Algebra abstrakcyjna i liniowa

Algebra abstrakcyjna i liniowa
I rok IZ, inf.
lista dodatkowa 3 - 22 marca 2006
Przykładowe tematy na kolokwium
1. Uzasadnienie, że dana struktura algebraiczna jest grupą.
2. Wyznaczenie rzędu elementu grupy.
3. Udowodnienie, że jakiś podzbiór grupy jest jej podgrupą.
4. Pokazanie, że dana podgrupa jest dzielnikiem normalnym grupy.
5. Wyznaczania rzędu podgrupy cyklicznej, np. podgrupy generowanej
przez daną permutację.
6. Charakteryzacja (opis) elementów warstwy (wyznaczanie liczby warstw).
7. Wykonywanie różnych operacji na wielomianach i macierzach nad ciałem Zn (np. wyznaczenie rzędu macierzy o elementach z Z2 ).
8. Dowodzenie prostych własności grup, pierścieni, ciał.
9. Obliczanie elementu odwrotnego względem mnożenia modulo n za pomocą rozszerzonego algorymtu Euklidesa i małego twierdzenia Fermata.
10. Dowodzenie prostych własności kongruencji.
11. Zastosowania chińskiego twierdzenia o resztach.
12. Znajomość definicji pojęć podanych na wykładzie i ich własności (twierdzeń) oraz ilustracja ich za pomocą przykładów.
Przykładowe zadania
1. Udowodnić, że w dowolnej grupie G zachodzi własność
(ab)−1 = b−1 a−1 ,
a, b ∈ G.
Czemu równa się (a−1 )−1 ? Dlaczego? Niech (ab)n = e, gdzie e jest
elementem neutralnym, n - liczba naturalna. Czy i (dlaczego) (ba)n =
e?
2. Podać definicję rzędu elementu grupy oraz przykład grupy, w której
jakieś dwa elementy mają różne rzędy. Czy i dlaczego rząd elementu
grupy skończonej jest dzielnikiem rzędu grupy? Z jakiego twierdzenia
wynika odpowiedź?
1
3. Zbiór wszystkich liczb zespolonych C jest grupą ze względu na dodawanie liczb zespolonych. Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych R jest
jej podgrupą. Wyznaczyć grupę ilorazową C/R, tzn. opisać warstwy i
podać wzór na sumę warstw.
4. Zastosować wniosek z małego twierdzenia Fermata do obliczenia elementu odwrotnego do elementu a = 3 ∈ Z5 . Czy każdy niezerowy
element ze zbioru Z6 ma element odwrotny? Dlaczego? Z jakiego twierdzenia to wynika?
5. Zastosować rozszerzony algorytm Euklidesa do wyznaczenia takich liczb
całkowitych s i t, aby sc + tm = NWD(c, m) dla c = 5 i m = 11. Zastosować to do wyznaczenia rozwiązania kongruencji
5x ≡ 2(mod 11).
6. Udowodnić, że dla każdego elementu a grupy G istnieje dokładnie jeden
element odwrotny a−1 . Podać wzór na element odwrotny do elementu
d = abc, gdzie a, b, c ∈ G. Jak ten wzór uzasadnić?
7. Podać definicję i jakiś przykład podgrupy. Sformułować twierdzenie,
które podaje warunki konieczne i dostateczne na to, by podzbiór grupy
był jej podgrupą. Co można powiedzieć o zbiorze wszystkich potęg
jakiegoś elementu grupy?
8. Niech G = Z15 będzie grupą addytywną (działaniem jest dodawanie
modulo 15) i niech H = {0, 3, 6, 9, 12}. Łatwo zauważyć, że H jest podgrupą grupy G. Ile jest warstw względem podgrupy H? Jakie elementy
należą do warstwy 2 + H? Jaką wspólną własność mają wszystkie elementy z tej warstwy? Czy ta warstwa jest równa warstwie 5 + H?
9. Niech a, b, c będą dowolnymi elementami grupy G. Czy równanie axb =
c, ma jednoznaczne rozwiązanie? Dlaczego? Jak je rozwiązać?
10. Podać definicję i przykład dzielnika normalnego jakiejś grupy.
11. Zbiór C∗ wszystkich liczb zespolonych różnych od zera jest grupą ze
względu na mnożenie liczb zespolonych. Zbiór R+ wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich jest jej podgrupą. Opisać warstwy względem podgrupy H i określić działanie na warstwach.
12. Udowodnić, że w grupie obowiązuje prawo prawostronnego skracania,
tzn. prawdziwa jest implikacja
ba = ca =⇒ b = c
dla dowolnych elementów a, b, c grupy G. Niech d = abc. Kiedy c =
a−1 b−1 d? Dlaczego?
2
13. Sformułować twierdzenie Lagrange’a i zastosować je do udowodnienia,
że jeśli rząd grupy jest liczbą pierwszą, to jedynymi jej podgrupami są
dwie podgrupy niewłaściwe - jednoelementowa grupa zawierająca tylko
element neutralny oraz cała grupa.
