Algebra z geometrią, zagadnienia, wykład 11. 11.1. Uwaga: jeśli ||u

Algebra z geometrią, zagadnienia, wykład 11.
11.1. Uwaga: jeśli ||u + v|| = ||u|| + ||v|| , to u = λv dla λ ∈ R, λ > 0.
11.2. Definicja pojęcia ortonormalności pary wektorów.
11.3. Lemat: jeśli wektory ze zbioru {e1 , . . . , em } są parami ortonormalne, to
||a1 e1 + . . . am em ||2 = |a1 |2 + . . . |am |2 .
11.4. Lemat: Zbiór wektorów parami ortogonalnych jest zbiorem wektorów liniowo niezależnych.
11.5. Definicja bazy ortonormalnej.
11.6. Twierdzenie: jeśli {e1 , . . . , em } jest ortonormalną bazą p.w. V, to dla każdego v ∈ V :
v = ⟨e1 , v⟩ e1 + . . . + ⟨em , v⟩ em .
oraz
||v||2 = |⟨e1 , v⟩|2 + . . . + |⟨em , v⟩|2 .
11.7. Twierdzenie (Gram-Schmidt): Jeśli {v1 , . . . , vm } jest zbiorem liniowo niezależnych wektorów
z V, to w V istnieje zbiór parami ortonormalnych wektorów {e1 , . . . , em } taki, że
span{v1 , . . . , vj } = span{e1 , . . . , ej }
dla j = 1, . . . , m.
11.8. Definicja bazy ortonormalnej.
11.9. Wniosek: w każdej, skończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej z iloczynem skalarnym
istnieje baza ortonormalna.
11.10. Wniosek: każdy zbiór ortonormalnych wektorów z V można uzupełnić do ortonormalnej bazy
V.
11.11. Lemat: niech V będzie p.w. z iloczynem skalarnym i niech  ∈ L(V ). Jeśli w V istnieje baza,
w której macierz  jest górnotrójkątna, to w V istnieje baza ortonormalna, w której macierz
 jest górnotrójkątna.
11.12. Twierdzenie: Niech V będzie skończenie wymiarową, zespoloną p.w. z iloczynem skalarnym
i niech  ∈ L(V ). Istnieje taka ortonormalna baza V, w której macierz operatora  jest
górnotrójkątna.
Leszek Hadasz
[email protected]
1