Adam Clayton

Modelowanie
zależności warunkowych
pomiędzy zwrotami finansowymi
za pomocą modeli kopuli
z przełączaniem typu Markowa
Ryszard Doman
Uniwersytet im. Adama Mickiewicza
Motywacje
‰ Zależność między zwrotami z różnych akcji jest o
wiele większa podczas bessy niż w czasie hossy.
Zjawisko to, zwane zależnością asymetryczną, jest
dobrze udokumentowane w licznych badaniach.
‰ Wielowymiarowe modele zmienności z eliptycznymi
rozkładami standaryzowanych innowacji nie są w
stanie uwzględnić zależności asymetrycznej.
‰ Właściwe rozpoznanie zależności asymetrycznej
może przełożyć się na osiągnięcie istotnych korzyści w
inwestowaniu na rynkach finansowych (Ang i Bekaert
2002, Patton 2004).
Cel referatu
‰ Propozycja modelu zależności
warunkowych uwzględniającego asymetrię
zależności asymptotycznej (ogonowej) w
rozkładach warunkowych, wykorzystującego
kopule z przełączaniem reżimów typu
Markowa
‰ Zastosowanie zaproponowanego modelu do
estymacji zależności warunkowych pomiędzy
zwrotami indeksów WIG20 i MIDWIG
Ogólny wielowymiarowy model
heteroskedastyczności warunkowej
rt = ( r1, t ,… , rk , t )′
rt = µ t + y t
yt = H
E ( y t y ′t | Ω t −1 ) = H t
µ t = E ( rt | Ω t −1 )
ε
1/ 2
t
t
E (ε t ε t′ | Ω t −1 ) = I
Model dynamicznych korelacji warunkowych
(1)
(DCC) Engle (2002)
y t | Ω t − 1 ~ N ( 0, H t )
(
H t = Dt Rt Dt = ρ ij , t hii , t h jj , t
Dt = diag
(
h11, t ,… , hkk , t
q
hii ,t = ω i + ∑ α ij y
j =1
2
i ,t − j
)
)
p
+ ∑ β ij hii ,t − j
j =1
Model DCC
(2)
Rt = (diag(Qt ))
−1 2
Qt (diag(Qt ))
−1 2
M
N
M
N


