statystyczny opis przepływu barotropowego na sferze

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE
32, s. 193-198, Gliwice 2006
ISNN 1896-771X
STATYSTYCZNY OPIS
PRZEPŁYWU BAROTROPOWEGO NA SFERZE
ANDRZEJ ICHA
Instytut Matematyki, Pomorska Akademia Pedagogiczna w Słupsku
Streszczenie. Praca dotyczy wybranych aspektów opisu turbulencji w ramach
teorii układów dynamicznych. Jako przykład zaprezentowano statystyczne ujęcie
przepływu barotropowego na sferze. Wprowadzono definicję rozwiązania
probabilistycznego dla równania przenoszenia wiru w takim przepływie.
Wykorzystując stosowną nierówność energetyczną pokazano, że miara
probabilistyczna zadana na zbiorze wszystkich warunków początkowych generuje
miarę niezmienniczą skoncentrowaną na atraktorze półgrupy operatorów
związanych z tym równaniem.
1. WSTĘP
Najtrudniejszy problem klasycznej fizyki, o podstawowym znaczeniu dla nauk
technicznych, wiąże się z matematycznym opisem turbulentnych przepływów cieczy i gazów.
Na obecnym etapie rozwoju wiedzy powszechnie przyjmuje się, że turbulencję można opisać
zagadnieniem początkowo-brzegowym Naviera-Stokesa (NSE). Należy przy tym zaznaczyć,
że, w przeciwieństwie do dwuwymiarowych zagadnień przepływowych, problem istnienia,
jednoznaczności i regularności rozwiązań NSE w przypadku 3 pozostaje otwarty. Osobną
kwestią jest problem znalezienia jawnych (w tym statystycznych) rozwiązań układu NSE
w celu analizy ważnych problemów inżynierskich i geofizycznych.
Celem niniejszej pracy jest teoretyczny opis zjawiska turbulencji w ramach paradygmatu
NSE, przy wykorzystaniu metod teorii układów dynamicznych. Jako przykład rozważymy,
pochodzący z geofizycznej hydrodynamiki, statystyczny opis przepływu barotropowego na
sferze. Pokażemy, że sformułowanie problemu w języku rozwiązań statystycznych prowadzi
do wniosku, że dowolna miara probabilistyczna zadana na zbiorze wszystkich możliwych
warunków początkowych generuje miarę niezmienniczą skoncentrowaną na atraktorze
półgrupy operatorów związanej z równaniem przenoszenia wiru.
194
A. ICHA
2. UKŁADY DYNAMICZNE
Rozważymy na wstępie pewne abstrakcyjne zagadnienie Cauchy’ego w przestrzeni
Banacha B , postaci:
du
(1)
= G (u ,t ), t ∈ 1 = [0, ∞); u (0) = u 0 ,
dt
gdzie u ∈B , a G jest (nieliniowym) operatorem określonym jako G : U ⊂ B ×  a B .
Oznaczmy przez Ft : B a B ciągłą półgrupę ciągłych odwzorowań z B w B , tzn. rodzinę
przekształceń przestrzeni B w siebie, taką, że [1]:
1.
Ft jest półgrupą, tj. dla dowolnych s ∈  1 , u ∈ B zachodzi związek Ft ( Fs u ) = Ft + s u ;
2. funkcja Ft (u ) jest ciągła ze względu na parę uporządkowaną (t,u), t ∈  1 , u ∈ B ;
3. F0 jest odwzorowaniem tożsamościowym, tzn. F0u = u .
Definicja 1. Parę {B , Ft } nazywamy układem dynamicznym, a zbiór B przestrzenią fazową
tego układu.
W szczególności, jeżeli B = n oraz odwzorowanie G jest ciągłe i spełnia globalnie
warunek Lipschitza, to z twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania dla problemu
(1) wynika, że układ równań różniczkowych zwyczajnych typu (1) definiuje ciągły układ
dynamiczny Ft [2].
