Stany graniczne

Stany graniczne
Wewnętrzny stan bryły
Bryła (konstrukcja) jest w równowadze, jeżeli oddziaływania
zewnętrzne i reakcje się równoważą.
α
q
P
P
P
α
Jednak drugim warunkiem
równowagi jest
przeniesienie przez materiał
bryły naprężeń, które
występują w bryle z
powodu zewnętrznych sił.
Wewnętrzny stan bryły
W każdym przekroju bryły mamy ciągłe wzajemne oddziaływania,
które nazywane są naprężeniami.
Przekroje z siłami
Siły wewnętrzne są
wypadkowymi z naprężeń q
P
wypadkowymi z naprężeń.
q
P
M
W
q
P
P
q
M
W
P
W.
Ty
P
Przekroje z naprężeniami
Przekroje ze
składowymi sił
wypadkowych czyli
siłami wewnętrznymi
Tz
N
Mx My
Mz
M
Modele materiału
Naprężenia σ w przekroju zależą od odkształceń ε, będących
wynikiem oddziaływań zewnętrznych. Kształt wykresu,
opisującego tą zależność, decyduje m.in. o klasyfikacji
materiałów.
Materiał z wyraźną
granicą plastyczności
Przykład – stal
niskowęglowa
Materiał bez
granicy plastyczności
Przykład – stal
konstrukcyjna stopowa
Materiał kruchy
Przykład – żeliwo,
beton
Modele materiału
σ
W obliczeniach wykorzystuje się uproszczone modele
materiałów
σ
σ
σ
σpl
ε
Materiał
idealnie sprężysty
ε
Materiał idealnie
sprężysto-plastyczny
ε
Materiał idealnie
sztywno plastyczny
ε
Materiał
ze wzmocnieniem
Wewnętrzny stan w przekroju
belki
Stan użytkowania konstrukcji – stan, w którym mamy
pewien stan sił wewnętrznych, które są efektem naprężeń
Przekrój belki
dopuszczalnych w danym materiale.
y
z
σpl=50000kPa
g=0.06m
A=gh=72·10-4m2 – pole przekroju
Jz=gh3/12=864·10-8m4 – moment bezwładności
względem osi z
Wz=Jz/(h/2)=144·10-6m3 – wskaźnik
wytrzymałości przy zginaniu względem osi z
Sz=gh/2·h/4=108·10-6m3 – moment statyczny
fragmentu przekroju powyżej osi z
i względem osi z
Przykład belki z zestawem sił wewnętrznych
Wewnętrzny stan w przekroju
belki
Stan użytkowania konstrukcji – stan, w którym mamy
pewien stan sił wewnętrznych, które są efektem naprężeń
dopuszczalnych w danym materiale.
Naprężenia w α−α
α
My
σ =−
Jz
gdzie: M=0.5qb(a+0.75b)=5kNm,
q=0.5kN/m, a=2m, b=4m,
Jz=864·10-8m4, y=h/2=0.06m
y
σ =−
z
α
= −35722kPa
σ = − 35722kPa < σ pl
σpl=50000kPa
σ =−
Mmax=0.5qb(a+0.75b)
My
5kNm ⋅ 0.06m
=−
=
Jz
864 ⋅10-8 m 4
My 5kNm ⋅ 0.06m
=
=
Jz
864 ⋅10 -8 m 4
= 35722kPa < σ dop
Sprężysty stan graniczny
nośności,
Jeżeli na konstrukcję działa obciążenie takie, że w najbardziej
wytężonym przekroju zostaje osiągnięta granica sprężystości
czyli w przekroju mamy naprężenia równe σpl, to mówimy, że
został osiągnięty sprężysty graniczny stan nośności.
σ
y
σ pl = −50000kPa
σpl
ε
Materiał idealnie
sprężysto-plastyczny
z
σ pl = 50000 kPa
Dla obciążeń od 0 do obciążenia, przy którym nastąpi
osiągnięcie sprężystego stanu granicznego, naprężenia są wprost
proporcjonalne do obciążeń.
Sprężysty stan graniczny
nośności
Wyznaczenie wartości q, przy której zostanie osiągnięty
sprężysty stan graniczny.
