plik - pdf - Politechnika Białostocka

System M/M/c ze stratą
Charakterystyczną cechą takiego systemu jest c identycznych stanowisk obsługi, czyli
jednocześnie może być obsługiwanych c zgłoszeń. Może on się znajdować w c różnych
stanach:
H0 – brak zgłoszeń w systemie (na stanowisku obsługi),
H1 – jedno zgłoszenie w systemie (zgłoszenie jest obsługiwane przez jeden z kanałów
obsługi),
H2 – dwa zgłoszenia w systemie (zgłoszenie są obsługiwane przez dwa kanały
obsługi),
…
Hc – c zgłoszeń w systemie (wszystkie stanowiska obsługi są zajęte), każde przybyłe
w tej chwili zgłoszenie jest odrzucane (system ze stratą).
H0 µ1 λ0 H1 µ2
…
λ1 H2 µ3 λ2
µc λc-1 Hc
Zakładamy, że zgłoszenia napływają z zewnątrz, a źródło zgłoszeń jest nieskończenie wielkie,
zatem
λ0 = λ1 = λ2 = … =λc-1 = λ oraz µ1 = µ, µ2 = 2µ, …, µi = iµ, …, µc = cµ
Przykładem takiego modelu może być centrala telefoniczna. Przyjmijmy, że jest ona
niewielka i w danym momencie może obsługiwać maksymalnie trzy połączenia. Średnio
długość jednego połączenia trwa 10 minut, a nowe zgłoszenia napływają średnio co 30 min.
Nasz system posiada zatem cztery stany (c = 3).
Zgłoszenia napływają średnio co 30 minut (
1
λ
=
1
1
min = godz ), zatem średnia
30
2
intensywność napływu zgłoszeń λ wynosi 2 zgłoszenia w ciągu godziny.
Intensywności obsługi w poszczególnych stanach wynoszą: µ1 = 6, µ2 = 12, µ3 = 18 zgłoszeń
w ciągu godziny.
Obciążenie systemu ρ =
Qi =
2 1
= .
6 3
λ0 ⋅ λ1 ⋅ λ2 ⋅ ... ⋅ λi −1 λi
ρi
=
=
oraz Q0 = 1
µ1 ⋅ µ 2 ⋅ µ 3 ⋅ ... ⋅ µ i i!µ i i!
1
Q1 = ;
3
Q2 =
1
;
18
Q3 =
1
;
162
+ 18 + 2 452 113
=
=
;
∑ Q = 324 + 108
324
324 81
3
i =0
i
Prawdopodobieństwa stanów systemu obliczymy ze wzoru: pi =
Qi
∑Q
j =0
p0 =
81
;
113
p1 =
27
;
113
p2 =
9
;
226
p3 =
.
c
j
1
;
226
∑ p = 1 jest spełniony.
c
Warunek normalizujący
i =0
i
Podstawowymi charakterystykami tego systemu jest prawdopodobieństwo obsługi i
odrzucenia zgłoszenia, oraz średnia liczba zgłoszeń na stanowiskach obsługi.
Prawdopodobieństwo straty zgłoszenia jest to prawdopodobieństwo, że system znajdzie się w
stanie Hc. W naszym zadaniu jest pięć kanałów obsługi, zatem:
p str = pc = p3 =
1
. Zgłoszenie zostanie obsłużone, jeżeli system nie jest w stanie Hc.
226
Prawdopodobieństwo obsługi wynosi więc pobl = 1 − pstr , zatem pobs = 1 − p3 = 1 −
Średnią liczbę zadań na stanowiskach obsługi obliczamy ze wzoru: l =
1
225
=
.
226 226
∑ ip .
c
i =0
i
W analizowanej centrali średnio na kanałach obsługi znajduje się
l = 0 ⋅ p0 + 1⋅ p1 + 2 ⋅ p2 + 3 ⋅ p3 =
27 2 ⋅ 9 3 ⋅1 75
+
+
=
.
113 226 226 226
Charakterystykę tę możemy obliczyć również stosując inny wzór: l =
wtedy l =
A
µ
, gdzie A = λpobs ,
λpobs
1 225 75 1
.
= ρ (1 − p str ) = ⋅
=
3 226 226
µ
Otrzymane charakterystyki pokazują, że badana centrala nie jest przeciążona.
Prawdopodobieństwo, że wszystkie łącza będą zajęte jest bardzo małe, zatem możemy
stwierdzić, że badana centrala jest wystarczająca, aby obsłużyć prawie każde zgłoszenie.
Jednak średnia ilość zajętych łączy wskazuje, że dwa łączą są praktycznie nieużywane.
Obciążenie centrali pokazuje, że jej możliwości nie są w pełni wykorzystywane.
