Zadanie 4d. Zadanie 4e. Zadanie 4f.

Komentarze do zadania są zaznaczone na niebiesko.
Poprzednio (przy zadaniu 4a,b,c) objaśniałem, jak się robi takie potęgowanie.
Zadanie 4d.
r
22 +
Obliczamy “r” jako: r =
√
2
12
= 4.
√
√
Obliczamy tangens kąta ϕ: tg( ϕ) = b/a = 12/2 = 3 czyli ϕ = π/3. Całe wyrażenie jest równe:
5
√ 5 2 + j 12 = 4 ejπ/3 = 45 e(5/3)πj
Wracamy do postaci a + bj. Kąt (5/3)π to 300◦ , kąt w IV ćwiartce układu współrzędnych, odpowiadający kątowi 60◦ , tylko, że jego sinus jest ujemny. Mamy więc:
√
5
1
5
3
cos
π =
oraz
sin
π =−
3
2
3
2
i całe wyrażenie jest równe 1024 (cos 5ϕ + j sin 5ϕ) czyli:
√ !
√ 5
√
3
1
2 + j 12 = 1024
−
j = 512 − 512 3 j
2
2
Zadanie 4e.
r
Obliczamy “r” jako: r =
√ 2
2 · 1/ 2 = 1.
Obliczamy tangens kąta ϕ: tg( ϕ) = b/a = 1 czyli ϕ = π/4. Całe wyrażenie jest równe:
√ 26 jπ/4 26
= 126 e(26/4)πj = e(1/2)πj = j
(1 + j)/ 2
= e
Powyżej wykorzystałem fakt, że 26/4 = 6 + 1/2, a ponieważ 6π to wielokrotność 2π więc można je
odjąć bez zmiany wartości wyrażenia. Z kolei π/2 to 90 stopni więc cos = 0 i sin = 1, stąd wynik.
Zadanie 4f.
Aha, tu jest “haczyk”. Zauważ, że liczby 3 – 2j oraz 3 + 2j różnią się tylko znakiem przy części urojonej
więc, pamiętając o tym, że sin(−ϕ) = − sin(ϕ) oraz cos(−ϕ) = cos(ϕ), a moduły “r” obu liczb są
jednakowe, można całe wyrażenie zapisać w postaci trygonometrycznej jako:
= r6 [cos(−ϕ) + j sin(−ϕ)]6 + r6 [cos(ϕ) + j sin(ϕ)]6 = r6 [cos(6ϕ) − sin(6ϕ) + cos(6ϕ) + sin(6ϕ)]
czyli
√
√
= 2r6 cos(6ϕ)
Zostają drobiazgi: r = 32 + 22 = 13 czyli r6 = 133 = 2197 oraz tg ϕ = 2/3. Zostaje nieprzyjemny
cos(6ϕ). Pozwoliłem sobie użyć programu do policzenia tego gdy znamy tg ϕ i wychodzi –2035/2197,
czyli całe wyrażenie jest równe:
−2035
= 2 · 2197 ·
= −4070
2197
(Uwaga: Gdy zastąpimy: α = 2ϕ to cos(6ϕ) = cos(3α) = cos3 α−3 cos α sin2 α, natomiast cos α = cos(2ϕ)
już łatwo wyliczyć z tangensa ϕ. To już zwykła trygonometria, nie liczby zespolone, w razie pytań
pisz na priv).
Pozdrowienia - Antek