różnicę ∆γ log f (z) = log w(b) − log w(a). (14) Przez przyrost argumentu funkcji f wzdłuż krzywej γ rozumie się różnicę ∆γ arg f (z) = arg w(b) − arg w(a). (15) Uwaga. W powyższych definicjach w „pewnym momencie” trzeba wybrać gałąź logarytmu i argumentu, którą będziemy rozpatrywać. Lemat 1: ∆γ log f (z) = ı∆γ arg f (z) Konferencja na Helu, 2007 (16) 3 §5. Stopień dla odwzorowań klasy C1 Lemat 2: Jeśli f jest analityczna na krzywej gładkiej γ, to Z 0 f (z) dz ∆γ log f (z) = γ f (z) (17) Twierdzenie 2: Jeśli f : C → C jest ciągła na krzywej gładkiej γ, to 1 ∆γ log f (z) ∈ Z. 2πı (18) Co więcej, gdy f jest analityczna na γ, to 1 1 1 ∆γ log f (z) = ∆γ arg f (z) = 2πı 2πı 2πı Z γ f 0 (z) dz. f (z) (19) Definicja 3: Indeksem funkcji f wzglądem krzywej γ nazywamy liczbę całkowitą określoną w powyższym twierdzeniu. Oznaczamy go indγ ( f ). Twierdzenie 3: Odwzorowanie ze zbioru klas homotopii odwzorowań [S1 , S1 ] do liczb całkowitych zadane poprzez f 7→ indS1 ( f ) (20) jest 1◦ bijekcją, 2◦ homomorfizmem półgrup, tzn. indS1 ([ f ][g]) = indS1 ([ f ]) · indS1 ([g]), (21) 3◦ indS1 (Id) = 1, indS1 (∗) = 0. Dowód Wiemy już, że indS1 (zm ) = m, co dowodzi, że jest to odwzorowanie „na”. Ale zauważyliśmy już, że każde odwzorowanie S1 w siebie jest homotopijne z odwzorowaniem postaci z 7→ zm . Ażeby stwierdzić druga tezę zauważmy, że indS1 ((zn ) ◦ (zm )) = indS1 ((zn )m ) = indS1 (znm ) = nm. Różnowartościowości nie będziemy dowodzić. §5 Stopień dla odwzorowań klasy C1 Definicja 4: Niech f ∈ C1 (Ω). Powiemy, że x jest punktem krytycznym odwzorowania f , jeśli J f (x) = det D f (x) = 0, tzn. D f (x) jest osobliwa. W przeciwnym przypadku mówimy, że punkt jest regularny. f (x) jest wtedy odpowiednio wartością krytyczną lub regularną, odpowiednio. Zbiór wartości regularnych oznaczmy przez Z f . Z twierdzenia o lokalnym odwracaniu odwzorowań wiemy, że f jest lokalnie odwracalna w pobliżu punktu regularnego. Konferencja na Helu, 2007 4 §5. Stopień dla odwzorowań klasy C1 Twierdzenie 4: Jeśli f ∈ C1 (Ω) i y jest punktem regularnym, to f −1 (y) jest skończony. Definicja 5: Jeśli f ∈ C1 (Ω), p < f (∂Ω) i p jest wiartością regularną f . Definiujemy stopień f w p względem zbioru Ω jako liczbę całkowitą X deg( f, Ω, p) = sgnJ f (x) (22) x∈ f −1 (p) Naszym głównym zadaniem teraz jest pozbycie się warunków: f ∈ C1 oraz regularności punktu p. Twierdzenie poniższe mówi, że deg jest stały na składowych Rn \ f (∂Ω). Twierdzenie 5: Niech f ∈ C1 (Ω). Niech p1 , p2 są wartościami regularnymi f i p są w tej samej składowej Rn \ f (∂Ω). Wtedy deg( f, Ω, p1 ) = deg( f, Ω, p2 ). Definicja 6: Jeśli f ∈ C1 (Ω) i p < f (∂Ω), ale p nie jest