ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM

Miejsce na identyfikację szkoły
ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY
Z OPERONEM
MATEMATYKA
POZIOM PODSTAWOWY
LISTOPAD
2014
Czas pracy: 170 minut
Instrukcja dla zdającego
1.Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 13 stron (zadania 1.–33.).
Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu nadzorującego egzamin.
2.Rozwiązania zadań i odpowiedzi zapisz w miejscu na to przeznaczonym.
3. W zadaniach zamkniętych (1.–25.) zaznacz poprawną odpowiedź.
4. W rozwiązaniach zadań (26.–33.) otwartych przedstaw tok
rozumowania prowadzący do ostatecznego wyniku.
5.Pisz czytelnie. Używaj długopisu/pióra tylko z czarnym tuszem/atramentem.
6.Nie używaj korektora, a błędne zapisy wyraźnie przekreśl.
7.Zapisy w brudnopisie nie będą oceniane.
8.Obok numeru każdego zadania podana jest maksymalna liczba punktów
możliwych do uzyskania.
9.Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki
oraz kalkulatora.
Życzymy powodzenia!
Za rozwiązanie
wszystkich zadań
można otrzymać
łącznie 50 punktów.
Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy
PESEL ZDAJĄCEGO
KOD
ZDAJĄCEGO
Arkusz opracowany przez Wydawnictwo Pedagogiczne OPERON.
Kopiowanie w całości lub we fragmentach bez zgody wydawcy zabronione. Wydawca zezwala na kopiowanie zadań przez dyrektorów
szkół biorących udział w programie Próbna Matura z OPERONEM.
Matematyka. Poziom podstawowy
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”
ZADANIA ZAMKNIĘTE
Poziom podstawowy Matematyka
W zadaniach od 1. do 25. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź.
Zadanie 1. (1 pkt)
2
(
)
Wartość liczby a = 2 5 − 3 jest równa:
A. 11
B. 29
C. 19 + 12 5
D. 29 - 12 5
Zadanie 2. (1 pkt)
2 x + 4 dla x ∈ (−∞, −1

Ilość miejsc zerowych funkcji f określonej wzorem f ( x ) =  x 2 − 1 dla x ∈ (−1, 3) wynosi:

 x + 5 dla x ∈ 3, + ∞)

A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
Zadanie 3. (1 pkt)
Miejscem zerowym funkcji y = 2 x − 2 jest liczba:
2
2
A. - 2
B. - C.
2
2
D. 2
Zadanie 4. (1 pkt)
W trójkącie prostokątnym ABC kąt przy wierzchołku A ma miarę 30°, a dłuższa przyprostokątna ma długość 6 cm. Długość przeciwprostokątnej jest równa:
A. 4 3 cm
B. 6 3 cm
C. 6 2 cm
D. 6 cm
Zadanie 5. (1 pkt)
2
Równanie x 2 + ( y + 2) = 4 opisuje okrąg o środku w punkcie S i promieniu r. Wówczas:
A. S = (0, − 2) , r = 4
B. S = (0, − 2) , r = 2
C. S = (0, 2) , r = 4 D. S = (0, 2) , r = 2
Zadanie 6. (1 pkt)
Rozwiązaniem nierówności x + 4 > 2 jest zbiór:
B. (−∞, − 6) ∪ (2 , + ∞)
A. (−∞, − 6) ∪ (−2 , + ∞)
C. (−6, − 2)
D. (−6, 2)
Zadanie 7. (1 pkt)
Proste l i k są prostopadłe i l: −2 x + 5 y + 1 = 0, k: y = ax + b. Wówczas:
2
2
5
1
A. a = − B. a = C. a = − D. a =
5
5
2
2
2
Matematyka. Poziom podstawowy
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)
3
Matematyka. Poziom podstawowy
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”
Zadanie 8. (1 pkt)
Dany jest ciąg arytmetyczny ( an ) o wyrazach: (−10, − 6, − 2 ,...). Czterdziesty wyraz tego ciągu
jest równy:
A. 136
B. 146
C. 156
D. 166
Zadanie 9. (1 pkt)
Ciągiem arytmetycznym jest ciąg liczb:
B. (9, 3, 1)
A. (2 , 4 , 8)
C.
(
)
3 , 2 , 1 D.
(
4 , 1, 0
Zadanie 10. (1 pkt)
Ciąg ( x − 3, 7 , 14) jest geometryczny. Wówczas:
1
13
A. x = B. x = 3
C. x = 2
2
D. x =
9
14
Zadanie 11. (1 pkt)
Wartość liczby a = 3 27 + 9 3 + 243 jest równa:
10
A. 3 2 9
B. 3 2 7
C. 3 2 5
D. 3 2
Zadanie 12. (1 pkt)
Dziedziną funkcji f określonej wzorem f ( x ) = 15 + 3 x − 3 − x jest zbiór:
B. (−5, 3)
C. (−∞, − 5 D. -5, 3
A. R \ {−5, 3}
Zadanie 13. (1 pkt)
Zbiorem wartości funkcji f określonej wzorem f ( x ) = x −12 jest zbiór:
B. −12, +∞)
C. (0, + ∞)
D. (−12, + ∞)
A. 0, + ∞)
Zadanie 14. (1 pkt)
Liczba rozwiązań rzeczywistych równania 16 + x 4 = 0 wynosi:
B. 2
C. 1
A. 4
D. 0
Zadanie 15. (1 pkt)
2
Liczbą odwrotną do liczby 7 3 jest:
3
A. 7 2 3
B. -7 2 -
3
-
2
3
C. 7 2 D. 7
C. −1, 7 + 3 D. -1, 7 - 3
Zadanie 16. (1 pkt)
Wartość liczby: a = 1, 7 − 3 jest równa:
A. 1, 7 - 3 4
B. 1, 7 + 3 )
Matematyka. Poziom podstawowy
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)
5
Matematyka. Poziom podstawowy
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”
Zadanie 17. (1 pkt)
Wzór funkcji, której wykres powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji f ( x) = x 2 o 6 jednostek w lewo, to:
2
2
B. y = ( x − 6) C. y = x 2 − 6
D. y = x 2 + 6
A. y = ( x + 6) Zadanie 18. (1 pkt)
Wielomian W = x 3 − 2 x 2 + 4 x − 8 po rozłożeniu na czynniki ma postać:
A. W = ( x − 2) ( x + 2) B. W = ( x − 2)( x 2 + 4 ) C. W = ( x − 2)( x + 2) D. W = ( x + 2)( x 2 + 4 )
2
2
Zadanie 19. (1 pkt)