My
Naprężenia w α−α
α
σ =−
Jz
Naprężenia w skrajnych włóknach:
-górnych σ = −
My1
Jz
-dolnych σ = − My 2
Jz
y
Naprężenia maksymalne
gdzie:
J
Wz =
α
z
Mmax=0.5qb(a+0.75b)
z
y1
J
Wz = z
y2
σ=
M
Wz
dla |y1|>|y2|
dla |y2|>|y1|
Sprężysty stan graniczny
nośności
Wyznaczenie wartości q, przy której zostanie osiągnięty
sprężysty stan graniczny.
M
α
Naprężenia maksymalne σ =
gdzie:
M=0.5b(a+0.75b)q=10m2q,
Wz
= σ pl
a=2m,
b=4m, y=h/2=0.06m,
Jz=gh3/12=864·10-8m4 – moment bezwładności
względem osi z;
Wz=Jz/(h/2)=144·10-6m3 – wskaźnik
wytrzymałości przy zginaniu względem osi z
10m 2 q
50000kPa =
−6
3
144
⋅
10
m
y
q=0.72kN/m
σ = −50000kPa = −σ pl
α
z
σ = 50000kPa = σ pl
Mmax=0.5qb(a+0.75b)
Wzrost obciążenia
Wzrost obciążenia może
naprężeń w części przekroju.
α
y
M=9.2kNm
q=0.92kN/m
σ = −35722kPa
Naprężenia w α−α
My
σ =−
Jz
M=9.2kNm, q=0.92kN/m
σ = −63889kPa
σ = −50000kPa
c=0.02m
z
σ = 35722kPa < σ dop
przekroczenie
gdzie: M=0.5qb(a+0.75b), a=2m,
b=4m, Jz=864·10-8m4, y=h/2=0.06m
σdop=50000kPa
M=5kNm
q=0.5kN/m
spowodować
σ = 63889kPa
Rozkład naprężeń bez uwzględnienia
przekroczenia naprężeń dopuszczalnych
Rozkład naprężeń rzeczywisty
czyli po uwzględnieniu
przekroczenia naprężeń
dopuszczalnych i
uplastycznieniu części
przekroju
c
σ = 50000kPa
Wzrost obciążenia
Wzrost obciążenia może
naprężeń w części przekroju.
α
q=0.92kN/m
σ = −50000kPa
c
z
A
przekroczenie
Naprężenia w α−α
My
σ=
Jz
gdzie: M=0.5qb(a+0.75b)=10m2q, a=2m,
b=4m, Jz=864·10-8m4, y=h/2=0.06m
σpl=50000kPa
y
spowodować
Moment wyznaczony jako moment od
obciążenia ciągłego względem punktu A:

2  h 
h c
h 
M = ∫ σydA = 2 g ⋅ σ pl c −  + 0.5 ⋅  − c σ pl  − c 
3  2 
 2 2
2 

A
c=0.02m
σ = 50000kPa
2

2  0.12m
 0.12m 0.02m 
 
M = 2 ⋅ 50000kPa ⋅ 0.06m 0.02m
−
− 0.02m   =
 + 0.5 ⋅ 
2 
3 2
 2
 

= 9.2kNm
Wzrost obciążenia
Dalszy wzrost obciążenia doprowadza do osiągnięcia
uplastycznienia w całym przekroju czyli osiągnięcia stanu, po
którym kolejnym etapem jest utrata nośności przekroju. Taki stan
graniczny nosi nazwę plastycznego stanu granicznego nośności.
q=0.5kN/m
y
σ = −35722kPa
z
g
q=1.08kN/m
q=0.92kN/m
σ = −50000kPa
σ = −50000kPa
σpl=50000kPa
h
A
σ = 35722kPa < σ dop
Rozkład naprężeń przed
przekroczeniem naprężeń
dopuszczalnych
σ = 50000kPa
σ = 50000kPa
Moment przeniesiony w
M A,o = 2( gh / 2)σ doph / 4
stanie granicznym:
Wzrost obciążenia
Dalszy wzrost obciążenia doprowadza do osiągnięcia uplastycznienia w całym
przekroju czyli osiągnięcia stanu, po którym kolejnym etapem jest utrata nośności
przekroju. Taki stan graniczny nosi nazwę stanu granicznego nośności.