Qt =  1 − ∑ α m − ∑ β n Q + ∑ α m ut-m u′t-m + ∑ β n Qt − n
m =1
n =1
m =1
n =1


−1
t
ut = D y t
Qt = cov( ut )
Słabość standardowego modelu DCC:
Rozkład warunkowy zwrotów jest
wielowymiarowym rozkładem normalnym,
podczas gdy rozkłady zwrotów większości
instrumentów finansowych charakteryzują się
podwyższoną kurtozą.
Remedium:
W standardowym modelu DCC zastąpić
rozkład normalny rozkładem eliptycznym o
grubszych ogonach (Pelagatti i Rondena 2004) .
Krótko o rozkładach eliptycznych
Mówimy, że k-wymiarowy wektor losowy X ma
rozkład eliptyczny ( X ~ EC k ( µ , Σ , φ )), jeśli jego
funkcja charakterystyczna może być przedstawiona
w postaci
E (exp(it ′X ) = exp(it ′µ )φ ( t ′Σ, t )
gdzie µ jest wektorem k-wymiarowym, Σ jest
dodatnio określoną (k × k) – macierzą symetryczną,
a φ jest funkcją skalarną, zwaną generatorem
charakterystycznym.
Rozkłady eliptyczne (cd.)
Jeśli X ma momenty rzędu k, k >2, to
E(X) = µ,
Cov(X) = γΣ
Przykłady: (Rozkład wielowymiarowy)
• normalny
• t Studenta
• Laplace’a
Najważniejsza własność: Rozkład brzegowy jest
rozkładem eliptycznym o tym samym generatorze.
Słabość: symetryczność
Alternatywne modelowanie zależności:
kopula zmiennych losowych
X~F
Y ~G
F , G - ciągłe dystrybuanty
Jeśli funkcja
C : [0,1] × [0,1] → [0,1]
jest (obciętą do [0,1] × [0,1]) dystrybuantą
rozkładu łącznego zmiennych
U = F ( X ) , V = G (Y ) , to nazywamy ją
kopulą zmiennych ( X , Y ) .
Podstawowa własność kopuli (Sklar 1959):
Jeśli H jest dystrybuantą wektora ( X , Y ) ,
to przy poprzednich założeniach istnieje
dokładnie jedna kopula C taka, że
H ( x, y) =
.
C ( F ( x ), G ( y ))
.
Miary zależności
Pułapki współczynnika korelacji liniowej:
Wartość współczynnika korelacji liniowej ρ
może być bardzo mylącym wskaźnikiem (siły)
zależności zmiennych losowych, w przypadku
gdy ich rozkład łączny nie jest eliptyczny.
Miary zależne jedynie od kopuli:
‰ współczynnik korelacji rang Spearmana
ρ S ( X , Y ) = ρ ( F ( X ), G ( X ))
‰ współczynnik tau Kendalla
~
~
τ ( X , Y ) = P{( X − X )(Y − Y ) > 0} −
~
~
P{( X − X )(Y − Y ) < 0},
gdzie
~
~
( X ,Y )
jest niezależną kopia wektora ( X , Y )
Współczynnik tau Kendalla oraz współczynnik
korelacji rang Spearmana mierzą stopień
zależności monotonicznej zmiennch X i Y,
podczas gdy zwykły współczynnik korelacji
(Pearsona) mierzy jedynie stopień zależności
liniowej.
Jeśli (X,Y) jest wektorem ciągłych zmiennych
losowych z kopulą C, to
τ ( X ,Y ) = 4∫∫
[ 0 ,1 ]
2
C ( u, v )dC ( u, v ) − 1
Zależność asymptotyczna w ogonach
Współczynniki zależności ogonowej
X , Y losowe z dystrybuantami F i G
λU = lim q →1 P (Y > G (q ) | X > F (q ))
←
←
−
λ L = lim q → 0 P (Y ≤ G (q ) | X ≤ F (q ))
←
←
+
←
F ( y ) = inf{ x ∈ R : F ( x ) ≥ y }
Jeśli dystrybuanty F i G są ciągłe oraz C jest
kopulą łącznego rozkładu zmiennych X i Y, to
λ L = lim q → 0
λU = lim q → 0
+
+
C (q, q )
q
Cˆ (q , q )
q
, gdzie
Cˆ ( u, v ) = u + v − 1 + C (1 − u,1 − v ) .
Gęstość kopuli i kanoniczna reprezentacja
gęstości rozkładu łącznego
∂ C (u , v)
c(u , v) =
∂u∂v
2
Dla ciągłego wektora losowego z dystrybuantą rozkładu
łącznego F i gęstościami brzegowymi f1 i f2, gęstość c
kopuli jest związana z gęstością f rozkładu łącznego:
f ( x, y ) = c( F1 ( x), F2 ( y )) f1 ( x) f 2 ( y ))
Przykłady kopuli
Kopula gaussowska
C
Gauss
(u , v; ρ ) = Φ ρ (Φ (u ), Φ (v) )
−1
−1
Φρ
- dystrybuanta standardowego dwuwymiarowego
rozkładu normalnego ze współczynnikiem korelacji
Φ
- dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego
ρ
Gęstość kopuli gaussowskiej
c
Gauss
(u , v; ρ ) =
ς +ς
2 ρς 1ς 2 − ς − ς

=
exp
+
 2
2
2(1 − ρ )
1− ρ

2
1
1
where
ς 1 = Φ (u )
−1
ς 2 = Φ (v )
−1
2
2
2
1
2
2
2



Kopula t Studenta
C
Student
ρ ,η
−1
(
−1
∫ ∫
−∞
t ρ ,η
tη
−1
( u, v ) = t ρ ,η tη ( u), tη (v )
tη ( u ) tη ( v )
=
−1
−∞
)
 s + t − 2 ρst 

 1 +
2
2
η (1 − ρ
2π 1 − ρ 

1
2
2
dystrybuanta rozkladu t Studenta z η stopniami
swobody
−
η+2
dystrybuanta dwuwymiarowego rozkładu t Studenta z η
stopniami swobody i współczynnikiem korelacji ρ
2
Gęstość kopuli t Studenta
c (u, v) =
S
η,ρ
−(η +2) / 2
η + 2  η  1+ ς + ς − 2ρς1ς 2 
Γ
Γ  
2