1 
Funkcja f ( x ) =  3 − m x + 3 m − 1 jest malejąca dla:

3 
B. m ∈ (1, + ∞)
C. m ∈ (−∞, 1)
A. m ∈ (9, + ∞)
D. m ∈ (−∞, 9)
Zadanie 20. (1 pkt)
2
Rozwiązaniem nierówności ( m + 5) ≤ 0 jest zbiór:
B. /0
C. {5}
A. R
D. {−5}
Zadanie 21. (1 pkt)
Miara kąta dziesięciokąta foremnego wynosi:
A. 150°
B. 144°
C. 134°
D. 120°
Zadanie 22. (1 pkt)
Kąty a i b są przyległe i a jest o 35° większy od b . Wynika stąd, że:
B. b = 72 , 5°
C. b = 107 , 5°
A. b = 5°
D. b = 162 , 5°
Zadanie 23. (1 pkt)
Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku 4. Objętość tego stożka jest równa:
8p 3
16p 3
A.
B. 8p 3 C.
D. 16p 3
3
3
Zadanie 24. (1 pkt)
Prosta l jest styczna do okręgu o środku S w punkcie A. Kąt między prostą l i cięciwą AB jest
równy 72°. Zatem kąt ASB ma miarę:
B. 136°
C. 144°
D. 156°
A. 124°
Zadanie 25. (1 pkt)
5
Kąt a jest ostry i cosa = . Wówczas sina jest równy:
7
2
3
2 6
B. C.
A. 7
7
7
6
D.
6 2
7
Matematyka. Poziom podstawowy
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)
7
Matematyka. Poziom podstawowy
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”
ZADANIA OTWARTE
Rozwiązania zadań o numerach od 26. do 33.
należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania.
Zadanie 26. (2 pkt)
Rozwiąż nierówność: −9 x 2 + 6 x − 1 < 0.
Odpowiedź: . .......................................................................................................................................
Zadanie 27. (2 pkt)
Punkt S = (−3, 8) jest środkiem odcinka AB i B = (−6, 14). Wyznacz współrzędne punktu A.
Odpowiedź: . .......................................................................................................................................
8
Matematyka. Poziom podstawowy
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”
Zadanie 28. (2 pkt)
W klasie IA było trzy razy więcej chłopców niż dziewcząt. Pewnego dnia do klasy doszły dwie
dziewczyny i wówczas liczba dziewcząt stanowiła 30% wszystkich osób w klasie. Oblicz, ile było
chłopców i dziewcząt na początku.
Odpowiedź: . .......................................................................................................................................
Zadanie 29. (2 pkt)
6
Wykaż, że jeżeli a jest kątem ostrym i sin a + cos a = , to sin a ⋅ cos a = 0, 22.
5
Odpowiedź: . .......................................................................................................................................
9
Matematyka. Poziom podstawowy
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”
Zadanie 30. (2 pkt)
W ciągu geometrycznym ( an ) o dodatnich wyrazach trzeci wyraz jest równy 6, a piąty jest równy 24. Wyznacz pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu.
Odpowiedź: . .......................................................................................................................................
Zadanie 31. (4 pkt)
Rzucono cztery razy symetryczną sześcienną kością do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że
suma wyrzuconych oczek jest mniejsza od 23.
Odpowiedź: . .......................................................................................................................................
10
Matematyka. Poziom podstawowy
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”
Zadanie 32. (5 pkt)
Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych AC , BC takich, że AC = 6 i BC = 8. Okrąg
o środku C i promieniu r = AC przecina przeciwprostokątną AB w punkcie P. Wyznacz długość odcinka BP.
Odpowiedź: . .......................................................................................................................................
11
Matematyka. Poziom podstawowy
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”
Zadanie 33. (6 pkt)
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny. Ściana boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt
30°. Promień okręgu opisanego na podstawie jest równy 2 3. Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej podanej bryły.
Odpowiedź: . .......................................................................................................................................
12
Matematyka. Poziom podstawowy
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)
13
KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI
Próbna Matura z OPERONEM
Matematyka
Poziom podstawowy
Listopad 2014
Zadania zamknięte
Nr
zad.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25.
Odp.
D
C
D
A
B
A
C
B
D
C
C
D
B
D
D
C
A
B
A
D
B
B
A
C
C
Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje 1 punkt.
Zadania otwarte
Numer
zadania
26.
27.
28.
Modelowe etapy rozwiązywania zadania
Postęp:
Liczba punktów
1 pkt
1
Wyznaczenie pierwiastka trójmianu kwadratowego: x =
3
Rozwiązanie bezbłędne:
 1
Rozwiązanie nierówności: x ∈ R \  
3
2 pkt
Postęp:
1 pkt
 x − 6
= −3