Moment przeniesiony w stanie granicznym,
wyznaczony jako moment od obciążenia
ciągłego względem punktu A:
σpl=50000kPa
q=???
y
M gr = ∫ σydA = M A, gr = 2( gh / 2)σ doph / 4
σ = −50000kPa
z
h
A
M o = 2(0.06m ⋅ 0.12m / 2) ⋅ 50000kPa ⋅ 0.12m / 4 =
A
= 10.8kPa
g
σ = 50000kPa
Ponieważ M=0.5qb(a+0.75b), a=2m, b=4m,
to qmax=MA,o/[0.5b(a+0.75b)]=
=10.8kPa/(0.5·4m (2m+0.75·4m))=1.08kNm
Jeżeli przyjmujemy za wyjściowe obciążenie q=0.5kN/m, to mnożnik
obciążenia granicznego wynosi µG=qmax/q=1.08/0.5=2.16
Przegub plastyczny
Dalszy wzrost obciążenia doprowadza do osiągnięcia uplastycznienia w
całym przekroju. Taki stan graniczny nosi nazwę stanu granicznego nośności. W
przekroju, w którym nastąpiło uplastycznienie całego przekroju powstaje przegub
plastyczny.
σ = −50000kPa
z
h
A
Przegub plastyczny
g
σ = 50000kPa
Różnica pomiędzy zwykłym przegubem a przegubem plastycznym:
•zwykły przegub jest to połączenie, które pozwala na obrót i w ogóle nie stawia
oporu przy obrocie;
•przegub plastyczny nie pozwala na obrót przy obciążeniu mniejszym niż to
powodujące uplastycznienie przegubu, natomiast przy większym obciążeniu
przenosi moment graniczny Mgr i pozwala na obrót przekroju.
Przegub plastyczny
Różnica pomiędzy zwykłym przegubem a przegubem plastycznym:
•zwykły przegub jest to połączenie, które pozwala na obrót i w ogóle nie stawia
oporu przy obrocie;
•przegub plastyczny nie pozwala na obrót przy obciążeniu mniejszym niż to
powodujące uplastycznienie przegubu, natomiast przy większym obciążeniu
przenosi moment graniczny Mgr i pozwala na obrót przekroju.
σ = −50000kPa
z
h
A
Przegub plastyczny
g
σ = 50000kPa
W układach statycznie wyznaczalnych wzrost obciążenia powyżej tego, który
spowodował uplastycznienie przegubu oznacza utratę nośności, a w układach
statycznie niewyznaczalnych oznacza zmianę rozkładu momentu zginającego
(dystrybucja momentów zginających).
Przegub plastyczny w układzie
statycznie niewyznaczalnym
qµ
przegub zwykły
qµ
Mgr
przegub plastyczny
przegub zwykły
W układach statycznie wyznaczalnych wzrost obciążenia powyżej tego, który
spowodował uplastycznienie przegubu oznacza utratę nośności, a w układach
statycznie niewyznaczalnych oznacza zmianę rozkładu momentu zginającego
(dystrybucja momentów zginających).
Przegub plastyczny w układzie
statycznie niewyznaczalnym
12qlµ
12qlµ
Mgr
Mgr
qµ
Mgr
qµ
Mgr
W układach statycznie wyznaczalnych wzrost obciążenia powyżej tego, który
spowodował uplastycznienie przegubu oznacza utratę nośności, a w układach
statycznie niewyznaczalnych oznacza zmianę rozkładu momentu zginającego
(dystrybucja momentów zginających).
Plastyczny wskaźnik
wytrzymałości przy zginaniu
Moment graniczny można wyznaczyć ze wzoru
M gr = ∫ σydA = σ pl ∫ y dA =σ pl ( S1 + S 2 ) = 2σ pl S1
A
A
y
z
g
σ pl =
σ pl
h
A
M gr
2 S1
=
M gr
W pl , z
gdzie plastyczny wskaźnik przekroju
przy zginaniu wynosi:
σ pl
S1 – moment statyczny przekroju powyżej osi z względem osi z
S2 – moment statyczny przekroju poniżej osi z względem osi z
S1 = S 2
W pl , z = 2S1
Plastyczny wskaźnik wytrzymałości
przy zginaniu - prostokąt
y
Wskaźnik plastyczny prostokąta:
h/2
z
h/4
h
gh 2
W pl , z = 2 S1 = 2 A1h / 4 = 2( gh / 2)h / 4 =
4
Wskaźnik sprężysty prostokąta:
gh 3
Jz
gh 2
12
Wz =
=
=
y1 h / 2
6
g
Współczynnik kształtu k – iloraz plastycznego wskaźnika wytrzymałości przy
zginaniu do sprężystego wskaźnika wytrzymałości. Współczynnik kształtu jest
zawsze większy niż 1.