Spośród mnogości układów dynamicznych generowanych przez równania różniczkowe
typu (1) rozważmy układ związany z równaniami Naviera-Stokesa. Jak pokazał Leray,
problem NSE można sformułować w postaci analogicznej do (1) tzn. zapisać go w formie
operatorowego równania ewolucyjnego dla pola prędkości u (t )( x) = u ( x, t ) w pewnej
przestrzeni funkcyjnej, czyli dla rodziny {u (t )t ∈ [0, T )} [3]. Na fizycznym poziomie ścisłości
rozważań zwykle przyjmujemy a’priori, że zagadnienie NSE posiada jednoznaczne
def
rozwiązanie: wtedy u (t ) = Ft u0 na pewnym odcinku t ∈ [0, T ] i operator Ft = ϕ (u, t )
charakteryzuje się własnościami grupowymi w sensie definicji (1). Oznacza to, że półgrupa
nieliniowych operatorów Ft opisuje ewolucję wszystkich przepływów cieczy w obszarze
o zadanej geometrii i przy wszystkich możliwych warunkach początkowych.
Jakościowa analiza problemu turbulencji sugeruje, że dynamika rozwiniętego przepływu
turbulentnego powinna koncentrować się na pewnym niezmienniczym podzbiorze przestrzeni
fazowej. W trakcie ewolucji układu, stan początkowy opisywany miarą probabilistyczną
zadaną na zbiorze wszystkich dopuszczalnych warunków początkowych powinien coraz
mniej wpływać na stan końcowy układu. W rezultacie w przestrzeni fazowej przepływu
pojawia się pewien podzbiór scharakteryzowany miarą niezmienniczą (atraktor), który
całkowicie określa statystyczne własności turbulencji [4].
Z powyższych rozważań wynika, że podstawową rolę przy analizie geometrycznej struktury przestrzeni fazowej przepływu odgrywają obiekty zwane atraktorami układu dynamicznego oraz ich charakterystyki (struktura, miary probabilistyczne (nierównowagowe i niezmiennicze), ergodyczność itp.). Krótko odniesiemy się do tych pojęć.
Niech A, B ∈B będą dwoma zbiorami zawartymi w przestrzeni fazowej B , z normą
⋅
B
i metryką generowaną przez normę, ρ (⋅,⋅) . Przez odległość (dist) dwóch zbiorów A, B
STATYSTYCZNY OPIS PRZEPŁYWU BAROTROPOWEGO NA SFERZE
195
w przestrzeni B rozumiemy liczbę:
dist( A, B) = sup ρ (a, B), ρ (a, B) = inf ρ (a, b) = inf a − b B .
a∈ A
b∈B
b∈B
Definicja 2. Atraktorem półgrupy operatorów Ft działającej w przestrzeni fazowej B
nazywamy zbiór zwarty A taki, że: 1. Ft A = A , ∀t ≥ 0 , (własność Ft -niezmienniczości);
2. lim dist( Ft B, A ) = 0 , (własność przyciągania), gdzie B ⊂ B jest ograniczonym zbiorem.
t →∞
Tak więc, jeżeli stan początkowy układu należy do atraktora, u0 ∈A , to układ dynamiczny
ewoluuje wyłącznie na tym zbiorze. Jeżeli stan początkowy u0 należy do pewnego otoczenia
atraktora, to trajektorie układu przy t → ∞ są przyciągane do tego zbioru [5].
Niech δ B (B ) będzie σ -ciałem podzbiorów B oraz niech += x  ; x  0}.
Definicja 3. Miarą na σ -ciele δ B (B ) nazywamy odwzorowanie µ : δ B (B ) a ! + , przy czym:
1. µ (∅) = 0 ;
∞
∞
i =1
i =1
2. jeżeli Ai ∈ δ B (B ), i = 1, 2,…, n,… oraz Ai ∩ Aj = ∅ , ∀ i ≠ j , to µ (U Ai ) = ∑ µ ( Ai ) .
Definicja 4. Miarę µ na atraktorze A nazywamy niezmienniczą, jeżeli ∀ E ⊂ A ,  t  
zachodzi równość: µ ( E ) = µ (ϕ ( E, t )) .
