Wybór zadań kombinatorycznych

Joanna Jaszuńska, Poznajemy Olimpiadę Matematyczną Gimnazjalistów
1
Wybór zadań kombinatorycznych
Rozgrzewka
1. Tabliczkę czekolady o rozmiarach 4 × 6 chcemy połamać na pojedyncze kostki.
Ile co najmniej łamań wzdłuż linii podziału na kostki trzeba w tym celu wykonać?
W jednym „ruchu” wolno łamać tylko jedną część.
2. Kostkę o wymiarach 3 × 3 × 3 chcemy rozciąć na 27 kostek jednostkowych.
Ile co najmniej cięć trzeba w tym celu wykonać? Rozcięte już części można dowolnie
przestawiać i w jednym „ruchu” wolno ciąć kilka jednocześnie.
3. Ile to jest 10! sekund?
4. W pewnej klasie uczniowie umówili się, że każdego dnia będą siadać w sali inaczej
(dwa usadzenia uznają za różne, jeśli co najmniej jeden uczeń zmienia miejsce).
Czy do matury wystarczy im różnych możliwości, czy też będą zmuszeni którąś
powtórzyć?
5. Danych jest 2010 różnych liczb. Wykaż, że 207 spośród nich można wybrać
na tyle samo różnych sposobów, na ile można wybrać 1803 z nich.
Punkty na okręgu
6. Na okręgu narysowano 6 punktów i wszystkie cięciwy pomiędzy nimi. Na ile co
najwyżej części cięciwy te dzielą koło?
7. (3/4/KM SEM) Na okręgu umieszczono 2010 punktów białych i 1 punkt czerwony.
Rozpatrujemy wszystkie możliwe wielokąty o wierzchołkach w tych punktach.
Których wielokątów jest więcej: mających czerwony wierzchołek, czy mających tylko
białe wierzchołki?
8. Wyznacz wzór na liczbę przekątnych n-kąta wypukłego.
9. (2/III/VI OMG) Dany jest 99-kąt foremny. Wyznacz liczbę trójkątów równoramiennych, których wierzchołki pokrywaja się z wierzchołkami danego wielokąta.
Uściski rąk i znajomi
10. Niektórzy uczestnicy pewnego przyjęcia przywitali się poprzez uścisk ręki.
Okazało się, że każdy uścisnął rękę dokładnie trzech spośród pozostałych osób.
Czy możliwe, że w przyjęciu uczestniczyło 7 osób?
11. Wykaż, że liczba wszystkich osób od początku istnienia świata, które uścisnęły
sobie ręce z nieparzystą liczbą innych osób, jest parzysta.
12. (4/II/V OMG) Na przyjęciu spotkało się sześć osób. Okazało się, że każda z nich
ma wśród pozostałych dokładnie trzech znajomych. Wykaż, że pewne cztery z tych
osób mogą usiąść przy okragłym stole w taki sposób, aby każda z nich siedziała
pomiędzy swoimi dwoma znajomymi.
13. Wykaż, że w dowolnej grupie osób zawsze znajdą się dwie takie, które mają
tyle samo znajomych (jeśli osoba A zna osobę B, to także osoba B zna osobę A).
Joanna Jaszuńska, Poznajemy Olimpiadę Matematyczną Gimnazjalistów
2
Liczby i ciągi liczb
14. Ile jest takich liczb 12-cyfrowych, podzielnych przez 36, w których zapisie
dziesiętnym występują tylko cyfry zero i jeden?
15. (6/I/III OMG) Ile jest liczb 15-cyfrowych k o następującej własności: Każde trzy
kolejne cyfry liczby k są różne oraz w każdej trójce kolejnych cyfr liczby k występuje 0 ? Odpowiedź uzasadnij.
16. (matex 2009) Dwadzieścia liczb jest zapisanych w jednym wierszu. Suma każdych
trzech kolejnych spośród tych liczb jest równa 20. Pierwsza liczba to 7, ostatnia 8.
Wyznacz pozostałe 18 liczb.
17. (1/1/KM SEM) W wierszu zapisano kolejno 2010 liczb. Pierwsza zapisana liczba
jest równa 7 oraz suma każdych kolejnych siedmiu liczb jest równa 77. Ile może być
równa ostatnia z zapisanych liczb?
18. (matex 2008) Czy można wybrać 19 takich liczb całkowitych (niekoniecznie różnych), aby ich suma była dodatnia i ustawić je w szeregu, w takiej kolejności, aby
suma każdych trzech kolejnych liczb była ujemna? Odpowiedź uzasadnij.
19. (a) Wyznacz liczbę dzielników liczby 10!
(b) Ile dzielników ma liczba n o rozkładzie na czynniki pierwsze n = pα1 1 ·pα2 2 ·. . .·pαk k ?
