Wykład 1 1. Podstawowe pojęcia w przestrzeni metrycznej (X, d
Transkrypt
Wykład 1 1. Podstawowe pojęcia w przestrzeni metrycznej (X, d
Wykład 1 1. Podstawowe pojęcia w przestrzeni metrycznej (X, d): Definicja 1. Kula otwarta o środku w x0 i promieniu r to zbiór: K(x0 , r) = Kr (x0 ) = {x ∈ X : d(x, x0 ) < r} . Kula domknięta to zbiór: K̄(x0 , r) = K̄r (x0 ) = {x ∈ X : d(x, x0 ) ¬ r} . Wiele dalszych pojęć będzie bazować na pojęciu kuli. Przykłady: 1. Metryki w N ∪ {0}: odziedziczona z R, tzn. d(m, n) = |m − n|, vs. zadająca topologię 1 1 ciągu n1 , tzn. ρ(m, n) = | m − n1 | dla m, n 6= 0, ρ(0, m) = m . 2. Metryki w Rn pochodzące od norm: taksówkowa d1 , euklidesowa d2 i maksimum d∞ . Jak wyglądają kule w tych metrykach w R2 ? 3. Standardowa metryka w C([0, 1]): d∞ (f, g) = kf − gk∞ = supx∈[0,1] |f (x) −g(x)|. Jak wygląda kula? 4. Inna metryka w C([0, 1]): d1 (f, g) = przedniej metryce! R |f − g|d λ. Kule są znacząco inne niż w po- Dalej rozważamy abstrakcyjną przestrzeń metryczną (X, d). Najpierw zestaw definicji uogólniających znane pojęcia dotyczące zbiorów. Definicja 2. Średnicą zbioru A ⊂ X nazywamy liczbę diam(A) = sup{d(x, y) : x, y ∈ A} Średnicę często oznacza się też przez δ(A). Definicja 3. Odstępem punktu x od zbioru A nazywamy liczbę d(x, A) = inf{d(x, y) : y ∈ A} (własności na ćwiczeniach) Definicja 4. Zbiór A nazywamy ograniczonym, gdy istnieje kula Kr (x0 ) taka, że A ⊂ Kr (x0 ). Równoważnie można zażądać, by średnica była skończona, ale powyższą definicję lepiej będzie później uogólniać. Powyższe definicje można używać także w kontekście przestrzeni, np. przestrzeń (N ∪ {0}, ρ) z przykładu pierwszego jest ograniczona, a jej średnicą jest 1. Definicja 5. Niech (X, dX ) i (Y, dY ) będą przestrzeniami metrycznymi. Funkcja f : X → Y jest ograniczona, gdy zbiór dY (f (X)) jest ograniczony (równoważnie diam(f (X)) < ∞). 1 Definicja 6. -otoczenie zbioru A (kula uogólniona) to zbiór K (A) = {x : d(x, A) < }. 2. Zbieżność w przestrzeniach metrycznych Definicja 7. Ciąg (xn ) elementów przestrzeni (X, d) jest zbieżny, gdy limn→∞ d(xn , x) = 0. Punkt x nazywamy wtedy granicą ciągu (xn ). Oznaczamy limn xn = x lub xn → x. Równoważnie, xn → x, gdy dla każdego > 0 istnieje n0 takie, że dla wszystkich n > n0 zachodzi xn ∈ K(x, ). Tę definicję będzie się w przyszłości wygodnie uogólniać. Twierdzenie 1. Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony. Dowód. Wystarczy wziąć kulę K(x, 1), gdzie x jest granicą rozważanego ciągu (xn ), znaleźć n0 , począwszy od którego wszystkie wyrazy ciągu zawierają się w K(x, 1), a nastepnie zauważyć, że cały ciąg zawiera się w kuli K(x, r), gdzie r = max{1, d(x, x1 ), ..., d(x, xn0 )}. Twierdzenie 2. Każdy ciąg zbieżny (w przestrzeni metrycznej) ma dokładnie jedną granicę. Dowód. Gdyby były dwie granice x i y, to dla r = 21 d(x, y) kule K(x, r), K(y, r) nie mogłyby być rozłączne, gdyż każda zawiera prawie wszystkie elementy ciągu. Inaczej, jeśli xn → x i xn → y, to 0 ¬ d(x, y) ¬ d(x, xn ) + d(xn , y) . | {z } | {z } −→ 0 −→ 0 n→∞ n→∞ Twierdzenie 3. Każdy ciąg stały jest zbieżny. Twierdzenie 4. Każdy podciąg ciągu zbieżnego do x jest zbieżny do tej samej granicy x. Dowody oczywiste. Twierdzenie 5. Jeżeli każdy podciąg ciągu (xn ) zawiera podciąg zbieżny do x, to xn → x. Dowód. Przypuśćmy niewprost, że (xn ) nie jest zbieżny do x mimo, iż spełnia założenie. Wtedy istnieje r takie, że nieskończenie wiele wyrazów ciągu (xn ) nie należy do K(x, r). Te wyrazy tworzą podciąg, który nie zawiera podciągu zbieżnego do x. Przykłady 1. W metryce dyskretnej zbieżne są tylko ciągi stałe. 2. W metryce ρ na N ∪ {0} z poprzedniego wykładu każdy podciąg ciągu N jest zbieżny do zera. 3. Co można powiedzieć o ciagach funkcji fn (x) = przestrzeni C([0, 1])? 2 1 n x, gn (x) = nx, hn (x) = xn w Definicja 8. Ciąg (xn ) spełnia warunek Cauchy’ego (jest Cauchy’ego, jest podstawowy), gdy dla każdego > 0 istnieje n0 ∈ N takie, że dla dowolnych m, n > n0 zachodzi d(xm , xn ) < . Twierdzenie 6. Każdy ciąg zbieżny spełnia warunek Cauchy’ego. Dowód. Ustalmy > 0. korzystając z definicji zbieżności znajdźmy n0 dla 21 (zamiast ). Dla m, n > n0 mamy d(xm , xn ) ¬ d(xm , x) + d(x, xn ) < + = . 2 2 Odwrotne twierdzenie nie zachodzi, choć jesteśmy przyzwyczajeni do równoważności warunku Cauchy’ego i zbieżności w R (nawet w Rn ). Przykład: xn = − n1 w metryce „mur”. 3