Aksjomatyka - prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF
Transkrypt
Aksjomatyka - prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF
o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF 51-611 Wrocław, ul. Wieniawskiego 38 www.piotr-liszka.strefa.pl + Aksjomatyczność logicyzmu wieku XX zależna tradycji filozoficznej. „Logicyzmem nazywa się kierunek w filozofii matematyki, którego naczelna teza głosi, że cała matematyka jest sprowadzalna do logiki, czyli – innymi słowy – że matematyka jest jedynie częścią logiki. Twórcą logicyzmu był Gottlob Frege (1848-1925), czołowym zaś jego przedstawicielem Bertrand Russell (1872-1970). Źródła historyczne logicyzmu były wielorakie. Tkwiły one i w wielkiej tradycji filozoficznej, i w pewnych procesach rozwojowych samej matematyki. Logicyści nawiązywali do myśli Platona, Arystotelesa i Euklidesa – zwłaszcza jeśli chodzi o metodę aksjomatyczną. Odwoływali się też do idei J. Locke’a i G. W. Leibniza – genezy logicyzmu szukać należy bowiem m. in. w filozoficznej kontrowersji między racjonalizmem a empiryzmem dotyczącej charakteru sądów matematycznych. Logicyzm nawiązał do poglądu Locke’a i Leibniza, że sądy matematyczne mają charakter tautologiczny. Odwoływał się też do poglądu Leibniza o możliwości zalgorytmizowania wnioskowań matematycznych (i w ogóle wnioskowań naukowych). Rozwój logicyzmu nie byłby jednak możliwy bez stworzenia w drugiej połowie XIX wieku nowoczesnej logiki matematycznej, która była w jakimś stopniu urzeczywistnieniem Leibnizowskiej idei characteristica universalis – rachunku nadającego się do logicznej analizy pojęć i struktury systemów naukowych” /R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 83. + Aksjomatyczność matematyki. „Dzięki zastosowaniu metodologii Arystotelesa stały się Elementy pierwszym w dziejach systemem dedukcyjnym w matematyce. Szczegółowe badania wykazały co prawda istnienie w nim wielu luk, nie umniejsza to jednak w niczym ich doniosłego znaczenia dla rozwoju metodologii matematyki. Elementy stały się wzorcem wykładu naukowego, ustanowiły pewien model i standard, wyznaczyły paradygmat matematyki funkcjonujący aż do XIX wieku (por. uwagi na ten temat we Wstępie). Zgodnie z nim, matematyka rozwijana była jako system aksjomatyczny (w praktyce raczej quasi-aksjomatyczny). Pozostały przy tym luki w dowodach, a lista naczelnych zasad (aksjomatów i postulatów) bywała na ogół niekompletna. Bez skrępowania też odwoływano się przy uzasadnianiu twierdzeń do intuicji i prawd „oczywistych”. Nie przywiązywano też szczególnej wagi do precyzowania języka teorii matematycznych. Niemniej dzięki Euklidesowi i Elementom matematyka stała się zorganizowanym wewnętrznie systemem. Księgi geometryczne Elementów były też aż do początków XIX wieku (a więc w ciągu ponad dwudziestu dwóch stuleci!) powszechnie używanym podręcznikiem. Były wielokrotnie przepisywane, później wydawane drukiem i tłumaczone na wiele języków. Od chwili wynalezienia druku ukazało się około tysiąca wydań Elementów (pod tym względem ustępują one tylko Biblii)” /R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 33. + Aksjomatyczność najmniejsza osoby Jana Chrzciciela w grupie Trina Sanctitas, w dzisiejszej świadomości, zwłaszcza w kręgu zachodniej formacji 1 o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF religijnej. „Wyrażona w Deesis idea najwyższego wstawiennictwa Marii i Jana Chrzciciela zakłada, iż wraz z Chrystusem stanowią oni triadę najważniejszych postaci w historii zbawienia, wieńczącą w rzeczywistości niebiańskiej hierarchię świętych i aniołów. Nawiązując do inskrypcji na oprawie jednego z bizantyńskich ewangeliarzy z przełomu X i XI wieku, triadę tę określać tu będziemy terminem „Trina Sanctitas”. W tekście literackim idea Trina sanctitas występuje najczęściej w postaci hierarchicznej sekwencji imion Chrystusa, Marii i Jana, wymienianych bez wyraźnego związku z ideą wstawiennictwa. Natomiast za literacki ekwiwalent Deesis uważać będziemy sformułowaną w tekście explicite ideę modlitewnego orędownictwa Bogurodzicy i Prekursora za