Zadanie 4d. Zadanie 4e. Zadanie 4f.

Komentarze

Transkrypt

Zadanie 4d. Zadanie 4e. Zadanie 4f.
Komentarze do zadania są zaznaczone na niebiesko.
Poprzednio (przy zadaniu 4a,b,c) objaśniałem, jak się robi takie potęgowanie.
Zadanie 4d.
r
22 +
Obliczamy “r” jako: r =
√
2
12
= 4.
√
√
Obliczamy tangens kąta ϕ: tg( ϕ) = b/a = 12/2 = 3 czyli ϕ = π/3. Całe wyrażenie jest równe:
5
√ 5 2 + j 12 = 4 ejπ/3 = 45 e(5/3)πj
Wracamy do postaci a + bj. Kąt (5/3)π to 300◦ , kąt w IV ćwiartce układu współrzędnych, odpowiadający kątowi 60◦ , tylko, że jego sinus jest ujemny. Mamy więc:
√
5
1
5
3
cos
π =
oraz
sin
π =−
3
2
3
2
i całe wyrażenie jest równe 1024 (cos 5ϕ + j sin 5ϕ) czyli:
√ !
√ 5
√
3
1
2 + j 12 = 1024
−
j = 512 − 512 3 j
2
2
Zadanie 4e.
r
Obliczamy “r” jako: r =
√ 2
2 · 1/ 2 = 1.
Obliczamy tangens kąta ϕ: tg( ϕ) = b/a = 1 czyli ϕ = π/4. Całe wyrażenie jest równe:
√ 26 jπ/4 26
= 126 e(26/4)πj = e(1/2)πj = j
(1 + j)/ 2
= e
Powyżej wykorzystałem fakt, że 26/4 = 6 + 1/2, a ponieważ 6π to wielokrotność 2π więc można je
odjąć bez zmiany wartości wyrażenia. Z kolei π/2 to 90 stopni więc cos = 0 i sin = 1, stąd wynik.
Zadanie 4f.
Aha, tu jest “haczyk”. Zauważ, że liczby 3 – 2j oraz 3 + 2j różnią się tylko znakiem przy części urojonej
więc, pamiętając o tym, że sin(−ϕ) = − sin(ϕ) oraz cos(−ϕ) = cos(ϕ), a moduły “r” obu liczb są
jednakowe, można całe wyrażenie zapisać w postaci trygonometrycznej jako:
= r6 [cos(−ϕ) + j sin(−ϕ)]6 + r6 [cos(ϕ) + j sin(ϕ)]6 = r6 [cos(6ϕ) − sin(6ϕ) + cos(6ϕ) + sin(6ϕ)]
czyli
√
√
= 2r6 cos(6ϕ)
Zostają drobiazgi: r = 32 + 22 = 13 czyli r6 = 133 = 2197 oraz tg ϕ = 2/3. Zostaje nieprzyjemny
cos(6ϕ). Pozwoliłem sobie użyć programu do policzenia tego gdy znamy tg ϕ i wychodzi –2035/2197,
czyli całe wyrażenie jest równe:
−2035
= 2 · 2197 ·
= −4070
2197
(Uwaga: Gdy zastąpimy: α = 2ϕ to cos(6ϕ) = cos(3α) = cos3 α−3 cos α sin2 α, natomiast cos α = cos(2ϕ)
już łatwo wyliczyć z tangensa ϕ. To już zwykła trygonometria, nie liczby zespolone, w razie pytań
pisz na priv).
Pozdrowienia - Antek