Skonstruowanie takiej miary na atraktorze jest bardzo złożonym zagadnieniem. Dotyczy to
m.in. układów dyssypatywnych (np. układu NSE), dla których w przestrzeni fazowej może
występować więcej zbiorów przyciągających (atraktorów) i w związku z tym, może istnieć
więcej miar niezmienniczych skoncentrowanych na tych zbiorach. Nie jest np. oczywiste,
którą z nich należałoby wybrać, gdyż statystyczne własności rozwiązań ϕ (u, t ) zależą,
ogólnie mówiąc od tego do jakiego obszaru przyciągania należą warunki początkowe.
Jednoznaczność miary uzyskujemy w przypadku ergodycznych układów dynamicznych.
Definicja 5. Układ dynamiczny nazywamy ergodycznym (lub nierozkładalnym) względem
miary µ , jeżeli żaden zbiór niezmienniczy układu (atraktor) nie może być przedstawiony
w postaci sumy dwóch niezmienniczych, nieprzecinających się zbiorów o miarach dodatnich.
Własności układów ergodycznych precyzuje następujące twierdzenie Birkhoffa [6]:
Twierdzenie 1. Niech ϕ (u, t ) będzie ergodycznym układem dynamicznym a µ (A )
niezmienniczą miarę probabilistyczną określoną na atraktorze A tego układu. Wtedy dla
T
każdego E ⊂ A ma miejsce równość: limT →∞ ∫ χ E (ϕ (u, t )) dt = µ ( E ) , gdzie χ E jest funkcją
0
charakterystyczną zbioru E .
Fizycznie oznacza to, że czas przebywania trajektorii (prawie) każdego punktu
ergodycznego układu dynamicznego na atraktorze, jest proporcjonalny do miary tego
atraktora.
196
A. ICHA
3. RÓWNANIE PRZENOSZENIA WIRU
Niech S% = S% (λ , φ ) będzie dwuwymiarową sferę o promieniu jednostkowym w przestrzeni
! 3 . Równania dynamiki cieczy barotropowej, tzn. takiej, której gęstość jest tylko funkcją
ciśnienia, uzyskujemy analizując układ równań Naviera-Stokesa w sferycznym układzie
współrzędnych związanym z obracającym się ośrodkiem. Otrzymamy [5]:
∂u
u2
+ grad + u × rot u + lk × u + ν rotrot u = − grad p + f ′,
(2)
∂t
2
div u = 0; u |t =0 = u0 (a ), a ∈ S%,
gdzie k jest jednostkowym wektorem normalnej zewnętrznej do sfery S% , l parametrem
Coriolisa a f ′ = f ′(λ , φ ) gęstością sił zewnętrznych.
Rozważany przepływ jest dwuwymiarowy; zatem, wykorzystując równanie ciągłości,
wprowadzamy potencjał ψ = ψ (t, λ , φ ) pola prędkości zgodnie z zależnością u = k × gradψ .
Uwzględniając powyższy fakt w równaniu (2) otrzymujemy:
∂∆ψ
+ J (ψ , ∆ψ + l ) = ν∆ψ + rot f ′, ψ (0) = ψ 0 ,
∂t
lub, wprowadzając pole wiru ω = ∆ψ , równanie
∂ω
+ J (∆ −1ω, ω + l ) = ν∆ω + f ,
∂t
f = rot f ′, ω |t = 0 = ω0 ,
(3)
gdzie J (⋅,⋅) jest jakobianem przekształcenia w zmiennych (λ , φ ) .
Równanie (3) stanowi punkt wyjścia dalszych rozważań. Analizowane zagadnienie
rozpatrujemy w przestrzeni
H ( S ) = {ω : ω ∈ L2 (S ),
∫ ω ds = 0} ,
S
której elementami są funkcje całkowalne z kwadratem spełniające warunek potencjalności.
