Trygonometria I seria 1. Dla dowolnej liczby naturalnej n
Transkrypt
Trygonometria I seria 1. Dla dowolnej liczby naturalnej n
Trygonometria I seria 1. Dla dowolnej liczby naturalnej n przyjmujemy xn = n · sin n◦ . Udowodnij, że x2 + x4 + . . . + x180 = 90 · ctg1◦ . 2. Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n i każdej liczby rzeczywistej x z przedziaÃlu (0, π) zachodzi równość sin x + sin 3x sin(2n − 1)x + ... + > 0. 3 2n − 1 3. Dla danych liczb rzeczywistych a1 , a2 , . . . , an oraz b1 , b2 , . . . , bn rozważmy funkcje, f określona, wzorem n X f (x) = ai cos(bi + x). i=1 Udowodnij, że jeśli f (0) = f (1) = 0, to f (x) = 0 dla każdego x. Trygonometria II seria 4. Udowodnij, że jeśli cos x = cos y oraz sin x = − sin y, to sin(1998x) + sin(1998y) = 0. 5. Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej n oraz dowolnej liczby rzeczywistej x zachodzi nierówność n X n | cos(2k x)| ≥ . 2 k=0 6. Niech P bedzie takim wielomianem dwóch zmiennych, że dla każdej liczby rzeczywistej , t zachodzi równość P (cos t, sin t) = 0. Udowodnij, że istnieje wielomian dwóch zmiennych Q taki, że P (x, y) = (x2 + y 2 − 1) · Q(x, y) Trygonometria III seria 7. Znajdź wszystkie wspóÃlmierne z π liczby α takie, że cos α jest wymierne. q p √ 2, a = 2 − 4 − (an )2 . Oblicz 8. Ciag (a ) zadany jest w nast epuj acy sposob: a = n+1 n 1 , , , lim 2n an . n→∞