20. Czy wśród liczb 1, 2, . . . , 10100 jest więcej takich, które mają w zapisie dziesiętnym cyfrę 7 czy takich, które jej nie mają?
Zasada szufladkowa Dirichleta
21. Wykaż, że w każdej 30-osobowej klasie jest 5 osób urodzonych w tym samym
dniu tygodnia.
22. Wykaż, że:
(a) wśród 11 liczb naturalnych znajdą się dwie z taką samą ostatnią cyfrą,
(b) wśród 12 liczb naturalnych znajdą się dwie, których różnica dzieli się przez 11.
23. (2/II/I OMG) Danych jest 111 dodatnich liczb całkowitych. Wykaż, że spośród
nich można wybrać 11 takich liczb, których suma jest podzielna przez 11.
24. Na nieskończonej szachownicy stoi 1999 skoczków szachowych. Udowodnij, że
można spośród nich wybrać 1000 takich, z których żadne dwa się nie biją.
25. (7/I/II OMG) Spośród wszystkich wierzchołków 17-kąta foremnego wybrano dziesięć. Wykaż, że wśród wybranych punktów są cztery będące wierzchołkami trapezu.
26. (6/7/KM SEM) Danych jest 70 różnych liczb całkowitych dodatnich, wśród których
nie ma liczb większych od 200. Wykaż, że przynajmniej dwie z nich różnią się o 4,
o 5 lub o 9.
27. Czy wśród 130 podzbiorów zbioru 8-elementowego muszą być dwa rozłączne?
28. (3/II/II OMG) W przestrzeni danych jest 6 punktów, z których żadne cztery
nie leżą na jednej płaszczyźnie. Łącząc niektóre z tych punktów narysowano 10
odcinków. Wykaż, że w ten sposób uzyskano co najmniej jeden trójkąt.
Joanna Jaszuńska, Poznajemy Olimpiadę Matematyczną Gimnazjalistów
3
Mecze i turnieje
29. W turnieju uczestniczyło n zawodników, każdy rozegrał z każdym z pozostałych
dokładnie jeden mecz. Ile meczów się odbyło?
30. (4/II/IV OMG)
W turnieju tenisa stołowego wzięło udział 50 zawodników.
Każdy zawodnik rozegrał jeden mecz z każdym innym zawodnikiem, nie było remisów. Czy możliwe jest, aby każdy z uczestników wygrał tę samą liczbę meczów?
31. (3/II/VI OMG) W turnieju tenisa stołowego wzięło udział n zawodników (n ­ 4).
Każdy zawodnik rozegrał dokładnie jeden mecz z każdym innym zawodnikiem,
żaden mecz nie zakończył się remisem. Po turnieju wszyscy zawodnicy usiedli przy
okrągłym stole w taki sposób, że każdy zawodnik wygrał z osobą siedzącą obok niego
z jego lewej strony. Wykaż, że istnieją tacy trzej zawodnicy A, B i C, że A wygrał
z B, B wygrał z C oraz C wygrał z A.
32. (2/II/XXXVII OM) W turnieju szachowym uczestniczy
(a) 6
(b) 17
(c) 66
zawodników, każdy z każdym rozgrywa jedną partię, rozgrywki odbywają się w
(a) dwóch
(b) trzech
(c) czterech
miastach. Udowodnij, że pewna trójka zawodników rozgrywa wszystkie partie pomiędzy sobą w tym samym mieście.
33. (2/III/IV OMG) W turnieju tenisa stołowego uczestniczyło 2n zawodników. Każdy
zawodnik rozegrał z każdym innym zawodnikiem co najwyżej jeden mecz. Po turnieju
okazało się, że dokładnie n zawodników rozegrało po dwa mecze, a pozostałych n
zawodników po trzy mecze. Wyznacz wszystkie liczby całkowite dodatnie n, dla
których taka sytuacja jest możliwa.
34. W turnieju uczestniczyło 14 zawodników, każdy rozegrał z każdym z pozostałych dokładnie jeden mecz. Niektóre mecze zakończyły się remisem. Czy jest
możliwe, aby każdy zawodnik zremisował dokładnie dwukrotnie więcej meczów niż
przegrał?
35. (2/II/VII OMG) W pewnym turnieju uczestniczyło 6 drużyn. Każda drużyna
rozegrała z każdą inną dokładnie jeden mecz. Za zwycięstwo w meczu drużyna otrzymywała 3 punkty, za porażkę 0 punktów, a za remis 1 punkt. Po turnieju okazało się,
że suma punktów zdobytych przez wszystkie drużyny wynosi 41. Wykaż, że istnieją
takie cztery drużyny, z których każda co najmniej jeden raz zremisowała.
Rozwiązania większości zadań z OMG i z Koła Matematycznego SEM można znaleźć na stronie www.omg.edu.pl.