gh 2
k=
S = Ayc
W pl
= 4 2 = 1.5
gh
W
6
- moment statyczny figury płaskiej można liczyć jako iloczyn pola i
odległości środka ciężkości od osi, względem której liczony jest
moment statyczny.
Badanie zmian w belce pod
wpływem wzrastającego obciążenia
Przykładowa belka z obciążeniem statycznym
10kN
2m
2.0kN/m
3m
6m
4m
σdop=σpl=50000kPa
Przekrój belki
y
z
g=0.06m
E=2·108kPa
W=Jz/(h/2)=gh2/6=144·10-6m3 –
wskaźnik wytrzymałości przy
zginaniu względem osi z
Wpl=2(gh/2)(h/4)=gh2/4=216·10-6m3
– plastyczny wskaźnik
wytrzymałości przy zginaniu
względem osi z
σ
Wykres σ-ε dla materiału
idealnie sprężysto-plastycznego
σpl
α
ε
Moduł Younga
E=tg(α)
Wykresy sił wewnętrznych w
zakresie sprężystym
2.0kN/m
10kN
MA=-6.45kNm
A
2m
3m
VA=6.03kN
6.03
C
B
6.47
+
6m
VB=10.44kN
4m
VC=6.41kN
-
6.45
VD=-0.88kN
0.88
T [kN]
+
3.97
D
-
5.53
6.30
3.51
M
[kNm]
5.61
4.09
Maksymalne naprężenia normalne
dla danego obciążenia
2.0kN/m
10kN
MA=-6.45kNm
A
C
B
2m
VA=6.03kN
6.45
3m
6.47
6m
VB=10.44kN
6.30
4.09
5.61
Największy moment zginający jest w punkcie A
σ=
D
4m
VC=6.41kN
VD=-0.88kN
3.51
M
[kNm]
σpl
M
6.45kNm
2
=
=
44792
kN/m
= 44792kPa
−6
3
W 144 ⋅10 m
W=144·10-6m3
σpl=50000kPa
α
ε
Maksymalne naprężenia normalne
dla danego obciążenia
2.0kN/m
10kN
MA=-6.45kNm
A
C
B
2m
3m
VA=6.03kN
6.47
6.45
D
6m
4m
VB=10.44kN
VC=6.41kN
6.30
3.51
y
5.61
VD=-0.88kN
σ = 44792kPa < σ pl
4.09
z
Rozkład naprężeń w przekroju w p. A
h
σ = 44792kPa
g
σ = −44792kPa
M
[kNm]
Dystrybucja momentów zginających
MA=-µ6.45kNm
A
µ2.0kN/m
µ10kN
C
B
2m
3m
VA=µ6.03kN
6.47
7.20
6m
VB=µ10.44k
N
7.03
6.26
D
4m
VC=µ6.41k
N
VD=-µ0.88kN
3.92
4.56
Proporcjonalne zwiększenie obciążenia, dla
którego mnożnik obciążenia wynosi µ=1.116. Przy
µ=1.116 osiągamy sprężysty stan graniczny.
