3 Potęgi i pierwiastki

Transkrypt

TORUS Kursy matematyki. Poziom podstawowy. Potęgi i pierwiastki.
3
Potęgi i pierwiastki
W tej lekcji przypomnimy sobie podstawowe własności działań na potęgach i pierwiastkach.
Prosimy o zapoznanie się z regulaminem na ostatniej stronie.
3.1
Potęga o wykładniku całkowitym
Dla dowolnej liczby rzeczywistej a i dowolnej liczby naturalnej n ≥ 1 potęgowanie definiujemy
następująco:
• an = a
| · a ·{z. . . · a}
n razy
Jeśli a jest dowolną liczbą różną od zera, to:
• a0 = 1
• a−n =
1
an
Przykłady.
(a)
2−1 =
1
21
=
1
2
(b)
3−2 =
1
32
=
1
9
3.2
Potęga o wykładniku wymiernym
Dla dowolnej liczby a ≥ 0 i dowolnej liczby naturalnej n > 1 określamy:
√
1
• a n = n a.
Przykłady.
(a)
(b)
1
25 2 =
√
25 = 5
√
1
27 3 = 3 27 = 3
Dla dowolnej liczby a > 0, dowolnej liczby całkowitej m i dowolnej liczby naturalnej n > 1
określamy:
√ m
m
• a n = ( n a) .
Przykłady.
3
¡√
¢3
2
16 = 43 = 64
2
¡√
¢2
5
32 = 22 = 4
(a)
16 2 =
(b)
32 5 =
TORUS Kursy matematyki http://torus.edu.pl/ [email protected] tel. 698 991 340
3.3
Działania na potęgach
Dla dowolnych liczb dodatnich a, b oraz dowolnych liczb k, n zachodzą następujące wzory:
• ak · an = ak+n
ak
an
= ak−n
¡ ¢n
• ak = akn
•
• (a · b)n = an · bn
¡ ¢n
n
• ab = abn
Przykłady.
(a)
23 · 22 = 23+2 = 25 = 32
(b)
39
36
(c)
(22 ) = 22·3 = 26 = 64
(d)
(3 · 5)3 = 33 · 53 = 27 · 125 = 3375
¡ 7 ¢2 72
= 42 = 49
4
16
(e)
3.4
= 39−6 = 33 = 27
3
Działania na pierwiastkach
Dla dowolnej liczby nieujemnej a i dowolnej liczby naturalnej n definiujemy pierwiastek n-tego
stopnia z liczby a następująco:
√
• n a = b ⇐⇒ bn = a i b ≥ 0.
Dla liczby nieparzystej n możemy też zdefiniować pierwiastek n-tego stopnia z liczby ujemnej a:
√
√
• n a = − n −a.
√
√
Przykład. 3 −8 = − 3 8 = −2.
Dla a, b ≥ 0, n ∈ N zachodzą następujące prawa działań na pierwiastkach:
√
√ √
• n a · n b = n ab
√
p
na
• √
= n ab .
n
b
Przykłady.
√ √
√
√
(a) 4 5 · 4 125 = 4 5 · 125 = 4 625 = 5
q
√
√
3
3
54
3 54
√
=
=
(b)
27 = 3
3
2
2
UWAGA: Pierwiastek sumy (lub różnicy) liczb dodatnich nie jest równy sumie (różnicy) pierwiastków z tych liczb!
√
a + b 6=
√
a+
√
b
3.5
Usuwanie niewymierności z mianownika
Aby usunąć niewymierność z mianownika, należy rozszerzyć ułamek , czyli pomnożyć licznik i
mianownik przez tę samą liczbę. Przez co najlepiej rozszerzać ułamek? Najlepiej zrozumieć to na
przykładach.
Przykłady. Usuń niewymierność z mianownika:
(a)
5
√
2 3
(b)
√4 ;
2−1
(c)
1
√
.
3
2−1
Rozwiązanie.
(a)
Wystarczy rozszerzyć ułamek przez
√
3:
√
√
√
5 3
5 3
5 3
5
√ = √ √ =
=
.
2·3
6
2 3
2 3 3
UWAGA. Jeśli mianownik jest w postaci iloczynu, to chcąc usunąć z niego niewymierność wystarczy rozszerzyć ułamek przez czynnik niewymierny. Nie ma potrzeby rozszerzać
przez całe wyrażenie w mianowniku - nie jest to błędem, ale prowadzi do bardziej skomp√
likowanych obliczeń.