grzesznym rodzajem ludzkim. W przedstawieniu Deesis obie idee wiążą się ze sobą nierozdzielnie: Trina Sanctitas stanowi swoistą bazę teologiczno-doktrynalną dla intercesji Matki Bożej i Jana Chrzciciela. W kulturze średniowiecznej spotykamy jednak również niezależne od Deesis przejawy popularności Trina Sanctitas […] W rekonstrukcji kulturowego kontekstu narodzin i rozwoju idei Trina Sanctitas i Deesis szczególny nacisk winien być położony na świętojański aspekt tradycji średniowiecznego chrześcijaństwa. To św. Jan Chrzciciel bowiem jest dla dzisiejszej świadomości, zwłaszcza w kręgu zachodniej formacji religijnej, personą w grupie Trina Sanctitas najmniej „aksjomatyczną’, a co za tym idzie, najbardziej charakterystyczną i wymagającą najbardziej wszechstronnego oświetlenia” /R. Mazurkiewicz, Deesis. Idea wstawiennictwa Bogurodzicy i św. Jana Chrzciciela w kulturze średniowiecznej, Kraków 1994, s. 14/. „Wystarczyło […] jedyne spotkanie zaświadczone przez św. Łukasza, by egzegeza następnych stuleci ustawicznie podejmowała wątek misterium nawiedzenia, w którym w sposób szczególny wyodrębniano zawsze mistyczno-pneumatoforyczną więź między osobami Trina Sanctitatis, związaną w chwili pozdrowienia Elżbiety przez Marię tajemnym przepływem łaski od Chrystusa przez Bogurodzicę do Jana” /Tamże, s. 19. + Aksjomatyka arytmetyki liczb naturalnych, Dedekind R. „Zasady, na których opierał się Eudoksos, a później Euklides (wykładając teorię wielkości niewspółmiernych Eudoksosa w księdze X Elementów), nie wystarczą do otrzymania pełnej teorii liczb rzeczywistych jako stosunków wielkości. Konieczna jest tu wprowadzona przez Dedekinda, a nie występująca u matematyków greckich, zasada ciągłości. W liście do R. Lipschitza z 10 czerwca 1876 r. pisał Dedekind: „Nigdzie jednak ani u Euklidesa, ani u żadnego późniejszego pisarza nie występuje ostateczne sformułowanie takiego prawa uzupełniania, nigdzie nie ma pojęcia ciągłości, tj. pojęcia dziedziny wielkości, która byłaby w najwyższym dającym się pomyśleć stopniu zupełna, której istotna własność byłaby taka: «Jeżeli wszystkie wielkości jakiejś dziedziny wielkości uhierarchizowanej w sposób ciągły rozpadają się na dwie klasy tego rodzaju, że każda wielkość pierwszej klasy jest mniejsza od każdej wielkości drugiej klasy, to albo w pierwszej klasie istnieje wielkość największa, albo w drugiej najmniejsza»„. I dodaje: „Po tych wszystkich uwagach dalej obstaję przy moim twierdzeniu, że same zasady Euklidesa, bez dołączenia zasady ciągłości, która nie jest w nich zawarta, nie wystarczą do oparcia na nich zupełnej teorii liczb rzeczywistych jako stosunków wielkości. (...) Na odwrót jednak, poprzez moją teorię liczb niewymiernych 2 o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF stworzony został doskonały wzór dziedziny ciągłej, w której każdy stosunek wielkości może być scharakteryzowany przez pewną określoną należącą doń liczbę” /R. Dedekind, Gesammelte mathematische Werke, Bd. III, Friedrich Vieweg und Sohn, Braunschweig 1932, ss. 151-152)/. Druga z istotnych tu dla nas prac Dedekinda, Was sind und was sollen die Zahlen?, zawiera logiczną teorię liczb i indukcji zupełnej oraz aksjomatykę arytmetyki liczb naturalnych. Aksjomaty te znane są dziś jako aksjomaty Peana. W związku z tym powstaje oczywiście problem, kto naprawdę jest ich autorem, komu należy przypisać priorytet, Dedekindowi czy Peanowi. Kwestia ta jest i pozostanie niestety nierozstrzygnięta (por. w tej sprawie R. Murawski, Giuseppe Peano – Pioneer and Promoter of Symbolic Logic oraz Giuseppe Peano a rozwój logiki symbolicznej). Zaznaczmy tu jednak, że Dedekind i Peano sformułowali swe aksjomaty w innych zupełnie językach i różne też przyświecały im cele” /R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 64. + Aksjomatyka chrześcijańska nakreśla granice poznawcze rozumowi ludzkiemu. „Chrześcijański absurd jest kategorią, negatywnym kryterium relacji ku Bogu i jako taki przedstawia limity dla ludzkiego rozumu. Paradoks jest więc granicą poznania ludzkiego, bądź wynika z nakreślenia granic poznawczych z założeń. Dla