wartością regularną, to definiujemy deg( f, Ω, p) jako deg( f, Ω, q) gdzie q jest punktem regularnym f i |q − p| < ρ(p, f (∂Ω)) Uwaga. Dzięki poprzedniemu twierdzeniu możemy definiować stopień dla p niekoniecznie będącym punktem regularnym. Z twierdzenia Sarda wiemy, że zbiór wartości krytycznych jest zbiorem miary zero i każda kula B(p, r) zawiera wartość regularną. Jeśli r = ρ(p, f (∂Ω)), wtedy deg( f, Ω, q) jest stała na B(p, r), bo B(p, r) ⊂ Rn \ f (∂Ω). To dowodzi poprawności definicji. Przypomnienie: f ∈ C1 (Ω), jeśli f ∈ C(Ω) i istnieje rozszerzenie f˜ : U → Rn na zbiór otwarty U ⊃ Ω taki, że f˜ ma na nim ciąłge pochodne cząstkowe. Można wprowadzić tam strukturę przestrzeni unormowanej. Norma w tej przestrzeni jest dana wzorem k f k1 = sup | fi (x)| + sup |∂ j fi (x)| x∈Ω x∈Ω 1i6n 1i,j6n (23) Twierdzenie 6: Niech f ∈ C1 (Ω) i p jest wartością regularną f , p < f (∂Ω). Wtedy istnieje > 0 zależna od f i p taka, że jeśli k f − gk1 < , to p jest wartością regularną g oraz p < g(∂Ω) i deg( f, Ω, p) = deg(g, Ω, p). Podsumujmy: Twierdzenie 7: Niech f ∈ C1 (Ω). i) deg( f, Ω, p) jest stały na składowych Rn \ f (∂Ω), ii) Jeśli p < f (∂Ω), to istnieje > 0 zależne od f i p, takie że deg( f, Ω, p) = deg(g, Ω, p) dla k f − gk1 < , iii) Niech H1 (t, x) jest C1 -homotopią f i g. Wtedy, jeśli p < H(t, ∂Ω) dla każdego t ∈ I, to deg( f, Ω, p) = deg(g, Ω, p) Konferencja na Helu, 2007 5 §6. Stopień dla funkcji ciągłych §6 Stopień dla funkcji ciągłych Rozszerzymy teraz naszą definicję stopnia na funkcje ciągłe. Przypomnienie: C(Ω) jest przestrzenią funkcji ciągłych z Ω do Rn . Można wprowadzić tam strukturę przestrzeni unormowanej. Norma w tej przestrzeni jest dana wzorem k f k = sup | f (x)| (24) x∈Ω Definicja 7: Załóżmy, że f ∈ C(Ω) i p < f (∂Ω). Definiujemy deg( f, Ω, p) jako deg(g, Ω, p), gdzie g ∈ C1 jest jakąkolwiek funkcją spełniającą k f − gk < ρ(p, f (∂Ω)). (25) Spróbujmy uzasadnić tę definicję. W każdym otoczeniu f ∈ C(Ω) istnieją funkcje klasy C1 . Niech r = ρ(p, f (∂Ω)) i mamy funkcje gi ∈ C1 (Ω) takie, że k f − gi k < r, dla i =, 2. Następnie rozpatrzmy homotopię klasy C1 daną wzorem ht (x) = tg1 (x) + (1 − t)g2 (x), 0 6 t 6 1. Otrzymujemy stąd szacowania |ht (x) − f (x)| = |t(g1 (x) − f (x)) + (1 − t)(g2 (x) − f (x))| < tr + (1 − t)r = r. Korzystając z założenia, że x ∈ ∂Ω mamy |p − ht (x)| >= |p − f (x)| − |ht (x) − f (x)| > 0 gdyż |p − f (x)| > r skąd p < ht (∂Ω). Na podstawie punktu 3) twierdzenia 7, deg(g1 , Ω, p) = deg(g2 , Ω, p). Dzięki temu mamy, że wszystkie funkcje klasy C1 spełniające oszacowanie (25) majątaki sam stopień. Stąd ta definicja ma sens. Oczywiście ograniczenie nie jest