pod thesea

ISSN 1733-8670
ZESZYTY NAUKOWE NR 6(78)
AKADEMII MORSKIEJ
W SZCZECINIE
I N Ż Y N I E R I A R U C H U M O R S K I E G O 2 00 5
Magdalena Kozak
Modelowanie powierzchni dna morskiego
z wykorzystaniem sieci RBF
Słowa kluczowe: numeryczny model terenu, sieci RBF.
Numeryczny model rzeźby terenu (NMT) ma coraz większe zastosowanie zarówno przy modelowaniu powierzchni lądowych, jak i dna morskiego oraz innych
akwenów. Znajduje on również zastosowanie w nawigacji do oceny bezpieczeństwa żeglugi statku, w komputerowych programach symulacji ruchu statku, czy
w nawigacji porównawczej do tworzenia mapy wzorców dna. W artykule przedstawiono badania służące zmniejszeniu liczby potrzebnych danych do wizualizacji
powierzchni dna morskiego z wykorzystaniem sieci neuronowych RBF.
Modelling of the Sea Bottom
Using RBF Networks
Keywords: Digital Terrain Model, RBF networks.
The Digital Terrain Model (DTM) has been used more and more often in modelling the land or the bottom of the sea and other water systems. It has been adopted in navigation to estimate the safety, in computer vessel traffic simulating programms and in comparative navigation to create the patterns of the bottom of the
sea. This article presents the research in reducing the amount of data that is necessary for the visualisation of the bottom of the sea with the use of RBF networks.
Magdalena Kozak
Wstęp
Numeryczny model rzeźby terenu (Digital Terrain Model) ma coraz szersze
zastosowanie zarówno do modelowania powierzchni lądowych, jak i dna morskiego oraz innych akwenów. Znajduje on zastosowanie w nawigacji do oceny
bezpieczeństwa żeglugi statku, w komputerowych programach symulacji ruchu
statku, czy w nawigacji porównawczej do tworzenia mapy wzorców dna. Wraz
z coraz większym zainteresowaniem rosną również wymagania stawiane numerycznemu modelowi rzeźby terenu. Bardzo ważna jest jakość danych (aktualność, dokładność, wiarygodność), jak i możliwość analiz w czasie rzeczywistym. Dlatego też dąży się do ograniczenia danych potrzebnych do modelowania
powierzchni terenu, przy jednoczesnym zachowaniu maksymalnej dokładności.
Tradycyjne metody budowy numerycznego modelu rzeźby terenu opierają
się najczęściej na siatce punktów węzłowych, w których następuje interpolacja
za pomocą wybranego algorytmu interpolacyjnego. Problemem, z jakim mamy
do czynienia stosując numeryczne metody, jest rozmiar siatek punktów węzłowych, który uniemożliwia wykorzystanie takiego modelu w czasie rzeczywistym
oraz czasochłonność (w przypadku metod globalnych).
Poszukując rozwiązania powyższych problemów do budowy numerycznego
modelu rzeźby terenu zaczęto stosować sztuczne sieci neuronowe. Badania nad
wykorzystaniem sieci neuronowych do modelowania powierzchni dna morskiego przedstawiono w publikacjach [1, 2, 3]. Badano zastosowanie perceptronu
wielowarstwowego (MLP), sieci uogólnionej regresji (GRNN) i sieci o radialnych funkcjach bazowych (RBF). Sieci te były analizowane i optymalizowane
pod kątem jak najdokładniejszego rozwiązania. W pracy [4] zaproponowano podział rozpatrywanej powierzchni na pokrywające się częściowo subdomeny,
z wykorzystaniem sieci samoorganizujących się (SOM) i trenowanie sieci
aproksymujących oddzielnie dla każdej z subdomen. Model ten dedykowany został rozległym powierzchniom dna morskiego.