Normę w tej przestrzeni oznaczamy przez | ⋅ | . Następnie, wprowadzimy rodzinę przestrzeni
H 0α ( S ) = D((−∆)α/ 2 ) , α, gdzie ∆ jest operatorem Laplace’a na sferze. Normy w tych
przestrzeniach określamy jako | u |H α =| u |α =| (−∆)α/ 2 u | . Zachodzi następujące twierdzenie [7]:
0
Twierdzenie 2. Jeżeli ω0 ∈ H , f ∈ H 0−1 , to istnieje jedyne rozwiązanie problemu (3), takie, że
∀T ω ∈ C ([0, ∞), H ) ∩ L2 (0, T : H 01 ) .
W świetle twierdzenia (2), równanie (3) generuje pewien układ dynamiczny wyznaczony
przez ciągłą półgrupą ciągłych operatorów St : ω0 a ω (t ) , tzn. ω (t ) = Stω0 w przestrzeni H .
Mnożąc równanie (3) przez ω , a następnie całkując po czasie otrzymujemy następujące
oszacowanie (nierówność energetyczną)
t
| ω (t ) |2 + ∫ | ω (τ ) |12 dτ ≤
0
t
| f |−1 + | ω0 |2 .
ν
(4)
Załóżmy, że na przestrzeni H 0 , której elementami są określone w chwili początkowej pola
ω0 zadana jest miara probabilistyczna µ0 ( E ), ∀E ∈ δ B ( H 0 ), µ0 ( H 0 ) = 1 .
STATYSTYCZNY OPIS PRZEPŁYWU BAROTROPOWEGO NA SFERZE
197
Definicja 6. Statystycznym rozwiązaniem problemu (3) nazywamy rodzinę miar µ (t , E )
spełniającą warunek
µ (t , E ) = µ0 ( St−1E ) = µ0 ({ω ∈ H : Stω ∈ E}), E ∈ δ B ( H 0 ).
(5)
Jeżeli µ (t , E ) = µ ( E ), ∀t ≥ 0 , to statystyczne rozwiązanie µ (t , E ) nazywamy stacjonarnym.
Niech F : H →  będzie dowolnym, ciągłym funkcjonałem. Z definicji (6) wynika, że
∫ F ( S ω ) µ (dω ) = ∫ F (ω ) µ (t , dω ).
t
(6)
0
2
Twierdzenie 3. Załóżmy, że całka ∫ ω µ0 (d ω ) istnieje i jest skończona. Wtedy, dla
rozwiązania statystycznego µ (t , E ) ma miejsce następujące oszacowanie (nierówność
energetyczna):
t
1/ 2
∫ ω µ (t, dω ) + ∫ dτ ∫ (−∆) ω µ (τ , dω ) ≤
2
2
0
t
f
τ
2
−1
+ ∫ ω µ0 (dω ).
2
(7)
Dowód. Wykorzystując nierówność (4), w której zastępujemy ω (t ) przez Stω0 a następnie
całkując po mierze µ0 (d ω0 ) otrzymujemy
∫
t
St ω0 µ (dω0 ) + ∫ dτ ∫ (−∆)1/ 2 Stω0 µ (d ω0 ≤
2
2
0
t
f
τ
2
−1
) + ∫ ω0 µ0 (d ω0 ).
2
(8)
Biorąc pod uwagę (6) uzyskujemy
t
1/ 2
∫ ω0 µ (t , dω0 ) + ∫ dτ ∫ (−∆) ω0 µ (τ , dω ) ≤
2
2
0
t
f
τ
2
−1
+ ∫ ω0 µ0 (dω0 ).
2
i ostatecznie, zamieniając ω0 na ω , otrzymujemy tezę.
Wprowadzimy teraz uśrednione miary µT ( E ) zgodnie z zależnością
!
T
1
µT ( E ) = ∫ µ (t , E )dt , ∀E ∈ δ B ( H ).
T 0
(9)
Twierdzenie 4.
Rodzina miar (9) jest zbieżna słabo do stacjonarnej miary µˆ ( E )
niezmienniczej względem półgrupy operatorów St skoncentrowanej na atraktorze A ⊂ H tej
półgrupy, przy czym µˆ ( E ) = 1 .
