Wykład 1 1. Podstawowe pojęcia w przestrzeni metrycznej (X, d

Wykład 1
1. Podstawowe pojęcia w przestrzeni metrycznej (X, d):
Definicja 1. Kula otwarta o środku w x0 i promieniu r to zbiór:
K(x0 , r) = Kr (x0 ) = {x ∈ X : d(x, x0 ) < r} .
Kula domknięta to zbiór:
K̄(x0 , r) = K̄r (x0 ) = {x ∈ X : d(x, x0 ) ¬ r} .
Wiele dalszych pojęć będzie bazować na pojęciu kuli.
Przykłady:
1. Metryki w N ∪ {0}: odziedziczona z R, tzn. d(m, n) = |m − n|, vs. zadająca topologię
1
1
ciągu n1 , tzn. ρ(m, n) = | m
− n1 | dla m, n 6= 0, ρ(0, m) = m
.
2. Metryki w Rn pochodzące od norm: taksówkowa d1 , euklidesowa d2 i maksimum d∞ .
Jak wyglądają kule w tych metrykach w R2 ?
3. Standardowa metryka w C([0, 1]): d∞ (f, g) = kf − gk∞ = supx∈[0,1] |f (x) −g(x)|. Jak
wygląda kula?
4. Inna metryka w C([0, 1]): d1 (f, g) =
przedniej metryce!
R
|f − g|d λ. Kule są znacząco inne niż w po-
Dalej rozważamy abstrakcyjną przestrzeń metryczną (X, d). Najpierw zestaw definicji
uogólniających znane pojęcia dotyczące zbiorów.
Definicja 2. Średnicą zbioru A ⊂ X nazywamy liczbę
diam(A) = sup{d(x, y) : x, y ∈ A}
Średnicę często oznacza się też przez δ(A).
Definicja 3. Odstępem punktu x od zbioru A nazywamy liczbę
d(x, A) = inf{d(x, y) : y ∈ A}
(własności na ćwiczeniach)
Definicja 4. Zbiór A nazywamy ograniczonym, gdy istnieje kula Kr (x0 ) taka, że A ⊂
Kr (x0 ).
Równoważnie można zażądać, by średnica była skończona, ale powyższą definicję lepiej
będzie później uogólniać.
Powyższe definicje można używać także w kontekście przestrzeni, np. przestrzeń (N ∪
{0}, ρ) z przykładu pierwszego jest ograniczona, a jej średnicą jest 1.
Definicja 5. Niech (X, dX ) i (Y, dY ) będą przestrzeniami metrycznymi. Funkcja f : X → Y
jest ograniczona, gdy zbiór dY (f (X)) jest ograniczony (równoważnie diam(f (X)) < ∞).
1
Definicja 6. -otoczenie zbioru A (kula uogólniona) to zbiór
K (A) = {x : d(x, A) < }.
2. Zbieżność w przestrzeniach metrycznych
Definicja 7. Ciąg (xn ) elementów przestrzeni (X, d) jest zbieżny, gdy limn→∞ d(xn , x) = 0.
Punkt x nazywamy wtedy granicą ciągu (xn ). Oznaczamy limn xn = x lub xn → x.
Równoważnie, xn → x, gdy dla każdego > 0 istnieje n0 takie, że dla wszystkich n > n0
zachodzi xn ∈ K(x, ). Tę definicję będzie się w przyszłości wygodnie uogólniać.
Twierdzenie 1. Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.
Dowód. Wystarczy wziąć kulę K(x, 1), gdzie x jest granicą rozważanego ciągu (xn ), znaleźć
n0 , począwszy od którego wszystkie wyrazy ciągu zawierają się w K(x, 1), a nastepnie
zauważyć, że cały ciąg zawiera się w kuli K(x, r), gdzie r = max{1, d(x, x1 ), ..., d(x, xn0 )}.
Twierdzenie 2. Każdy ciąg zbieżny (w przestrzeni metrycznej) ma dokładnie jedną granicę.
Dowód. Gdyby były dwie granice x i y, to dla r = 21 d(x, y) kule K(x, r), K(y, r) nie
mogłyby być rozłączne, gdyż każda zawiera prawie wszystkie elementy ciągu. Inaczej, jeśli
xn → x i xn → y, to
0 ¬ d(x, y) ¬ d(x, xn ) + d(xn , y) .
| {z }
| {z }
−→ 0
−→ 0
n→∞
n→∞
Twierdzenie 3. Każdy ciąg stały jest zbieżny.
Twierdzenie 4. Każdy podciąg ciągu zbieżnego do x jest zbieżny do tej samej granicy x.
Dowody oczywiste.
Twierdzenie 5. Jeżeli każdy podciąg ciągu (xn ) zawiera podciąg zbieżny do x, to xn → x.
Dowód. Przypuśćmy niewprost, że (xn ) nie jest zbieżny do x mimo, iż spełnia założenie.
Wtedy istnieje r takie, że nieskończenie wiele wyrazów ciągu (xn ) nie należy do K(x, r).
Te wyrazy tworzą podciąg, który nie zawiera podciągu zbieżnego do x.
Przykłady
1. W metryce dyskretnej zbieżne są tylko ciągi stałe.
2. W metryce ρ na N ∪ {0} z poprzedniego wykładu każdy podciąg ciągu N jest zbieżny
do zera.
3. Co można powiedzieć o ciagach funkcji fn (x) =
przestrzeni C([0, 1])?
2
1
n x,
gn (x) = nx, hn (x) = xn w
Definicja 8. Ciąg (xn ) spełnia warunek Cauchy’ego (jest Cauchy’ego, jest podstawowy),
gdy dla każdego > 0 istnieje n0 ∈ N takie, że dla dowolnych m, n > n0 zachodzi
d(xm , xn ) < .
Twierdzenie 6. Każdy ciąg zbieżny spełnia warunek Cauchy’ego.
Dowód. Ustalmy > 0. korzystając z definicji zbieżności znajdźmy n0 dla 21 (zamiast ).
Dla m, n > n0 mamy
d(xm , xn ) ¬ d(xm , x) + d(x, xn ) <
+ = .
2 2
Odwrotne twierdzenie nie zachodzi, choć jesteśmy przyzwyczajeni do równoważności
warunku Cauchy’ego i zbieżności w R (nawet w Rn ). Przykład: xn = − n1 w metryce „mur”.
3