Kierkegaarda paradoksem jest tedy zarówno egzystencja jednostki, jak i prawda; paradoksem jest zarówno wiara, jak Chrystus /Karol Toeplitz, Irracjonalizm przeciwko racjonalizmowi. (Kierkegaard przeciwko Heglowi), „Studia Filozoficzne”, 1970, nr 4, s. 86/. Dla Kierkegaarda wszelka wiedza w sprawach wiary jest niemożliwa, dlatego też będzie próbował wykazać, że chrześcijaństwo dąży do wiedzy i zrozumienia tego, co nie może być zrozumiane /Tamże, s. 85/. W Bojaźni i drżeniu Kierkegaard pisze iż człowiek chce: „/…/ wyssać mądrość życiową z paradoksu. Może to się i uda temu lub owemu; gdyż naszym czasom brakuje wiary, brakuje jej cudów, brakuje przemiany wody w wino, wolą posunąć się dalej i wino przemienić w wodę. Czyż nie byłoby lepiej trwać przy wierze i czyż to nie jest oburzające, że każdy chce posunąć się dalej? Jeżeli w naszych czasach, a to głosi się na różne sposoby, ludzie nie chcą trwać przy miłości, dokąd więc dojdą? Do ziemskiej wiedzy, wąskiej interesowności, do rzeczy żałosnych i martwych, do wszystkiego, co podaje w wątpliwość boskie pochodzenie człowieka. Czy nie lepiej stanąć przy wierze? I niech ten, kto zajął tę pozycję, uważa, aby nie upaść, gdyż wysiłek wiary musi zawsze rodzić się z absurdu /…/.” /Søren Kierkegaard, Bojaźń i drżenie. Liryka dialektyczna, napisał Johannes de Silentio. Choroba na śmierć, chrześcijańsko-psychologiczne rozważania dla zbudowania i pobudzenia napisał Anti Climacus, przeł. J. Iwaszkiewicz, Warszawa 1982, s. 35-36/. Credo Kierkegaarda będzie tedy brzmiało: tam, gdzie jest rozum – nie ma wiary i tam, gdzie jest wiara – nie może być jej racjonalizacji /Karol Toeplitz, Irracjonalizm przeciwko racjonalizmowi. (Kierkegaard przeciwko Heglowi), „Studia Filozoficzne”, 1970, nr 4, s. 87/” /J. A. Prokopski, Søren Kierkegaard. Dialektyka Paradoksu wiary, Wrocław 2002, s. 113. + Aksjomatyka dominuje w projekcie grupy Bourbaki; wykluczone są wykresy, przykłady i szczegóły. „Bourbaki to pseudonim zmieniającej się grupy matematyków francuskich, która w ciągu ostatnich pięćdziesięciu lat była zbiorowym autorem szeregu monografii o podstawowych „strukturach” 3 o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF matematyki. Projekt ten to jakby ostatnia nadzieja formalistów: dominuje aksjomatyka, rygoryzm i elegancja; wykluczone są wykresy, przykłady i szczegóły” /J. D. Barrow, Teorie wszystkiego. W poszukiwaniu ostatecznego wyjaśnienia (Theories of Everything. The Quest for Ultimate Explanation, Oxford University Press, New York 1991), przeł. J. Czerniawski, T. Placek, Wydawnictwo Znak, Kraków 1995, s. 248/. „Chociaż dwa tuziny albo więcej tomów Bourbakiego nie przedstawiało jakichś nowych matematycznych wyników, to pokazywały one znane obszary przedmiotu w sposób nowy i abstrakcyjny. Są one najbardziej podstawowymi podręcznikami dla wtajemniczonych. Nawet w kręgach matematycznych Bourbaki ma krzykliwych krytyków, oskarżających go o „scholastyczność” i „hiperaksjomatyczność”. Jeden ze zwolenników projektu, Laurent Schwarz, tak próbuje uzasadnić to podejście i sposób, w jaki odróżnia się od podejścia wynalazców nowych idei: «Są w zasadzie dwa typy umysłów naukowych, z których żaden nie może być uważany za lepszy od drugiego. Są tacy, którzy lubią subtelne szczegóły, i tacy, którzy interesują się tylko wielkimi uogólnieniami (...) W rozwoju teorii matematycznej na ogół grunt przeorany zostaje przez naukowców ze szkoły „szczegółowej”, którzy podchodzą do problemów za pomocą nowych metod, formułują ważne kwestie do rozstrzygnięcia i wytrwale poszukują rozwiązań, bez względu na jakiekolwiek trudności. Gdy tylko ich zadanie zostanie spełnione, do akcji wkraczają, wraz ze swoimi pomysłami, naukowcy z zamiłowaniem do ogólności. Ci sortują i przesiewają, zachowując tylko materiał istotny dla przyszłości matematyki. Ich praca jest bardziej pedagogiczna niż twórcza, a jednak jest równie istotna i trudna jak praca poprzedniej kategorii (...) Bourbaki należy do „ogólnej” szkoły myślenia». Niemniej jednak, główny nurt matematyki zaczął się oddalać od górnych rejestrów skrajnego formalizmu, kierując