σ = 50000kPa = σ pl
Rozkład
naprężeń w p.A
σ = −50000kPa
M
[kNm]
Dystrybucja momentów zginających
MA=-µ6.45kNm
A
µ2.0kN/m
µ10kN
C
B
2m
3m
VA=µ6.03kN
6.47
10.8
6m
VB=µ10.44k
N
10.55
D
4m
VC=µ6.41k
N
VD=-µ0.88kN
5.88
M
[kNm]
9.39
6.84
M gr = W pl , zσ pl = 216·10 -6 m 3 ⋅ 50000kPa = 10.8kNm
Rozkład
naprężeń w p.A
σ = 50000 kPa = σ pl
Mgr zostanie uzyskane przy mnożniku obciążenia µ=1.674
σ = −50000kPa
Dystrybucja momentów zginających
Mgr =
-10.8kNm K
A
2m
3m
6.47
6m
D
4m
VB=17.48kN
VC=10.73kN
10.55
VD=-1.47kN
5.88
M
[kNm]
9.39
6.84
Punkt K
Punkt B
σ = −50000kPa
σ = 50000kPa
Punkt L
σ = −47500kPa
c=0.044m
c=0.022m
σ = −50000kPa
µ=1.674
L
10.8
σ = 50000kPa = σ pl
C
B
VA=10.09kN
Punkt A
M gr = 10.8kNm
µ2.0kN/m
µ10kN
σ = 50000kPa
σ = −50000kPa
σ = 47500kPa
Dystrybucja momentów zginających
Mgr =
-10.8kNm K
A
2m
M gr = 10.8kNm
µ2.0kN/m
µ10kN
C
B
µ=1.674
D
L
3m
VA=10.09kN
6.47
10.8
6m
VB=17.48kN
VC=10.73kN
10.55
9.39
4m
5.88
M
[kNm]
6.84
Kolejnym punktem, gdzie zostanie osiągnięty moment graniczny jest punkt B.
Moment zginający wynosi M=10.55kNm. W celu uzyskania wartości granicznej
Mgr=10.8kNm trzeba zwiększyć obciążenie z mnożnikiem 1.019 (siła skupiona w p. K
i obciążenie ciągłe). Współczynnik obciążenia wynosi:
µ=1.674⋅⋅1.019=1.706
VD=-1.47kN
Dystrybucja momentów zginających
Mgr =
-10.8kNm K
A
2m
-Mgr
-Mgr
6.47
µ=1.674⋅⋅1.019=1.706
D
L
3m
10.8
σ = 50000kPa = σ pl
C
B
VA=10.24kN
Punkt A
M gr = 10.8kNm
µ2.0kN/m
µ10kN
6m
VB=17.86kN
4m
VC=10.92kN
10.8
5.97
M
[kNm]
9.67
6.97
Punkt K
Punkt B
σ = −50000kPa
σ = 50000kPa
Punkt L
σ = −48403kPa
c=0.026m
σ = −50000kPa
VD=-1.49kN
σ = 50000kPa
σ = −50000kPa
σ = 48403kPa
Dystrybucja momentów zginających
Mgr =
-10.8kNm K
A
2m
M gr = 10.8kNm
µ2.0kN/m
µ10kN
C
B
-Mgr
-Mgr
3m
VA=10.24kN
6.47
10.8
6m
VB=17.86kN
4m
VC=10.92kN
VD=-1.49kN
5.97
M
[kNm]
6.97
Kolejnym punktem, gdzie zostanie osiągnięty moment graniczny jest punkt K.
Moment zginający wynosi M=9.67kNm. W celu uzyskania wartości granicznej
Mgr=10.8kNm trzeba zwiększyć obciążenie z mnożnikiem 1.055 (siła skupiona w p. K
i obciążenie ciągłe). Współczynnik obciążenia wynosi:
µ=1.706⋅⋅1.055=1.8
D
L
10.8
9.67
µ=1.706
Dystrybucja momentów zginających
Mgr
µ10kN
Mgr
Mgr =
-10.8kNm K
A
2m
-Mgr
-Mgr
6.47
µ=1.706⋅⋅1.055=1. 8
6m
VB=18.55kN
VD=-1.62kN
6.48
M
[kNm]
10.8
σ = −50000kPa
4m
VC=11.42kN
10.8
Punkt K
D
L
3m
10.8
σ = 50000kPa = σ pl
C
B
VA=10.8kN
Punkt A
M gr = 10.8kNm
µ2.0kN/m
7.56
Punkt B
σ = 50000kPa
Punkt L
σ = −50000kPa
Punkt C
σ = 43750 kPa = σ pl
c=0.003m
σ = −50000kPa
σ = 50000kPa = σ pl
σ = −50000kPa
σ = 50000kPa
σ = −43750kPa
Dystrybucja momentów zginających
Mgr
µ10kN
Mgr
Mgr =
-10.8kNm K
A
2m
C
B
-Mgr
-Mgr
3m
VA=10.8kN
6.47
10.8
µ=1. 8
D
L
6m
4m
VB=18.76kN
10.8
10.8
M gr = 10.8kNm
µ2.0kN/m
VC=11.7kN
VD=-1.62kN
Przegub, który byłby wprowadzony jako kolejny,
gdyby nie uzyskanie geometrycznej zmienności
pomiędzy punktami A i B.