Dowód. Wykorzystując nierówność energetyczną (7) mamy, z uwagi na (9)
2
t
f
2
2
1
1
2
dτ ∫ (−∆)1/ 2 ω µ (τ , dω ) = ∫ (−∆)1/ 2 ω µT (d ω ) ≤ −1 + ∫ ω µ0 (dω ) ≤ c
∫
T 0
ν
T
( c =const) i w rezultacie
∫
2
(−∆)1/ 2 ω µT (d ω ) ≤ c,
∀T > T0 .
Tak więc, z ciągu miar probabilistycznych µT ( E ), E ∈ σ B ( H ) można wybrać zbieżny słabo
198
A. ICHA
podciąg
µTn ( E ), Tn → ∞
pokazujemy, zauważając, że
taki,
że
∫ F (ω )µ
0
µ Tn ( E ) → µˆ ( E ) .
Niezmienniczość
miary
µˆ ( E )
(dω ) = ∫ F (Sτ ω )µˆ (dω ), ∀τ > 0 i ∀F : H → .
4. UWAGI KOŃCOWE
Zgodnie z twierdzeniem (4), dowolna miara probabilistyczna µ0 ( E ) zadana na zbiorze
wszystkich możliwych warunków początkowych, generuje miarę niezmienniczą µˆ ( E )
skoncentrowaną na atraktorze półgrupy operatorów St związanych z równaniem (3).
Jednakże, zagadnienie ergodyczności tej miary pozostaje problemem otwartym. O wielkim
znaczeniu problematyki zarysowanej w tej pracy, a związanej z równaniami Naviera-Stokesa,
świadczy fakt umieszczenia NSE na liście Millenium Prize Problems pod nazwą NavierStokes Existence and Smoothness (http://www.claymath.org.). Dodajmy jeszcze, że z uwagi
na podstawowe trudności związane z analizą równań nieliniowych, wykorzystanie metod
teorii układów dynamicznych odnosi się głównie do problemów fizycznych opisywanych
równaniami różniczkowymi zwyczajnymi. W zagadnieniach turbulencji ten stan rzeczy
należy uważać za ,,pierwsze” przybliżenie. Podejście probabilistyczne stanowi właściwy
kierunek analizy (zob. szerzej [8]), chociaż, jak dotąd, nie znaleziono żadnego rozwiązania
statystycznego w jawnej postaci dla konkretnego przepływu turbulentnego.
LITERATURA
1. Szlenk W.: Wstęp do teorii gładkich układów dynamicznych. Warszawa: PWN, 1982.
2. Przeradzki B.: Teoria i praktyka równań różniczkowych zwyczajnych. Łódź: Wyd. Uniw.
Łódz., 2003.
3. Foias C., Manley I., Rosa R., Temam R.: Navier-Stokes equations and turbulence. Cambridge: Cambridge University Press, 2002.
4. Icha A.: Problemy teorii turbulencji. Rozpr. i Mon. 10. Sopot: IO PAN, 1999.
5. Dymnikov W.P., Filatov A.N.: Ustojčivost krupnomasstabnych atmosfernych processov.
Leningrad: Gidrometeoizdat, 1990.
6. Fomin S.W., Kornfeld I.P., Sinaj J.G.: Teoria ergodyczna. Warszawa: PWN, 1987, (tłum.
z jęz. ros.).
7. Dymnikov W.P., Filatov A.N.: Vvedenie v matematičeskuju teorju klimata. Moskva:
IVM RAN, 1993.
8. Višik M.I., Fursikov A.W.: Matematičeskie zadači statističeskoj gidromechaniki.
Moskva: Nauka, 1980.
STATISTICAL APPROACH TO BAROTROPIC FLOW ON SPHERE
Summary. In this paper dynamical systems approach is applied to description
of selected problems in turbulence theory. A notion of statistical solution for
transport vorticity equation is introduced. A suitable energetic inequality for this
solution is obtained. Using this fact, it is shown that an arbitrary probablilistic
measure, defined on the set of all initial data, generated an invariant measure concentrated on the attractor of semi-group operators associated with the transport
vorticity equation.