istotne, byle było odpowiednio małe. Twierdzenie 8: W definicji 7 wyboru g można dokonać tak, że p nie koniecznie jest jej punktem regularnym. Twierdzenie 9: Jeśli Ω ⊂ Rn , f ∈ C(Ω) oraz p < f (∂Ω), wtedy deg( f, Ω, p) jest niezmiennikiem przy zmianie współrzędnych, byle by ta zmian była klasy C1 . Pozwala nam to na rozszerzenie naszej teorii na skończenie wymiarowe rzeczywiste przestrzenie unormowane, jako że każdą taką można identyfikować z Rn . §6.1 Własności stopnia Pokażemy teraz główne własności stopnia topologicznego dla funkcji ciągłych. Sa one podobne do tych, jakie miał stopień dla funkcji klasy C1 . Twierdzenie 10: Niech f ∈ C(Ω) i deg( f, Ω, p) , 0, wtedy istnieje x ∈ Ω (!), taki, że p = f (x). Konferencja na Helu, 2007 6 §6.1 Własności stopnia Dowód Gdy p < f (Ω). Weźmy g ∈ C1 (Ω) taki, że kg − f k < ρ(p, f (Ω)). Wiemy, że wtedy p < g(Ω) i stąd deg(g, Ω, p) = 0 i stąd deg( f, Ω, p) = 0. Definicja 8: Jeśli są dane dwie przestrzenie topologiczne X, Y, to mówimy, że dwa przekształcenia ciągłe f, g : X → Y są homotopijne, gdy istniej ciągła homotopia H : [0, 1] × X → Y taka, że H(0, x) = f (x) i H(1, x) = g(x). Twierdzenie 11: Niech f ∈ C(Ω) i p < f (∂Ω). Jeśli kg − f k < ρ(p, f (Ω)), to deg(g, Ω, p) = deg( f, Ω, p). Co więcej, gdy dla homotopii H mamy p < H(t, ∂Ω) dla 0 6 t 6 1, to deg(H(t, ·), Ω, p) nie zależy od t ∈ [0, 1]. Zastanówmy się nad powyższym twierdzeniem. Jego pierwsza część mówi, że deg(·, Ω, p) : C(Ω) → Z jest odwzorowaniem lokalnie stałym. Druga część mówi, że stopień jest niezmiennikiem homotopii, o ile podczas deformacji punkt p jest cały czas regularny. Możemy stąd wyciągnąć: Wniosek 1: Niech f ∈ C(Ω) i p < f (∂Ω), oraz niech ( fk ) będzie ciągiem funkcji ciągłych na Ω zbieżnym jednostajnie do f . Istnieje wtedy tak liczba całkowita N > 0 taka, że deg( f, Ω, p) = deg( fk , Ω, p), dla k > N. Twierdzenie 12: deg( f, Ω, p) jest stały na składowych Rn \ f (∂Ω). Załóżmy teraz, że A ⊂ Rn \ f (∂Ω) jest spójny. Możemy dzięki temu określić stopień deg( f, Ω, A) := deg( f, Ω, p) dla pewnego p ∈ A. W sposób oczywisty powyższa definicja jest poprawna. Twierdzenie 13: Dla f, g ∈ C(Ω) takich, że f = g na ∂Ω, zachodzi deg( f, Ω, p) = deg(g, Ω, p), o ile tylko p < f (∂Ω). Wynika stąd, że stopień zależy właściwie tylko od tego jakie wartości funkcja przyjmuje na brzegu obszaru Ω. Twierdzenie to jest wręcz nieprawdopodobne, ale prawdziwe. Dlatego udowodnimy je. Dowód Mamy daną homotopię H(t, x) = t f (x) + (1 − t)g(x), (26) da której H(t, x) = f (x), gdy x ∈ ∂Ω; czyli H(t, ∂Ω) = f (∂Ω) = p. Z homotopijne j niezmienniczości stopnia, mamy że deg( f, Ω, p) = deg(g, Ω, p). Przykład. Że tak naprawdę