1. W pewnej populacji gadów 4% z nich ma pewną

1. W pewnej populacji gadów 4% z nich ma pewną chorobę genetyczną. Do jej wykrywania
stosuje się test, który z prawdopodobieństwem 0.95 daje wynik pozytywny (tzn. wykrywa
chorobę), jeśli osobnik ma tę chorobę, a z prawdopodobieństwem 0.9 daje wynik
negatywny, jeśli osobnik jest zdrowy
a. Jakie jest prawdopodobieństwo, że osobnik, u którego wynik testu był pozytywny,
jest chory?
b. Pewien osobnik został przebadany dwukrotnie. Za każdym razem wynik testu był
pozytywny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest on chory?
2. Rzucamy dwa razy symetryczną monetą. Określmy zdarzenia: A - orzeł w pierwszym rzucie, B
– orzeł w drugim rzucie, C – wynik obu rzutów jest taki sam. Czy zdarzenia A, B, C są
niezależne?
3. Gracz A i gracz B rzucają na zmianę rzutkami do celu. Gracz A trafia w środek tarczy z
prawdopodobieństwem 1/3, a gracz B z prawdopodobieństwem 1/4. Grę rozpoczyna gracz
A. Gra kończy się, gdy ktoś trafi w środek tarczy (i wtedy ten gracz wygrywa).
a. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wygra gracz A?
b. Gra skończyła się w siedemnastej rundzie (jedna runda to rzuty obu graczy). #$%, że
trafi gracz A (wtedy gracz B już nie rzuca). Jakie jest prawdopodobieństwo, #$%ygrać
gracz B?
4. Jedziesz na przyjęcie, na którym (oprócz Ciebie) jest 365 osób. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że na przyjęciu będzie dokładnie jedna osoba, która urodziła się w
tym samym dniu/miesiącu co Ty? Przyjmij, że rok ma 365 dni oraz, że #$% mógł się urodzić w
danym dniu/miesiącu z tym samym prawdopodobieństwem.
Podaj dokładną odpowiedź (nie musisz wyliczać wartości liczbowej) oraz $%^ (zastosuj
przybliżenie Poissona).
5. Niech 𝑋1 , 𝑋2 , … będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowym o tym samym rozkładzie
1
1
1
𝑃(𝑋𝑖 = 0) = , 𝑃(𝑋𝑖 = 2) = , 𝑃(𝑋𝑖 = 4) =
4
2
4
dla 𝑖 = 1, 2, 3, … . Niech 𝑇 = min{𝑖 ≥ 1: 𝑋𝑖 = 4}.
a. Oblicz 𝑃(𝑇 = 𝑘), 𝑘 = 1, 2, …
b. Oblicz 𝑃(𝑇 ≤ 𝑘), 𝑘 = 1, 2, …