14. Wykazać, że podgrupa macierzy stopnia n o elementach rzeczywistych i
o wyznaczniku równym 1 jest dzielnikiem normalnym w grupie wszystkich macierzy nieosobliwych stopnia n z mnożeniem macierzy jako działaniem. Przypomnienie. det(AB) = det(A)det(B)
oraz det(A−1 ) = 1/det(A).
15. Niech a, b, x ∈ Z, n ∈ N i niech a ≡ b (mod n). Udowodnić, że ax ≡
bx (mod n). Podać przykład, pokazujący, że w ogólnym przypadku nie
jest prawdziwa następująca implikacja:
ac ≡ bc (mod n) ⇒ a ≡ b (mod n).
16. W jaki sposób można obliczyć element odwrotny do elementu k, k ∈
Zn = {0, 1, . . . , n − 1}? Co trzeba założyć, żeby element odwrotny
istniał?
17. Niech a i b będą liczbami całkowitymi, a, b ∈ Z. Niech w(x) będzie
wielomianem o współczynnikach całkowitych, w(x) ∈ Z[x]. Udowodnić,
że prawdziwa jest następująca implikacja:
a ≡ b(mod m) =⇒ w(a) ≡ w(b)(mod m).
18. Jaki pierścień nazywamy pierścieniem całkowitym? Podać przykład
pierścienia, który nie jest całkowity. Który z warunków z definicji pierścienia całkowitego nie jest spełniony?
19. Wyznaczyć elementy odwracalne w Z12 ze względu na mnożenie modulo
12 oraz obliczyć element odwrotny do jednego z nich metodą podaną
na wykładzie (nie zgadywać!) Czy można zastosować małe twierdzenie
Fermata? Dlaczego?
20. Wykazać, że dla każdej liczby całkowitej m zachodzi jedna z równości
m2 ≡ 0 (mod 8),
m2 ≡ 1 (mod 8),
m2 ≡ 4 (mod 8).
21. Wybrać dwie niezerowe liczby całkowite a i b ze przedziału [0, 54]. Wyznaczyć ich reszty z dzielenia przez 5 i 11. Wyznaczyć reszty liczby
c = ab z dzielenia przez 5 i 11 bez obliczania liczby c. Jak na podstawie
tych reszt liczby c można wyznaczyć liczbę c?
3
22. Podać definicję i własności przystawania liczb całkowitych modulo m.
Jak można to zastosować do obliczania trzech ostatnich cyfr dziesiętnych liczby naturalnej - odpowiedź wystarczy zilustrować przykładem.
23. Podać przykład grupy nieabelowej.
24. Udowodnić, że w pierścieniu zachodzą następujące własności:
(−a)b = a(−b) = −ab,
(−a)(−b) = ab.
25. Podać przykład pierścienia, w którym istnieją dzielniki zera. Czy i dlaczego nie ma dzielników zera w ciele?
26. Czy i dlaczego zbiór liczb całkowitych podzielnych przez dwa jest pierścieniem całkowitym? Działaniami są zwykłe dodawanie i mnożenie
liczb.
27. Udowodnić, że w grupie prawdziwy jest wzór: (a−1 )−1 = a.
28. Udowodnić, że podgrupa grupy cyklicznej jest też cykliczna.
29. Dlaczego zbiór Φ(n) = {k ∈ Zn : NWD(k, n) = 1} jest grupą?
30. Wykazać, że grupa cykliczna multyplikatywna < A > generowana przez
macierz rzeczywistą
"
#
1 1
A=
0 1
ma rząd nieskończony. Uwaga. Działaniem jest mnożenie macierzy.
31. Niech w zbiorze liczb rzeczywistych R będą określone działania:
a ⊕ b = a + b + 1,
a b = a + b + ab.
Czemu równa się element neutralny dla działania ⊕? Jaki element jest
przeciwny do elementu a? Czy istnieje element neutralny dla działania
? Odpowiedzi uzasadnić.
32. Udowodnić, że jeśli rząd grupy jest liczbą pierwszą, to jest to grupa
cykliczna.
33. Niech w(x) = x3 + 3x2 + 3x + 4 ∈ Z5 [x]. Sprawdzić, że r = 2 jest
pierwiastkiem wielomianu w(x). Znaleźć wielomian u(x) taki, że w(x) =
(x + 3)u(x). Dlaczego wielomian w(x) dzieli się przez wielomian x + 3?
34. Niech G będzie grupą addytywną wielomianów nad ciałem Z2 . Pokazać,
że zbiór H = {(x2 + 1)w(x) : w(x) ∈ Z2 [x]} jest podgrupą. Wyznaczyć
warstwy względem podgrupy H? Czym charakteryzują się wielomiany
należące do danej warstwy? Ułożyć tabelkę działań na warstwach.
Krystyna Ziętak
4