6.48
M
[kNm]
7.56
Układ jest trzykrotnie statycznie niewyznaczalny czyli układ na rysunku po wstawieniu trzech
przegubów stałby się statycznie wyznaczalny, gdyby nie fakt, że akurat taki układ przegubów powoduje,
że po lewej stronie podpory B mam już mechanizm (układ jest geometrycznie zmienny), a po lewej układ
jest przesztywniony. A więc w ten sposób osiągnięty został plastyczny stan graniczny a µ=1. 8=µ
µG
i jest graniczny mnożnik obciążenia.
Graniczny mnożnik obciążenia
Mgr
µ10kN
Mgr
Mgr =
-10.8kNm K
A
2m
µ2.0kN/m
M gr = 10.8kNm
B
-Mgr
C
-Mgr
Mgr
3m
VA=10.8kN
Graniczny mnożnik obciążenia:
L
6m
VB=18.76kN
D
4m
VC=11.7kN
VD=-1.62kN
µG=1.8
Graniczny mnożnik obciążenia spełnia warunek:
µs <µG< µk
µs – statyczny mnożnik obciążenia granicznego wyznacza się, przy założenia, że w konstrukcji
powstają pełne (zwykłe) przeguby i na podstawie analizy rozkładu momentów zginających,
które nie mogą być większe w układzie niż Mgr
µk – kinematyczny mnożnik obciążenia granicznego wyznacza się, przy założeniu, że w
konstrukcji powstają przeguby plastyczne, które pozwalają na obrót gdy M=Mgr, ale jednak jest
tam wykonywana praca wewnętrznych. Do wyznaczenia µk wykorzystuje się zasadę prac
wirtualnych Lz=-Lw
Graniczny mnożnik obciążenia
Mgr
µ10kN
Mgr
Mgr =
-10.8kNm K
A
2m
µ2.0kN/m
M gr = 10.8kNm
B
C
-Mgr
-Mgr
Mgr
3m
L
6m
VB=18.76kN
VA=10.8kN
µG=1.8
Graniczny mnożnik obciążenia:
D
Graniczny mnożnik obciążenia spełnia warunek:
4m
VC=11.7kN
VD=-1.62kN
µs <µG< µk
µs – statyczny mnożnik obciążenia granicznego wyznacza się, przy założenia, że w konstrukcji
powstają pełne (zwykłe) przeguby i na podstawie analizy rozkładu momentów zginających,
które nie mogą być większe w układzie niż Mgr
µk – kinematyczny mnożnik obciążenia granicznego wyznacza się, przy założeniu, że w
konstrukcji powstają przeguby plastyczne, które pozwalają na obrót gdy M=Mgr, ale jednak jest
tam wykonywana praca wewnętrznych. Do wyznaczenia µk wykorzystuje się zasadę prac
wirtualnych Lz=-Lw
∑P
k
k
⋅ u k = ∑ M grθ i
i
Graniczny mnożnik obciążenia
Twierdzenie statyczne
Jeżeli dla danego obciążenia może być znalezione pole momentów, spełniających
warunki równowagi i nie przekraczających wartości M0, to konstrukcja nie ulegnie pod
tym obciążeniem zniszczeniu, lecz co najwyżej osiągnie stan granicznej nośności.
Wniosek:
Każdy statyczny mnożnik obciążenia µs jest mniejszy lub co najwyżej równy
rzeczywistemu mnożnikowi granicznemu µG. Oszacowanie następuje od dołu (zbliżamy
się do maksimum).
Twierdzenie kinematyczne
Konstrukcja idealnie plastyczna ulegnie zniszczeniu pod wpływem danego obciążenia
jeśli można znaleźć taki mechanizm, dla którego praca obciążeń zewnętrznych będzie
większa niż praca jaką mogą wykonać siły wewnętrzne.
Wniosek:
Każdy kinematyczny mnożnik obciążenia µk jest mniejszy lub co najwyżej równy
rzeczywistemu mnożnikowi granicznemu µG. Oszacowanie następuje od góry (zbliżamy
się do minimum).
Koniec