KLASA II zestaw 3
Transkrypt
KLASA II zestaw 3
KLASA II zestaw 3 Za każde z poniższych zadań można uzyskać 10 punktów. Rozwiązania należy oddać do 4.02.2011 r. 1. Reszta z dzielenia wielomianu W przez dwumian x − 2 jest równa 5, zaś reszta z dzielenia tego samego wielomianu przez dwumian x − 3 jest równa 7. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W przez (x − 2)(x − 3). 2. Wykaż, że dla każdego x ∈ R prawdziwa jest nierówność: x2 1 . 6 2 4 + 9x 12 3. Narysuj wykres funkcji: f (x) = 2x(1 + x2 ) . 2|x| 4. Dla jakich wartości parametru m równanie: x5 + (1 − 2m)x3 + (m2 − 1)x = 0 ma dokładnie 3 pierwiastki? 5. Dany jest wielomian W (x) = x4 + 2mx3 + 4x2 z parametrem m. a) Wiedząc, że wykres tego wielomianu jest symetryczny względem prostej x = −1, wyznacz parametr m. b) Dla wyznaczonej wartości parametru m uzasadnij, że nierówność W (x) > 0 jest spełniona przez każdą liczbę x ∈ R. 6. Wyznacz wszystkie wartości parametrów a i b, dla których nierówność: (x2 − x − 2)(x2 − 2ax + 3bx − 6ab) > 0 jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą. 7. Funkcja f każdej liczbie naturalnej dodatniej n przyporządkowuje liczbę wszystkich liczb naturalnych, należących do zbioru rozwiązań nierówności z niewiadomą x: (n − x)(x − 2n) > 0 , Napisz wzór funkcji f i narysuj jej wykres dla n < 6. 8. Mariusz Czerkawski i Jimmy O’Brien w jednym sezonie NHL zdobyli w sumie 100 bramek. Kluby obu zawodników za każdą zdobytą bramkę wypłacały hokeistom z góry ustaloną premię. Po sezonie okazało się, że obaj zawodnicy otrzymali za strzelone bramki równe kwoty. Gdyby Czerkawski zdobył tyle bramek co O’Brien, to otrzymałby 72000$, zaś gdyby drugi strzelił tyle bramek ile pierwszy, to otrzymałby 32000$. Oblicz ile bramek zdobył każdy z nich i jaka była wysokość premii w obu klubach za strzelenie bramki. 9. Woda może wpływać do basenu z dwóch kranów. Za pomocą pierwszego kranu basen można napełnić w czasie o 2 godziny dłuższym, a za pomocą drugiego kranu w czasie o 4,5 godziny dłuższym, niż przy napełnianiu basenu z wykorzystaniem obu kranów. W jakim czasie można napełnić ten basen, odkręcając tylko pierwszy, albo tylko drugi kran? 10. Narysuj wykres funkcji: ( f (x) = 3x+2 x+1 x−2 x−1 dla x > 0 dla x < 0 . Na podstawie wykresu funkcji f wyznacz zbiór wartości funkcji g(x) = [f (x)], gdzie [m] oznacza największą liczbę całkowitą nie większą od m.