się z powrotem ku badaniom szczegółowych problemów, szczególnie tych obejmujących chaotyczne zjawiska nieliniowe. Zaczął również poszukiwać motywacji w świecie przyrody. Jest to powrót do znakomitej tradycji, gdyż podobnie jak istnieją przykłady na to, że stara matematyka okazała się odpowiednia do wprowadzenia nas w nową fizykę, są też komplementarne przykłady na to, że nasze badanie świata fizycznego było bodźcem do wynalezienia nowej matematyki” /Tamże, s. 249. + Aksjomatyka Dowód dedukcyjny pojawia się na końcu całego, często długiego, procesu badawczego. „Matematyka interesują własności badanych obiektów. Stara się poznać te własności w szczególności za pomocą komputera, a nie na drodze dedukcyjnych rozumowań. Dedukcyjny dowód w systemie aksjomatycznym pojawia się na końcu całego, często długiego, procesu badawczego. Gdy matematyk siada przed komputerem, nie interesuje go formalna strona zagadnienia, nie manipuluje formułami, ale bada pewną rzeczywistość pozajęzykową. Dla matematyka zatem istotne są przede wszystkim obiekty, a nie formalna teoria ich dotycząca. Jaki zatem rodzaj istnienia przysługuje tym pojęciom matematycznym? Czy są one tylko tworami matematyków, czy za definicjami i teoriami, które są produktami działalności matematyków, kryje się obiektywna rzeczywistość przedmiotów matematycznych? Zanim zaproponuję odpowiedź na powyższe pytania, muszę uczynić następującą uwagę. Obiekty matematyczne są niematerialne, stąd też ich rodzaj istnienia jest niewątpliwie inny niż sposób istnienia przedmiotów 4 o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF fizycznych. W tym kontekście, rozróżnienie między stanowiskami z pierwszej i drugiej grupy nie zasadza się na uznaniu realnego istnienia w przypadku pierwszym i odrzucenia tego stanowiska w drugim. Różnica między tymi koncepcjami jest związana z rodzajem relacji między umysłem a obiektami matematycznymi. Dla stanowisk realistycznych istotne jest przyjęcie, że umysł ludzki poznaje rzeczywistość niezależną od niego, dla stanowisk konceptualistycznych charakterystyczne jest uznanie, że pojęcia matematyczne pochodzą od poznającego podmiotu. W szczególności, w ramach stanowisk realistycznych można przyjąć, że istnienie przedmiotów matematycznych jest tylko istnieniem potencjalnym, aktualizować się zaś może z chwilą pomyślenia o danym obiekcie” /A. Lemańska, Eksperyment komputerowy a istnienie obiektów matematycznych, w: Między matematyką a przyrodoznawstwem, red. nauk. E. Piotrowska, D. Sobczyńska, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Wydawnictwo Naukowe Instytutu Filozofii, Poznań 1999, 187-202, s. 199. + Aksjomatyka geometrii rzutowej „W trzecim wydaniu swej poczytnej pracy Raum, Zeit, Materie, Weyl wprowadził tzw. teorię Weyla, która była pierwszą próbą budowy „jednolitej teorii” wprowadzającej w jeden schemat geometryczny zjawiska elektromagnetyczne oraz grawitacyjne. Później matematycy francuscy C. Chevalley i A. Weil w biografii Weyla podkreślali znaczenie jego teorii, która dążyła do „rozszerzenia ram tradycyjnej geometrii Riemanna” i przygotowywała drogę do „uogólnionych geometrii E. Cartana, tj. dla ogólnej teorii związków w stosunku do dowolnych grup Lie /C. Chevalley, A. Weil, German Wejl, w: H. Weyl, Izbrannyje trudy, Moskwa 1984, nr 5, 413-433, s. 427/. W roku 1928, w swej pracy z teorii grup (Gruppentheorie), Weyl żądał wyraźnie powrotu w aktualnie funkcjonujących współczesnych tendencjach matematyki do tradycji greckiej, czyli dominacji pojęć geometrycznych nad liczbą. Nic w tym dziwnego, bowiem w tym przypadku matematyka ściślej i wszechstronniej łączyła swoją funkcję badawczą i uzupełniała fizykę. W tej samej pracy Weyl pisał, iż „dzisiaj patrzymy na każdą dyscyplinę matematyki jako określoną dziedzinę pojęć ilościowych. Współczesny algebraista rozpatruje continuum liczb rzeczywistych lub zespolonych tylko jako jedno „pole” wśród wielu. Współczesna aksjomatyka geometrii rzutowej może być rozpatrywana jako odpowiedni przejaw tej właśnie tendencji w dziedzinie geometrii /H. Weyl, Gruppentheorie und