Dlatego w powyższym przykładzie rozszerzyliśmy ułamek przez 3,
√
a nie przez 2 3.
(b)
Mianownik jest w postaci różnicy dwóch liczb. Aby usunąć niewymierność rozszerzamy
ułamek przez sumę tych liczb i korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę
kwadratów:
√
√
√
√
4
4 2+4
4( 2 + 1)
4 2 + 4)
√
√
=
=
4
2 + 4.
= √
= 2
2 − 12
2−1
2−1
( 2 − 1)( 2 + 1)
Przypomnienie. Różnica kwadratów liczb - wzór skróconego mnożenia:
a2 − b2 = (a + b)(a − b).
(c)
W tym przypadku postąpimy podobnie jak poprzednio, skorzystamy jednak z innego
wzoru skróconego mnożenia - wzoru na różnicę sześcianów. Robimy tak, ponieważ w mianowniku
√ jest różnica dwóch liczb, które są pierwiastkami trzeciego stopnia z liczb wymiernych
(1 = 3 1): √
√
√
√
√
√
√
√
1(( 3 2)2 + 3 2·1+1)
(( 3 2)2 + 3 2·1+1)
(( 3 2)2 + 3 2·1+1)
3
3
1
2
√
√
√
√
√
=
=
=
=
(
2)
+
2·1+1=
3
3
3
3
3
2−1
2−1
( 2−1)( 2)2 + 2·1+1)
2)3 −1
=4+
√
2+1=5+
√
2.
Przypomnienie. Suma (różnica) sześcianów liczb - wzór skróconego mnożenia:
a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ∓ ab + b2 ).
3.6
Przykładowe zadania
Rozwiążmy jeszcze kilka przykładowych zadań na potęgi.
Zadanie 1. Oblicz:
816
275 ·94
Rozwiązanie.Zauważmy, że liczby 81, 27 i 9 to potęgi liczby 3: 81 = 34 , 27 = 33 , 9 = 32 .
Mamy więc:
816
(34 )6
=
.
275 · 94
(33 )5 · (32 )4
Teraz skorzystamy z trzeciego wzoru z paragrafu 3.3:
(34 )6
34·6
324
=
=
(33 )5 · (32 )4
33·5 · 32·4
315 · 38
Następnie wykonamy działanie w mianowniku korzystając z pierwszego wzoru a paragradu 3.3:
324
324
324
=
=
.
315 · 38
315+8
323
Zastosowanie drugiego wzoru z paragrafu 3.3 doprowadzi nas do wyniku:
324
= 324−23 = 31 = 3.
23
3
Odpowiedź. Szukana liczba jest równa 3.
Zadanie 2. Oblicz: (4−1 )8 · 4−6 .
Rozwiązanie. Będziemy korzystać z definicji potęgi o wykładniku całkowitym ujemnym oraz
z praw działań na potęgach:
(4−1 )−8 · 4−6 = 4−1·(−8) ·
1
48
=
= 48−6 = 42 = 16.
46
46
Odpowiedź. Szukana liczba jest równa 16.
Zadanie 3. Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenie:
√
8−
√
32 +
√
128.
Rozwiązanie. Każdą liczbą pod pierwiastkiem przedstawiamy jako iloczyn kwadratu liczby naturalnej oraz liczby bezkwadratowej (czyli takiej, że jej dzielnikiem nie jest żaden kwadrat liczby
naturalnej). Następnie korzystamy ze wzoru na pierwiactek iloczynu:
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
8 − 32 + 128 = 4 · 2 − 16 · 2 + 64 · 2 = 2 2 − 4 2 + 8 2 = 6 2.
√
Odpowiedź. Najprostsza postać danego wyrażenia to 6 2.
Zadanie 4. Oblicz:
√
3
−250
√
3
2
+
√
18.
Rozwiązanie. Będziemy korzystać z praw działań na pierwiastkach:
r
√
3
√
√
−250 √
3
3
3 −250
√
+ 27 =
+ 3 = 3 −125 + 3 = − 125 + 3 = −5 + 3 = −2.
3
2
2
Odpowiedź. Szukana liczba jest równa -2.
3.7
Zadania do rozwiązania
Mam nadzieję, że powyższe przykłady pozwoliły Ci zrozumieć prawa działań na potęgach.