η(1− ρ ) 
1
2   2 

=
−(η +2) / 2
2
2
2
2 
1− ρ
 η +1 

ς
j
Γ



1
+
∏


 2 
η
j =1 

2
1
ς 1 = tη (u )
−1
ς 2 = tη (v)
−1
2
2
Kopula Joego i Claytona
− Clayton
CκJoe
( u, v ) =
,γ
(
κ −γ
κ −γ
1 − 1 − ([1 − (1 − u) ] + [1 − (1 − v ) ] − 1)
κ ≥1
γ ∈ [−1, ∞) \ {0}
)
−1 / γ 1 / κ
Współczynnik tau Kendala i współczynniki zależności ogonowej
dla kopuli gaussowskiej, t Studenta oraz Joego i Claytona
τ
Kopula
Gauss
Cρ
C
C
Student
ρ ,η
J− C
κ ,γ
τ (κ , γ ) = 1 +
2
π
2
π
λU
0
arcsin(δ )
1/ κ
τ (κ , γ )
κγ
−
4
0

(η + 1)(1 − ρ ) 

2tη +1  −

+
1
ρ


arcsin(δ )
2
λL
2− 2
1
x
∫
κγ
0
1−κ
2
−1 / γ
κ γ +1
(1 − (1 − x )
,
γ >0
)dx
Gęstość kopuli t Studenta: ρ = 0 , 6989 η = 8,6854
Gęstość kopuli Joego i Claytona: κ = 1.1997 γ = 1,0197
Model MSC kopuli z przełączaniem
typu Markowa (Markov Switching Copula)
(Tsafack 2006)
rt = ( r1, t , r2, t )′
r1,t | Ω t −1 ~ Ft (⋅)
r2,t | Ω t −1 ~ Gt (⋅)
rt | Ω t −1 ~ C st ( Ft (⋅), Gt (⋅) | Ω t −1 )
st
- jednorodny łańcuch Markowa z przestrzenią stanów {1, 2}
Parametry modelu MSC
• Parametry modeli jednowymiarowych dla
warunkowych rozkładów brzegowych
(GARCH(1,1) ze skośnym rozkładem t Studenta)
• Parametry kopuli C1 i C2
• Prawdopodobieństwa przejścia:
p11 = P (st = 1 | st −1 = 1)
p22 = P (st = 2 | st −1 = 2)
Najważniejszym „produktem ubocznym”
estymacji modelu MSC są prawdopodobieństwa
warunkowe
P ( st = j | Ω t −1 )
obliczane za pomocą tzw. filtru Hamiltona:
2
P ( st = j | Ω t −1 ) = ∑ pij P ( st −1 = i | Ω t −1 )
i =1
P( st = j | Ωt ) =
c j (ut | st = j, Ωt −1 )P( st = j | Ωt −1 )
2
∑ c (u | s
i =1
i
t
t
= i , Ωt −1 )P( st = i | Ωt −1 )
Estymacja modelu MSC
Logarytm funkcji wiarygodności:
 2