jest pokaże następujący przykład. Niech f : [a, b] → R będzie taka, że f (a) < f (b) i niech p będzie wartością regularną f . Oczywistym jest, że gdy p > f (b) lub p < f (a) to deg( f, Ω, p) = 0. Gdy zaś f (a) < p < f (b), to deg( f, Ω, p) = 1. W rzeczy samej: f −1 (p) = {x1 , . . . , xm } zawiera nieparzystą liczbę punktów (np. wzrost, spadek, wzrost, . . .); stąd deg( f, Ω, p) = m X i1 sgn f 0 (xi ) = +1 − 1 + 1 − 1 + . . . − 1 +1 = 1. | {z } =0 Gdy f (b) < f (a), to deg( f, Ω, p) = −1. Konferencja na Helu, 2007 7 §6.2 Stopień topologiczny Twierdzenie 14: (Twierdzenie Poincarégo-Bohla) Niech f, g ∈ C(Ω) oraz ∀x∈Ω odcinek p < [ f (x), g(x)] = {s f (x) + (1 − s)g(x)| 0 6 s 6 1}. Wtedy deg( f, Ω, p) = deg(g, Ω, p). Dowód Potrzebna nam będzie w tym celu homotopia H(t, x) = t f (x)+(1−t)g(x). Wiemy z założeń, że p , t f (x)+(1−t)g(x), dla t ∈ [0, 1]. Mamy więc p < H(t, ∂Ω). Wzór jest teraz wnioskiem z homotopijnej niezmienniczości stopnia. Poniższe stwierdzenie mówi, że stopień jest niezmienniczy ze względu na przesunięcie w przestrzeni. Twierdzenie 15: Niech, jak zwykle, f ∈ C(Ω) oraz p < f (∂Ω). Wtedy deg( f, Ω, p) = deg( f − q, Ω, p − q), dla każdego q ∈ Rn . ( f − q jest dana wzorem x 7→ f (x) − p) Doszliśmy więc do wersji homotopijnej niezmienniczości dla funkcji ciągłych. Twierdzenie 16: Niech będzie dana ciągła homotopia H : [0, 1] × Ω → Rn i pt ciągła droga w Rn . Jeśli pt < H(t, ∂Ω), wtedy deg(H(t, ·), Ω, pt ) jest niezmienny dla t ∈ [0, 1]. Poprzednie twierdzenia dotyczyły zależności stopnia od p i f . Teraz określimy zależność od zbioru Ω. Twierdzenie 17: Niech f ∈ C(Ω) oraz p < f (∂Ω). i) Addytywność: Niech Ωi ⊂ Ω, i = 1, . . . , m będzie skończoną rodziną Ω )). Mamy rozłącznych podzbiorów zbioru Ω, takich że p < f (Ω \ (∪m i=1 i wtedy deg( f, Ω, p) = m X deg( f, Ωi , p). (27) i=1 ii) Wycinanie: Jeśli K = K ⊂ Ω i p < f (K) ∪ f (∂Ω), to deg( f, Ω, p) = deg( f, Ω \ K, p). (28) §6.2 Stopień topologiczny Podsumujmy: Konferencja na Helu, 2007 8 §7. Zastosowania w topologii Twierdzenie 18: Niech Ω ⊂ Rn będzie ograniczonym i otwartym podzbiorem Rn , f : Ω → Rn odwzorowaniem ciągłym, y0 ∈ Rn , jest taki, że y0 < f (∂Ω). Wtedy trójce ( f, Ω, y0 ) można przyporządkować liczbę całkowitą w taki sposób, aby spełnione były następujące własności: i) Istotność: deg( f, Ω, y0 ) , 0 ⇒ ∃x∈Ω , że f (x) = y0 . ii) Addytywność: Niech Ωi ⊂ Ω, i = 1, . . . , m będzie skończoną rodziną rozłącznych podzbiorów zbioru Ω, takich że y0 < f (Ω \ (∪m Ω )). Mamy i=1 i wtedy deg( f, Ω, y0 ) = m X deg( f, Ωi , y0 ). (29) i=1 iii) Wycinanie: Jeśli K = K ⊂ Ω i y0 < f (K) ∪ f (∂Ω), to deg( f, Ω, y0 ) = deg( f, Ω \ K, y0 ). (30) iv) Homotopijna niezmienniczość: Niech ft : Ω × I → Rn będzie homotopią. Niech y będzie odwzorowaniem odcinka I w Rn . Jeśli ∀t∈I zachodzi y(t) < ft (∂Ω), to ∀t1 ,t2 ∈I zachodzi deg( ft1 , Ω, y(t1 )) = deg( ft2 , Ω, y(t2 )) (31) v) Multiplikatywność: Niech Ω1 ⊂ Rn i Ω2 ⊂ Rk są ograniczonymi i otwartymi zbiorami, y1 ∈ Rn , y2 ∈ Rk oraz f1 : Ω1 → Rn , f2 : Ω2 → Rk a odwzorowaniami ciągłymi, takimi że y1 < f1 (Ω1 ), y2 < f2 (Ω2 ). Wtedy deg( f1 × f2 , Ω1 × Ω2 , (y1 , y2 )) = deg( f1 , Ω1 , y1 ) · deg( f2 , Ω2 , y2 ) (32) vi) Normalność: Niech j : Ω → Rn będzie włożeniem. Wtedy deg(j, Ω, 0) = 1. §7 (33) Zastosowania w topologii Jako przykład zastosowania damy teraz prosty dowód twierdzenia Brouwera o punkcie stałym. Twierdzenie 19: (Brouwera o punkcie stałym) Niech D ⊂ Rn jest otwarty, a D jest homeomorficzny z kulą domkniętą. Weźmy f ∈ C(D) takie, że f (D) ⊂ D, wtedy f ma punkt stały. Dowód Jasnym jest, że wystarczy udowodnić tę prawdę tylko dla kuli. Istotnie, jeśli φ : D → B (gdzie przez B oznaczyłem kulę domkniętą), to F := φ ◦ f ◦ φ−1 : B → B. Wynika stąd, że f ma punkt stały wtedy i tylko wtedy, gdy F ma punkt Konferencja na Helu, 2007 9 LITERATURA ·x0 f B ·x0 = f (x0 ) B stały. Pokażemy, że F ma taki punkt. Jeśli F(x) = x dla x ∈ ∂B, to jest twierdzenie jest udowodnione. Załóżmy więc, że F(x) , x, dla x ∈ ∂B. Rozważmy H : [0, 1] × B → Rn daną wzorem H(t, x) = x − tF(x). (34) Zauważmy, że ktF(x)k < 1 dla 0 6 t < 1, co implikuje, że tF(x) < ∂B. Dlatego, dla x ∈ ∂B, mamy x − tF(x) , 0 i H(t, ∂B) , 0 dla t ∈ [0, 1). Podobnie z założenia f (x) = H(1, x) = x − F(x) , 0, skąd H(t, ∂B) , 0, na całym I. Dzięki homotopijnej niezmienniczości mamy 1 = deg(IdB , B, 0) = deg(IdB − F, B, 0), co implikuje, że ∃x∈B taki, że F(x) = x, tzn. F ma punkt stały. Uwaga. Twierdzenie Brouwera może być udowodnione dla zbiorów domkniętych, wypukłych i ograniczonych z niepustym wnętrzem. Innymi zastosowaniami są: Twierdzenie 20: (Jordana) Jeśli K, L ⊂ Rn są zwarte i homeomorficzne, wtedy Kc lub Lc ją tę samą skończoną liczbę składowych lub mają ich nieskończenie wiele. Twierdzenie 21: (Niezmiennoczość dziedziny) Jeśli D ⊂ Rn jest otwarty i f : D → Rn jest ciągłą bijekcją, to f (D) też jest otwarty. Literatura [1] „Wstęp do analizy nieliniowej. Teoria stopnia.”, Jacek Gulgowski, Wacław Marzantowicz, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań 2003. [2] „Ueber Systeme von Funktionen mehrerer Variabeln”, L. Kronecker, Monatsber. Berlin Akad. (1869) pp. 159193; 688698 [3] „Basic Brouwer Degree Theory: A Pedestrians Point of View”, César O. Aguilar, 2006 c Krzysztof Rykaczewski Toruń 2007 Konferencja na Helu, 2007 10