Quantenmechanik, Leipzig 1928, Wstęp/. Weyl mówił o „nowej matematyce”, do której włączył współczesną teorię grup oraz to, co określał jako „algebrę abstrakcyjną”. Ta dziedzina wiedzy nie reprezentowała „ducha matematyki klasycznej”, a jej szczególnym przykładem była teoria funkcji zmiennej zespolonej. Nigdy nie tracił swych zainteresowań związkami matematyki z fizyką i dlatego też we wstępie do pracy z teorii grup z satysfakcją podkreślał, że „continuum liczb rzeczywistych zachowało swoją starą prerogatywę w fizyce dla wyrażania wyników pomiarów fizycznych (Weyl, 1928, Wstęp/”. /E. Piotrowska, Między matematyką a fizyką. Badania naukowe i refleksje filozoficzne Hermanna Weyla, w: Między matematyką a przyrodoznawstwem, red. nauk. E. Piotrowska, D. Sobczyńska, Uniwersytet im. Adama 5 o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF Mickiewicza w Poznaniu, Wydawnictwo Naukowe Instytutu Filozofii, Poznań 1999, 159-184, s. 172. + Aksjomatyka Peana dla liczb naturalnych oraz aksjomatyka Zermela dla teorii mnogości odrzucona została przez matematyków przyjmujących stanowisko konceptualistyczne. „Konsekwencją stanowiska konceptualistycznego jest odrzucenie metody aksjomatycznej jako metody budowania (i ugruntowywania) matematyki. Nie można bowiem postulować tylko istnienia obiektów, jak się to czyni w metodzie aksjomatycznej, ale należy je uprzednio skonstruować. Podobnie rzecz się ma z własnościami obiektów. W związku z tym należy w szczególności odrzucić na przykład aksjomatykę Peana dla liczb naturalnych czy aksjomatykę Zermela dla teorii mnogości. Intuicjoniści szczególnie ostro krytykowali – podobnie jak semiintuicjoniści francuscy – zwłaszcza aksjomat wyboru (por. dodatek o teorii mnogości). Aksjomat ten jest bowiem według nich jaskrawym przykładem postulowania istnienia zbioru, którego myśl nasza nie jest na ogół w stanie określić. Inną konsekwencją tezy konceptualistycznej jest odrzucenie przez intuicjonizm istnienia nieskończoności aktualnej. Umysł ludzki może konstruować obiekty jakiegoś rodzaju, na przykład liczby, ale nie może nigdy wykonać nieskończenie wielu konstrukcji” /R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 101/. „Zatem zbiór nieskończony można rozumieć jedynie jako prawo czy regułę tworzenia wciąż nowych jego elementów. Taki zbiór jest jednak zawsze przeliczalny. Nie ma więc zbiorów nieprzeliczalnych, nie ma też liczb kardynalnych pozaskończonych innych niż 0. W konsekwencji pojęcie zbioru, do którego dochodzą intuicjoniści, jest zupełnie inne niż to, którym operuje teoria mnogości Cantora” /Tamże, s. 103. + Aksjomatyka rachunku zdań Bernays Paul (1888-1977). „Urodził się w Londynie, dzieciństwo spędził w Berlinie. W Berlinie i Getyndze studiował matematykę, filozofię i fizykę teoretyczną. Doktoryzował się w Getyndze w 1912 r. na podstawie pracy z analitycznej teorii liczb. W tym samym też roku habilitował się w Zurychu – jego rozprawa habilitacyjna poświęcona była teorii funkcji. W okresie 1912-1917 był docentem prywatnym (Privatdozent) na tamtejszym uniwersytecie. W 1917 r. przeniósł się do Getyngi, gdzie został sekretarzem i asystentem D. Hilberta. Prowadził także wykłady” /Murawski R. Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s. 205/. „W 1919 r. na podstawie rozprawy habilitacyjnej dotyczącej aksjomatyki rachunku zdań w Principia Mathematica A. N. Whiteheada i B. Russella uzyskał veniam legendi. W 1922 r. został profesorem nadzwyczajnym. W r. 1933, jako niearyjczyka, pozbawiono go prawa do wykładania na uniwersytecie w Getyndze. Przeniósł się wtedy do Szwajcarii. Wykładał na Politechnice w Zurychu, gdzie też w 1939 r. uzyskał veniam legendi, a w r. 1945 został profesorem. Współpracując przez wiele lat z Hilbertem, rozwijał myśl twórcy formalizmu. Zajmował się też podstawami teorii mnogości” /Tamże, s. 206. + Aksjomatyka rachunku zdań w Principia Mathematica A. N. Whiteheada i B. Russella tematem rozprawy habilitacyjnej w roku 1919. „Bernays Paul (18881977). Urodził się w Londynie, dzieciństwo spędził w Berlinie. W Berlinie i Getyndze studiował matematykę, filozofię i