3. TRANSPORT PĘDU REALIZOWANY PRZEZ TURBULENTNE WIRY

Przepływy
t u rb u l en t n e i i c h
m et ro l o g i a
Warstwa przyścienna
2 1
3 . T ranspo rt pę d u real izo wany
przez tu rb u l entne wiry
3. TRANSPORT PĘDU REALIZOWANY
PRZEZ TURBULENTNE WIRY
cel rozważań
wyprowadzenie bardziej precyzyjnego opisu turbulentnej
warstwy przyściennej
pytanie:
dlaczego energia kinetyczna płynu w pobliżu ścianki nie spada
do zera ? (mimo ciągłego opóźniania elementów płynu na
skutek działania naprężeń stycznych τ0)
odpowiedź:
• przyspieszające oddziaływanie sąsiednich warstw płynu
(podobnie jak w przepływie laminarnym)
Przepływy
t u rb u l en t n e i i c h
m et ro l o g i a
Warstwa przyścienna
2 2
3 . T ranspo rt pę d u real izo wany
przez tu rb u l entne wiry
 ∂U 
 ∂U 
>



 ∂y  turb  ∂y  lam
( 3.1 )
y →0
⇓
musi być inne źródło zasilania w energię turbulentnej WP
• transport pędu w poprzek WP
przepływ 3D ⇒ niezerowe wartości składowych prędkości
normalnych do kierunku przepływu głównego ⇒ procesy
mieszania (transport masy, energii i pędu)
Przepływy
t u rb u l en t n e i i c h
m et ro l o g i a
Warstwa przyścienna
2 3
3 . T ranspo rt pę d u real izo wany
przez tu rb u l entne wiry
I
- szybszy płyn jest przenoszony do warstewki
wolniejszej zwiększając jej pęd
II - ruch w przeciwnym kierunku dla uniknięcia
gromadzenia się płynu w warstewce wolniejszej;
wolniejszy płyn jest przyspieszany w warstewce
wolniejszej
III - transport elementów płynu w kierunku przepływu
głównego
skutek:
układ uzupełniających się ruchów cyrkulacyjnych
⇓
powstanie wiru
Transport pędu
Rozważmy prosty model wiru
Przepływy
t u rb u l en t n e i i c h
m et ro l o g i a
Warstwa przyścienna
2 4
3 . T ranspo rt pę d u real izo wany
przez tu rb u l entne wiry
l - skala wiru
U - prędkość średnia w środku wiru
a - pole przekroju poprzecznego "rurki" wiru
prędkość płynu wewnątrz "rurek"
1 ∂U
Uc = l
2 ∂y
( 3.2 )
strumień masy płynu transportowany przez "rurkę"
1 ∂U
m = aρU c = aρ l
2 ∂y
( 3. 3 )
każda elementarna masa płynu zmienia pęd o wartość
proporcjonalną do zmiany prędkości
∂U
∆U = U f − U s = l
( 3. 4 )
∂y
całkowita zmiana pędu (realizowana przez obydwie "rurki")

1 ∂U   ∂U 
l

2 ∂y   ∂y 
∆M = 2 m∆U = 2 aρ l

( 3.5 )
Transport pędu (dążący do wyrównania profilu prędkości) musi
być równoważony przez siłę "zachowawczą"
∆M = sila oporu tarcia [ N ]
( 3. 6 )
τ ⋅ 2 a = 2 aρ l
( 3.7 )


1 ∂U   ∂U 

l
2 ∂y   ∂y 
Przepływy
t u rb u l en t n e i i c h
m et ro l o g i a
lub
Warstwa przyścienna
2 5
3 . T ranspo rt pę d u real izo wany
przez tu rb u l entne wiry
1  ∂U 
τ = ρl

2  ∂y 
2
( 3.8 )
naprężenie τ jest zależne od rozmiaru wiru l, który jest funkcją
czasu i położenia wiru
l = f ( x , y ,t ) ⇒ τ = f ( x , y ,t )
dla uproszczenia rozważań wprowadza się średni rozmiar wiru
lm i odpowiadające mu średnie naprężenie τm , takie, że
lm = f ( y ) ⇒ τ m = f ( y )
dla zachowania prawdziwości równania (3.8) należy do niego
wprowadzić współczynnik korekcyjny K
1  ∂U 
τ m = K ρ  lm

2  ∂y 
1
2
τ
∂U
K
 m  =   lm
∂y
2
 ρ 
1
2
2
( 3.9 )
( 3.10 )
rozwiązanie powyższego równania różniczkowego wymaga
poczynienia założeń odnośnie zmienności τm oraz lm w funkcji y
• z wyjątkiem bezpośredniego sąsiedztwa ścianki oraz skraju
warstwy przyściennej można przyjąć
τ m = τ 0 = const
( 3.11 )
Przepływy
t u rb u l en t n e i i c h
m et ro l o g i a
Warstwa przyścienna
2 6
3 . T ranspo rt pę d u real izo wany
przez tu rb u l entne wiry
• badania eksperymentalne
1
2
K
  l m = 0.4 y
2
( 3.12 )
Wprowadzając powyższe założenia do równania różniczkowego
(3.10) otrzymuje się
1
2
1
τ
dU =  0 
dy
ρ
0
.
4
y
 
a po scałkowaniu
lub
lub
1
2
( 3.13 )
τ
U = 2.5  0  ln y + C
ρ
( 3.14 )
 y 
τ
U = 2.5  0  ln 
 ρ   C1 
( 3.15 )
 y
τ
U = 5.75  0  log  
ρ
 C1 
( 3.16 )
1
2
1
2
Przepływy
t u rb u l en t n e i i c h
m et ro l o g i a
Warstwa przyścienna
2 7
3 . T ranspo rt pę d u real izo wany
przez tu rb u l entne wiry
Paradoks:
wyniki badań eksperymentalnych wykazują bardzo dobrą
zgodność z rozważaniami teoretycznymi w szerokim zakresie
zmienności y lecz
U = 0 dla y = C1 ≠ 0
grubość warstwy dąży do nieskończoności
Wniosek:
prawo logarytmicznego rozkładu prędkości może
być stosowane jedynie dla ograniczonego obszaru
warstwy przyściennej