Stosując do wizualizacji powierzchni dna morskiego lub innych akwenów
sieci RBF, należy poddać je procesowi trenowania. Proces ten możemy podzielić
na dwa etapy. W pierwszym ustalana jest liczba neuronów w warstwie ukrytej,
rodzaj funkcji radialnej, parametry kształtu funkcji radialnych oraz rozmieszczenie centrów, w drugim natomiast poszukiwane są wagi połączeń pomiędzy neuronami. Ważnym problemem w procesie trenowania sieci RBF jest odpowiednia
liczba neuronów radialnych. Jeżeli liczba ta będzie zbyt duża, wówczas sieć
nadmiernie dopasuje się do szumów oraz błędów w danych, w wyniku czego
będzie miała słabe zdolności uogólniania. Jeśli natomiast liczba ta będzie zbyt
mała, wówczas możemy nigdy nie osiągnąć satysfakcjonującego błędu. W praktyce dąży się do tworzenia jak najmniejszych sieci, ponieważ szybko się one
uczą a także zajmują mniejszą część przestrzeni dyskowej. W artykule przedstawiono przyrostowy proces dobierania liczby neuronów radialnych w zależności od założonego błędu. Centra dobierane są sekwencyjnie, co zapewnia dobre
236
Modelowanie powierzchni dna morskiego z wykorzystaniem …
zdolności uogólniania sieci oraz zmniejszenie liczby potrzebnych danych do
modelowania powierzchni dna morskiego. Badania przeprowadzono dla wygenerowanych powierzchni testowych.
1. Sieci neuronowe o radialnych funkcjach bazowych (RBF)
Sieci neuronowe o radialnych funkcjach bazowych składają się z warstwy
wejściowej, jednej warstwy ukrytej z neuronami radialnymi i warstwy wyjściowej (rys. 1). Rola neuronów radialnych polega na odwzorowaniu radialnym
przestrzeni wokół jednego punktu zadanego lub grupy takich punktów zwanych
klasterem. Sieć typu radialnego z jednym wyjściem realizuje funkcję:
M
 x  ck
y  F ( x )   wk 
 sk
k 1





(1.1)
gdzie:
 x  ck
 k  
 s

 , k = 1,2,...M jest funkcją radialną,


wk  odpowiednio dobrane wagi,
ck  centra funkcji radialnych,
sk  parametr kształtu.
Rys. 1. Schemat sieci RBF
Sieci RBF znajdują zastosowanie w wielu dziedzinach, ze względu na swoje właściwości [5]:
 są one uniwersalnym aproksymatorem;
 ich prosta struktura pozwala na wykorzystanie liniowych algorytmów
optymalizacyjnych;
237
Magdalena Kozak
 optymalnym rozwiązaniem jest pojedyncze, globalne minimum;
 w sieci RBF jest zazwyczaj mniej połączeń niż w przypadku perceptrona
(MLP), dzięki czemu trenowanie sieci trwa krócej.
Proces trenowania sieci RBF możemy podzielić na dwa etapy:
1) w pierwszym etapie należy określić liczbę funkcji bazowych M, rodzaj
funkcji radialnej (np. Gaussa, Hardy’ego, wielomianową, itd.), ich parametry kształtu sk oraz zlokalizować centra funkcji radialnych ck. Odpowiedni dobór różnych parametrów kształtu dla różnych funkcji może
poprawić działanie sieci, jednak wystarczy jednakowa wartość tego parametru dla wszystkich funkcji, aby sieć RBF była uniwersalnym
aproksymatorem [6], a to znacznie ułatwia proces uczenia. Istnieją różne algorytmy rozmieszczenia centrów (k-uśrednień, gazu neuronowego,
Kohonena), ciekawe podejście przedstawiono w publikacji [7], gdzie
zaprezentowano algorytm OLS. W metodzie tej centra wybierane są pojedynczo, aż do momentu uzyskania właściwej sieci, a każde z nich
maksymalizuje dodatnią energię związaną z pożądanym wyjściem,
rozwinięciem tej metody jest algorytm ROLS [8];
2) w drugim etapie trenowania sieci, mając pary wejście – wyjście {xi,yi},
i = 1,2,...P szukamy M (M < P) wag wk, które minimalizują błąd:
P
e( w )   [ yi  yi* ( xi )] 2
(1.2)
i 1
gdzie:
yi – oczekiwana wartość wyjścia,
yi* – wartość otrzymana na wyjściu sieci.