fizykę teoretyczną. Doktoryzował się w Getyndze w 1912 r. na podstawie pracy z analitycznej teorii liczb. W 6 o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF tym samym też roku habilitował się w Zurychu — jego rozprawa habilitacyjna poświęcona była teorii funkcji. W okresie 1912-1917 był docentem prywatnym (Privatdozent) na tamtejszym uniwersytecie. W 1917 r. przeniósł się do Getyngi, gdzie został sekretarzem i asystentem D. Hilberta. Prowadził także wykłady” /R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 205/. „W 1919 r. na podstawie rozprawy habilitacyjnej dotyczącej aksjomatyki rachunku zdań w Principia Mathematica A. N. Whiteheada i B. Russella uzyskał veniam legendi. W 1922 r. został profesorem nadzwyczajnym. W r. 1933, jako niearyjczyka, pozbawiono go prawa do wykładania na uniwersytecie w Getyndze. Przeniósł się wtedy do Szwajcarii. Wykładał na Politechnice w Zurychu, gdzie też w 1939 r. uzyskał veniam legendi, a w r. 1945 został profesorem. Współpracując przez wiele lat z Hilbertem, rozwijał myśl twórcy formalizmu. Zajmował się też podstawami teorii mnogości” /Tamże, s. 206. + Aksjomatyka racjonalna odrzucona w myśleniu irracjonalnym. Irracjonalizm w psychologii, „rozumiany jest w dwóch znaczeniach: jako zróżnicowany nurt teoretyczny, podkreślający rolę pozarozumowych motywów ludzkiego postępowania, oraz jako interpretacja zachowania lub myślenia wewnętrznie niespójnego lub odchylającego się od normy uznanej za racjonalną (np. odchylenia od schematu logiki, zasad rachunku prawdopodobieństwa lub innych modeli skonstruowanych na podstawie określonej aksjomatyki racjonalności oraz reguł wnioskowania dedukcyjnego). Irracjonalizm teoretyczny zakłada, że: 1) ludzkie zachowanie sterowane jest przede wszystkim mechanizmami nieświadomymi (np. biologicznymi popędami według psychoanalizy S. Freuda lub kulturowospołecznymi archetypami według analitycznej psychologii C. G. Junga; 2) świadomość własnych emocji i preferencji przeżywanych w aktualnej sytuacji jest ważniejsza od jej intelektualnej analizy (np. niektóre szkoły psychoterapeutyczne z kręgu humanistycznej psychologii); 3) człowiek jest źródłem wszelkich norm i zasad, które znajdują uzasadnienie w jego wolności i samorealizacji (np. niektórzy przedstawiciele egzystencjalnej psychologii i fenomenologicznej psychologii); 4) człowiek jest przedmiotem zewnętrznych manipulacji ze strony środowiska społecznego, w którym żyje (np. niektóre szkoły behawioryzmu)” /A. Biela, Irracjonalizm. III. W psychologii, w: Encyklopedia Katolicka, T. VII, red. S. Wielgus, TN KUL, Lublin 1997, 493-494, kol. 493. + Aksjomatyka sformalizowana pierwszy raz w dziejach, Frege G. „Powstanie logiki matematycznej związane było z matematyzacją logiki, tzn. z coraz intensywniejszym, i coraz bardziej owocnym, stosowaniem wzorowanej na symbolice matematycznej techniki symbolicznej do zagadnień logiki. Towarzyszyło temu znaczne rozbudowywanie i wzbogacanie tradycyjnej logiki arystotelesowskiej, będącej przede wszystkim logiką nazw. Prace twórców nowoczesnej logiki, do których należeli Augustus De Morgan (1806-1871), George Boyle (1815-1864), Charles Sanders Peirce (1839-1914), Ernst Schroder (1841-1902) doprowadziły do stworzenia algebry logiki (tak nazywano w drugiej połowie dziewiętnastego i na początku dwudziestego wieku logikę formalną uprawianą na wzór algebry liczb). Z drugiej strony, wspomnieć trzeba o pracach logicznych G. Fregego i B. Russella, które należą do nurtu niealgebraicznego. Właśnie Frege uważany jest za prekursora i 7 o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF jednego z głównych współtwórców nowoczesnej logiki formalnej. Jego podstawowe dzieło logiczne Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens (1879) otworzyło nową epokę w logice formalnej (choć przez współczesnych, zwłaszcza przez przedstawicieli nurtu algebraicznego, np. E. Schrodera czy Johna Venna, zostało przyjęte źle). Praca ta zawierała pierwszy w dziejach sformalizowany system aksjomatyczny, a mianowicie implikacyjno-negacyjny rachunek zdań (w którym dedukcja twierdzeń