W celu utrwalenia zdobytej wiedzy rozwiąż poniższe zadania.
1. Oblicz
(a)
(b)
(221 ·320 )3
;
661
√ 3
(10 2)
;
53
−3
· (1, 6)−3 ;
(c)
(3, 75)
(d)
(22 )−4
;
2−7
(e)
1
( 64
)
(f)
6250,25 − 1, 5 · 100 2 + 0, 25−2,5 .
−2
3
;
3
2. Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenia:
√
√
√
(a)
27 + 48 − 75;
√
√
√
√
(b) ( 7 − 5 3)(2 7 + 3).
3. Usuń niewymierność z mianownika:
(a)
34
√ ;
17 3 2
(b)
√ 12√ ;
7+ 3
(c)
1
√
.
3
5+2
4. Oblicz
(a)
(b)
1
1
1
1
2 2 · 8 2 + 12 2 · 3 2 ;
√
√
√
√
72 · 2 + 11 · 11.
5. Oblicz
(a)
(b)
1
1
1
1
108 3 · (−2) 3 + 5 3 · 25 3 ;
√
√
√
√
3
4 · 3 −16 − 3 −3 · 3 −9.
Po tej lekcji powinieneś umieć:
• stosować prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych,
• stosować prawa działań na pierwiastkach, w tym pierwiastkach nieparzystego stopnia z liczby
ujemnej,
• usuwać niewymierność z mianownika.
Jeśli masz jeszcze jakieś trudności, poćwicz więcej lub zapisz się na kurs. Szczegóły znajdziesz na
stronie http://torus.edu.pl.
W razie jakichkolwiek pytań lub wątpliwości dotyczących przerabianego materiału wyślij maila
na adres [email protected] lub zadzwoń pod numer 698 991 340. Zawsze możesz liczyć na naszą
pomoc.
Następna lekcja: Wartość bezwzględna.
Odpowiedzi do zadań:
√
1
1. (a) 43 ; (b) 16 2; (c) 216
; (d) 12 ; (e) 16; (f) -209.
√
√
2. (a) 2 3; (b) −1 − 9 21.
√
√
√
√
3
3
2
5+4
;
3. (a) 2 3 ; (b) 3( 7 + 3); (c) 25−2
13
4. (a) 10; (b) 23.
5. (a) -1; (b) -7.
Regulamin
1. Właścicielem wszelkich praw autorskich jest Akademia Matematyki TORUS, prowadzona
przez firmę LEMONET Łukasz Kidziński, zarejestrowaną w Brwinowie przy ul. Kępińskiej
14a 05-840 Brwinów, zwaną dalej TORUS.
2. TORUS zobowiązuje się dystrybuować niniejszą publikację, zwaną dalej Kursem. Kurs rozpowszechniany jest wśród osób zapisanych do mailingu poprzez stronę http://torus.edu.pl/ zwanych
dalej Użytkownikami.
3. Jedynym środkiem dystrybucji Kursu jest mailing na stronie internetowej http://torus.edu.pl/.
4. Kurs rozpowszechniany jest na bezpłatnej licencji, która pozwala na nieograniczone korzystanie z kursu wyłącznie przez Użytkowników.
5. Kurs może być kopiowany i rozpowszechniany wyłącznie przez TORUS. Rozpowszechnianie
kursu bez wiedzy lub zgody właściciela podlega karze grzywny zgodnie z Kodeksem Cywilnym.
6. TORUS zastrzega sobie prawo do wprowadzenia zmian w regulaminie.
7. TORUS nie gwarantuje przesłania kopii kursu w przypadku powstałej awarii pliku Kursu
lub utracenia go w inny sposób przez Użytkownika.
8. TORUS dołożył wszelkich starań, by Kurs był wolny od wirusów, ale nie odpowiada za
wszelkie szkody wynikłe podczas jego użytkowania.

3 Potęgi i pierwiastki

Transkrypt

Podobne dokumenty

Mathematica część 1

KAMA Kowalski 87-630 Skępe, Rumunki Skępskie 28A tel: 54 287

2 Procenty

Torus /HiFi Choice - Hi

Kurs AutoCAD 3D 1. Modelowanie trójwymiarowe 1.1. Globalny i

BSI Certificate