Wagi, które minimalizują błąd (2.2) możemy uzyskać dzięki metodzie dekompozycji SVD, pseudoinwersji, procedurze ortogonalnej zaprezentowanej
w pracy [5], czy procedurze ortogonalnej Grama-Schmidta [9].
Wykorzystując sieci RBF do modelowania powierzchni dna morskiego oraz
innego akwenu należy taką sieć wytrenować. Ważną decyzją, jaką podejmujemy
w trakcie trenowania sieci jest liczba neuronów radialnych. Z praktycznego
punktu widzenia pożądane jest projektowanie małych sieci, ponieważ szybciej
się one uczą i zajmują mniej miejsca na przestrzeni dyskowej. Jeżeli liczba neuronów radialnych będzie zbyt duża, wówczas sieć dopasuje się do różnego rodzaju szumów lub nieregularności występujących w danych uczących, w rezultacie czego nie będzie ona posiadała zdolności uogólniania. Małe sieci lepiej generalizują, jednak gdy zastosujemy zbyt małą liczbę neuronów radialnych nigdy
nie uzyskamy satysfakcjonującego błędu.
238
Modelowanie powierzchni dna morskiego z wykorzystaniem …
Rozwiązaniem problemu doboru liczby neuronów radialnych jest zastosowanie odpowiedniej sieci, która zapewni nam wymaganą dokładność modelowanej powierzchni, przy jak najmniejszej liczbie neuronów. Chcąc uzyskać taką
sieć, musimy potraktować problem doboru liczby neuronów radialnych w sposób przyrostowy, rozpocząć proces uczenia od minimalnej liczby neuronów
i dodając kolejne neurony kontrolować błąd, jaki uzyskamy na wyjściu sieci.
Przyrostową aproksymację funkcji za pomocą sieci neuronowych przedstawiono w pracy [10]. Zaproponowana metoda pozwala na dynamiczne dobieranie
liczby neuronów radialnych w trakcie procesu aproksymacji. W każdej iteracji
wyznaczane są parametry tylko dla jednego neuronu radialnego. Inne podejście
przedstawiono w artykule [5], w którym opisano procedurę obliczania wag 
prostszą i stabilniejszą od ortogonalizacji Grama-Schmidta. Pozwala ona na sekwencyjny przyrost centrów sieci aż do momentu uzyskania satysfakcjonującego
błędu. Algorytm ten ze względu na ortogonalizację nie wymaga powtórnego
przeliczania wag.
W artykule zbadano przyrostową metodę uczenia sieci RBF pod kątem minimalizacji danych potrzebnych do wizualizacji powierzchni dna morskiego.
Badania przeprowadzono dla trzech powierzchni testowych z nieregularnym
rozkładem punktów pomiarowych: powierzchnia 1, powierzchnia 2, powierzchnia 3.
powierzchnia 1
powierzchnia 2
powierzchnia 3
Rys. 2. Powierzchnie testowe
Procedura rozpoczyna się od minimalnej liczby neuronów radialnych (pięć),
centra wybierane są w sposób losowy z ciągu uczącego, następnie rozmieszczane są z pomocą wybranego algorytmu (k-uśrednień, Kohonena, gazu neuronowego). Po rozmieszczeniu centrów obliczane są wagi połączeń pomiędzy neuronami za pomocą ortogonalizacji Grama-Schmidta. Proces ten powtarzany jest
sekwencyjnie aż do momentu uzyskania satysfakcjonującego błędu.