z przyjętych aksjomatów nie zawierała już żadnych luk i odbywała się według precyzyjnie na początku określonych reguł wnioskowania), oraz po raz pierwszy w sposób pełny poddawała analizie kwantyfikatory i formułowała dla nich odpowiednie aksjomaty. Wszystkie te prace, należące zarówno do nurtu algebraicznego jak i do niealgebraicznego, dostarczały niezbędnego aparatu technicznego, na podstawie którego mógł się rozwinąć logicyzm” /R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 84. + Aksjomatyka struktur geometrycznych powstałych w teorii Einsteina. „W latach dwudziestych zainteresowania filozoficzne Weyla nie uległy zahamowaniu, a znawcy zagadnienia podkreślają, „ich wyższą formę matematyczną prowadzącą go [tj. Weyla – E. P.] w poszukiwaniach do prostszej aksjomatyki geometrycznych struktur powstałych w teorii Einsteina /C. Chevalley, A. Weil, German Wejl, w: H. Weyl, Izbrannyje trudy, Moskwa 1984, nr 5, 413-433, s. 428/. Wtedy Weyl dowodził nawet pewnego subiektywizmu w geometrii, występującego zwłaszcza wtedy, gdy do subiektywnego świata współrzędnych wprowadzamy nasze subiektywne „ja” /H. Weyl, Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft, Berlin 1966, s. 159/. Naukowe pojęcia były dla niego egzemplifikacją tego, co subiektywne. Nigdy też nie negował możliwości skonstruowania za pomocą pojęć geometrycznych nowej rzeczywistości fizycznej /N. A. Licis, Fiłosofskoje i naucznoje znaczenija idiej N. I. Łobaczewskogo, Riga 1976, s. 345/. Myślał nawet o tym, by ogólnie i całościowo pojmowany schemat geometryczny stosować do procesów fizycznych. W istocie chodziło mu o stworzenie „jednolitej teorii pola” na podstawie schematu geometrycznego i to niezależnie od otaczającej nas rzeczywistości fizycznej. Łotewski matematyk Nikołaj A. Licis potwierdzał, że chodziło mu o „wprowadzenie praw ogólnych do pola elektromagnetycznego oraz pól grawitacyjnych na podstawie geometrycznych schematów oraz pojęć /Tamże, s. 345/. Zamierzał więc Weyl za pomocą uniwersalnego systemu geometrycznego teoretycznie porządkować oraz skutecznie wyjaśniać różne procesy i zjawiska fizyczne. Problem ten, o którym myślał Einstein, a o którym jawnie wypowiadał się Weyl, można nazwać „geometryzacją świata”. Owa „geometryzacja” ściślej łączyła matematykę z fizyką /H. Weyl, Neue Losungen der Einsteinischen Graivitationsgleichungen, „Mathematische Zeitschrift”, Bd.13,1922, s. 134-145., passim/” /E. Piotrowska, Między matematyką a fizyką. Badania naukowe i refleksje filozoficzne Hermanna Weyla, w: Między matematyką a przyrodoznawstwem, red. nauk. E. Piotrowska, D. Sobczyńska, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Wydawnictwo Naukowe Instytutu Filozofii, Poznań 1999, 159-184, s. 173. 8 o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF + Aksjomatyka ściśliwa, logika stosuje ten termin. „Algorytmiczna ściśliwość raz jeszcze / Mózg jest cudownym organem; rozpoczyna pracę w momencie, gdy wstajesz rano i nie przerywa jej, dopóki nie dotrzesz do biura (Robert Frost). W zasadzie wszystkie warunki konieczne pojmowalności świata, które do tej pory rozważaliśmy, równoznaczne są z warunkami pozwalającymi nadać sens czemuś, co w przeciwnym razie byłoby nieznośnym chaosem” /J. D. Barrow, Teorie wszystkiego. W poszukiwaniu ostatecznego wyjaśnienia (Theories of Everything. The Quest for Ultimate Explanation, Oxford University Press, New York 1991), przeł. J. Czerniawski, T, Placek, Wydawnictwo Znak, Kraków 1995, s. 258/. „Nadawanie sensu” rzeczom równa się obcinaniu ich pod względem rozmiarów, porządkowaniu ich, znajdowaniu regularności i wspólnych czynników oraz prostych powtarzalności, które mówią nam, dlaczego rzeczy są takie, jakie są, i jakie będą w przyszłości. Obecnie możemy w tym rozpoznać poszukiwanie algorytmicznej ściśliwości, którą wprowadziliśmy w rozdziale pierwszym. W praktyce pojmowalność świata sprowadza się do odkrywania, że jest on algorytmicznie ściśliwy. Możemy zastąpić sekwencję faktów i danych obserwacyjnych przez skrócone twierdzenia, które zawierają tę samą treść informacyjną. Takie skróty nazywamy często „prawami przyrody”. Gdyby świat nie był algorytmicznie ściśliwy, to nie byłoby żadnego prostego prawa przyrody. Zamiast użyć prawa grawitacji do obliczenia orbit planet w dowolnym momencie historii, w którym chcemy je znać, musielibyśmy prowadzić dokładną rejestrację położeń planet we wszystkich chwilach przeszłych; to jednak ani trochę nie pomogłoby nam w przewidywaniu, gdzie one będą w jakiejkolwiek chwili w przyszłości. Świat jest pojmowalny, potencjalnie i aktualnie, gdyż na pewnym poziomie jest w szerokim zakresie algorytmicznie ściśliwy. To jest najgłębszy powód, dla którego matematyka może funkcjonować jako opis fizycznego świata. Jest ona najdogodniejszym językiem, jaki znaleźliśmy, aby wyrazić takie algorytmiczne kompresje danych (compression) (Nie znaleźliśmy zgrabnego tłumaczenia terminów compression, compressible i to compress. W logice pojawia się termin „ściśliwość” jako własność systemów aksjomatycznych. Z drugiej strony, mamy w terminologii komputerowej brzydkie spolszczenie „kompresja danych”. Pomiędzy tymi dwoma technicznymi sensami terminu są jego sensy potoczne, gdy mówimy o ściskaniu rozumianym jako zmniejszanie objętości. Barrow w istotny sposób wykorzystuje taką potrójną wieloznaczność. Gdyby jej nie było, zapewne nie udałoby się wysłowić treści tego rozdziału)” /Tamże, s. 259. + Aksjomatyka wybierana w podobszarze możliwości wyróżnionych, „zagęszczonych” „Aksjomatyki nie wybiera się nigdy w obszarze jednakowo dopuszczalnych możliwości, ale w podobszarze możliwości wyróżnionych, „zagęszczonych”. Są zatem do pomyślenia dwa typy ontologii przestrzeni i dwa typy porozumiewania się w sprawie przestrzeni. Na gruncie ontologii Ad (A – – – AB – – – ABC – – – ABCD…) porozumiewanie się między specjalistami różnych obszarów i faz rozwojowych przestrzenności posiada (powinno/ musi posiadać) jedno oparcie (jeden układ odniesienia) w postaci uniwersalnej geometrii realistycznie pojmowanej, w geometrii przestrzeni A. Na gruncie ontologii AdR (A – – – aB – – – bC – – – cD…) podstawą porozumiewania się specjalistów są lokalne układy odniesienia, a ewentualny uniwersalny układ odniesienia mógłby mieć wyłącznie charakter idealnej konstrukcji 9 o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF kategorialnej” /Z. Cackowski, Osobliwość przestrzeni ludzkiego świata, w: Przestrzeń w nauce współczesnej, S. Symiotiuk, G. Nowak (red.), Wydawnictwo Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej, Lublin 1998, 31-44, s. 34-35. + Aksjomatyka Zermela dla teorii mnogości odrzucona została przez matematyków przyjmujących stanowisko konceptualistyczne. „Konsekwencją stanowiska konceptualistycznego jest odrzucenie metody aksjomatycznej jako metody budowania (i ugruntowywania) matematyki. Nie można bowiem postulować tylko istnienia obiektów, jak się to czyni w metodzie aksjomatycznej, ale należy je uprzednio skonstruować. Podobnie rzecz się ma z własnościami obiektów. W związku z tym należy w szczególności odrzucić na przykład aksjomatykę Peana dla liczb naturalnych czy aksjomatykę Zermela dla teorii mnogości. Intuicjoniści szczególnie ostro krytykowali – podobnie jak semi-intuicjoniści francuscy – zwłaszcza aksjomat wyboru (por. dodatek o teorii mnogości). Aksjomat ten jest bowiem według nich jaskrawym przykładem postulowania istnienia zbioru, którego myśl nasza nie jest na ogół w stanie określić. Inną konsekwencją tezy konceptualistycznej jest odrzucenie przez intuicjonizm istnienia nieskończoności aktualnej. Umysł ludzki może konstruować obiekty jakiegoś rodzaju, na przykład liczby, ale nie może nigdy wykonać nieskończenie wielu konstrukcji” /R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 101/. „Zatem zbiór nieskończony można rozumieć jedynie jako prawo czy regułę tworzenia wciąż nowych jego elementów. Taki zbiór jest jednak zawsze przeliczalny. Nie ma więc zbiorów nieprzeliczalnych, nie ma też liczb kardynalnych pozaskończonych innych niż 0. W konsekwencji pojęcie zbioru, do którego dochodzą intuicjoniści, jest zupełnie inne niż to, którym operuje teoria mnogości Cantora” /Tamże, s. 103. 10