Optymalne warunki pracy impulsowej lampy rentgenowskiej
Transkrypt
Optymalne warunki pracy impulsowej lampy rentgenowskiej
Optymalne warunki pracy impulsowej lampy rentgenowskiej Dominik SENCZYK Politechnika Poznańska [email protected] Słowa kluczowe: impulsowa lampa rentgenowska, moc dawki promieniowania rentgenowskiego, energia impulsu promieniowania rentgenowskiego, sprawność impulsowej lampy rentgenowskiej Dla każdego urządzenia technicznego można wyznaczyć optymalne warunki jego pracy. Dotyczy to również lamp rentgenowskich. Optymalne warunki pracy impulsowej lampy rentgenowskiej określają różne czynniki, z których najważniejsze to: − maksymalne natężenia promieniowania, − duża wartość współczynnika sprawności lampy, − czas trwania impulsu. Rozważymy wpływ powyższych czynników na warunki pracy impulsowej lampy rentgenowskiej. Jeżeli impulsową lampę rentgenowską zastąpimy równoważnym obciążeniem Z, to napięcie Uob na tym obciążeniu wynosi: U ob = U0Z , R+Z (1) a natężenie prądu iob: i ob = U0 , R+Z (2) gdzie: U0 - napięcie na lampie rentgenowskiej, R - opór, Z - opór zastępczy lampy rentgenowskiej. Badania doświadczalne pokazują, że moc dawki promieniowania rentgenowskiego jest funkcją napięcia i natężenia prądu płynącego w lampie rentgenowskiej: P= dD = kiU m , dt gdzie: D - dawka promieniowania, i - natężenie prądu w lampie rentgenowskiej, przy czym i = f(t), U - napięcie na anodzie lampy rentgenowskiej, przy czym U = f(t), k - czynnik proporcjonalności. 1 (3) W większości przypadków we wzorze (3) można przyjąć m = 2, co nie ogranicza ogólności rozważań i powoduje niewielkie zniekształcenie otrzymanych rezultatów. Moc dawki promieniowania rentgenowskiego na podstawie wzoru (3), po podstawieniu wyrażeń (1) i (2), wynosi więc: P = ki ob U 2 ob =k U 30 Z 2 (R + Z)3 . (4) Wyznaczymy warunek, przy spełnieniu którego w impulsowej lampie rentgenowskiej jest generowane promieniowanie o maksymalnym natężeniu. W tym celu korzystamy z warunku istnienia ekstremum funkcji P = f(Z) określonej wzorem (4): 2 ZU 30 (R + Z) − 3(R + Z ) Z 2 U 30 2(R + Z) − 3Z dP =0. = kZU 30 =k 6 dZ (R + Z)4 (R + Z) 3 2 (5) Ponieważ w tym równaniu czynnik kZU 30 ≠ 0 i wyrażenie w mianowniku (R + Z) ≠ 0, więc jest ono spełnione gdy licznik wyrażenia po prawej stronie jest równy zero, a więc gdy: 2(R + Z) − 3Z = 0 , (6) Z = 2R. (7) skąd: Otrzymany warunek pokazuje, że optymalne warunki pracy impulsowej lampy rentgenowskiej otrzymuje się wówczas, gdy jej opór wynosi 2R, a więc nie przy całkowitej zgodności z przekazywaną mocą (czyli gdy Z = R), przy czym w tym przypadku całkowity opór impulsowej lampy rentgenowskiej Z > R. Otrzymany rezultat potwierdzają bezpośrednie pomiary natężenia promieniowania, które pokazują, że maksimum występuje przy tmax ≈ 0,4tk, gdzie: tk jest czasem komutacji. W przypadku rozładowania kondensatora o pojemności C energię impulsu E promieniowania rentgenowskiego można wyznaczyć w następujący sposób [1]: t imp E= ∫ i(t )U(t )dt , (8) 0 gdzie: timp - czas wyznaczający koniec impulsu. Jeżeli całkowanie rozszerzyć na czas T, przy czym: T= vt , d (9) gdzie t = tk (tk - czas komutacji), to 1 E = ∫ i ∗ (T )U ∗2 (T )dT , 0 gdzie: 2 (10) i , i0 i∗ = U∗ = (11) U1 U0 (12) są względnymi wartościami natężenia prądu i napięcia, które można wyznaczyć z równania: Q= dU + i∗ = 0 , dt (13) w którym CU 0 . i0T Q= (14) Po wykonaniu odpowiednich przekształceń otrzymujemy: kZ p CU 0 E= 3 , (15) gdzie: k - stała mająca wartość 1·10-6 kV-1, Zp - liczba atomowa pierwiastka, z którego jest wykonana anoda lampy rentgenowskiej. Możemy więc również wyznaczyć współczynnik sprawności impulsowej lampy rentgenowskiej: η= 2kZ p U 0 3 . (16) Wzór (16) pokazuje, że współczynnik sprawności impulsowej lampy rentgenowskiej zależy podobnie jak w przypadku zwykłej lampy rentgenowskiej - od napięcia jej pracy i liczby atomowej pierwiastka, z którego jest wykonana anoda lampy rentgenowskiej. Tak więc na podstawie zależności (4), (15) i (16) można dobrać warunki pracy impulsowej lampy rentgenowskiej i określić wymagania dotyczące jej oporu, napięcia zasilania i pojemności. Można również uzyskać wzory pozwalające na wyznaczenie oporu i czasu trwania impulsu promieniowania rentgenowskiego w impulsowych lampach rentgenowskich. 3