Przebadana metoda umożliwia dynamiczny dobór centrów w zależności od
założonego błędu. Z badań wynika, że liczba centrów potrzebnych do uzyskania
danego błędu uzależniona jest również od badanej powierzchni. W przypadku
powierzchni nr 1 wystarczy mniejsza liczba neuronów w celu uzyskania założonego błędu, niż w przypadku pozostałych powierzchni. Z tego względu dynamiczne dobieranie liczby centrów jest tym bardziej zalecane. Dzięki aproksymacji przyrostowej uzyskamy w rezultacie sieć o wystarczającej liczbie neuronów
239
Magdalena Kozak
radialnych z dobrymi możliwościami uogólniania. Dodatkowo sieć taka będzie
mniejszych rozmiarów, co zaoszczędzi nam miejsce przestrzeni dyskowej
i ograniczy liczbę danych wykorzystywanych w procesie wizualizacji.
0,90
0,80
0,70
Błąd
0,60
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
1
6
11
16
21
26
Liczba neuronów
Powierzchnia 1
Powierzchnia 2
Powierzchnia 3
Rys. 3. Badania pod kątem liczby neuronów radialnych
Podsumowanie
W artykule przedstawiono zastosowanie sieci RBF do celów modelowania
powierzchni dna morskiego. Zbadano dynamiczny proces doboru liczby neuronów radialnych w zależności od zadanego błędu. Badania przeprowadzono na
powierzchniach testowych. Uzyskane w wyniku badań sieci RBF charakteryzują
się dobrymi zdolnościami uogólniania, pozwalają na zmniejszenie liczby potrzebnych danych do modelowania powierzchni i późniejszej wizualizacji.
Literatura
1.
2.
3.
240
Balicki J., Kitowski Z., Stateczny A., Artificial Neural Networks for Modelling of Spatial Shape of Sea Bottom. IV Conference of Neural Networks and
Their Applications, Zakopane 1999.
Łubczonek J., Stateczny A., Concept of neural model of the sea bottom surface. 6th International Conference Neural Networks and Soft Computing,
Zakopane 2002.
Stateczny A., Praczyk T., Neuronowa metoda modelowania kształtu dna
morskiego. X Konferencja Naukowo-Techniczna Systemy Informacji Przestrzennej, Warszawa 2000.
Modelowanie powierzchni dna morskiego z wykorzystaniem …
4.
Stateczny A., The neural method of sea bottom shape modelling for spatial
maritime information system. WIT Press Southampton, Boston 2000.
5. Strumiłło P., Kamiński W., Orthogonalisation Procedure for Training Radial Basis Functions Neural Networks. Technical Sciences, Polish Academy
of Science, Warszawa 2001.
6. Chen, S., Wu Y., Luk, B. L., Combined genetic algorithm optimization and
regularized orthogonal least squares learning for radial basis function networks. IEEE Transactions on Neural Networks 10(5),pp. 1239-1243, 1999.
7. Chen S., Cowan C. F. N., Grant, P. M., Orthogonal least squares learning
algorithm for radial basis function networks. IEEE Transactions on Neural
Networks 2(2), pp. 302-309, 1991.
8. Chen S., Chng E.S., Alkadhimi K., Regularized orthogonal least squares
algorithm for constructing radial basis function networks. International
Journal of Control 64(5), pp. 829-837, 1996.
9. Ossowski S., Sieci neuronowe w ujęciu algorytmicznym. Wydawnictwo
Naukowo- Techniczne, Warszawa 1996.
10. Beliczyński B., Przyrostowa aproksymacja funkcji za pomocą sieci neuronowych. Politechnika Warszawska, Elektryka, Warszawa 2000.
Recenzenci
dr hab. inż. kpt. ż.w. Adam Weintrit, prof. AM w Gdyni
prof. dr hab. inż. Andrzej Stateczny
Adres Autorki
mgr inż. Magdalena Kozak
Politechnika Szczecińska
Wydział Informatyki
ul. Żołnierska 49
71-210 Szczecin
[email protected]
241