L = ∑ ln ∑ c j (ut | st = j, Ωt −1;θ )P( st = j | Ωt −1;θ )  +
t =1
 j =1

T
+ ∑ ln( f (r1,t | Ωt −1;θ1 )) + ∑ ln(g(r2,t | Ωt −1;θ2 )) ,
T
T
t =1
t =1
gdzie
p12 =1− p11
ut = ( u1,t , u2 ,t )′
u1,t = Ft ( r1,t )
c j (⋅ | st = j , Ω t −1 )
p21 =1− p22
u2 ,t = Gt ( r2 ,t )
- gęstość kopuli warunkowej
wiążącej warunkowe rozkłady brzegowe w reżimie j.
Inne istotne charakterystyki modelu
MSC
Prawdopodobieństwa bezwarunkowe poszczególnych stanów:
1 − p22
P(st = 1) =
2 − p11 − p22
1
mtr ( i ) =
P ( st = i )
1 − p11
P(st = 2) =
2 − p11 − p22
- średni czas powrotu do reżimu i
1
- czas oczekiwanego trwania w reżimie i
d (i ) =
1 − pii
Statystyki opisowe badanych szeregów zwrotów
9. 01.2001 – 16.03.2007
rt = 100(log( Pt ) − log( Pt −1 ))
Indeks
WIG20
MIDWIG
Średnia
0,0412
0,0966
Odchylenie standardowe
1,4583
0,8731
Minimum
-5,7306
-5,6449
Maksimum
5,4830
4,1011
Skośność
0,0412
-0,5642
Kurtoza
4,0421
6,3457
Wyniki estymacji modeli jednowymiarowych
WIG20
Estimate Std. Err. t Ratio p-Value
Student's t d.f.
8.29292
1.712
------
------
[2]GARCH Intercept
0.01464
0.0083
------
------
GARCH Alpha1
0.03613
0.00866
4.173
0
GARCH Beta1
0.95753
0.00964
99.329
0
Student's t d.f.
7.57932
1.3435
------ ------
Log(Skewness) (ln(ksi))
-0.11607
0.03785
-3.067
[2]GARCH Intercept
0.02255
0.0088
------
------
GARCH Alpha1
0.09354
0.01848
5.062
0
GARCH Beta1
0.87976
0.02456
35.821
0
MIDWIG
0.002
Oszacowania parametrów modelu MSC
Reżim 1: kopula gaussowka C ρGauss
Reżim 2: kopula Joego i Claytona C
p11
p22
ρ
κ
γ
0.9555
(0.0361)
0.9152
0.7522
1.1997
1.0197
(0.0797)
(0.0222)
(0.1001)
(0.1872)
J− C
κ ,γ
Inne istotne charakterystyki
estymowanego modelu MSC
P(st = 1) 0.6558
P(st = 2)
mtr (1) 1.5248
mtr (2) 2.9055
d (1)
22.4624
d (2)
0.3442
11.7882
Dynamika warunkowego współczynnika tau Kendalla
oszacowana na postawie modeli MSC oraz t-DCC
0.65
Ke nda ll t
Ke nda ll_n_J C
0.60
0.55
0.50
0.45
0.40
1551
1501
1451
1401
1351
1301
1251
1201
1151
1101
1051
1001
951
901
851
801
751
701
651
601
551
501
451
401
351
301
251
201
151
101
51
1
0.35
Dynamika warunkowych zależności ogonowych
oszacowana za pomocą modelu MSC
0.5
lambda_L
lambda _U
0.4
0.3
0.2
0.1
1551
1501
1451
1401
1351
1301
1251
1201
1151
1101
1051
1001
951
901
851
801
751
701
651
601
551
501
451
401
351
301
251
201
151
101
51
1
0.0
1552
1505
1458
1411
1364
1317
1270
1223
1176
1129
1082
1035
988
941
894
847
800
753
706
659
612
565
518
471
424
377
330
283
236
189
142
95
48
1
Warunkowe prawdopodobieństwa występowania w dniu t reżimu 1
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
Wygładzone warunkowe prawdopodobieństwa występowania w
dniu t reżimu 1
1.00
0.90
0.80
0.70
0.60
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
1551
1501
1451
1401
1351
1301
1251
1201
1151
1101
1051
1001
951
901
851
801
751
701
651
601
551
501
451
401
351
301
251
201
151
101
51
1
0.00
Podsumowanie
‰ Zwroty indeksów WIG20 i MIDWIG wykazują
istotnie większą warunkową zależność asymptotyczną
podczas bessy niż w czasie hossy.
‰ Zjawisko to można stwierdzić za pomocą modeli
kopuli z przełączaniem typu Markowa.
Wielowymiarowe modele zmienności z eliptycznymi
rozkładami innowacji nie są w stanie wychwycić tego
rodzaju asymetrii.
‰ Zależność warunkowa zwrotów indeksów WIG20 i
MIDWIG, mierzona współczynnikiem tau Kendalla,
oszacowana za pomocą modelu MSC, jest niższa, niż
gdy szacuje się ją za pomocą modelu t-DCC.