KLASA II zestaw 3

KLASA II
zestaw 3
Za każde z poniższych zadań można uzyskać 10 punktów.
Rozwiązania należy oddać do 4.02.2011 r.
1. Reszta z dzielenia wielomianu W przez dwumian x − 2 jest równa 5, zaś reszta z dzielenia tego
samego wielomianu przez dwumian x − 3 jest równa 7. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W
przez (x − 2)(x − 3).
2. Wykaż, że dla każdego x ∈ R prawdziwa jest nierówność:
x2
1
.
6
2
4 + 9x
12
3. Narysuj wykres funkcji:
f (x) =
2x(1 + x2 )
.
2|x|
4. Dla jakich wartości parametru m równanie:
x5 + (1 − 2m)x3 + (m2 − 1)x = 0
ma dokładnie 3 pierwiastki?
5. Dany jest wielomian W (x) = x4 + 2mx3 + 4x2 z parametrem m.
a) Wiedząc, że wykres tego wielomianu jest symetryczny względem prostej x = −1, wyznacz
parametr m.
b) Dla wyznaczonej wartości parametru m uzasadnij, że nierówność W (x) > 0 jest spełniona
przez każdą liczbę x ∈ R.
6. Wyznacz wszystkie wartości parametrów a i b, dla których nierówność:
(x2 − x − 2)(x2 − 2ax + 3bx − 6ab) > 0
jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą.
7. Funkcja f każdej liczbie naturalnej dodatniej n przyporządkowuje liczbę wszystkich liczb naturalnych, należących do zbioru rozwiązań nierówności z niewiadomą x:
(n − x)(x − 2n) > 0 ,
Napisz wzór funkcji f i narysuj jej wykres dla n < 6.
8. Mariusz Czerkawski i Jimmy O’Brien w jednym sezonie NHL zdobyli w sumie 100 bramek. Kluby
obu zawodników za każdą zdobytą bramkę wypłacały hokeistom z góry ustaloną premię. Po sezonie
okazało się, że obaj zawodnicy otrzymali za strzelone bramki równe kwoty. Gdyby Czerkawski
zdobył tyle bramek co O’Brien, to otrzymałby 72000$, zaś gdyby drugi strzelił tyle bramek ile
pierwszy, to otrzymałby 32000$. Oblicz ile bramek zdobył każdy z nich i jaka była wysokość premii
w obu klubach za strzelenie bramki.
9. Woda może wpływać do basenu z dwóch kranów. Za pomocą pierwszego kranu basen można
napełnić w czasie o 2 godziny dłuższym, a za pomocą drugiego kranu w czasie o 4,5 godziny
dłuższym, niż przy napełnianiu basenu z wykorzystaniem obu kranów. W jakim czasie można
napełnić ten basen, odkręcając tylko pierwszy, albo tylko drugi kran?
10. Narysuj wykres funkcji:
(
f (x) =
3x+2
x+1
x−2
x−1
dla x > 0
dla x < 0
.
Na podstawie wykresu funkcji f wyznacz zbiór wartości funkcji g(x) = [f (x)], gdzie [m] oznacza
największą liczbę całkowitą nie większą od m.