1
Por. Walenty Oniszczuk: Metody modelowania, Politechnika Białostocka, Białystok 1995, s. 38 - 40
Zadania
1. Serwer FTP z limitem połączeń
Na komputerze podłączonym do sieci stoi serwer FTP. Aby zbytnio nie obciążać
procesora ustawiono limit podłączeń do c. Średnio co n minut ktoś próbuje wejść na serwer.
Przyjmujemy, że proces napływu zgłoszeń do systemu, oraz opuszczania go jest procesem
Markowa. Jeden użytkownik średnio podłączony jest przez m minut. Przeprowadź dokładną
analizę systemu (oblicz prawdopodobieństwa obsługi i straty zgłoszenia, obciążenie serwera,
średnią ilość zgłoszeń na stanowiskach obsługi, średnią ilość zgłoszeń obsługiwanych i
traconych w ciągu godziny), jeśli:
a) c = 3; n = 5; m = 10, 15, 20, 22, 25;
b) c = 5; n = 3; m = 15, 17, 20, 25, 30;
c) c = 3; n = 4, 5, 6, 7, 10; m = 20;
d) c = 7; n = 0.5, 0.6, 0.7, 1, 1.5; m = 15;
e) c = 2, 3, 4, 5, 8; n = 2; m = 10;
f) c = 1, 2, 3, 5, 6; n = 5; m = 25;
Otrzymane wyniki przedstaw graficznie. Zaproponuj rozwiązanie, które pozwoli lepiej
funkcjonować zadanemu systemowi.
2. Centrala telefoniczna
Centrala telefoniczna może jednocześnie obsługiwać maksymalnie c połączeń.
W ciągu godziny średnio n osób chce się z kimś połączyć przez tę centralę. Zakładamy, że
procesy napływu zgłoszeń do systemu i jego opuszczania są procesami markowowskimi.
Przeciętnie jedno połączenie trawa m minut. Zbadaj: niezawodność centrali pod względem
straty zgłoszeń, średnią liczbę połączeń (zgłoszeń na stanowiskach obsługi), obciążenie
centrali jeżeli:
a) n = 50; c = 10; m = 5, 10, 15, 20, 25;
b) n = 30; c = 3; m = 4, 5, 6, 10, 15;
c) n = 3; c = 4, 5, 6, 7, 10; m = 20;
d) n = 100; c = 10, 20, 30, 40, 50; m = 10;
e) n = 12, 13, 14, 15, 20; c = 5; m = 15;
f) n = 2, 4, 6, 8, 10; c = 2; m = 20;
Przedstaw wyniki w postaci wykresów.
3. Postój hotelowych taksówek
Goście pewnego hotelu mogą korzystać z c hotelowych taksówek. Jeśli postój jest
pusty (wszystkie taksówki są zajęte) goście korzystają z innych taksówek. Średnio co n minut
któryś z gości chce skorzystać hotelowej taksówki. Przeciętnie kurs jednej taksówki trwa m
minut.
Szanujący się hotel nie może pozwolić aby goście sami sobie szukali transportu, ale zależy
nam również aby nie ponosić strat przez zbyt dużą ilość samochodów. Przeanalizuj działanie
systemu i zaproponuj własne rozwiązanie.
a) n = 10; c = 5; m = 10, 15, 20, 25, 30;
b) n = 5; c = 15; m = 5, 10, 15, 20, 30;
c) n = 15; c = 2, 4, 6, 10, 15; m = 30;
d) n = 3; c = 10, 12, 14, 16, 20; m = 25;
e) n = 5, 7, 9, 10, 15; c = 5; m = 15;
f) n = 2, 4, 6, 8, 10; c = 3; m = 25;
Przedstaw wyniki w postaci wykresów.
4. Salon gier
W salonie gier stoi c automatów do gry. Załóżmy, że jedna osoba po ukończeniu gry
opuszcza salon. Średnio jedna gra trwa m minut, a do salonu przybywa n graczy w ciągu
godziny. Jeśli wszystkie automaty są zajęte klienci idą do innego salonu. Oblicz
prawdopodobieństwo, że i = 0, 1, …, c automatów będzie zajętych oraz średnią ilość graczy,
którzy w danej chwili grają. Jakie jest obciążenie salonu. Obliczeń dokonaj dla:
a) n = 10; c = 20; m = 10, 15, 20, 25, 30;
b) n = 8; c = 10; m = 5, 10, 15, 20, 30;
c) n = 15; c = 12, 14, 16, 20, 25; m = 20;
d) n = 10; c = 4, 6, 8, 10, 12; m = 15;
e) n = 5, 7, 9, 10, 15; c = 8; m = 24;
f) n = 2, 4, 6, 8, 10; c = 5; m = 30;
Przedstaw wyniki graficznie.