Zapisanie układu równań:  2
 y + 14
=8

 2
Rozwiązanie bezbłędne:
 x = 0
i zapisanie odpowiedzi: A = (0,2)
Rozwiązanie układu równań: 
y = 2
Postęp:
Zapisanie równania: (4 x + 2) ⋅ 30% = x + 2 lub równoważnego, gdzie x oznacza
2 pkt
1 pkt
liczbę dziewcząt w klasie
albo
y = 3 x
Zapisanie układu równań: 
( x + y + 2) ⋅ 0,3 = x + 2

lub równoważnego, gdzie x oznacza liczę dziewczyn, a y liczbę chłopców
29.
Rozwiązanie bezbłędne:
Rozwiązanie równania: x = 7 i podanie odpowiedzi, że w klasie na początku
było 7 dziewczyn i 21 chłopców
2 pkt
Postęp:
Podniesienie obustronnie do kwadratu podanej równości i zastosowanie:
36
sin2 a + cos2 a = 1 do zapisania równania w postaci 1 + 2 sin a ⋅ cos a =
(za
25
samo podniesienie do kwadratu obu stron równania nie przyznajemy punktu)
1 pkt
Rozwiązanie bezbłędne:
2 pkt
Wyznaczenie sin a ⋅ cos a =
w w w. o p e r o n . p l
11
= 0,22, co kończy dowód
50
1
Matematyka. Poziom podstawowy
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”
30.
Postęp:
1 pkt
Rozwiązanie bezbłędne:
2 pkt
Postęp:
Opisanie zbioru zdarzeń elementarnych i zdarzenia:
W – zbiór czwórek ( x , y, z, t), gdzie x , y, z, t ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}
1 pkt
a1q2 = 6
Zapisanie układu równań:  4
a1q = 24

3

a =
Wyznaczenie ilorazu ciągu o wyrazach dodatnich i pierwszego wyrazu:  1 2

q = 2
31.
A – suma wyrzuconych oczek mniejsza od 23
A¢ – suma wyrzuconych oczek jest równa 23 lub 24
Istotny postęp:
Wyznaczenie liczebności zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych: W = 64
2 pkt
Pokonanie zasadniczych trudności:
Obliczenie liczebności zdarzenia A′: A′ = 5 i prawdopodobieństwa zdarzenia
3 pkt
5
64
Rozwiązanie bezbłędne:
A′: P( A′) =
1291
Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P( A) =
1296
32.
33.
4 pkt
Postęp:
Wyznaczenie długości przeciwprostokątnej: AB = 10
1 pkt
Istotny postęp:
Długość wysokości CD trójkąta ABC: CD = 4,8
2 pkt
Pokonanie zasadniczych trudności:
2
Zapisanie równania: x 2 + (4,8) = 66, gdzie AD = x
3 pkt
Rozwiązanie prawie całkowite:
Rozwiązanie równania: x = 3,6
4 pkt
Rozwiązanie bezbłędne:
Wyznaczenie długości odcinka BP: BP = 10 − 2 x = 2,8
5 pkt
Postęp:
Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeń:
ABC – podstawa ostrosłupa
SS ′ = h – wysokość prostopadłościanu
1 pkt
R=2 3
∠SDS ′ = 30°
a – krawędź podstawy ostrosłupa
Istotny postęp:
Wyznaczenie długości krawędzi podstawy: a = 6 i długości odcinka
DS ′: DS ′ = 3
3 pkt (2 pkt,
gdy wyznaczono tylko
jedną długość)
Pokonanie zasadniczych trudności:
Wyznaczenie długości wysokości ostrosłupa: h = 1
4 pkt
Rozwiązanie prawie całkowite:
Wyznaczenie długości wysokości ściany bocznej ostrosłupa: SD = 2
5 pkt
Rozwiązanie bezbłędne:
Wyznaczenie objętości ostrosłupa: V = 3 3 i pola powierzchni bocznej: Pb = 18
6 pkt
w w w. o p e r o n . p l
2