Rozwiązanie T4
Transkrypt
Rozwiązanie T4
XLV OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP I Zadania teoretyczne ZADANIE T4 Nazwa zadania: „Sprawność silnika cieplnego”. Oblicz sprawność silnika cieplnego pracującego w cyklu przedstawionym na rycinie 5. Ciałem roboczym jest dwuatomowy gaz doskonały. V 2VO VO TO 2TO 3TO T Ryc.5 ROZWIĄZANIE ZADANIA T4 Przedstawmy wykres cyklu w zmiennych p-V (ryc.1). Załóżmy, że cyklicznym przemianom poddano n moli gazu. Z równania stanu gazu doskonałego pV = nRT, gdzie p, V i T oznaczają odpowiednio ciśnienie, objętość i temperaturę gazu, zaś R oznacza stałą gazową, otrzymujemy dla charakterystycznych punktów cyklu następujące związki (przyjmujemy nRT0 = p 0V0 ) : nRT1 = p 0V0 , nRT2 = 3 p 0V0 , nRT3 = ( 3 / 2) p 0 2V0 , nRT4 = ( 3 / 2 ) p 0 3V0 , nRT5 = p 0 3V0 , gdzie T1 = T0 , T2 = T3 = T5 = 3T0 , T4 = ( 9 / 2 )T0 . p 2 3pO 2pO pO 3 4 pO 5 1 VO 2VO 3VO V Ryc.6 Sprawność cyklu jest równa stosunkowi (efektywnej) pracy L wykonanej przez silnik do ciepła pobranego Q pobr η=L / Q pobr . Praca jest równa polu figury 1-2-3-4-5-1 na diagramie p-V, Mamy więc L= 2 V0 ∫ pdV − p 0V0 + ( 1 / 2) p0 V0 = nRT2 V0 2 V0 ∫ (1/ V ) dV − (1/ 2) p V 0 0 = nRT2 ln 2 − ( 1 / 2 ) p 0V0 . V0 Ciepło pobierane na izochorze 1-2 jest równe Q12 = nCV ( T2 − T1 ) , gdzie CV jest molowym ciepłem gazu w stałej objętości, zaś ciepło pobierane na izobarze 3-4 wynosi Q34 = nC p ( T4 − T3 ) , gdzie C p jest molowym ciepłem gazu pod stałym ciśnieniem. Ciepło Q23 pobierane 2V0 na izotermie jest równe pracy ∫ pdV , co wynika z tego, że energia wewnętrzna jest V0 stała dla T= const. Q23 = nRT2 ln 2, Ciepło pobrane w rozważanym procesie cyklicznym wynosi Q pobr = Q12 + Q23 + Q34 = ( CV / R ) nR ( T2 − T1 ) + nRT2 ln 2 + ( C p / R ) nR ( T4 − T3 ). Podstawiając CV = ( 5 / 2) R i C p = ( 7 / 2 ) R (gaz dwuatomowy) i wyrażając nRT1 we wzorach na pracę L i ciepło Q pobr przez odpowiednie wielokrotności p 0V0 obliczamy sprawność cyklu: [ ] η = L / Q pobr = [ 3 p0 V0 ln 2 − p 0V0 / 2 ] / ( CV / R) 2 p 0V0 + 3 p 0V0 ln 2 + ( C p / R) ( 3 / 2 ) p0 V0 = = ( 3 ln 2 − 1 / 2 ) / ( 3 ln 2 + 41 / 4) = 0,128 . Sprawność silnika pracującego w rozważanym cyklu jest znacznie mniejsza od sprawności silnika Carnota pracującego pomiędzy chłodnicą o temperaturze T1 = T0 i grzejnikiem o temperaturze T4 = 4,5T0 , dla którego η = (T4 − T1 ) / T1 = 7 / 9. Źródło: Zadanie pochodzi z czasopisma „Fizyka w Szkole” maj-czerwiec 96r. Komitet Okregowy Olimpiady Fizycznej w Szczecinie www.of.szc.pl